Đề tài Những sai lầm khi giải toán bất đẳng thức và tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất

Bộ giáo dục và đào tạo
đề tài:
Những sai lầm khi giải toán bất đẳng thức
và tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất.
Bài tập nghiên cứu khoa học
Tháng 3 / 2008.
A/Mở đầu
1. Lý do chọn đề tài: 
 Toán học là một môn khoa học cơ bản.là nền tảng cho nhiều ngành khoa học khác như vật lý học, hoá học, tin học, thiên văn học...
 Dựa trên toán học, con người ngày càng tiếp cận với những tri thức mới của khoa học hiện đại phục vụ nhu cầu cuộc sống của chính con người.
 Do vậy việc học sinh nắm vững và hiểu sâu về toán học phổ thông là tiền đề hết sức quan trọng trong công cuộc giáo dục và đào tạo thế hệ trẻ trở thành những con người lao động mới đáp ứng những nhu cầu ngày càng cao của xã hội,nhất là trong công cuộc công nghiệp hoá--hiện đại hoá hiện nay. Đòi hỏi đội ngũ lao động phải có đầy đủ tri thức khoa học cơ bản.
 Tuy nhiên thực tế giảng dạy ở trường phổ thông cho thấy việc nâng cao năng lực học toán của học sinh không phải là một việc làm dễ dàng. Bởi vì không phải lúc nào học sinh cũng làm chủ được kiến thức hay biết vận dụng kiến thức một cách linh hoạt. Nhất là đối với một dạng toán tương đối khó với học sinh phổ thông, đó là “Bất đẳng thức”—- một dạng toán luôn luôn cần đến sự linh hoạt,sáng tạo. Các em thường hay mắc phải một số sai lầm trong khi giải toán. Sai lầm đó có nhiều nguyên nhân, chẳng hạn do không đọc kĩ đề bài, do không xét hết trường hợp, do nhầm lẫm trong phép suy luận...
 Nhằm mục đích góp phần nhỏ trong việc nâng cao chất lượng dạy và học ỏ trung học phổ thông, tác giả chọn đề tài : “Những sai lầm khi giải toán bất đẳng thức và tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất”.
 Tuy khuôn khổ của đề tài còn hạn hẹp, nhưng tác giả cũng mong muốn góp phần nhỏ vào việc tìm hiểu, phát hiện và tháo gỡ một số các sai lầm đó. Từ đó học sinh tự liên hệ tới bản thân để điều chỉnh và rút kinh nghiệm trong phương pháp giải toán của mình.
2.Mục đích nghiên cứu :
 Việc chọn đè tài : “Những sai lầm khi giải toán bất đẳng thức và tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất”,ngoài mục đích mong muốn cùng học sinh rút kinh nghiệm trong phương pháp giải toán, tác giả cũng nhằm mục đích rèn luyện cho mình phương pháp làm việc khoa học, bồi dưỡng kiến thức cho bản thân. Đây cũng là dịp để tìm hiểu sâu hơn về toán học phổ thông nói chung và dạng toán bất đẳng thức, tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất nói riêng.
3.Đối tượng và phạm vi nghiên cứu :
 Do khả năng còn hạn chế, mặt khác cũng do khuôn khổ và thời gian thực hiện đề tài có hạn nên tác giả không thể giới thiệu được hết các sai lầm vốn rất đa dạng và phong phú trong toán học phổ thông. ở đây tác giả xin tập trung vào phân tích một số sai lầm cơ bản mà học sinh thường gặp khi chứng minh bất đẳng thức và khi tìm giá trịlớn nhất nhỏ nhất của hàm số hoặc biểu thức.
2.Nhiêm vụ nghiên cứu :
 Thể hiện ở các nội dung sau :
Chương 1: Hệ thống kiến thức khoa học giáo dục có liên quan đến đề tài.
Chương 2: Hệ thống (một cách tương đối) những sai lầm mà học sinh hay mắc phải khi chứng minh bất đẳng thức hoặc khi tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất.
Chương 3: Giới thiệu các bài tập thể hiện hướng sai lầm hay mắc phải của học sinh thông qua việc phân tích nguyên nhân dẫn đến sai lầm, sau đó đưa ra lời giải hợp lý, sửa chữa sai lầm.
Kết luận:
5.Phương pháp nghiên cứu :
 Ngoài kinh nghiệm của bản thân, để hoàn thành đề tài cần phải tìm hiểu thực tế tình hình của học sinhqua các lớp. Qua đó thu thập, phân tích rồi tổng hợp thông tin để đưa ra kết luận chính xác với thực tế.
 Hình thức tiến hành :
 Kiểm tra miệng.
 Kiểm tra 15 phút.
 Kiểm tra 45 phút.
 Kiến thức kiểm tra là nội dung của đề tài. Việc kiểm tra được tiến hành tại nhiều lớp với trình độ nhận thức khác nhau, nhằm mục đích thể hiện rõ khuynh hướng sai lầm chủ yếu của học sinh.
 Bên cạnh đó, cần tìm hiểu thêm trong các sách báo, tài liệu tham khảo chuyên môn để chính xác hoá nội dung nghiên cứu, nâng cao chất lượng đề tài.
 Cuối cùng, tác giả xin chân thành cảm ơn cô giáo Lưu Thị Thu_ Giáo viên trường Trung học phổ thông Yên Mỹ đã tận tình hướng dẫn và chỉ bảo để tác giả có thể hoàn thành đề tài này.
 Do khả năng và thời gian có hạn nên đề tài chắc chắn không thể tránh khỏi những thiếu sót. Tác giả rất mong được sự đóng góp ý kiến của bạn đọc và sự chỉ bảo, rút kinh nghiệm từ phía các thầy cô để đề tài càng hoàn thiện hơn nữa. Xin cảm ơn!
B/ Nội dung
 Chương 1: Cơ sở lý luận
1.Bất đẳng thức :
1.1.Bất đẳng thức Cauchy :
 a/ Dạng tổng quát (n số) :
 ta có : 
b/ Hệ quả :
Nếu ( S_ hằng số) thì:
 Max ( a
 Dấu bằng xảy ra 
Nếu ( p_ hằng số) thì:
 Min ( 
 Dấu bằng xảy ra 
c/ Dạng đặc biệt :
 ta có :
 1. . Dấu bằng xảy ra khi .
 2. . Dấu bằng xảy ra khi .
1.2.Bất đẳng thức Bunhiacopxki :
a/ Dạng tổng quát :
 Cho và là 2n số thực tuỳ ý. Ta có:
Dạng 1: 
 Hoặc: 
 Dấu bằng xảy ra 
Dạng 2: 
 Dấu bằng xảy ra 
b/ Hệ quả :
Nếu (C là hằng số) thì :
Min 
 Dấu bằng xảy ra .
Nếu = (C là hằng số) thì :
Max 
Dấu bằng xảy ra 
Min 
Dấu bằng xảy ra 
a/ Dạng đặc biệt :
:
hay 
 Dấu bằng xảy ra 
Dấu bằng xảy ra 
1.3.Bất đẳng thức Trêbưsep :
a/ Dạng tổng quát :
1. Nếu hoặc 
Dạng 1: 
Dạng 2: .
2.Nếu hoặc 
Dạng 1: 
Dạng 2: .
b/ Dạng cụ thể :
n = 2:
Nếu thì : hoặc:
Nếu thì : hoặc:
n = 3:
Nếu thì : 
 hoặc:
Nếu thì : 
 hoặc:
Chú ý:
 Khi sử dụng bất đẳng thức Trêbưsep cần lưu ý:
 + Không được sử dụng trực tiếp mà phải chứng minh bất đẳng thức này.
 + Nếu các dãy số chưa sắp thứ tự thì phải giả sử có một quan hệ thứ tự giữa các số.
 Nếu các dãy số không sắp thứ tự được thì không thể sử dụng bất đẳng thức. 
 2.Giá trị lớn nhất – giá trị nhỏ nhất :
2.1.Định nghĩa :
 Cho hàm số f(x) xác định trên tập D.
Số M được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số f(x) trên tập D(kí hiệu M=Max f(x).) nếu đồng thời thoả mãn 2 điều kiện sau:
 D
f(x)
sao cho f(x)=M
 Số m được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) trên tập D(kí hiệu m=Min f(x).) nếu đồng thời thoả mãn 2 điều kiện:
 D
f(x)
sao cho f(x)= m.
2.2.Các định lý :
 Các định lý sau cho phép ta quy việc nghiên cứu tính chất tương tích của một hệ phương trình hoặc bất phương trình về việc khảo sát giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số tương ứng. Giả sử hàm số f(x) xác định trên D. Ta có các định lý :
Phương trình f(x) = α , x có nghiệm 
 D D
 2. Bất phương trình f(x) với có nghiệm 
 D
Bất phương trình f(x) với có nghiệm 
 D
 4. Bất phương trình f(x) đúng 
 D
 5. Bất phương trình f(x) đúng 
 D
 Chương 2: Các sai lầm thường gặp.
A.Bất đẳng thức :
 Trong chương trình toán học phổ thông, bất đẳng thức là phần gây cho học sinh nhiều bối rối nhất. Dó cũng chính là nguyên nhân gây tâm lý “ngại” học bất đẳng thức của đa số học sinh. Do vậy khi gặp một số bài toán chứng minh bất đẳng thức, thương các em rất dễ mắc sai lầm. Những sai lầm đó thường tập trung chủ yếu ở những dạng sau:
 + Do không để ý tới điều kiện để bất đẳng thức đúng.
 + Do nhầm lẫn trong phép suy luận.
 + Do nắm không vững các thao tác biến đổi tương đương.
 Chẳng hạn:
Nhân (chia ) hai vế của bất đẳng thức cho cùng một số âm thì bất đẳng thức phải đổi chiều.
Nhân 2 vế của các bất đẳng thức cùng chiều được kết quả là bất đẳng thức cùng chiều khi và chỉ khi các vế cùng không âm.
Bình phương 2 vế của bất đẳng thức khi chưa chắc các vế đã dương.
...v...v...
B.Giá trị lớn nhất – giá trị nhỏ nhất :
 + Sai lầm có thể do kết quả ngẫu nhiên đúng nhưng lời giải sai( do các bước không hợp logic).
 + Sai lầm chủ yếu do vi phạm quy tắc:
“ Nếu f(x) m ( m là hằng số) với và sao cho f(x) = m thì Min f(x) = m ”
 D
“ Nếu f(x) M (M là hằng số) với và sao cho f(x) = M thì Max f(x) = M ”
 D
 f(x) được hiểu là một đa thức hay một biểu thức.
Chương 3: Các bài toán ví dụ
và biện pháp khắc phục.
A.Bất đẳng thức :
Ví dụ 1: 
 Chứng minh rằng:.
Sử dụng bất đẳng thức :
 thì 
 Do đó : .
 Nhân vế với vế của 3 bất đẳng thức trên ta được kết quả :
 . (đpcm)
 Nhưng ta hãy kiểm nghiệm lại. Chẳng hạn :
 đúng.
 x đúng.
 đúng
 sai.
 Vậy sai lầm ở chỗ nào?
Cần chú ý là khi nhân các bất đẳng thức cùng chiều ta được bất phương trình cùng chiều các vế đều không âm.
Lời giải đúng 
 Ta có : 
 Suy ra : (đpcm).
Ví dụ 2 : 
 Chứng minh rằng : Nếu : thì: .
Do vai trò bình đẳng của nên ta chỉ cần chứng minh 
Giả sử , từ (3) 
 từ (2)
Suy ra : b+c < 0, mà là vô lý.(mâu thuẫn với (1).) Do đó .
Tương tự ta chứng minh được b, c > 0.
Lời giải trên tuy đúng nhưng chưa chặt chẽ vì xét thiếu trường hợp .Bởi khi phủ định ,ta cần phải xét trường hợp .
Lời giải đúng :
Để chứng minh ta phải giả sử : .
+ Nếu thì theo lời giải trên mâu thuẫn với (1).
+ Nếu mâu thuẫn với (3).
Vậy là vô lý .
Ví dụ 3 : 
 Chứng minh rằng : Nếu thì : .
áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 3 số dương ta có :
 (1)
 (2)
Các vế của (1) và (2) đều dương nên ta chia vế với vế ta được:
 .
Nhận xét : lời giải trên sai lầm ở chỗ :từ .
Thật vậy chẳng hạn : 
Lời giải đúng :
Do vai trò bình đẳng của các số nên ta có thể giả sử : .
áp dụng bất đẳng thức trêbưsep ta có: ( cauchy)
Ví dụ 4: 
 Chứng minh rằng : 
áp dụng Bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có :
áp dụng bất đẳng thức cauchy suy ra 
Vậy : (đpcm).
Nhận xét :
Tuy kết quả chứng minh trên đúng nhưng lời giải trên sai do áp dụng bất đẳng thức cauchy cho 3 số chưa chắc đã không âm .
Lời giải đúng :
 (Bunhia)
 (đpcm).
Ví dụ 5 : 
 Chứng minh rằng thì sin x < x.
Xét f(x) = x – sin x với x > 0.
Ta có : f’(x) = 1 – cos x f(x) đồng biến.
Với x > 0 suy ra f(x) > f(0) hay : x – sin x > 0 – sin 0 = 0
Nhân xét :
Sai lầm ở đây khá tinh vi. Sau khi kết luận f(x) đồng biến trên (0;+∞) thì tại sao từ x > 0 suy ra f(x) > f(0).
Lưu ý : Nếu f(x) đồng biến với x và thì f(x) >f(x). Lời giải này xét f(x) đồng biến trên (0;+∞) không chứa điểm 0 nên không thể so sánh f(x) và f(0).
Lời giải đúng :
Xét f(t) = t – sin t với t f’(t) = 1 – cos t 
 f(t) đồng biến trên R. Mà x > 0 f(x) > f(0). Hay x – sin x > 0 – sin 0 = 0 x > sin x.
Ví dụ 6 : Chứng minh rằng : Nếu thì : 
Với ta có : 
 Trừ từng vế ta có :.(đpcm)
Sai lầm trong lời giải trên là trừ 2 bất đẳng thức cùng chiều. Lưu ý rằng : Nếu : 
Lời giải đúng :
Xét f(t) = với t >1
Ta có : f’(t) = .
 Do đó f(t) đồng biến với t > 1. 
 Mà nên 
 (đpcm)
Ví dụ 7 :
 Cho . Chứng minh rằng: 
Vì là tích của 2 số dương có tổng không đổi bằng nên : . Tương tự : 
. (1)
Theo bất đẳng thức Cauchy ta có : (2)
 Từ đó ta có được điều chứng minh.
Nhận xét : Sai lầm ở đây là do nhầm lẫn, nhớ nhầm tính chất tính chất bắc cầu của bất đẳng thức. Từ (1), (2) không thể suy ra điều cần chứng minh.
Lời giải đúng :
Viết lại vế trái : 
áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta được : (đpcm)
B. Giá trị lớn nhất – giá trị nhỏ nhất:
Ví dụ 1 :
 Tìm giá trị lớn nhất của : F(x, y) = 
 ta có : 
 F(x, y) Min F(x, y) = 0.
Lời giải trên tuy đúng nhưng không đúng là lời giải của bài toán. Sai lầm ở chỗ đã không chỉ ra các giá trị của x, y để F(x, y) = 0.
Lưu ý rằng : F(x, y) nếu sao cho : F(x) = 0 thì mới lập luận được Min F(x, y) = 0.
Lời giải đúng : 
áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki với : , , , , , ta có :
 Dấu bằng xảy ra 
 Vậy Min F( x, y) =
Ví dụ 2 :
 Biết Tìm giá trị lớn nhất của F = xy.
Ta có :
Dấu bằng xảy ra 
 Thay x = y vào hệ thức đã cho ta có : 
 Nếu x = 0 thì y = 0 nên F = 0
 Nếu x = 1 thì y =1 nên F = 1 
 Từ đó suy ra Max F = 1 khi va chỉ khi x = y = 1.
Nhận xét : Sai lầm rất cơ bản ở chỗ : Sau khi chứng minh : 
 đã coi như một hằng số. 
Lưu ý rằng : Với M là hằng số và M thì nếu tồn tại x ,y để F = M thì mới kết luận Max F = M.
Lời giải đúng :
 Đặt = m thì : 
x và y Phương trình : có nghiệm.
 Xét F = xy = trên [ 0; 2] . Xét bảng biến thiên :
m
 0 2
F
 0 1
 Từ bảng biến thiên suy ra : Max F = 1 
Ví dụ 3 : Tìm giá trị nhỏ nhất của : f(x) = 
Đặt t = thì =
 Dấu bằng xảy ra . Do đó : Min f(x) = 2 khi t = 1.
Nhận xét : Sai lầm của lời giải là đã chuyển sang bài toán không tương đương vì Min f(x) = Min g(t) , có thể thấy : với t =1 thì không x để f(x) = 2.
Lời giải đúng :
 Đặt t = . Khi đó f(x) trở thành : 
 Ta có : Min f(x) = Min g(t) 
 x0 
 Lập bảng biến thiên với 
t
 -2 2
g(t)
 3
 11
 Từ bảng biến thiên với ta suy ra :
 Min f(x) = Min g(t) = 3 
 x0 
 Vậy Min f(x) = 3 khi x = 1.
Ví dụ 4 : Tìm giá trị nhỏ nhất của : f(x) = 
Chọn trên mặt phẳng toạ độ các điểm : M( x; 0) , A( 1; 1) , B( -1; 1) thì f(x) = MA + MB.
Theo bất đẳng thức tam giác thì : 
 MA + MB AB = Min f(x) = 2.
Nhận xét : Sai lầm do không để ý có M để MA + MB =AB hay không nên không kết luận được gì , ở đây MA + MB =AB . Nhưng M( x; 0) nên . Mà AB // 0x suy ra không M
Lời giải đúng :
 Lấy M( x; 0) , A( 1; 1) , B( -1; - 1) thì :
 f(x) = MA + MB AB =.
Ví dụ 5 : Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của :
 y = 
Ta tìm tập giá trị của y, tức tìm y để phương trình y = f(x) có nghiệm 
Vì > 0 nên y = f(x) 
Phương trình có nghiệm 
Nhận xét : Lời giải trên không để ý đến yêu cầu : , đúng ra phải tìm y để phương trình y = f(x) có nghiệm .
Lời giải đúng :
 Đặt t = tg thì 
Khi đó y = f(x) có nghiệm Phương trình có nghiệm .
 có nghiệm
Chú ý : Tuy kết quả vẫn đúng nhưng lời giải bị sai so với yêu cầu của bài toán.
Ví dụ 6 : Tìm Min S = 
áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có : 
Nhân xét : Sai lầm ở đây là không chú y đến điều kiện của đề bài . Khi đó a + b + c = 0 là không thể xay ra.
Lời giải đúng :
Ta có : 
Do các vế của bất đẳng thức trên cùng dương nên ta nhân vế với vế của ba bất đẳng thức trên ta được kết quả :
 S =.
Ví dụ 7 : Cho : . 
 Tìm Max S = 
áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có: 
Dấu bằng xảy ra ???
Lời giải đúng :
áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có :
Dấu bằng xảy ra . 
Vậy Min S = 2.
C. Bài tập vận dụng :
1. Bất đẳng thức :
1.1: Cho . Chứng minh rằng : 
1.2: Cho x+y = 1. Chứng minh rằng :
1.3: Biết rằng : . Chứng minh rằng : 
1.4: Chứng minh rằng :
1.5: Chứng minh rằng : nếu thì 
Giá trị lớn nhất – giá trị nhỏ nhất :
 2.1: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số :
 a/ 
 b/ 
 2.2: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của nếu :
Biết rằng : x+y = 4. Tìm giá trị lớn nhất của F = x.y
Tìm giá trị nhỏ nhất của :
F = theo tham số 
 2.5: Cho x + y + z = 1 và x, y, z > 0. Tìm giá trị lớn nhất của :
 S = xyz (x +y)(y + z)(z + x) 
C/Kết luận :
 Qua thực tế ở nhà trường phổ thông cho thấy việc phân tích và chỉ ra các sai lầm cho học sinh là việc làm hết sức cần thiết, bởi khi lĩnh hội kiến thức và khi vận dụng kiến thức toán học vào thực tế, tuy nằm trong một sự suy luận logic thống nhất nhưng thực tế lại là hai việc làm khác nhau.
 Kiến thức truyền đạt cho học sinh đã được hệ thống một cách khoa học, phù hợp với logic phát triển vấn đề và cũng phù hợp với tâm lí lứa tuổi học sinh. Tuy vậy, cũng không thể chỉ rõ tường tận rằng khi vi phạm quy tắc logic kia theo hình thức này hay hình thức khác là sai lầm. Bởi đó cũng là một trong những yêu cầu giáo dục ẩn chứa trong mỗi bài toán nhằm mục đích rèn luyện tư duy cho học sinh, nhờ đó khi giái toán học sinh sẽ vận dụng sáng tạo, linh hoại kiến thức đã học.
 Nhưng không phải lúc nào học sinh cũng đủ sáng suốt và làm chủ kiến thức để nhận ra sai lầm. Do vậy, với kinh nghiệm và tri thức đã được đào tạo, giáo viên phải có trách nhiệm hướng dẫn, chỉ bảo, giúp đỡ học sinh nhận biết và tránh được những sai lầm tương tự, từ đó rèn luyện chop các em đức tính cẩn thận, chính xác, say mê công việc ...
 Qua đay tác giả cũng mong muốn các thầy cô ủng hộ, giúp đỡ và bổ sung để đề tài được hoàn thiện hơn.
 Cuối cùng em xin chân thành cảm ơn cô giáo : Lưu Thị Thu đã tạo đièu kiện giúp đỡ để em hoàn thành đề tài này.
Mục lục : 
 Tên đề mục : Trang :
 Mở đầu :
 Nội dung : 1
 Chương 1 : Cơ sở lí luận 
 A. Bất đẳng thức 4 
 B. Giá trị lớn nhất
 Giá trị nhỏ nhất 7
 Chương 2 : Các sai lầm 
 thường gặp 8
 Chương 3 : Các bài toán ví dụ 
 và biện phap khắc phục 
Bất đẳng thức 9 
 B. Giá trị lớn nhất 
 Giá trị nhỏ nhất 13
 C. Bài tập vận dụng 19 
 Kết luận : 20
Tài liệu tham khảo:
Bộ đề thi tuyển sinh đại học 
 -- Nhà xuất bản GD 1996
Phương pháp dạy học môn toán
 -- Nguyễn Bá Kim
Sai lầm phổ biến khi giải toán
 -- Lê Thống Nhất 
Bẫy trong các đè thi môn toán
 -- Văn Như Cương
Tạp chí toán học và tuổi trẻ