Đề Toán - Thi thử Đại học - lần 5

ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC NĂM 2010-2011
Môn: Toán A. Thời gian: 180 phút ( Không kể giao đề).
I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7 điểm).
Câu I (2 điểm): Cho hàm số  y =
2x + 4
1- x
.
1)  Khảo sát và vẽ đồ thị (C ) của hàm số trên.
2)  Gọi (d) là đường thẳng qua A( 1; 1 ) và có hệ số góc k. Tìm k sao cho (d) cắt ( C ) tại hai điểm M, N
và MN = 3  10 .
Câu II (2 điểm):
1) Giải phương trình: sin 3x - 3sin 2x - cos 2x + 3sin x + 3cos x - 2 = 0 .
y(x +  y)2  = 2x2 + 7 y + 2
ì   x2 + y2 + xy +1 = 4 y
2) Giải hệ phương trình: í
î
p

.
2
Câu III (1 điểm): Tính tích phân:  I = ò
0
3sin x - 2cos x
(sin x + cos x)3

dx
Câu IV (1 điểm):
Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy là hình chữ nhật với SA vuông góc với đáy, G là trọng tâm tam giác
SAC,  mặt phẳng (ABG) cắt SC tại M, cắt SD tại N. Tính thể tích của khối đa diện MNABCD biết SA=AB=a
và góc hợp bởi đường thẳng AN  và mp(ABCD) bằng 300 .
Câu V (1 điểm): Cho các số dương a, b, c : ab + bc + ca = 3.
+	+	£
1+ a (b + c)   1+ b (c + a)   1+ c (a + b)
abc
Chứng minh rằng:
1                     1                     1               1
2                                2                                2

.
II. PHẦN RIÊNG (3 điểm) (Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần 1 hoặc phần 2)).
1. Theo chương trình Chuẩn :
Câu VI.a (2 điểm):
1) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho đường tròn hai đường tròn
(C) : x2 + y2 –  2x  –  2 y  + 1  =  0,  (C ') : x2 + y2 + 4x – 5  =  0 cùng đi qua M(1; 0). Viết phương
trình đường thẳng qua M cắt hai đường tròn (C), (C ') lần lượt tại A, B sao cho MA= 2MB.
2) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz,  hãy xác định toạ độ tâm và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam
giác ABC, biết A(-1; 0; 1), B(1; 2; -1), C(-1; 2; 3).
Câu VII.a (1 điểm):
Khai triển  đa thức: (1- 3x)20 = a0 + a1x + a2 x2 + ... + a20 x20. Tính tổng: S = a0 + 2 a1 + 3 a2 + ... 	+ 21 a20 .
2. Theo chương trình Nâng cao :
Câu VI.b (2 điểm)
1) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, hãy viết phương trình các cạnh của tam giác ABC biết trực tâm
H (1;0) , chân đường cao hạ từ đỉnh B là K (0; 2) , trung điểm cạnh AB là M (3;1) .
2) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng: (d1) :
x  y     z
=    =      và  (d2 ) :
1    1     2
x +1    y  z -1
=    =
-2      1       1

.
Tìm tọa độ các điểm M  thuộc (d1) và N thuộc (d2 ) sao cho đường thẳng MN song song với mặt phẳng
( P ) :

x  –  y  + z  +  2010  =  0 độ dài đoạn MN bằng    2.
ïîlog1-x ( y + 5) - log2+ y ( x + 4)
ìï2 log1-x (- xy - 2x + y + 2) + log2+y (x2 - 2x +1) = 6
Câu VII.b (1 điểm): Giải hệ phương trình í
=1
.................... 	H  ẾT
Câu
Phần
Nội dung
Điểm
II
(2,0)
1(1,0)
sin 3x - 3sin 2x - cos 2x + 3sin x + 3cos x - 2 = 0 Û
(sin 3x + sin x) + 2sin x - 3sin 2x - (cos 2x + 2 - 3cos x) = 0
2
Û 2 sin 2x.cos x + 2 sin x - 6.sin .cos x - (2 cos  x - 3cos x +1) = 0
2                                                                           2
Û 2 sin x.cos  x + 2 sin x - 6.sin .cos x - (2 cos  x - 3cos x +1) = 0
é            1
êsin x =
2
2                                   ê
Û (2sin x -1)(2 cos  x - 3cos x + 1) = 0 Û   cos x = 1
ê
ê            1
êcos x =
ë            2
é       p
ê x =    + k 2p
1                6
+) sin x =    Û ê                      , (k Î Z ).
2              5p
êx =      + k 2p
êë       6
é       p
ê x =    + k 2p
1                3
+) cos x =    Û ê                       , (k Î Z ).
2                 p
ê x = -    + k 2p
ê
ë         3
+) cos x = 1 Û x = k 2p , (k Î Z ).
KL:Vậy phương trình có 5 họ nghiệm như trên.
0,25
0,25
0,25
0,25
2(1,0)
2
ì    x  +1 + x + y = 4
2         2                              ï
ì   x  + y  + xy + 1 = 4 y         ï       y
Dễ thấy  y ¹ 0 , ta có: í                    2             2               Û í                               2           .
î y(x + y)  = 2x  + 7 y + 2      ï                2       x  +1
(x + y)  - 2          = 7
ïî                      y
2
x  +1                                 ì u + v = 4        ì     u = 4 - v           é v = 3, u = 1
Đặt u =          , v = x + y  ta có hệ: í   2               Û í   2                     Û ê
y                                      v  - 2u = 7        v  + 2v -15 = 0       v = -5, u = 9
î                       î                              ë
0,25
0,25
Câu
Phần
Nội dung
Điểm
I
(2,0)
1(1,0)
Làm đúng, đủ các bước theo Sơ đồ khảo sát hàm số cho điểm tối đa.
1,0
2(1,0)
Từ giả thiết ta có: (d ) : y = k (x -1) +1. Bài toán trở thành: Tìm k để hệ phương trình sau
2                          2
có hai nghiệm (x1; y1), (x2; y2 ) phân biệt sao cho ( x2 - x1 )  + ( y2 - y1 )  = 90(*)
ì 2x + 4                                                                                       2
ï           = k( x -1) + 1                               ìkx  - (2k - 3) x + k + 3 = 0
í -x +1                     (I ) .  Ta có: (I ) Û í         y = k (x -1) +1
ï                                                              î
î    y = k( x -1) + 1
Dễ có (I) có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trình
2                                                                                                                                   3
kx  - (2k - 3)x + k + 3 = 0(**)  có hai nghiệm phân biệt. Khi đó dễ có được k ¹ 0, k <   .
8
2                                                           2
2                                                         2
Ta biến đổi (*) trở thành: (1+ k  ) ( x2 - x1 )  = 90Û (1+ k  )[( x2 + x1 )  - 4x2 x1] = 90(***)
2k - 3             k + 3
Theo định lí Viet  cho (**) ta có: x1 + x2 =           , x1x2 =         , thế vào (***) ta có
k                    k
phương trình:
3               2                                                             2                                            -3 +   41         -3 -   41
8k  + 27k  + 8k - 3 = 0 Û (k + 3)(8k  + 3k -1) = 0 Û k = -3, k =                , k =                .
16                    16
KL: Vậy có 3 giá trị của k thoả mãn như trên.
0,25
0,5
0,25
Câu
Phần
Nội dung
Điểm
IV
(1,0)
+ Trong mp(SAC) kẻ AG cắt SC tại M, trong mp(SBD) kẻ BG cắt SD tại N.
+ Vì G là trọng tâm tam giác ABC nên dễ có                S
SG    2
=     suy ra G cũng là trọng tâm tam giác SBD.
SO    3
Từ đó suy ra M, N lần lượt là trung điểm của
SC, SD.                                                                                                                                                            N
1       1
+ Dễ có: VS.ABD = VS.BCD =   VS.ABCD =   V .
2                2
Theo công thức tỷ số thể tích ta có:                                                                                  M
G
VS.ABN     SA SB SN           1  1         1             A
=      .     .       = 1.1.   =    Þ VS.ABN =   V
VS.ABD     SA  SB  SD          2    2                   4
VS.BMN     SB SM SN        1 1  1         1
=      .       .       = 1.   .   =    Þ VS.ABN =   V                                            O
VS.BCD     SB  SC   SD       2  2    4                   8
Từ đó suy ra:
3                                          B                                                                                          C
VS.ABMN = VS.ABN + VS.BMN =   V .
8
1
+ Ta có: V =    SA.dt ( ABCD) ; mà theo giả thiết SA ^ ( ABCD) nên góc hợp bởi AN với
3
mp(ABCD) chính là góc NAD , lại có N là trung điểm của SC nên tam giác NAD cân tại
0                             SA
N, suy ra  NAD = NDA = 30 . Suy ra:  AD =             = a  3 .
tan 300
1             1                    3    3
Suy ra: V =    SA.dt( ABCD) =   a.a.a  3 =      a  .
3                           3                   3
0,25
D
0,25
Câu
Phần
Nội dung
Điểm
III
(1,0)
p                      p    p
Đặt  x =    - t Þ dx = -dt, x = 0 Þ t =    , x =     Þ t = 0.
2                                              2         2
p                                                 p                                              p
2                                                 2                                              2
3sin x - 2cos x          3cos t - 2sin t          3cos x - 2sin x
Suy ra: I =                           dx =                         dt =                           dx (Do tích phân
ò                                  3      ò                               3      ò                                  3
(sin x + cos x)            (cos t + sin t)            (cos x + sin x)
0                                                 0                                              0
không phụ thuộc vào kí hiệu cảu biến số).
p                                                p                                                 p
2                                                 2                                                 2
3sin x - 2 cos x          3cos x - 2sin x                     1
Suy ra: 2I = I + I =                           dx +                           dx =                           dx =
ò                                  3      ò                                  3      ò                                  2
(sin x + cos x)            (cos x + sin x)            (sin x + cos x)
0                                                 0                                                 0
p                                                     p
2                                                     2                                                                                                p
1                   1            1            æ      p ö    1      æ      p ö  2                             1
=                          dx =                           d   x -      =   tan   x -         = 1. KL: Vậy I =   .
ò0 2 cos2 çæ x - p ÷ö         2 ò0 cos2 çæ x - p ÷ö   èç      4 ø÷    2      èç      4 ø÷  0                              2
è      4 ø                     è      4 ø
0,25
0,25
0,5
+) Với  v = 3, u = 1 ta có hệ:
x + y = 3	y = 3 - x	y = 3 - x
ìx2 + 1 = y	ì x2 + 1 = y	ì x2 + x - 2 = 0
í	Û í	Û í
î	î	î
é x = 1, y = 2
Û ê
ë x = -2, y = 5

.

0,25
x + y = -5	y = -5 - x	y = -5 - x
ìx2 + 1 = 9 y	ìx2 +1 = 9 y	ìx2 + 9x + 46 = 0
+) Với v = -5, u = 9 ta có hệ: í	Û í	Û í
î	î	î
này vô nghiệm.
KL: Vậy hệ đã cho có hai nghiệm: (x; y) = {(1; 2), (-2; 5)}.

, hệ

0,25
Câu
Phần
Nội dung
Điểm
VIa
(2,0)
1(1,0)
+ Gọi tâm và bán kính của (C), (C’) lần lượt là I(1; 1) , I’(-2; 0) và R = 1, R ' = 3, đường
2         2
thẳng (d) qua M có phương trình a(x -1) + b( y - 0) = 0 Û ax + by - a = 0, (a  + b  ¹ 0)(*) .
+ Gọi H, H’ lần lượt là trung điểm của AM, BM.
Khi đó ta có:
2             2                       2                  2                                      2                                         2
MA = 2MB Û    IA  - IH   = 2   I ' A  - I ' H '   Û 1- ( d (I ;d ))  = 4[9 - (d (I ';d )) ] ,
IA > IH .
2                   2
2                          2                    9a            b
Û 4 ( d (I ';d ))  - ( d (I ;d ))  = 35 Û 4.    2         2 -     2         2 = 35
a  + b      a  + b
2         2
36a  - b                           2               2
Û                 = 35 Û a  = 36b
2         2
a  + b
éa = -6
Dễ thấy b ¹ 0  nên chọn b = 1 Þ             .
ê a = 6
ë
Kiểm tra điều kiện IA > IH  rồi thay vào (*) ta có hai đường thẳng thoả mãn.
0,25
0,25
0,25
0,25
2(1,0)
+ Ta có: AB = (2; 2; -2), AC = (0; 2; 2). Suy ra phương trình mặt phẳng trung trực của AB,
AC là:  x + y - z -1 = 0, y + z - 3 = 0.  r      uuur uuur
+ Vecto pháp tuyến của mp(ABC) là n = é AB, AC ù = (8; -4; 4). Suy ra (ABC):
ë            û
2x - y + z +1 = 0 .
ì x + y - z -1 = 0      ì x = 0
ï                                ï
+ Giải hệ: í    y + z - 3 = 0    Þ í y = 2 . Suy ra tâm đường tròn là  I (0; 2;1).
ï                                ï
2x - y + z + 1 = 0        z = 1
î                                î
2                     2                   2
Bán kính là  R = IA =   (-1- 0)  + (0 - 2)  + (1-1)   =   5.
0,25
0,25
0,5
Câu
Phần
Nội dung
Điểm
V
(1,0)
3               2
Áp dụng BĐT Cauchy cho 3 số dương ta có: 3 = ab + bc + ca ³ 3  (abc)  Þ abc £ 1 .
2                                       2                                                            1              1
Suy ra: 1+ a  (b + c) ³ abc + a  (b + c) = a(ab + bc + ca) = 3a Þ                     £      (1).
2
1+ a  (b + c)    3a
1              1                 1             1
Tương tự ta có:                     £      (2),                     £      (3).
2                                                   2
1+ b (c + a)    3b       1+ c (a + b)    3c
Cộng (1), (2) và (3) theo vế với vế ta có:
1                     1                     1            1 1 1  1      ab + bc + ca      1
+                    +                     £   (   +    +   ) =                     =          .
2                                2                                2
1+ a (b + c)   1+ b (c + a)   1+ c (a + b)    3  c    b    c           3abc          abc
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi abc = 1, ab + bc + ca = 3 Þ a = b = c = 1, (a, b, c > 0).
0,25
0,25
0,5
Câu
Phần
Nội dung
Điểm
VII.a
(1,0)
20 ¢                                            2                               20
+ Ta có: ( x(1- 3x)  )  = a0 + 2a1x + 3a2 x  + ... + 21a20 x  .
20                                19                                            2                               20
Û (1- 3x)   - 60x(1- 3x)   = a0 + 2a1x + 3a2 x  + ... + 21a20 x    (*).
k                          k
Nhận thấy: ak x  = ak (-x)   do đó  thay x = -1 vào cả hai vế của (*) ta có:
22
S = a0 + 2 a1 + 3 a2 + ... + 21 a20  = 4   .
0,25
0,25
0,25
0,25
3   5
Suy ra: thể tích cần tìm là: VMNABCD = VS.ABCD -VS.ABMN = V -   V =   V =
8	8

5  3a3
24

.

0,5
Câu
Phần
Nội dung
Điểm
VIb
(2,0)
1(1,0)
+  Đường thẳng AC  vuông góc với HK  nên nhận           A
uuur
HK = (-1; 2) làm vtpt và AC đi qua K nên
( AC) : x - 2 y + 4 = 0. Ta cũng dễ có:
(BK ) : 2x + y - 2 = 0 .
+ Do  A Î AC, B Î BK  nên giả sử                                                              M
A(2a - 4; a), B(b; 2 - 2b). Mặt khác M (3;1) là   K
trung điểm của AB nên ta có hệ:                                           H
ì2a - 4 + b = 6      ì2a + b = 10      ìa = 4
í                      Û í                  Û í        .
a + 2 - 2b = 2         a - 2b = 0         b = 2
î                           î                       î
Suy ra:  A(4; 4), B(2; - 2).                              C                                                                B
uuur
+ Suy ra:  AB = (-2; - 6) , suy ra: ( AB) : 3x - y - 8 = 0 .       uuur
+  Đường thẳng BC qua B và vuông góc với AH nên nhận HA = (3; 4) , suy ra:
(BC) : 3x + 4 y + 2 = 0.
KL: Vậy : ( AC) : x - 2 y + 4 = 0, ( AB) : 3x - y - 8 = 0 , (BC) : 3x + 4 y + 2 = 0.
0,25
0,5
0,25
2(1,0)
+ M , N Î (d1), (d2 ) nên ta giả sử      uuuur
M (t1;t1; 2t1), N (-1 - 2t2 ; t2 ;1 + t2 ) Þ NM = (t1 + 2t2 +1; t1 - t2 ; 2t1 - t2 -1)  .
uur uuuur
+ MN song song mp(P) nên: nP .NM = 0 Û 1.(t1 + 2t2 + 1) -1.(t1 - t2 ) +1(2t1 - t2 -1) = 0
uuuur
Û t2 = -t1 Þ NM = (-t1 +1; 2t1;3t1 -1) .
é t1 = 0
2                2                       2                        2                    ê
+  Ta có: MN =   2 Û (-t1 + 1)  + (2t1)  + (3t1 -1)  = 2 Û 7t1 - 4t1 = 0 Û         4 .
êt1 =
ë      7
4 4 8    1  4 3
+ Suy ra: M (0; 0; 0), N (-1; 0;1)  hoặc M (   ;   ;   ), N (   ; -   ;   ) .
7   7   7        7     7   7
+ Kiểm tra lại thấy cả hai trường hợp trên không có trường hợp nào M Î (P).
KL: Vậy có hai cặp M, N như trên thoả mãn.
0,25
0,25
0,25
0,25
Câu
Phần
Nội dung
Điểm
VII.b
(1,0)
2
ì-xy - 2x + y + 2 > 0, x  - 2x +1 > 0, y + 5 > 0, x + 4 > 0
+ Điều kiện: í                                                                                       (I ) .
î0 < 1- x ¹ 1, 0 < 2 + y ¹ 1
ìï2 log1-x[(1- x)( y + 2)] + 2log2+ y (1 - x) = 6
+  Ta có: (I ) Û ílog1-x ( y + 5) - log2+y (x + 4)                   = 1
ïî
ìïlog1-x ( y + 2) + log2+ y (1- x) - 2 = 0 (1)
Ûílog1-x ( y + 5) - log2+ y ( x + 4)      = 1 (2).
ïî
1                                       2
+ Đặt log2+ y (1- x) = t thì (1) trở thành: t +   - 2 = 0 Û (t -1)  = 0 Û t = 1.
t
Với t = 1 ta có: 1- x = y + 2 Û y = -x -1 (3). Thế vào (2) ta có:
-x + 4            -x + 4                             2
log1-x (-x + 4) - log1-x (x + 4)      = 1 Û log1-x            = 1 Û            = 1 - x Û x  + 2x = 0
x + 4              x + 4
é x = 0                 é y = -1
.  Suy ra:              .
Ûê                           ê
x = -2                    y = 1
ë                           ë
+ Kiểm tra thấy chỉ có  x = -2, y = 1 thoả mãn điều kiện trên.
Vậy hệ có nghiệm duy nhất  x = -2, y = 1 .
0,25
0,25
0,25
0,25