Đề tài Một số phương pháp tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số hoặc biểu thức

Một số phương pháp tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số hoặc biểu thức.
Sau đây tôi xin đưa ra một số bài toán và phương pháp giải nhằm tháo gỡ những khó khăn trong quá trình học tập và giảng dạy với nội dung nêu trên.
I - ĐẶT VẤN ĐỀ. 
Trước hết ta cần chú ý định nghĩa.
Cho hàm số y = f(x) xác định trên tập .
Giá trị M được gọi là GTLN của f trên tập D nếu :
2.Giá trị m được gọi là GTNN của f trên tập D nếu :
Ta ký hiệu GTLN và GTNN của hàm số f lần lược là :
Đối với hàm hoặc biểu thức nhiều biến ta cũng có định nghĩa tương tự.
Từ định nghĩa trên thông thường để tìm GTLN hoặc GTNN ta tiến hành các bước sau:
Bước1:Xác lập bất đẳng thức dạng hoặc với 
	M, m là những hằng số.
	Bước2:Xét xem dấu đẳng thức sảy ra khi nào.
	Bước3: kết luận Max hoặc min theo yêu cầu. 
Sau đây là một số phương pháp tìm GTLN và GTNN .
II- PHƯƠNG PHÁP NHÓM - SO SÁNH:
 Bài1.Tìm GTNN của biểu thức : 
Giải : Ta có 
	Dấu “ =” sảy ra khi 
	Vậy min P = 5
Bài2:Tìm GT LN của hàm số :
Giải : Ta có 
	Ta có dấu “ =” Sảy ra khi x = - 1
	Vậy maxf(x) = 7 tại x= -1.
Bài3:Cho x > 0. Tìm x để biểu thức đạt giá trị lớn nhất
Giải: Vì x > 0 nên > 0 do đó
	Ta có:
	=
Do đó dấu “ = “ sảy ra khi x = 2000 nên khi x= 2000
Vậy maxM = đạt được khi x = 2000
Bài4: Cho .Tìm GTLN và GTNN của biểu thức:
Giải: Ta có 
	Do đó : .Dấu bằng sảy ra chẳng hạng khi: 
	Vậy min T = -1/2
	Ta có :
Suy ra Dấu bằng sảy ra khi 
Vậy maxT = 1 khi
III-BÀI TOÁN TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT ĐƯA VỀ VIỆC KHẢO SÁT TAM THỨC BẬC HAI.
-Ta cần chú ý PT bậc hai :
	Nếu PT có nghiệm thì 
	Nếu thì 
-Xét bài toán GTLN và GTNN của hàm số với MXĐ là R
Ta chuyển biểu thức của y nêu trên về PT dạng :.Trong đó 
Hiển nhiên A , B, C là các giá trị phụ thuộc y.Phương trình này phải có nghiệm x. Từ đó dựa vào điều kiện để tìm GTLN và GTNN.
Chú Ý: 1)Ta cần xét A = 0 và so sánh giá trị y ở hai trường hợp và A = 0 trước khi kết luận.
	2)Đồ thị là một pẩ bol với đỉnh 
	3) Nếu dùng ẩn phụ để đưa về dạng bậc hai thì phải chú ý điié kiện kèm
 theo.
Bài1:Tìm GTLN và GTNN của hàm số 
Giải: Ta có tập xacù định của hàm số là R	
	(*)	
	+ Xét y -1 = 0 y = 1 ta có x = -1
	+ xét y1 vì PT (*) có nghiệm x nên hay 
So sánh hai trường hợp trên ta có :	maxy = 2 khi x = 1
	 	miny = 6/7 khi x = -3
Bài 2: Tìm GTLN và GTNN của hàm số :
Giải: Đặt t = sinx điều kiện Ta có y = t2 – t + 4 ta có hoành độ đỉnh 
	Suy ra maxy = max 
Giá trị này đạt được khi sin x= -1 và min y = ys = f(1/2) = 15/ 4. Giá trị đạt được khi sinx = 1/2
Bài 3: Tìm GTLN và GTNN của hàm số 
Giải: Điều kiện .Đặt 
	Ta có 
	Ta lại có : 
	Do đó với 
	Cần chú ý g(t) là một parabol lồi với đỉnh S có hoành độ t = 1. Hơn nữa 
	Nên minf = min g = 
	Maxf = max g = g(3) = 3
Bài4:Tìm GTLN và GTNN của hàm số 
	Giải: Ta có 
	Đặt Ta có 	
	Khi đó 
	Hoành độ đỉnh ts = -1 - 9/4 nên miny =f(-1) = -1
	Vì khi thì nên không tồn tại giá trị lớn nhất .
IV.PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ VECTƠ.
	-Biến đổi kết hợp qui tắc , các hằng đẳng thức chú ý điểm chèn
 .trung điểm , trọng tâm, tâm ngoại tiếp 
-Khoảng cách giữa hai điểm 
	-Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng. 
-Để ý bất đẳng thức :AB+BCAC dấu “ = “ sảy ra khi A ,B , C thẳng hàng theo thứ tự đó.
Bài1:Tìm GTLN và GTNN của hàm số 
	Giải:Trong mặt phẳng Oxy chọn 
	Với Ta có : 
Và 
	Suy ra : 
	Vì M nằm trong hình vuông OIJK cạnh nên 
	Vậy maxy = ; min y = 
Bài: Cho 2x + 2y – z – 9 = 0. Tìm GTNN của 
Giải: Trong không gian Oxyz ta xét điểm :A(1;2;3) và mặt phẳng 
:2x + 2y – z – 9 = 0
	Nếu M(x ; y ;z)thì :
Mà AM nên 
Dấu bằng sảy ra khi M(x;y;z) là chân đường vuông góc hạ từ A đến mặt phẳng 
.	Vậy GTNN của biểu thức đã cho là 4.
V. PHƯƠNG PHÁP DÙNG BẤT ĐẲNG THỨC CÔSI VÀ 
BUNHIACÔPXKY-SHWARZ
-Ta có bất đẳng thức côsi : Với a,b0 ta có Dấu đẳng thức sảy ra khi a = b
	-Bất đẳng thức Côsi tổng quát :với ta có 
-Bất đẳng thức Bunhiacôpsky – Shwarz: Với hai cặp số thực bất kỳ (a;b) và (c;d) ta có :	
	Hay 
	Dấu bằng sảy ra khi ad = bc hay là 
	Tổng quát :Với hai bộ số thực bất kỳ :(a1;a2;;an)và (b1;b2;;bn) .Ta có :
	Dấu bằng sảy ra khi 
Chú ý: Có khi ta phải thêm , bớt , tách nhóm, chia nhân các số hạng để đưa về dạng có thể áp dụng được trực tiếp.
Bài1:Tìm GTLN của biểu thức :
	 Với a3 ; b4;c2
	Giải: Ta có 
Aùp dụng bất đẳng thức Côsi
 ta có:
	Suy ra Dấu bằng sảy ra khi c – 2=2 c =4
	Tương tự :	Dấu bằng sảy ra khi a– 3= 3a = 6
	 	Dấu bằng sảy ra khi b– 4= 4b = 8
Vậy max A Khi a = 6 ; b= 8 ; c = 4
Bài2:Tìm GTNN của hàm số với x >0.
Giải:	Ta có = 
	Dấu bằng sảy ra khi 
	Vậy miny = 3
Bài: Cho x , y , z >0 thỏa điều kiện x +y +z = 1.Tìm GTLN của biểu thức :
Giải : Vói a, b ,c >0 ta có bất đẳng thức quen thuộc :
	Do đó 
	Dấu bằng sảy ra khi x = y= z = 1/3
	Vậy maxQ = ¾
Bài4: Cho x,y z thỏa điều kiện . Tìm GTLN và GTNN của biểu
 	thức P = x+y+z +xy+yz+zx.
Giải: Aùp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxky – swharz ta có :
	 và 
	Suy ra Dấu bằng sảy ra khi x=y=z=1/3.
	Vậy maxP = 
Mặt khác ta có 
	Suy ra 
	Dấu bằng sảy ra chẳng hạng khi x=-1; y= 0 ;z= 0
	Vậy minP = -1
Bài5: Cho ba góc a,b,c sao cho a+b+c= .Tìm GTLN của biểu thức :
Giải: Ta có 
	Nên tga.tgb+tgb.tgc+tga.tgc = 1.
Khi đó 
	=
	Dấu bằng sảy ra khi a = b=c=
	Vậy maxT =
VI.PHƯƠNG PHÁP ĐẠO HÀM .
GTLN và GTNN của hàm số trên khoảng 
PP: Lập bảng biến thiên của hàm số trên rồi dựa vao bảng biến thiên để kết luận.
GTLN và GTNN của hàm số trên đoạn .
 PP1:Để giải bài toán này ta có thể áp dụng cách giải của bài toán trên.
	PP2: Làm theo qui tắc sau:
	i)Tìm các điểm tới hạn của f(x) trên đoạn 
	ii) Tính f(a) ; f(x1);.;f(xn);f(b)
	iii)So sánh số lớn nhất và số nhỏ nhất trong các số trên và kết luận.
Bài1:Tìm GTNN của hàm số trên khoảng 
Giải: Ta có ; 
	Bảng biến thiên
Vậy 
Bài2:Tìm GTLNvà GTNN của hàm số 
Giải: Ta có TXĐ: R
	Bảng biến thiên
Vậy maxy= khi ;miny= khi 
Bài3:Tìm GTLN và GTNN của hàm số 
Giải: Trước hết ta xét hàm số có TXĐ là 
	Ta có 
	Ta có Do đó : 
	Suy ra Vậy maxy = 1 và miny = 
Bài4:Tìm GTLN và GTNN của hàm số trên đoạn 
	Ta có ; 
	Ta có :
	So sánh các giá trị trên suy ra : maxy ; miny