Đề kiểm tra Toán lớp 11 (Đề 27 & 28)

toán 11.27
1. Cho hai đường tròn (C1), (C2) với tâm O1, O2 nằm trong hai mặt phẳng song song (P), (Q) và O1O2 vuông góc với (P), (Q). Chứng minh rằng có duy nhất một mặt cầu đi qua hai đường tròn đó. 
2. Cho hình chóp S.ABCD có SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD), SA = a, ABD là tam giác đều cạnh 2a, tam giác BCD cân tại C và góc BCD = 1200. Chứng minh rằng có một mặt cầu ngoại tiếp hình chóp đó. Xác định tâm và tính bán kính của mặt cầu này.
3. Cho hai tia Ax, By chéo nhau, vuông góc với nhau và nhận AB là đường vuông góc chung, AB = 2a. Trên Ax, By lần lượt lấy các điểm C và D.
	a) Chứng minh rằng CD tiếp xúc với mặt cầu đường kính AB khi và chỉ khi CD = AC + BD.
	b) Chứng minh rằng nếu CD = AC + BD thì điểm tiếp xúc của CD với mặt cầu đường kính AB thuộc đường tròn cố định và CD tạo với mặt phẳng chứa đường tròn đó một góc không đổi.
	c) Cho AC2 + BD2 = b2 (b là số cho trước). Tìm hệ thức giữa a và b để CD tiếp xúc với mặt cầu đường kính AB. 
4. Cho đường tròn đường kính AB = 2R trong mặt phẳng (P) và một điểm M nằm trên đường tròn đó. Trên đường thẳng vuông góc với (P) tại A lấy SA = x, x> 0. Mặt phẳng (Q) đi qua A và vuông góc với SB tại K. Giao điểm của SM với (Q) là H. 
a) Chứng minh rằng khi M cố định, còn độ dài x = SA biến thiên thì HK luôn luôn đi qua một điểm cố định.
	b) Chứng minh rằng AH vuông góc với mặt phẳng (SBM).
	c) Gọi N là giao điểm của các tiếp tuyến của đường tròn tại A và M. Chứng minh rằng NH là tiếp tuyến của mặt cầu đường kính AB và của mặt cầu đường kính SA.