Đề tài Bất đẳng thức và cực trị của hàm đa biến

Bất đẳng thức và cực trị của hàm đa biến
Ths.Phạm Huy Tân - Trường THPT Lương Tài
I/ Phương pháp biến đổi tương đương
Ví dụ 1. Cho ab ≥1. Chứng minh: 
Giải: Đpcm 	(đúng)
Bài tập áp dụng:
Cho a, b, c ≥1. Chứng minh
 Cho a, b, c, d, e ≥1. Chứng minh 
Cho	 Chứng minh 
Ví dụ 2. Cho a, b > 0, m và n là hai số nguyên dương. Chứng minh:
(am + bm)(an + bn) ≤ 2(am+n + bm+n)
ambn + anbm ≤ am+n + bm+n
Giải: Cả hai BĐT trên cùng tương đương với BĐT : (an-bn)(am-bm) ≥0 (đúng)
Bài tập áp dụng: Cho a, b, c dương. Chứng minh:
(a + b)(a2 + b2)(a3 + b3) ≤ 4(a6+ b6)
 với mọi n nguyên dương
 với abc =1
Ví dụ 3. Với mọi số thực a, b, c. Chứng minh: a2+ b2+ c2 ≥ab + bc + ca
Giải: Đpcm tương đương với (a - b)2+(b - c)2 + (c - a)2 ≥ 0 (đúng).
Bài tập áp dụng: Với mọi số thực a,b,c dương chứng minh:
a4 + b4 + c4 ≥ abc(a + b + c)
(ab + bc + ca)2 ≥ 3abc(a + b + c)
Bài tập tự luyện
Cho a≥b>0, c≥ . Chứng minh: 
Cho a, b, c dương. Chứng minh:
a)
b)
II. Phương pháp sử dụng bất đẳng thức Côsi
 Ví dụ 1. CMR:	 với mọi x1,x2,,xn dương
Giải: áp dụng BĐT Côsi ta có 	 
và 	 Nhân vế với vế 2 bất đẳng thức trên ta được Đpcm. Đẳng thức xảy ra khi x1= x2 == xn.
Bài tập áp dụng:
Với mọi a,b,c dương, chứng minh:
Với mọi tam giác ABC, chứng minh: 
Chú ý: Ta xem ví dụ 1 như một kết quả được áp dụng cho các ví dụ ở phần sau.
Ví dụ 2: Cho a, b, c dương. Chứng minh:
1)
2)
Giải: 
1) 
Chú ý: Có thể sử dụng BĐT Bunhia để chứng minh BĐT trên.
2) áp dụng BĐT Côsi ta có 	 Ta cũng có 2 BĐT tương tự như thế. Cộng vế với vế các BĐT đó lại ta được Đpcm.	
Chú ý : BĐT trên có thể chứng minh bằng cách sử dụng BĐT Bunhia hoặc có thể sử dụng kết quả của BĐT 1). 
Bài tập áp dụng :
1) Với mọi a, b, c dương chứng minh: 	
2) Cho a, b, c dương và abc = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
P = 
3) Với mọi tam giác ABC chứng minh	
Ví dụ 3: 
Với mọi a, b, x, y dương chứng minh
Với mọi a, b, c, x, y, z dương chứng minh 
Giải:
1)
2) 
Bài tập áp dụng:
Cho x, y,z dương và xyz =8. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Với mọi tam giác ABC tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Ví dụ 4 : Cho x, y, z dương và	Chứng minh 
Giải: Từ giả thiết và áp dụng BĐT Côsi ta có:
Ta cũng có thêm 2BĐT tương tự như thế. Nhân vế với vế các BĐT đó và thu gọn ta được Đpcm.
Bài tập áp dụng : Cho x, y, z, t dương và
Chứng minh 
Ví dụ 5 : Cho x, y dương,	 . Tìm giá trị nhỏ nhất của 	 
Giải : áp dụng Côsi ta có :
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi	 . Vậy minS = 5.
Ví dụ 6 : Cho x, y, z dương và x+y+z = 1. Tìm min của
Giải : áp dụng BĐT Côsi ta có :
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 	 . Vậy 
Bài tập áp dụng : Cho x,y, z dương và x+y+z = 1. Tìm giá trị lớn nhất của 
Ví dụ 7 : Cho x,y,z dương và x+y+z = 6. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Giải : áp dụng BĐT Côsi ta có :	 . Ta cũng có 2 BĐT tương tự như vậy. Công các BĐT đó lại ta được . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 
x = y = z = 2. Vậy minA = 6.
Bài tập áp dụng :
Cho x, y, z dương và x+y+z = 6. Tìm giá trị nhỏ nhất của 
Cho x, y, z dương và xyz = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của 
Ví dụ 8 : Cho x, y, z dương. Chứng minh:
Giải: áp dụng BĐT Côsi ta có: 	 . Ta cũng có 2BĐT tương tự như thế. Cộng vế với vế các đẳng thức ta được Đpcm
Bài tập áp dụng :
Cho x, y, z dương và xyz = 8. Tìm giá trị nhỏ nhất của
Cho x, y, z dương và xy + yz + zx = xyz. Chứng minh :
Ví dụ 9 : Cho x, y, z dương và 4x + 4y + 4z = 3. Tìm giá trị lớn nhất của 
Giải : áp dụng Côsi ta có : 
Ta cũng có 2 BĐT tương tự như thế. Cộng các phân thức đó lại ta được A≤3. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 	 .	Vậy maxA = 3. 
Bài tập áp dụng : Cho x, y, z, t dương và 5x+5y+5z +5t= 4. Tìm giá trị lớn nhất của
Ví dụ 10 : Cho x, y dương và 	Tìm giá trị nhỏ nhất của 
Giải : 
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y = 2. Vậy 
 Bài tập áp dụng : Cho x, y dương và x + y ≥ 4. Chứng minh:
Ví dụ 11 : Cho x, y, z dương và 	 . Tìm giá trị nhỏ nhất của 
Giải : 
Cách 1 : 
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi	 . Vậy 	 
Cách 2: 
Chú ý: Học sinh dễ bị sai lầm tìm ra minP = 6 ?!
Bài tập áp dụng: 
1) Cho x, y dương và x + y = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của
2) Xác định các góc của tam giác ABC để biểu thức sau nhỏ nhất
Ví dụ 12 : Cho x, y, z dương và x + y + z = 6 . Tìm giá trị nhỏ nhất của
Giải : 
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y = z = 2. Vậy minB = 24
Bài tập áp dụng
Cho x, y , z dương và x + y + z = 6 . Tìm giá trị nhỏ nhất của
Với mọi tam giác ABC tìm giá trị nhỏ nhất của 
Ví dụ 13 : Cho a, b, c, d dương. Chứng minh:
Giải: 
Ta có 	 . Ta cũng có 3 BĐT tương tự như vậy. Cộng các BĐT đó lại ta được Đpcm.
Bài tập áp dụng : Cho a, b, c, d dương. Chứng minh
1) 
2) 
Ví dụ 14 : Cho x, y , z dương tìm giá trị nhỏ nhất của
Giải : 
Mặt khác : 	. 
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y = z = 1. Vậy 
Lời bình: Còn có thể tìm được 5 cách giải khác sử dụng BĐT Côsi. Mời bạn thử sức!
Ví dụ 15: Cho a, b,c là các số thực dương thoả mãn điều kiện a2+b2+c2+abc = 4. Chứng minh rằng a+ b + c ≤ 3.
Giải: 
Cách 1: Đây là một BĐT có điều kiện. Một trong những phương pháp xử lí những bài toán này là khử điều kiện ngay từ đầu. Coi điều kiện a2+b2+c2+abc = 4 như phương trình bậc hai theo a, ta được
Một cách tự nhiên, áp dụng BĐT Côsi cho căn thức trong biểu thức trên, ta có đánh giá
Từ đó 
Cách 2: Đặt 	 , ta có
4 = a2+ b2 + c2+ abc 
= a2 + 2t2 + at2+(b2+ c2- 2t2) + a(bc - t2)
= 
Từ đây suy ra 	sẽ có đánh giá
Cách 3 : Từ điều kiện a2+b2+c2+abc = 4 ta suy ra 	 . Từ đó áp dụng BĐT Côsi cho các số 2 – a, 2 – b, 2 – c ta có 
Từ đó suy ra 	
Cách 4 : Cũng do điều kiện 	 đã gợi chúng ta đi đến phép thế lượng giác. Rõ ràng có thể đặt a= 2cosA và b =2 cosB, c = 2 cosC, với A, B là các góc nhọn. Khi đó, tính c theo a, b, ta được
Vậy c = 2cos C với 	. Như thế điều kiện a2 + b2 + c2 +abc = 4 đã được tham số hoá thành a = 2 cosA, b= 2cosB, c= 2cosC với 	 , A, B, C> 0. Yêu cầu của bài toán trở thành bất đẳng thức quen thuộc trong tam giác:
	Đó là một lời giải ngắn gọn cho bất đẳng thức
Bài tập áp dụng: Cho x, y, z dương và x2+ y2 + z2 + 2xyz = 1. Chứng minh
Bài tập tự luyện
1) Cho x, y dương. Chứng minh: 
2) Cho x > y > 0. Tìm giá trị nhỏ nhất của 
3) Cho x, y, z dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của 
4) Cho x, y không âm và x + y = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của 
5) Cho x, y dương và x + y < 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của
6) Cho 	 Chứng minh
7) Cho x, y dương và x + y = 5. Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức
a) A= x2y
b) B = x4y3
8) Cho a, b, c là các số dương. Chứng minh rằng
9) Cho a, b là các số dương. Chứng minh rằng
III. Phương pháp sử dụng bất đẳng thức Bunhia
 Nội dung: 
 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 
Ví dụ 1: Cho x + y+ z = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của 
A= x2 + y2 + z2 
B= x4 + y4 + z4 
C = x8 + y8 + z8
Giải : 
a) 3A = 3(x2 + y2 + z2 )≥ (x + y+z)2 = 1 	 . Đẳng thức xảy ra khi 
Vậy 	
b) 
c) 
Ví dụ 2 : Cho x, y dương và x + y = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của
Giải : Ta có 
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 	 Vậy 
Chú ý : Có thể chỉ sử dụng BĐT Cô si để chứng minh BĐT trên.	
Bài tập áp dụng : Cho x, y, z dương và x + y + z = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của
Ví dụ 3 : Cho a, b, c dương và ab + bc + ca = abc. Chứng minh:
Giải: Ta có 	. Ta cũng có 2 BĐT tương tự như thế. Cộng các BĐT đó và sử dụng giả thiết ta được Đpcm. 
Bài tập áp dụng : Cho a, b, c dương và ab + bc + ca = abc. Tìm giá trị nhỏ nhất của 	
Ví dụ 4 : Cho a, b, c dương. Chứng minh: 
Giải: Ta có
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c.
Bài tập áp dụng:
 Cho a, b, c, p, q dương. Chứng minh: 
 Cho x, y, z dương và xyz = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của 
Bài tập tự luyện
 Cho a, b, c dương và a + b + c = 1. Chứng minh 
 Với mọi tam giác ABC chứng minh 
 Cho x, y dương và 	 . Tìm giá trị nhỏ nhất của M = x+ y
 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của S = x+ y biết 2x(x – 1) + 2y(y-1) ≤3
 Cho x, y, z dương. Chứng minh
 Cho a > c > 0, b > c. Chứng minh:
 Gọi x0 là nghiệm của phương trình x2 + ax + b = 0. Chứng minh 
 Cho	 . Chứng minh 3x + 4y ≤ 5. 
 Giải phương trình 
Với mọi tam giác ABC. Chứng minh
a)
b) 
IV. Phương pháp hàm số và các phương pháp khác
Ví dụ 1: Cho x, y, z dương và x + y + z = 1. Chứng minh 
Giải :
Cách 1 :
Giả sử	 . Khi đó ta có 
Lập bảng biến thiên của f(x) trên nửa khoảng	 ta được 	
Cách 2 :
Do (1-2x)+(1-2y)+(1-2z)=1> 0 nên trong ba số 1-2x, 1-2y, 1-2z phải có ít nhất một số dương. Nếu cả ba số đó đều dương, áp dụng BĐT Côsi ta có :
Bất đẳng thức trên vẫn đúng trong các trường hợp còn lại !?.
Bài tập áp dụng :
Cho x, y, z không âm và x + y + z = 1. Chứng minh
Cho x, y, z không âm và x + y + z =3. Chứng minh	 x2 + y2 + z2 +xyz ≥4.
Ví dụ 2 : Cho x,y khác không và 	 . Tìm giá trị lớn nhất của
1)	
2)	
Giải :
1) Đặt x=ty, từ giả thiết suy ra 	 Do đó
	 . Lập bảng biến thiên của f(t) ta được 	
Vậy maxA = 4.
 . Vậy maxB =16.
Bài tập áp dụng: Cho 	 .Tìm giá trị lớn nhất của
Ví dụ 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của 
Giải: Trên mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, xét các điểm M(-1+x;-y) và N(1+x;y). Ta có OM + ON≥ MN
Lập bảng biến thiên của f(y) ta được 
Ví dụ 4: Cho a, b, c thuộc đoạn [1;2]. Chứng minh rằng 
Giải: BĐT tương đương với
Giả sử a≥ b≥ c 
Đặt 
Lập bảng biến thiên của f(x) trên [1;2] ta được VT ≤ 7 => Đpcm.
Bài tập áp dụng: Cho a, b, c dương và 	 . Tìm giá trị nhỏ nhất của 
Ví dụ 5 : Cho	 . Chứng minh rằng
 Giải: 	Đpcm 	. 
Giả sử 
Đặt 
Lập bảng biến thiên của f(t) trên đoạn [1;3] ta được Đpcm.
Ví dụ 6: Cho x2 + y2 dương. Chứng minh rằng 
Giải:
 Đpcm tương đương với	 (y ≠0).
Đặt	 Đpcm tương đương với 	 	 . Lập bảng biến thiên của f(t) ta được Đpcm (Khi y = 0 thì BĐT vẫn đúng).
Ví dụ 7: Cho	 và a + b + c = 2. Chứng minh rằng: 	 
Nhận xét: Ta thấy đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 2 và BĐT cần chứng minh có dạng 
Trong đó f(x) = x4 – 2x3. Ta có tiếp tuyến của đồ thị hàm số y=f(x) tại điểm có hoành độ x = 2 là y=8x – 16. Ta hy vọng có sự đánh giá: f(x)≥8x – 16 với
Ta có	 . . Vậy ta có lời giải như sau:
Lời giải : Ta có : 	
Tương tự ta cũng có	. Cộng 3 BĐT này lại với nhau ta có	 (Đpcm).
Chú ý : Vì y = 8x - 16 là tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x4 – 2x3 tại điểm có hoành độ x = 2 nên ta có sự phân tích f(x) – (8x - 16) = (x - 2)k g(x) với k ≥ 2 và g(2)≠0. 
Nhận xét: Nếu y = ax + b là tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại điểm A(x0 ;y0) (A không phải là điểm uốn), khi đó tồn tại một khoảng	chứa điểm x0 sao cho 	 hoặc	 . Đẳng thức xảy ra khi x = x0. Từ đây ta có : f(x1) + f(x2)+.+ f(xn)≥a(x1+ x2++ xn) +nb ( hoặc f(x1) + f(x2)+.+ f(xn) ≤ a(x1+ x2++ xn) +3n, với mọi 	 và đẳng thức xảy ra khi	. .
Nếu các biến xi có tổng 	(k không đổi) thì được viết lại dưới dạng sau
f(x1) + f(x2)+.+ f(xn) ≥ ak + nb hoặc f(x1) + f(x2)+.+ f(xn) ≤ ak + nb. 
Ví dụ 8 : Cho a, b, c là độ dài ba cạnh tam giác. Chứng minh rằng:
Nhận xét: BĐT cần chứng minh là thuần nhất nên ta có thể giả sử a+b+c = 1 mà không làm mất tính tổng quát của bài toán.
Khi đó BĐT đã cho trở thành: 	 
	 , ở đó	 	
Bất đẳng thức đã cho xảy ra dấu “=” khi	 . Tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại điểm có hoành độ x	là: y= 18x -3. Phải chăng ta có đánh giá: 
	 (1)?!. 
Vì a,b,c là độ dài ba cạnh tam giác thoả mãn điều kiện a+b+c = 1, giả sử a = max{a,b,c}, khi đó 1=a+b+c>2a	 	. . Do đó (1) đúng
Lời giải: Không làm mất tính tổng quát ta giả sử a+b+c = 1, khi đó BĐT trở thành	 Vì a, b,c là độ dài ba cạnh tam giác và a+b+c = 1 suy ra 	 . Ta có: 
Ta cũng có BĐT tương tự. Cộng các BĐT này lại với nhau ta có :
	 (Đpcm) 
Đẳng thức xảy ra khi	. 
Bài tập tự luyện
1) Cho .Chứng minh rằng .
2) Cho .Chứng minh rằng .
3) Cho .Chứng minh rằng 
4) Cho . Chứng minh rằng 
5) Cho . Chứng minh rằng 	 
6) Cho a,b,c dương. Chứng minh rằng
7) Cho x,y,z khác 0. Chứng minh rằng 
8) Cho . Tìm giá trị lớn nhất của 
Xin chân thành cảm ơn !
Thứa-Lương Tài, ngày 05 tháng 02 năm 2009
Ths.Phạm Huy Tân - THPT Lương Tài - ĐT: 0126.234.6595