Đề số 4 Kỳ thi tuyển sinh đại học năm 2010 môn thi: Toán – Khối A

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM 2010
 Môn Thi: TOÁN – Khối A
 ĐỀ THI THAM KHẢO Thời gian: 180 phút, không kể thời gian giao đề
I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm) 
Câu I: (2 điểm) Cho hàm số .
 	1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
 	2) Chứng minh rằng với mọi giá trị thực của m, đường thẳng (d) y = – x + m luôn cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A, B. Tìm giá trị nhỏ nhất của đoạn AB.
Câu II: (2 điểm) 
	1) Giải bất phương trình: 	
	2) Giải phương trình: 	
Câu III: (1 điểm) Tính tích phân 
Câu IV: (1 điểm) Tính thể tích hình chóp S.ABC biết SA = a, SB = b, SC = c, , .
Câu V: (1 điểm) Với mọi số thực dương a; b; c thoả mãn điều kiện a + b + c = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
II. PHẦN RIÊNG (3 điểm)
	A. Theo cương trình chuẩn:
Câu VI.a: (2 điểm)
	1) Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy, cho hai đường thẳng (d1): x + y + 1 = 0, (d2): 2x – y – 1 = 0 . Lập phương trình đường thẳng (d) đi qua M(1;–1) cắt (d1) và (d2) tương ứng tại A và B sao cho 
	2) Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x + 2y – 2z + 1 = 0 và hai điểm A(1;7; –1), B(4;2;0). Lập phương trình đường thẳng (D) là hình chiếu vuông góc của đường thẳng AB trên (P).
Câu VII.a: (1 điểm) Ký hiệu x1 và x2 là hai nghiệm phức của phương trình 2x2 – 2x + 1 = 0. Tính giá trị các số phức: và .
	B. Theo chương trình nâng cao:
Câu VI.b: (2 điểm)
	1) Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy , cho hypebol (H) có phương trình . Giả sử (d) là một tiếp tuyến thay đổi và F là một trong hai tiêu điểm của (H), kẻ FM ^(d). Chứng minh rằng M luôn nằm trên một đường tròn cố định, viết phương trình đường tròn đó
	2) Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho ba điểm A(1;0;0), B(0;2;0), C(0;0;3). Tìm toạ độ trưc tâm của tam giác ABC.
Câu VII.b: (1 điểm) Chứng minh rằng với thoả mãn ta luôn có:
 	.
Hướng dẫn
Câu I: 2) Phương hoành độ giao điểm của (d) và (C) là: = – x + m 
 luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m 
	Ta có A(x1; –x1 +m), B(x2; – x2 + m)
	AB = = 
 	Vậy GTNN của AB = khi và chỉ khi m = 2
Câu II: 1) Điều kiện: 0 < x ≠ 1. Đặt t = 
	BPT Û 
	2) Điều kiện: 
 	PT – sin3x = sinx + sin2x
 	Û sin2x(2cosx + 1) = 0 
	Kết hợp điều kiện, nghiệm của phương trình là: 
Câu III: Ta có: sinx +cosx = 2cos, 
	sinx = sin = 
	I = = 
Câu IV: Trên SB, SC lấy các điểm B¢, C¢ sao cho SB¢ = SC¢ = a. Ta có AB¢ = a, B¢C¢ = a, AC¢ = a Þ DAB¢C¢ vuông tại B¢. Gọi H là trung điểm của AC¢, thì DSHB¢ vuông tại H. Vậy SH là đường cao của hình chop S.AB¢C¢
 	Vậy: VS.AB’C’ = . Þ VS.ABC = 
Câu V: Áp dụng BĐT Cô-si ta có: .
	Dấu " = " xảy ra Û 2a = b + c.
	Tương tự: 
	Suy ra: . Dấu bằng xảy ra Û a = b = c = . Kết luận: minP = 	
Câu VI.a: 1) Giả sử: A(a; –a–1), B(b; 2b – 1)
	Từ điều kiện tìm được A(1; –2), B(1;1) suy ra (d): x – 1 = 0
	2) Gọi (Q) là mặt phẳng qua A, B và vuông góc với (P) ta suy ra (Q): 8x + 7x + 11z – 46 = 0. (D) = (P)(Q) suy ra phương trình (D).
Câu VII.a: PT có hai nghiệm 
Câu VI.b: 1) (H) có một tiêu điểm F. Giả sử pttt (d): ax + by + c = 0 . Khi đó: 9a2 – 4b2 = c2 (*)
	Phương trình đường thẳng qua F vuông góc với (d) là (D): b( – a y = 0
	Toạ độ của M là nghiệm của hệ: 
	Bình phương hai vế của từng phương trình rồi cộng lại và kết hợp với (*) 
	ta được x2 + y2 = 9
	2) Lập phương trình mp(ABC); (P) qua A và (P) ^ BC; (Q) qua B và (Q) ^ AC 
	 Giải hệ gồm ba phương trình ba mặt phẳng trên ta được trực tâm H
Câu VII.b: Ta có: 
	 (1)
	=