Đề kiểm tra Toán lớp 11 (Đề 29 & 30)

toán 11.29
1. Chứng minh rằng trong hình tứ diện đều, tâm của mặt cầu ngoại tiếp, tâm của mặt cầu nội tiếp và tâm của mặt cầu tiếp xúc với 6 cạnh là trùng nhau. Chứng minh rằng nếu gọi R, r và r1 theo thứ tự là bán kính các mặt cầu trên thì R.r = r12.
2. Cho tam diện vuông Sxyz. Lấy A và A’ trên Sx, B và B’ trên Sy, C và C’ trên Sz sao cho SA.SA’ = SB.SB’ = SC. SC’.
	a) Chứng minh rằng có một mặt cầu đi qua 6 điểm A, B, C, A’, B’, C’.
	b) Cho A, B, C cố định, xét mặt cầu thay đổi qua A, B, C cắt Sx, Sy, Sz theo thứ tự tại A1, B1, C1. Chứng minh rằng trọng tâm G1 và trực tâm H1 của tam giác A1B1C1 lần lượt thuộc các đường thẳng cố định. 
3. Chứng minh rằng các cạnh của hình tứ diện ABCD tiếp xúc với một mặt cầu khi và chỉ khi AB + CD = AC + BD = AD + BC.
4. Cho hình tứ diện ABCD. Chứng minh rằng tâm mặt cầu ngoại tiếp trùng với tâm mặt cầu nội tiếp hình tứ diện khi và chỉ khi AB = CD, AC = BD, AD = BC.