Đề tài Kinh nghiệm hướng dẫn học sinh giải các bài toán tích phân

Phần I: đặt vấn đề
Mục tiêu của giáo dục hiện nay là đào tạo học sinh thành những con người mới, con người độc lập, tự chủ, sáng tạo, con người phát triển toàn diện về trí tuệ, tâm hồn, nhân cách và năng lực.
	Để đào tạo được những con người có phẩm chất, năng lực , vừa hồng vừa chuyên, đòi hỏi ngành, các nhà trường phải có một chiến lược hợp lí. Mỗi giáo viên, muốn nâng cao chát lượng giảng dạy thì cũng phải tìm ra phương pháp giảng dạy phù hợp với từng kiểu bài, từng đối tượng học sinh. Phương pháp giảng dạy là yếu tố quan trọng quyết định đến kết quả giáo dục. Bởi vậy, đổi mới phương pháp giảng dạy sẽ giúp cho học sinh tích cực, chủ động chiếm lĩnh kiến thức. Tuy vậy, việc áp dụng phương pháp đối với từng đối tượng học sinh là rất khó khăn, đòi hỏi người giáo viên phải có kiến thức, kinh nghiệm, thường xuyên nghiên cứu, đặc biệt phải có nghệ thuật sư phạm.
 Nhưng những sự hình thành đó chỉ có thể có được thông qua con đường chuyển biến và chuyển hoá tự thân của chủ thể học sinh dưới tác động của nhà trường, gia đình và xã hội. Người học sinh càng tích cực tham gia một cách tự giác và có ý thức vào quá trình học bao nhiêu thì kết quả của việc giáo dục càng vững chắc, sâu sắc bấy nhiêu. 
Song khi học các môn khoa học tự nhiên nói chung và học môn toán nói riêng thì học sinh gặp phải một vấn đề khó khăn nhất là giải bài tập. Mà bài tập toán có ý nghĩa và vai trò vô cùng quan trọng, bởi lẽ nó giúp học sinh củng cố kiến thức một cách chắc chắn nhất. 
Trong thực tế giảng dạy tại Trung tâm GDTX thị xã tôi thấy khi học đến chương Đạo Hàm và Tích Phân thì các em học sinh tỏ ra lúng túng. Có lẽ nguyên nhân là do các em chưa nắm chắc lý thuyết và các em hầu hết chưa được va chạm với nhiều dạng bài tập. Điều này đã gây nhiều khó khăn cho học sinh, nhất là các học sinh khối 12 cần tập trung kiến thức cho kỳ thi tốt nghiệp và thi đại học, cao đẳng.
 Chính vì vậy để nâng cao hiệu quả giảng dạy, trong đề tài này tôi xin được bàn về vấn đề:”Kinh nghiệm hướng dẫn học sinh giải bài toán tích phân"
Phần II : Nội dung
Cơ sở khoa học: 
Nguyên hàm và tích phân là những nội dung quan trọng trong chương trình Toán lớp 12. Những bài toán phần tích phân vừa mới vừa khó và các loại toán lại đa dạng nên đã gây không ít khó khăn cho học sinh.
Mặt khác nội dung sách giáo khoa lớp 12 chỉ dừng lại ở những nội dung cơ bản nhất và ba phương pháp cơ bản để tính tích phân. Phần kỹ năng mới dừng lại ở mức minh hoạ, từ các kiến thức và kỹ năng đó tới các kiến thức và kỹ năng để giải các bài toán thi vào các trường mà các em có nhu cầu học lên còn một khoảng cách khá xa. Chính vì vậy khi giảng chương này chúng ta cần :
 -Xác định những kiến thức kỹ năng cơ bản cần khắc sâu trong khi giảng dạy lý thuyết:
1/ Định lý Lagrang:
Là một định lý quan trọng nhất trong phép tính vi phân. Tuy ta công nhận không chứng minh song phải làm cho học sinh nắm vững các điều kiện của định lý từ đó áp dụng các bài toán về:
a) Chứng minh bất đẳng thức
b) Chứng minh sự tồn tại nghiệm trong khoảng (a;b) 
c) Chứng minh hàm số y=f(x) là không đổi trên một khoảng (a;b)
2/ Bảng các nguyên hàm cơ bản:
 Ngoài 9 công thức của sách giáo khoa. Chúng ta thêm bổ xung thêm các công thức tối thiểu là:
c) (a ạ 0)
d) (a ạ 0)
 3/ Tính tích phân xác định theo định nghĩa
a) Học sinh cần nắm vững 5 bước để tính giới hạn một tổng từ đó tính được tích phân . 
b) Ngược lại phải hướng dẫn học sinh làm những bài toán tìm giới hạn một tổng ta đưa về bài toán tích phân đơn giản I= rèn cho học sinh biết đưa tổng Sn về , từ đó tìm ra hàm f(x) tương ứng.
4/ Các định lý về tích phân:
 Ngoài các định lý có sẵn ở sách giáo khoa ta cần bổ sung thêm một số định lý thường được áp dụng trong bài tập:
a) =
b) Nếu y= f(x) là liên tục trên [-a; a] thì:
 0 Nếu f(x) là hàm số lẻ trên đoạn [-a;a]
 2 Nếu f(x) là hàm số chẵn trên đoạn [-a;a]
c) Nếu f(x) là hàm tuần hoàn với chu kỳ T thì:
=
d) " x ẻ [a;b]: 
e) " x ẻ [a;b] và m Ê f(x) Ê Mthì:
m(b-a) Ê Ê M(a-b)
5/Dùng vi phân để tìm nguyên hàm 
 Giúp cho học sinh trình bày một bài toán tích phân ngắn gọn
a) dy= y’ dx
b) 
c) Nếu u = ax+b (a ạ 0) thì 
II. Nội dung
A- Một số kiến thức và kỹ năng cơ bản bổ xung và rèn luyện trong quá trình giải từng loại bài tập:
 Ta phân loại các bài tập trong sách giáo khoa( hoặc sách tham khảo ). Tiến hành rèn luyện kỹ năng theo từng loại. Trước khi làm ta nêu các kiến thức cơ bản và kỹ năng riêng biệt cần nắm vững cho từng loại.
1/ Tích phân các hàm hữu tỷ;
 a) Các nguyên hàm cần nhớ:
 (a ạ 0)
 (a ạ 0)
 (a ạ 0) (n ạ 1)
Chú ý: + Khi gặp dạng ta chuyển thành X-m
 	 + ) ax2+ bx+ c= a[(x+m)2+ n] (a ạ 0)
 b) Phương pháp tính:
* Trường hợp 1:
Nếu bậc của P(x) lớn hơn bậc của Q(x) thì ta thực hiện phép chia P(x) cho Q(x) ta được:
 với bậc của R(x) nhỏ hơn bậc của Q(x).
Việc tính trở nên đơn giản, ta chỉ biến đổi ra dạng nguyên hàm cơ bản.
Dạng 1: Với Q(x) =ax2+bx=c(a ạ 0) đ bậc của R(x) Ê 1
Vậy 
 Khả năng 1:Q(x) có 2 nghiệm phân biệt x1;x2 đ
 Khả năng 2: Q(x) có nghiệm kép x0 đQ(x) = a(x-x0)2
 Từ đó : 
 	Khả năng 3: Q(x) vô nghiệm ta phân tích:
	Dạng II:Với Q(x) = ax3+bx2+cx+d (a ạ 0)
 đbậc của R(x) Ê 2 
 Khả năng 1: Q(x) có 1 nghiệm x0 đ q(x) = (x-x0)(ax2+ b x +g )
 Từ đó 
 (m,n,a ,b g là hằng số)
 Khả năng 2: Q(x) có dạng Q(x) = (x-a)3
 Ta phân tích R(x) = A(x-a)2+B(x-a) +C từ đó 
	Dạng III:
Với Q(x) có bậc lớn hơn 3 thì thông thường ta xét các Q(x) đơn giản.
* Trường hợp 2:
Bậc của P(x) nhỏ hơn bậc của Q(x) thì ta coi như R(x) và tiến hành các bước như trong các dạng I,II,III ở trường hợp 1.
*Phần bài tập: 1,2 (128)
Bài làm thêm :
Bài 1: Tìm nguyên hàm của các hàm số:
a) ; b) ; c) ; d) ;
e) ; h) 
 Bài 2: Tính các tích phân
a) ; b) ; c) ; d) 
e) ; f) ; g) ; l) 
2/ Tích phân các hàm vô tỷ:
A . Nhấn mạnh cho học sinh công thức nguyên hàm:
(a ạ 0) 
 Từ đó áp dụng tính 
B . Những dạng đổi biến thường gặp:
a) Đặt x=acost( hoặc asint)
(Vì : a2 –x2=a2- a2cos2t= a2sin2t đ khử được căn thức)
b) Đặt x = atgt
(Vì : a2 +x2= a2+ a2tg2t= a2 đ khử được căn thức)
c) Đặt 
(Vì : x2 –a2= đ khử được căn thức)
d) Đặt 
e) Chú ý phương pháp nhân cả tử và mẫu với biểu thức liên hợp.
* Bài tập áp dụng: 3,4(141,142)
* Bài tập bổ xung :
Bài 1: Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
a) ; b) ; c) ; d) 
e) ; f) 
Bài 2: Tính các tích phân:
a) ; b) ; c) 
d) 
e) Cho f(x) xác định liên tục trên [-1;1] và f(x) + f(-x) =
Tính 
f) g) h) 
3/ Tích phân các hàm lượng giác :
* Hướng dẫn học sinh một số thuật giải các bài tập lượng giác :
a) Đối với dạng (R là hàm số hữu tỷ)
Nếu Đặt cosx = t
 	( Hàm lẻ dối với sinx)
Nếu : R( sinx,- cosx) = - R(sinx,cosx) úĐặt sinx = t
 (Hàm lẻ đối với cosx)
Nếu : R( -sinx,- cosx) = R(sinx, cosx) úĐặt tgx = t
 (Hàm chẵn đối với sinx và cosx)
Nếu : R(sinx, cosx ) – Hàm bậc nhất đối với sinx và cosx 
Thì đặt ( phép thế vạn năng)
b) Đối với dạng :
 p= 2n+1 đ Đặt cosx= t ( n ẻ N*)
 q= 2n+1 đ đặt sinx = t
 p= 2n; q= 2m đ Dùng công thức hạ bậc 
(m,n ẻ N*) 
	 p+q = - 2n đ Đặt tgx = t	
c) Hạ bậc :
 ; ; ;
d)Biến tích thành tổng đối với các dạng:
	 ; ; 
e)Đổi biến : x = sint ; x= cost ; ; t = tgx ; x= p - t
f) Đối với dạng : 
 ta đặt đ 	 
g) Nếu gặp thì ta phân tích tử số :
 asinx +bcosx= A( csinx + dcosx)+ B( ccosx- dsinx)
h) 
Đặt msinx+ncosx+p = A( asinx + bcosx+c) + B(acosx – bsinx)+C
Chú ý: d(tgx)=(1+tg2x)dx; d(cotgx)=-(1+cotg2x)dx
Bài tập:1,3,5,6(141,142)
*Bài tập bổ xung:
Bài 1: Tìm nguyên hàm cuả các hàm số sau:
a) cos2x ; b) tg2x ; c) sin2xcosx ; d) 
e)sin3xcos2x ; f) ; g)
Bài 2: Tính các tích phân:
a) ; b) ; c) 
d) (a2+ b2 ạ 0) ; e) 
f) 
Bài 3: Tính tích phân:
a) ; b) ; c) 
d) ; e) ; g) 
4/ Tính diện tích và thể tích bằng tích phân:
Chú ý đến công thức tính thể tích :	
 hoặc 
Biết tách phương trình của một đường khép kín thành hai hàm tương ứng với hai nửa hình đó để áp dụng công thức:
 ; 
 hoặc 
* Bài tập sách giáo khoa: Bài tập trang 154,155
* Bài tập bổ xung:
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi :y=x2 và y2=x
Tính diện tích hình e-lip :
Tính thể tích gây nên bởi e-lip : khi quay quanh Ox.
Tính thể tích khối tròn xoay gây nên bởi hình chắn bởi các đường :
 Y= 2x-x2 ; y=0 khi quay quanh Ox.
5/Bất đẳng thức tích phân:
Vận dụng định lý Lagrang: Chú ý: 
Nếu f(x) Ê g(x) " x ẻ [a;b] thì Ê
Nếu $ x0 ẻ [a;b] mà f(x0)<g(x0) thì <
c)Nếu m Ê f(x) Ê M " x ẻ [a;b] thì : m(a-b) Ê Ê M(a-b)
* Phần bài tập: Trong chương trình đề cập ít đến vấn đề này, song trong những năm gần đây một số đề thi vào các trường có ra những bài toán về bất đẳng thức tích phân, bởi vậy tôi đưa ra những bài toán cơ bản nhất :
* Chứng minh rằng 
a) ; b) ; c) 
d) ; e) ; g) 
6/ Ap dụng định nghĩa tích phân để tìm giới hạn của dãy số:
Cho y=f(x) là hàm liên tục trên [0;1] thì :
Rèn luyện kỹ năng
Từ các số hạng của Sn biến đổi về: Sn = ( Với i= 1,2,3,, n)
Từ đó tìm ra f(x) và tính để thay cho 
B/ Bài tập:
1. Tìm giới hạn 
2. Cho : Tìm 
3. Cho : Tìm 
4. Cho : Tìm 
5. Cho: Tìm
6. Chứng minh rằng:
B/ Những sai lầm phổ biến khi giải toán nguyên hàm tích phân:
Dạng 1: Mất hằng số C:
Ví dụ:
* Sai lầm ở trên là do học sinh hay chọn hằng số C cho mọi phép tính nguyên hàm. Lời giải đúng là:
(với C = C1- C2)
Dạng 2: Không chú ý đến điều kiện khi đổi biến số:
Ví dụ: 
Đặt u =(x-1)2 đ du = 2(x-1)dx đI=0
* ở đây ta thấy học sinh có 2 sai lầm:
u= (x-1)2 không phải là hàm đơn điệu trên [0;2] nên không thể đổi biến, đổi cận được.
 Điều này chỉ xảy ra khi 1Ê x
* Lời giải đúng là:
* Chú ý : Đây là cách giải khắc phục cho cách giải sai lầm ở trên chứ không phải cách giải ngắn gọn và hay. Ta còn những cách giải đơn giản hơn.
- Cách 1:Đặt u=x-1 đ du= dx và 	x 0 2
	u -1 1	
Cách 2: Biến đổi trực tiếp
* Dạng 3: Không chú ý đến điều kiện tồn tại của tích phân:
Hàm số f(x) liên tục và bị chặn trên [a;b]
Ví dụ: Tính áp dụng Niutơn-Laibơnit:
 Liên tục đ Khả tích đ Bị chặn	
 không bị chặn đ Không khả tích
* Rõ ràng ta thấy hàm số không liên tục tại 0 ẻ [-1;2] nên không sử dụng được định lý Niutơn – Laibơnit.
Lời giải đúng :Hàm số không liên tục tại x=0 ẻ [-1; 2] và vậy hàm số không bị chặn trên [-1;2] nên tích phân không tồn tại.
Từ đây đ Khi sử dụng công thức Niutơn_Laibơnit phải chú ý điều kiện liên tục bị chặn của hàm số.
*Dạng 4:
Khi đổi biến t = j (x) hoặc x = j (t) học sinh không chú ý đến tính liên tục của j (x) hoặc j (t).
Ví dụ: Tính (Dùng phương pháp đổi biến)
Đặt đ do đó 
áp dụng định lý Niutơn – Laibơnit:
vì không xác định nên tích phân không xác định.
* Lý do sai ở chỗ khi đặt ta không chú ý điều kiện phải liên tục trên 
[0; p ] . và sai thứ hai là : kết luận sau khi không xác định ta chỉ kết luận cách đặt không thực hiện được.
* Lời giải đúng là:
*Dạng 5: Biến đổi biểu thức sai:
Ví dụ: Tính:
*Lời giải sai lầm ở chỗ: 
* Lời giải đúng là:
*Dạng 6: Học sinh mắc phải khi chứng minh bất đẳng thức :
Ví dụ:
Từ 
Hầu hết học sinh không quan tâm đến dấu bằng xảy ra khi nào?
Dễ thấy đẳng thức không xảy ra, ta lấy x=
Vậy ta chỉ có bất đẳng thức đúng là: 
(Chú ý bất đẳng thức này còn có thể chứng minh mạnh hơn là:)
Một số bài toán tương tự:
Tính:
a) ; b) ; c) 
d) e) 
Chú ý: - Đối với bài tập a) là: 
Đối với bài tập b) là: a nếu a ³0
 a =
 -a nếu a< 0
Đối với bài tập c) và d) là : tính liên tục và bị chặn của hàm số f(x)
C/ Một số bài toán tích phân giải bằng nhiều phương pháp:
Sau khi học sinh đã làm quen với 3 phương pháp ta đưa ra một số bài tập giải bằng nhiều phương pháp nhằm giúp học sinh củng cố những kiến thức đã học đồng thời biết phân tích, chọn lọc những cách giải hay, ngắn gọn để phát huy khả năng tư duy, sáng tạo của học sinh .
Thí dụ:
Bài 1: 
Đổi biến : Đặt x= sint với (
Từng phần:
 dv=dx
 đ 
áp dụng tính chất:
f(x) liên tục, không âm trên đoạn [a;b] thì là diện tích hình thang cong giới hạn bởi các đường x=a;x=b; y=0; y=f(x) ta có :là liên tục, không âm trên [0;1]. Bởi vậy:
 x2+ y2=1
 =DT: 0 Ê x Ê 1 =1/4 diện tích hình tròn tâm O(0;0)
 y>0
Bán kính R=1 đ I=
Bài 2:(Giải bằng 3 phương pháp)
*Trực tiếp: 
*Đổi biến: Đặt x=tgt đ dx=(1+tg2t)dt 
*T.P từng phần:
đ
u=x2 đ du= 2xdx
Bài 3: Tính 
*Đặt 
*Đặt 
*Đặt 
(vì 
Bài 4: Tính 
*C1:Dùng phép thế (vạn năng): đ
*C2: 
*C3: Nhân cả tử và mẫu với 1+sinx
ta được 
Bài 5: Tính K=
*Đổi biến 1: Đặt ex+1 =t đ và 
*Đổi biến 2: Đặt ex = t đ 
*Liên hợp:
Xét K’=
Và K+K’=
Vậy K=x – K’+C= x-ln(ex+1)+C =
* Một số bài toán tương tự:
a) ; b) ; c) 
d) 
Lời giải vắn tắt các bài tập:
Bài tập trang 4 và 5 : Tích phân các hàm hữu tỉ
Bài 1:a/ =đ A=1; B=-1 ; C=-1; 
b)Dùng tích phân cặp đôi (Đã giải ở phần trước)
đA= 1/4 ; B=3/4 ;C= -1/2
= ; f)Dùng vi phân
g) Như câu c) 
 h) 
 Bài 2:
a)Dùng vi phân b) =
c) ; d)
e) f) Vì x ẻ [1;2] đ chia cả tử và mẫu cho x2 ta được:
Phần g,h làm tương tự 
k) x 0 1	
 x-x2 - 0 + 0 -
đ k/=
* Tích phân các hàm vô tỉ :
Bài 1:
a) Đặt ; b) ; c)
d)
e)Đặt ; f)
g)
Bài 2: 
a) Dùng vi phân; b) Đặt x= sint
c); d/ dùng vi phân
e) Dùng tính chất hàm lẻ đ kq=0
f)
Bài tập trang 7
Bài 1:a/ hạ bậc; b / tg2x=(tg2x+1)-1 đ
c,d/ Dùng vi phân, e/ Biến tích thành tổng
 g/ Dùng tích phân cặp đôi hoặc đặt ; h,k /đổi biến
Bài 2: 1,2/ Dùng vi phân
3/ Đặt 
4/ 
8/ sinx=A(cosx+2sinx)+B(-sinx+2cosx) đ A= 2/5;B= -1/5
Bài 3:
tg7x= tg7x+ tg5x- tg5x- tg3x +tg3x + tgx – tgx
b)Đặt cosx =t đ sinxdx=-dt đb/=
c) sinx+2cosx-3=A(sinx-2cosx+3)+B(cosx+2sinx)+C đA=-3/4;B=1/2;C=-3/4
d) đặt cosx =t đ sinxdx=-dt ; e) hạ bậc; f) Đặt sinx = t
Bài tập trang 9:
2/ với f(x) = x5. Vậy 
Phần III : kết luận chung và đề xuất
 Qua giảng dạy, bản thân tôi rút ra kinh nghiệm bước đầu là giáo viên phải giải thật kỹ mọi bài tập trong sách giáo khoa, trong sách bài tập, trong các sách tham khảo, sau đó sắp xếp, phân loại và tìm ra kiến thức và kỹ năng cơ bản.
Trên cơ sở đó đối chiếu với sách giáo khoa thấy rõ những kiến thức kỹ năng nào cần đi sâu, những kiến thức kỹ năng nào cần bổ sung, những kiến thức kỹ năng nào mà học sinh hay mắc sai lầm.
1/ Khi giảng dạy một định lý hay một công thức thì yêu cầu học sinh phải nắm chắc giả thiết, kết luận, các điều kiện tồn tại của định lý.
2/ Khi thực hiện giờ bài tập cần phân loại dạng bài để học sinh dễ nhận dạng, dễ hiểu và có hướng giải quyết, biết vận dụng vào từng loại bài tập cụ thể.
3/. Phải chọn lọc ra các loại bài tập điển hình, định hướng suy nghĩ và hướng dẫn học sinh tìm lời giải và giải bằng nhiều cách. Yêu cầu của một bài tập là:
Củng cố kiến thức và kỹ năng tính toán
Phát huy tính tư duy sáng tạo
Có tác dụng phục vụ cho các bài học sau
4/. Để có thể nâng cao chất lượng dạy và học trong nhà trường tôi thiết nghĩ không gì khác là chính bản thân người giáo viên và các em học sinh phải nỗ lực bản thân, song để có thể đạt được kết quả giáo dục tốt nhất thì sự quan tâm của các cấp lãnh đạo trong ngành giáo dục là rất cần thiết, tôi xin có đề xuất như sau: 
	- Có thể đưa các đề tài SKKN có chất lượng lên trang web của ngành để các giáo viên được học tập kinh nghiệm của các đồng nghiệp khác.
Tạo điều kiện để các giáo viên trẻ được đi học tập kinh nghiệm của các đồng chí có thâm niên công tác.
Do thời gian công tác chưa nhiều nên đề tài chắc chắn còn nhiều thiếu sót. Kính mong các đồng nghiệp đóng góp ý kiến để kinh nghiệm đạt hiệu quả hơn. 
Tôi xin chân thành cảm ơn.
Mục lục
	Trang
 1. Phần I: Đặt vấn đề	1
 2. Phần II: Nội dung	3
 I. Cơ sở lý luận	 3
 4. II. Nội dung	 3
5. A. Một số kiến thức kỹ năng bổ xung	5
6. B.. Những sai lầm phổ biến khi giải toán	11
7. C. Một số bài toán tích phân giải bằng nhiều phương pháp
8. III. Hiệu quả sáng kiến kinh nghiệm	21
9. Phần III. Kết luận chung và đề xuất	20
Sách tham khảo
1. Báo toán học tuổi trẻ 
2. Phương pháp giảng môn toán
3. Phương pháp tính tích phân (Nguyễn Hữu Ngọc)
Sai lầm phổ biến khi giải toán ( Nguyễn Vĩnh Cận)
Đề thi tuyển sinh Bộ Giáo dục đào tạo
Giải tích lớp 12