Đề tài: Chứng minh bất đẳng thức và các ứng dụng

a. đặt vấn đề
1. lý do chọn đề tài
 Toán học là một khoa học tự nhiên, toán học ra đời từ rất sớm nhằm đáp ứng nhu cầu đo đạc ruộng đất và xây dựng nhà cửa. Càng ngày xã hội loài người càng tiến dần lên ở mức độ cao hơn và đến nay đang đang ở trình độ cao nhất từ mà loài người chưa từng có. Do đó toán học củng không nằm ngoài quy luật phát triển từ sơ khai đến hiện đại.
 Toán học nghiên cứu rất nhiều, rất đa dạng và phong phú. Trong đó các bài toán về bất đẳng thức là những bài toán khó , để giải được các bài toán về bất đẳng thức, bên cạnh việc nắm vững khái niệm và các tính chất cơ bản của bất đẳng, còn phải nắm được các phương pháp chứng minh bất đẳng thức.
 Có nhiều phương pháp để chứng minh bất đẳng và ta phải căn cứ vào đặc thù của mỗi bài toán mà sử dụng phương pháp cho phù hợp. Mỗi bài toán chứng minh bất đẳng thức có thể áp dụng được nhiều phương pháp giải khác nhau , cũng có bài phải phối hợp nhiều phương pháp một cách hợp lí mới giải được.
 Bài toán chứng minh bất đẳng thức được vận dụng nhiều vào các dạng bài toán giải và biện luận phương trình, bất phương trình, hệ phương trình đặc biệt , tìm giá trị lớn nhất , nhỏ nhất của biểu thức ...và đề thi học sinh giỏi huyện, thành phố, tuyển sinh vào lớp 10 thường có bài toán bất đẳng thức, trong khi đó sách giáo khoa phổ thông lại trình bày...Vì vậy học sinh cần thiết phải nắm được những kiến thức cơ bản về bất đẳng thức .
 Trong thực tế ở trường THCS , học sinh gặp nhiều khó khăn khi giải các bài toán liên quan về bất đẳng thức , vì các bài toán chứng minh bất đẳng thức thường không có cách giải mẫu, không theo một phương pháp nhất định nên học sinh không xác định được hướng giải bài toán . Mặt khác vì nhận thức của học sinh THCS còn có nhiều hạn chế và khả năng tư duy chưa tốt do đó học sinh còn lúng túng nhiều và không biết vận dụng kiến thức vào giải các dạng bài tập khác .
 Trong nội dung của đề tài này xin được tập trung giới thiệu các tính chất cơ bản, một số phương pháp hay được sử dụng khi chứng minh bất đẳng thức như : dùng định nghĩa , biến đổi tương đương , dùng các bất đẳng thức đã biết , phương pháp phản chứng, tam tức bậc hai ., một số bài tập vận dụng và các ứng dụng của bất đẳng thức nhằm giúp học sinh bớt lúng túng khi gặp các bài toán về chứng minh hay vận dụng bất đẳng thức , giúp học sinh có thể tự định hướng được phương pháp chứng minh, giải các bài toán liên quan và hứng thú hơn khi học về bất đẳng thức nói riêng và bộ môn Toán nói chung . 
Qua đề tài (một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức và ứng dụng của bất đẳng thức ) tôi muốn giúp học học sinh có thêm một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức đó là lý do tôi chọn đè tài này, khi nghiên cứu không tránh khỏi những sai sot mác phải rất mong được sự góp ý của các thày cô giáo, các bạn để đề tài được hoàn thiện hơn, tôi xin chân thành cảm ơn!
2. Nhiệm vụ nghiên cứu. 
 - kỹ năng giải các bài toán chứng mih bất đẳng thức
 - kỹ năng vận dụng bất đẳng thức để giải các bài toán: Tìm giá trị lớn nhất-nhỏ nhất, giải hệ phương trình, phương trình nghiệm nguyên, phương trình vô tỉ.
3. đối tượng nghiên cứu.
 - Học sinh trung học cơ sở
 - Các phương pháp chứng minh bất đẳng thức và ứng dụng của nó.
4- Phương pháp nghiên cứu :
Qua quá trình học tập từ trước đến nay, tham khảo tài liệu, thu thập tài liệu, đúc rút, tổng kết kinh nghiệm, kiểm tra kết quả kiểm tra chất lượng học sinh, nghiên cứu hồ sơ giảng dạy, điều tra trực tiếp thông qua các giờ học, thể hiện trên nhiều đối tượng học sinh khác nhau : Học sinh giỏi, khá và học sinh trung bình về môn Toán
5. phạm vi nghiên cứu.
 Giới hạn ở phần chứng minh bất đẳng thức và các ứng dụng của bất đẳng thức ở chương trình toán trung học cơ sở
b. GIảI QUYếT VấN Đề.
Phần I. Cơ sở lý luận.
 Để giải được bài toán đòi hỏi mổi người phải đọc kỹ bài toán xem bài toán yêu cầu cái gì, phải sử dụng những phương pháp nào để giải, đã gặp bài toán nào đã giải có dạng tương tự như bài toán đó hay không để từ đó có thể tìm ra cách giải. Đối với học sinh trung học cơ sở việc vận dụng khiến thức lý thuyết, nhận dạng bài toán để tìm ra cách giải chưa được rèn luyện nhiều đôi lúc trình bày vấn đề này còn sơ sài.
 Khi nghiên cứu về bất đẳng thức ta thấy rằng nó thật sự có tác dụng rèn luyện và phát huy khả năng tư duy để giải toán không chỉ riêng gì bất đẳng thức mà còn giải các dạng toán khác bởi muốn giải được nó đòi hỏi phải thật sự có một kiến thức toán học rất lớn.
 Phương pháp để giải các bài toán bất đẳng thức không ở đâu xa xôi ngoài chương trình của các em học sinh trung học cơ sở. Nhưng việc các em vận dụng nó như thế nào đó là vấn đề cốt lỏi. Muốn làm được điều đó đòi hỏi học sinh phải thật sự nắm vững kiến thức, phải có lập luận lôgic, xét đầy đủ các mặt khác nhau của bài toán, nhận dạng được bài toán. Đặc biệt các học sinh khá giỏi phải linh hoạt, sáng tạo không chỉ giải được bài toán mà còn phải khái quát được dạng của nó để đua ra phương pháp chung cho các bài toán khác tuơng tự.
 Khi giảng dạy cho học sinh các giáo viên phải rèn luyện cho các em nắm chắc phần lý thuyết, đưa ra các ví dụ minh hoạ cụ thể, các bài tập vận dụng, nên chú ý tạo cho các em cách nhìn nhận một bài toán để giải không nên giải tắt, làm tắt tạo cho học sinh khó hiểu thậm chí không hình thành được lôgic của toán học.
 Thời lượng chương trình dành cho bất đẳng thức ở phổ thông cơ sở là hạn chế. Do đó việc học tập và vận dụng thành thao cho các em sẻ khó khăn đói với các em có học lực trung bình, khá.
PHầN 2. nội dung của đề tài.
 i> các kiến thức cần lưu ý.
 1) Định nghĩa bất đẳng thức 
	+ a nhỏ hơn b , kí hiệu a < b 
	+ a lớn hơn b , kí hiệu a > b ,
	+ a nhỏ hơn hoặc bằng b , kí hiệu a b,
	+ a lớn hơn hoặc bằng b , kí hiệu a b ,
môt số tính chất của bất đẳng thức:
 a) Nếu và thì (tính chất bắc cầu) 
 b) Nếu và bất kì thì 
 Tức là: Khi cộng vào 2 vế của bất đẳng thức với cùng một số bất 
 kì thì bất đẳng thức không đổi chiều.
 c) Nếu thì 
 Tức là: Ta có thể chuyển một số hạng của bất đẳng thức từ vế này 
 sang vế kia và phải đổi dấu số hạng đó.
 d) Nếu và thì 
 Tức là: Nếu cộng vế với vế của 2 bất đẳng thức cùng chiều ta được 
 một bất đẳng thức cùng chiều.
 Chú ý: Không được cộng vế với vế của 2 bất đẳng thức ngược chiều
 e) Nếu và thì 
 Tức là: Nếu trừ vế với vế của 2 bất đẳng thức ngược chiều ta được
 một bất đẳng thức cùng chiều với bất đẳng thức bị trừ.
 Chú ý: Không được trừ vế với vế của 2 bất đẳng thức cùng chiều.
 f) Nếu và thì 
 Nếu và thì 
 Tức là: 
 Nhân 2 vế của một bất đẳng thức với cung một số dương thf 
 bất đẳng thức không đổi chiều
 Nhân 2 vế của một bất đẳng thức với cùng một số âm thì bất 
 đẳng thức đổi chiều.
 g) Nếu và thì 
 Tức là: Nếu ta nhân vế với vế hai bất đẳng thức cùng chiều có các 
 vế đều dương thì ta được một bất đẳng thức cung chiều.
 Chú ý: Không được nhân vế với vế của hai bất đẳng thức ngược
 chiều.
 h) Nếu thì 
 Tức là: Nếu nhân 2 vế của bất đẳng thức đều dương thì phép lấy
 nghịch đảo dổi chiều của bất đẳng thức.
 k) Nếu và nguyên dưong thì 
 Nếu và nguyên dưong thì 
3. Một số bất đẳng thức thông dụng
 + 
 + 
 + 
 + . Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi Cùng dấu
 + . Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi hoặc 
 + 
 + 
 + . (Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi )
 + (Với cùng dấu)
Chú ý: Để chứng minh một bất đẳng thức có nhiều cách, tuỳ thuộc vào từng dạng của bài toán. Sau đây là một số cách thường dùng.
II> các phương pháp chứng minh bất đẳng thức.
1. Pương pháp sử dụng định nghĩa
 Để chứng minh (hoặc ) ta chứng minh 
 (hoặc )
 - Lưu ý : A2 0 với mọi A ; dấu '' = '' xảy ra khi A = 0 .
 - Ví dụ : 
Bài toán 1.1.
 Chứng minh bất đẳng thức Côsi đối với hai số thực không âm ( còn
 gọi là bất đẳng thức Ơclit )
 Dấu “ = “ xảy ra khi và chỉ khi 
 Thật vậy, 
 Với mọi Dấu “ = “ xảy ra khi và chỉ khi .
Bài toán 1.2. 
 Chứng minh với mọi số thực 
Phân tích:
 Đây là một đẳng thức khá quen thuộc, ta có thể giải bằng cách xét 
 hiệu vế trái và vế phải.
Lời giải:
 Xét hiệu 
 =
 = 
 Vậy 
 Dấu “=” xảy ra 
 Do đó 
Khai thác bài toán:
Bằng phương pháp xét dấu của hiệu ta xét được sự đúng đắn 
 của bất đẳng thức . Để ý rằng với 2 số thực bất kì ta 
 củng có:
tương tự như chứng minh trên ta có thể chứng minh bài toán sau
Bài toán 1.3 .
 Với mọi số : x, y, z chứng minh rằng : x2 + y2 + z2 +3 2(x + y + z)
Lời giải:
 Ta xét hiệu : H = x2 + y2 + z2 +3 - 2( x + y + z)
 = x2 + y2 + z2 +3 - 2x - 2y - 2z 
 = (x2 - 2x + 1) + (y2 - 2y + 1) + (z2 - 2z + 1)
 = (x - 1)2 + (y - 1)2 + (z - 1)2
 Do (x - 1)2 0 với mọi x
 (y - 1)2 0 với mọi y
 (z - 1)2 0 với mọi z
 	=> H 0 với mọi x, y, z 
 Hay x2 + y2 + z2 +3 2(x + y + z) với mọi x, y, z .
 Dấu bằng xảy ra x = y = z = 1.
Khai thác bài toán:
 Tương tự ta có thể chứng minh bài toán sau:
 Cho a, b, c, d, e là các số thực :
	Chứng minh rằng : a2 + b2 + c2 + d2 + e2 a(b + c + d + e)
Bài toán 1.4. 
 Chứng minh rằng:
 với mọi cùng dấu
Lời giải:
 Ta có: 
 cùng dấu > 0 0
 Vậy dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi hay 
Khai thác bài toán:
Chứng minh tương tự như trên ta có thể chứng minh được bài 
 Toán sau
Hướng dẩn:
Dấu bằng sảy ra khi 
1.4.2 
 Chứng minh bất đẳng thức: với a ,b là cạnh
 góc vuông của tam giác ABC, còn c là cạnh huyền.
Hướng dẩn:
 Ta có : 
	ab + bc + ca < 2.c2
	hay ab + bc + ca < a2 + b2 + c2
Xét: a2 + b2 + c2 – ab – bc – ca = 
Bài toán 1.5.
 Chứng minh rằng nếu thì:
Phân tích:
 Củng có thể xét hiệu 2 vế thì mới sử dụng được giả thiết 
 ()
Lời giải:
 Xét hiệu: 
 Khai thác bài toán:
Với 3 số dương mà , bất đẳng thức sau đúng hay 
 sai?
 Chúng ta có thể phát triển bài toán tổng quát hay không? Nếu 
 được, hãy phát biểu bài toán tổng quát.
 - Với 2 số mà ta có:
2. Phương pháp biến đổi tương đương
 - Để chứng minh ta biến đổi tương đương 
 trong đó bất đẳng thức cuối cùng là một bất đẳng thức hiển
 nhiên đúng hoặc là bất đẳng thức đơn giản hơn bất đẳng thức 
 . Sau khi khẳng định được tính đúng đắn của bấtđẳng thức 
 ta kết luận bất đẳng thức đúng
 - Một số hằng đẳng thức thường dùng : 
 (A+B)2=A2+2AB+B2
 (A-B)2=A2-2AB+B2
 (A+B+C)2=A2+B2+C2+2AB+2AC+2BC
 (A+B)3=A3+3A2B+3AB2+B3
 (A-B)3=A3-3A2B+3AB2-B3
Bài toán 2.1.
 Chứng minh rằng thì
Lời giải.
 Bất đẳng thức đang xét tương đương với bấ đẳng thức sau:
 (nhân hai vế với 4, chuyển vế)
 .
Bài toán 2.2. 
 Cho là các số thực. Chứng minh rằng:
Lời giải:
 Bất đẳng thức
 đúng
 Điều cần chứng minh
Khai thác bài toán:
 Tương tự như bài toán trên hãy chứng minh bất đẳng thức sau:
 Cho là các số thực. Chứng minh rằng:
Bài toán 2.3. 
 chứng minh rằng
Lời giải:
 Ta có: 
 Vậy 
Bài toán 2.4. 
 Chứng minh rằng (1)	
Lời giải.
 Ta có: (1) 
 (2) đúng (1) đúng
Bài toán 2.5. 
 Chứng minh rằng
 (1)
Lời giải:
 (1) (2)
 (2) đúng (1) đúng
Khai hác bài toán:
 Tương tự như trên ta có thể chứng minh bài toán sau
 2.5.1
Hướng dẩn:
2.5.2
Hướng dẩn:
3. Phương pháp quy nạp toán học
 - Kiến thức : Để chứng minh một bất đẳng thức đúng với n > 1 
 bằng phương pháp quy nạp toán học , ta tiến hành :
	 + Kiểm tra bất đẳng thức đúng với n = 1 (n = n0)
	 + Giả sử bất đẳng thức đúng với  ... n:
 Với kí hiệu như câu a thì tử là tử là 
 Đặt , cần chứng minh 
22> Hướng dẩn: 
 Theo quy nạp
 Với ta có :
 Dể dàng chứng minh được 
Do đó 
23> Hướng dẩn:
Cách 1: Ta nhìn tổng dưới dạng một tích 1() và áp 
 dụng bất đẳng thức Cô-si ta có:
 Tương tự 
 Cộng vế theo vế ta được 
 Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi 
 trái với giả thiết 
 suy ra 
 Cách 2: Đặt . áp dụng bất 
 đẳng thức
 (Dể chứng minh được)
 Suy ra điều cần chứng minh.
b) Cách 1: 
 áp dụng bất đẳng thức Bunhacôpski với hai bộ 3 số 
 suy ra điều cần chứng minh.
 Cách 2: 
 Đặt .
 áp dụng bất đẳng thức suy ra 
 điều phải chứng minh. 
24> Hướng dẩn: 
 Từ 
 Vậy (1) 
 (2)
 Nếu thì (2) đúng (1) đúng
 Nếu , khi đó
 (2) 
 Ta xem vế trái của (3) là tam thức bậc hai của có hệ số của 
 là và 
 Từ 
 Tương tự 
. 
 Vậy 
 < 
 Nên vế trái của (3) luôn lớn hơn 0.
 Suy ra (1) được chứng minh. Dấu “=” xảy ra khi 
25> Hướng đẩn:
 Từ và do nên chắc chắn là 
 Ta có: 
 Xét tam thức bậc hai ta có hệ số của 
 là 1 > 0
 Và . Theo định lý thuận về dấu của 
 Tam thức bậc hai thì
 >0 với mọi 
 Suy ra (1) đúng 
 Suy ra điều cần chứng minh.
26> Hướng dẩn:
 Nếu thì từ giả thiết ta có 
 Bất đẳng thức cần chứng minh có dạng 
 Từ (1) suy ra . Vậy (2) đúng suy ra (1) đúng. 
 Nếu xét tam thức bậc hai 
 Từ suy ra từ giả thiết ta có 
 Theo định lý đảo về dấu của tam thức bậc hai suy ra phương trình 
 có hai Nghiêm phân biệt. 
 Hay 
 Suy ra điều cần chứng minh.
27> Tự giải
28> Tự giải
29> Hướng dẩn:
 a) Dùng bất đẳng thức Côsi cho 3 phần tử
 b) Tính hiệu 
30> Hướng dẩn:
 a) Bình phương 2 vế
 b) Chuyển vế, đưa về là đúng 
 vì nên 
31> Hướng dẩn:
 a) áp dụng hai lần bất đẳng thức Côsi cho ba phần tử và 
 b) Bình phương 2 vế để đi đến kết quả đúng 
32> Hướng dẩn:
 a) Vì nên bất đẳng thức cần chứng
 minh tương đương với 
 . 
 Khai triển ta được bất đẳng thức đúng.
 b) Đặt khi đó 
 Ta có: 
 Do nên . Vậy (ĐPCM)
33> Hướng dẩn:
 a) Nhân hai vế với 2, ta có bất đẳng thức đúng
 b) Nhân hai vế với 2, ta có bất đẳng thức đúng
 c) Tương đương với , hằng đúng
34> Hướng dẩn:
 Dùng tam thức bậc hai với ẩn có là tam thức bậc hai đối với ,
 Ta có , từ đó suy ra điều phải chứng minh
35> Hướng dẩn:
 Chỉ cần chứng minh cho trường hợp có cùng dấu dương.
 Trường hợp trái lại thì bất đẳng thức hiển nhiên. Ta có
 Vì và nên 
 Thay vào (1) ta được:
36> Hướng dẩn:
 a) Dùng bất đẳng thức Côsi cho hai số và 1
 b) Dùng bất đẳng thức Côsi cho hai số và 9
 c) Dùng bất đẳng thức Côsi, ta có
 và 
 Nhân 2 vế, ta có ĐPCM
37> Hướng dẩn:
 a) Ta có , , 
 Nhân 2 vế với các bất đẳng thức trên, ta được ĐPCM
 b) Khai triển vế trái, dùng bất đẳng thức Côsi cho 6 số và để ý
38> Hướng dẩn:
 a) Dùng bất đẳng thức Côsi-Bunhacôpski, ta có
 (do )
 Vậy 
 b) Dùng bất đẳng thức Côsi-Bunhacôpski, ta có
 Từ đó suy ra ĐPCM.
39> Hướng dẩn:
 Dùng bất đẳng thức Côsi-Bunhacôpski cho các số 
 ta có
 Từ đó suy ra ĐPCM
40> Hướng dẩn:
 Dùng bất đẳng thức Côsi-Bunhacôpski cho các số và
 ta có:
 áp dụng cho và ta có:
 Cộng vế với vế (1) và (2) ta có:
41> Hướng dẩn:
 a) ta có
 Cộng vế theo vế ta thu được điều cần chứng minh
 b) ta có 
 Cộng vế với vế với vế ta được điều cần chứng minh.
42> Hướng dẩn:
 a) Dùng bất đẳng thức Côsi cho số dương.
 b) Dùng bất đẳng thức Côsi cho số dương và 
 chất khai căn bậc 2 được đối với bất đẳng thức có hai vế dương.
43> Hướng dẩn:
- Cách 1 
Ta có : = ≤ ( + ) ≤ ( + + + )
Tương tự: 
≤ ( + + + )
≤ ( + + + )
Cộng theo vế 3 BĐT trên:
 + + ≤ . 4 ( + + + )
Mà + + + = 4
Vậy + + ≤ 1
Dấu “=” xảy ra khi x = y = z = 
- Cách 2: 
Ta có = ≤ (+) ≤ + (+) =+ + 
Tương tự: ≤ ++
 ≤ + + 
 Cộng theo vế các BĐT:
 ++ ( + + )=1
 Vậy ++ 1
44> Hưóng dẩn:
Xét x - 2y - y + 20 +100 = 
45> Hưóng dẩn:
	Theo giả thiết: x + y < xy
	Ta đưa về dạng: (x - 1).(y - 1) > 1 x > 1; y > 1;
	Theo biểu thức Côsi ta có: 	 x + y > 4	
46> Hưóng dẩn:
Ta có (*),
giả sử theo giả thiết: 
 điều đó ngược với
 và 
Từ (*) ta có: 
Mặt khác: 
ĐPCM.
47> Hưóng dẩn:
Biến đổi biểu thức về dạng:
48> Hưóng dẩn:
Ta có: 
 = 
Vậy tỉ số lớn nhất bằng 100, dấu =xảy ra khi c = 0, b = 0
49> Hưóng dẩn:
	Nếu thì 
	Ta giả sử 
 Thì từ 
 ta có 
50> Hưóng dẩn:
	Biến đổi vế trái về dạng:
51> Hưóng dẩn:
	Thật vậy: 
	 (*)
52> Hưóng dẩn:
	Bất đẳng thức đã cho có thể viết:
	x, y, z là 3 cạnh của tam giác nên mỗi nhân tử đều lớn hơn 0 . 
 Vậy bất đẳng thức không thể xảy ra .
53> Hưóng dẩn:
	Biến đổi
	Vì a, b, c dương, và a + b > c, b + c > a, c + a > b
	Vậy (a + b)(b + c)(c + a) > 5abc
54> Hưóng dẩn:
 4() - 4=
 = 
55> Hướng dẩn:
Ta có 
 a3 + b3 + 3.abc = (a - b)(a2 – ab + b2) + 3.abc >
 c.(a2 – ab + b2) + 3.abc 
 = c.(a2 + 2.ab + b2) = c.(a + b)2 > c.c2 = c3
56> Hưóng dẩn:
	 ab + bc + ca < 2.c2
	Hay ab + bc + ca < a2 + b2 + c2
Xét: a2 + b2 + c2 – ab – bc – ca = 
57> Hướng dẩn: 
Ta viết : 0 a b c 1
	(1 – a ).(1 – b) 0
	 a + b 1 + ab 1 + 2.ab
	 a + b + c a + b + 1 2 + 2.ab
	1 + ab 1 + ac 1 + bc
vậy 
58> Hướng dẩn: 
59> Hướng dẩn:
 Cách 1> 
 Ta có 
 Cộng vế với vế ta được 
Cách 2 
Hướng dẩn: 
61> Hướng dẩn: 
 Ta có 
 Lại có 
62> Hướng dẩn:
 Ta có 
 Tương tự 
63> Hướng dẩn:
 Lại có 
 Vậy 
64> Hướng dẩn:
 áp dụng bất đẳng thức Côsi
 Tương tự 
 Cộng vế với vế ta được điều phải chứng minh
65> Hướng dẩn:
 áp dụng bất đẳng thức Côsi 
 Tương tự 
 Cộng vế với vế ta được: 
66> Hướng dẩn: 
áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số không âm và 
67> Hướng dẩn:
 Giả sử ngược lại cả bốn đẳng thức đều đúng . 
 Nhân từng về ta có : 
 2.3.8.32a(1 - b)b(1 - c)c(1 - d)d(1 - a) > 2 .3
 	=> (1)
 Mặt khác , áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có :
 => a(1 - a) 
 Tương tự : b(1 - b) 
 c(1 - c) 
 d(1 - d) 
 Nhân từng về các bất đẳng thức ; ta có :
 (2)
 Từ (1) và (2) suy ra vô lý .
 Điều vô lý đó chứng tỏ ít nhất một trong 4 bất đẳng thức cho trong 
 đầu bài là sai .
69> Hướng dẩn:
 Ta có : p - a = 
 Tương tự : p - b > 0 ; p - c > 0 ; 
 áp dụng kết quả bài tập (3.5) , ta được ; 
 Tương tự : 
 => 
 => điều phải chứng minh .
 Dấu '' = '' xảy ra khi : p - a = p - b = p - c a = b = c .
 Khi đó tam giác ABC là tam giác đều .
tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhấ
70> Hướng dẩn:
 áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta được
 khi 
71> Hướng dẩn:
 a) 
 Hướng dẩn: Xét ta được
 với , với x=0
 b) 
 Hướng dẩn: Xét ta có 
 áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta được
72> Hướng dẩn:
 áp dụnh bất đẳng thức Bunhacôpski ta được
73> Hướng dẩn: 
 áp dụng bất đẳng thức Côsi và Bunhacôpski ta được
74> Hướng dẩn: 
 Cách 1: 
 áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương ta được
 Cách 2. 
 Dùng bất đẳng thức Bunhacôpski 
75> Hướng dẩn: 
 Ta có ; ; 
 Suy ra 
 Mặt khác, để chứng minh rằng nếu thì 
 Do đó . 
 Vậy 
76> Hướng dẩn: 
 , do đó lớn nhất khi và chỉ khi lớn nhất
 ( Bunhacôpski)
77> Hướng dẩn:
 áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 2 số và 
 Vậy hoặc 
78> Hướng dẩn:
79> Hướng dẩn:
Ta có 
Từ 
áp dụng Côsi cho 4 số không âm 
 có 
áp dụng Côsi cho 4 số không âm
 có 
áp dụng Côsi cho 4 số không âm
 có 
Cộng vế với vế của 3 bất đẳng thức trên ta được 
80> Hướng dẩn:
81> Hướng dẩn:
 Ta có 
áp dụng Côsi cho 2 số không âm 
Ta có 
 áp dụng Côsi cho 2 số không âm 
 Ta có 
82> Hướng dẩn:
 Ta có 
83> Lời giải
Ta có Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi 
84> Hướng dẩn: 
 Ta có 
Có 
Lại có dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi 
85> Hướng dẩn:
 86> Hướng dẩn:
 Áp dụng bất đẳng thức : 
87> 
Điều kiện : . 
 Bất đẳng thức Cauchy cho phép làm giảm một tổng : 
 Ở đây ta muốn làm tăng một tổng. Ta dựng bất đẳng thức : 
 Cách khác : Xét A2 rồi dùng bất đẳng thức Cauchy.
Điều kiện : 
 Bất đẳng thức Cauchy cho phép làm trội một tích : 
 Ta xem các biểu thức là các tích : 
 Theo bất đẳng thức Cauchy : 
88> Hướng dẩn:
 Điều kiện Đặt = y ≥ 0, ta có : 
89> Hướng dẩn
 Áp dụng | A | + | B | ≥ | A + B | . min A = 2 Û 1 ≤ x ≤ 2 .
 áp dụng các bất đẳng thức đả biết
 áp dụng xét hiệu
90> Hướng dẩn
Tập xác định : (1)
Xét hiệu : (- x2 + 4x + 12)(- x2 + 2x + 3) = 2x + 9.
Do (1) nên 2x + 9 > 0 nên A > 0.
Xét : . Hiển nhiên A2 ≥ 0 nhưng dấu “ = ” không xảy ra (với A > 0). Ta biến đổi A2 dưới dạng khác :
A2 = (x + 2)(6 – x) + (x + 1)(3 – x) - 2 =
 = (x + 1)(6 – x) + (6 – x) + (x + 2)(3 – x) – (3 – x) - 2
 = (x + 1)(6 – x) + (x + 2)(3 – x) –
 2 + 3
= .
A2 ≥ 3. Do A > 0 nên min A = với x = 0.
91> Lời giải:
 Trước hết ta chứng minh : (*) (a + b ≥ 0)
Áp dụng (*) ta có : 
Có thể tính S2 rồi áp dụng bất đẳng thức Cauchy.
 92> Lời giải:
 . 
 min A = 18 với x = y = 2.
 93. Lời giải:
 Không mất tính tổng quát, giả sử a + b ≥ c + d. Từ giả thiết suy ra :
.
Đặt a + b = x ; c + d = y với x ≥ y > 0, ta có :
 ;
Chẳng hạn khi 
II. giải phương trình 
94> Hướng dẩn :
 a. Tóm tắt : ( + )2 2(2x - 3 + 5 - 2x) = 4
 + 2
 => MaxL = 2 khi x = 2 .
 b. TXĐ : 
 (*) + = x2 - 4x + 6 
 VP = (x - 2)2 + 2 2 , dấu '' = '' xảy ra khi x = 2 .
 => với x = 2 ( thoả mãn TXĐ ) thì VT = VP = 2 .
 => phương trình (*) có nghiệm x = 2 .
95> Hướng dẩn:
 TXĐ : -2 x 6.
 VP = (x - 3)2 + 4 4 . Dấu '' = '' xảy ra khi x = 3 .
 VT2 = (.1 + .1)2 (6 - x + x + 2)(1 + 1) = 16
 => VT 4 , dấu '' = '' xảy ra khi = ú x = 2 .
 => không có giá trị nào của x để VT = VP => Phương trình vô 
 nghiệm
96> Hướng dẩn:
 2 ; 3 => VT 5 .
 Dấu '' = '' xảy ra khi : ú 
 => phương trình có nghiệm : x = 2 ; y = 2 
kết luận
 Các bài tập về bất đẳng thức thường là tương đối khó đối với học sinh , nhưng khi hướng dẫn học sinh xong đề tài (một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức và ứng dụng của bất đẳng thức ), học sinh sẽ thấy rằng việc làm bài toán về bất đẳng thức sẽ rễ hơn . Đồng thời đứng trước bài toán khó cho dù ở dạng bài tập nào học sinh cũng có hướng suy nghĩ và tập suy luận , các em sẽ có tự tin hơn .
Chuyên đề còn có thể còn nhiều thiếu sót , rất mong được sự ủng hộ của các Thầy, Cô giáo Và các bạn để đề tài ngày càng hoàn thiện hơn. Nhân đây, tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới Ban giám hiệu nhà trường, ban 
chủ nhiệm Khoa Toán – Tin, đặc biệt là giảng viên.Th.S.NCS.Nguyễn Quang Hoè đã tạo điều kiện và trực tiếp hướng dẫn , giúp đỡ tôi hoàn thành đề tài này.
 Đồng Hới, ngày 12 tháng 12 năm 2008. 
 Sinh viên: Nguyễn Xuân Lương
Mục lục
************************************************************
tàI LIệU THAM KHảO
 Đại số sơ cấp và thực hành giải toán 
 Hoàng Kỳ( chủ biên) 
Bài tập cơ bản và nâng cao đại số 8
 (Phan Văn Đức-Ngyễn TháI Hoà - Nguyễn Thế Thựơng - Nguyễn Anh Dũng) 
Bài tập toán chọn lọc về BĐT
 (GS: Phan Huy Khải)
Nâng cao và phát triển toán 8
 (Vũ Hữu Bình)
Toán nâng cao đại số 8
 (Nguuyễn Vĩnh Cận)
Bất đẳng thức 
 (Trần Đức Huyên)
Toán nâng cao và các chuyên đề đại số 8
 (Vũ Dương Thụy: Chủ biên)
 Nguyễn Ngọc Đạm
8> Nâng cao và phát triển toán 8
 Vũ Hữu Bình).