Đề số 2 thi tuyển sinh đại học, cao đẳng 2010 môn toán

 Trần Chí Thanh ® LTĐH 2010 Page 1 
ĐỀ THAM KHẢO THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG 2010 
 SỐ 02 Môn TOÁN 
 Thời gian làm bài: 180 phút 
I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm) 
Câu I ( 2.0 điểm ) 
 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số   
2
1 2y x x   
2. Tìm m để phương trình  
2
1 2x x m   có 4 nghiệm phân biệt. 
+ Từ đồ thị (C) suy ra đồ thị (G):  
2
1 2y x x   
+ Dựa vào đồ thị (G), ta có: phương trình có 4 nghiệm phân biệt 0 4m   
Câu II ( 2.0 điểm ) 
1. Tìm các nghiệm  0;x  của phương trình 2 2 2sin cos 2 cos 3x x x  (1) 
+ Dùng công thức hạ bậc và biến đổi, ta có: 
 (1)    
6 3
cos3 cos3 cos 0
4 2
2
x k
x x x x k k
x k
 
 



 

      


   

 
+ Với điều kiện  0;x  , nên tập nghiệm cần tìm là 
3 5
; ; ; ;
6 4 2 4 6
S
     
  
 
2. Tìm m để bất phương trình  3 2 3 22 4log 3 4 log 3 5x x m x x m      nghiệm đúng với mọi x 
thuộc đoạn  0;1 . 
+ ĐK: 3 23 1x x m   
+ Đặt  3 24log 3 , 0t x x m t    . Bất phương trình đã cho trở thành 2
0
0 1
4 5 0
t
t
t t

  
  
  
3 2
3 2
( ) 3 1
0;1
( ) 3 4
m f x x x
x
m g x x x
     
  
    
 . Khi đó: 
 
 
0;1
0;1
max ( )
3 4
min ( )
x
x
m f x
m
m g x




  

Câu III ( 1.0 điểm ). 
 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của các hàm số 2 3y x  và 
2
8
4
y
x


 + phương trình hoành độ giao điểm: 3
2
28
3
24
x
x
xx
 
     
 + diện tích hình phẳng 
2 2
2 2
2 2
2 2
8 8
3 3
4 4
S x dx x dx I J
x x
 
 
        
  
  
 + Tính I:  
2
2 3
2
2 2
20
3 3
3 3
x
I x dx x
 
 
      
 
 
 + Tính J: Đặt 2 tan
2 2
x t t
  
    
 
, ta được: 
4
4
4 2J dt




  
 + kết luận 
20
2
3
S   
 Trần Chí Thanh ® LTĐH 2010 Page 2 
Câu IV ( 1.0 điểm ). 
 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, biết AC a ,  SA ABC và 
3SA a . Tính theo a, khoảng cách từ trọng tâm G của tam giác SAB đến mặt phẳng (SBC) và thể tích 
khối chóp G.ABC . 
+ Chứng minh    SAB SBC 
+ Trong (SAB) kẻ  AH SB H SB  và chứng minh  
21
,( )
7
AH d A SBC a  
+ G là trọng tâm ABC  
1 21
,( )
3 21
d G SBC AH a   
+ Ta có:     3. .
1 1 3
,( ) , ( )
3 3 36
G ABC S ABCd G ABC d S ABC V V a    
Câu V ( 1.0 điểm ). 
 Cho x, y là các số thực dương và thỏa mãn 1x y  . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
 3 3 3 3
1
4P x y
x y
  

 + Ta có:   3 3 2 2 2 2x y x y x y xy x y xy        ( do , 0 ; 1x y x y   ) 
 + Khi đó:    
 
2
23 3 2 2 2 2 12
2 2
x y
x y x y x y x y

         
3 3
1
4 3P
x y
    

 + Vậy 
1
min 3 
2
P khi x y    
II. PHẦN RIÊNG (3,0 điểm). Thí sinh chỉ được làm 1 trong 2 phần (phần 1 hoặc phần 2). 
1. Theo chương trình Chuẩn: 
Câu VI.a ( 2.0 điểm ) 
1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho  1;1B  ,  6;0C . Tìm tọa độ điểm A sao cho tam giác 
ABC cân tại A và có diện tích bằng 12,5 đvdt. 
+ Viết phương trình (BC): 7 6 0x y   và  
2 5 2
,
2
ABCSd A BC
BC
  (1) 
+ Phương trình đường trung trực của BC là d: 7 17 0x y    0 0;A x y d  (2) 
+ Ta lại có:   0 0
7 6
,
50
x y
d A BC
 
 (3) 
+ Kết hợp (1), (2) và (3), ta được  2; 3A  ,  3;4A . 
2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho 3 điểm  1;2 4A  ,  1; 3;1B  ,  2;2;3C . Viết phương 
trình mặt cầu (S) đi qua A, B, C và có tâm I nằm trên mặt phẳng (Oxy). 
+ Ta có:  ; ;0I a b thuộc mặt phẳng (Oxy) 2 2 2( ) : 2 2 0S x y z ax by d       
+ (S) đi qua A, B, C 
2 4 21 2
2 6 11 1
4 4 17 21
a b d a
a b d b
a b d d
       
 
        
        
+ Vậy 2 2 2( ) : 4 2 21 0S x y z x y      
Câu VII.a ( 1.0 điểm ) 
 Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên chẵn gồm ba chữ số đôi một khác 
nhau và nhỏ hơn 400. 
 + Số cần tìm có dạng x abc ,    0;2;4 , 1;2;3c a  
 + TH1. 2c  , có 1 cách chọn c; 2 cách chọn a và 4 cách chọn b. Suya ra có 1.2.4 = 8 số 
 Trần Chí Thanh ® LTĐH 2010 Page 3 
 +TH2.  0;4c , có 2 cách chọn c, 3 cách chọn a và 4 cách chọn b. Suy ra có 2.3.4 = 24 số 
 + Vậy có tất cả là 8 +24 = 32 số cần tìm. 
2. Theo chương trình Nâng cao: 
Câu VI.b ( 2.0 điểm ) 
1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho  4;1A và  2;5B . Tìm tọa độ điểm M thuộc trục Ox sao 
cho độ dài AM + BM là nhỏ nhất. 
+ M thuộc trục Ox  0;0M x 
+ Gọi A’ là điểm đối xứng với A qua trục Ox, ta có  4; 1A  và 'AM A M 
+ Khi đó: ' 'AM BM A M BM A B    
+ Vậy  min 'AM BM A B  A’, B, M thẳng hàng   0
11
' ' 0
3
A M kA B k x    
 
2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho  1;1;0A ,  1;2;1B  và đường thẳng d có phương trình 
1 1
2 1 1
x y z 
 

. Gọi C là hình chiếu vuông góc của đỉnh A trên đường thẳng d. Tìm tọa độ tâm đường 
tròn ngoại tiếp tam giác ABC. 
+ Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A và vuông góc với d, ta được 2 1 0x y z     
+ Khi đó C là giao điểm của d và (P) 
1 7 5
; ;
3 6 6
C
 
  
 
+ Chứng minh ABC vuông tại A và suy ra tâm đường tròn ngoại tiếp ABC là trung điểm I của 
BC 
1 5 11
; ;
3 12 12
I
 
  
 
Câu VII.b ( 1.0 điểm ) 
 Tính thể tích khối tròn xoay nhận được khi quay hình tròn tâm  2;0I bán kính 1R  xung quanh 
trục Oy. 
 + Phương trình đường tròn (C):  
2 22 1x y    
2
2
2 1
1 1
2 1
x y
y
x y
   
   
   
 +    
1 12 2
2 2 2 2
1 1
2 1 2 1 8 1 4OyV y y dy y dy  
 
 
          
  ( đặt sin , ;2 2
y t t
  
   
 
)