Đề kiểm tra học kỳ II ( 2009 - 2010) môn: Toán lớp: 12



SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO 
TP. Hồ Chí Minh ĐỀ KIỂM TRA HỌC KỲ II ( 2009-2010) 
 Môn: Toán Lớp: 12 
Thời gian làm bài : 120 phút 
A.PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ HỌC SINH ( 7 điểm) 
Câu 1. (3,5 điểm) 
Cho hàm số : − x + 2 y = 
2 x + 1 
(C ) 
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C ) của hàm số. 
b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị 
với trục Ox . 
(C ) tại giao điểm của (C ) 
c) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị 
trục Oy . 
(C ) , trục Ox và 
d) Xác định m để đường thẳng 
điểm phân biệt. 
Câu 2. (1,5 điểm) 
Tính các tích phân : 
π 
(d ) : y = x + 2m cắt đồ thị (C ) tại hai 
2 
a) I=  cos 2 x.sin xdx 
0 
Câu 3. (2 điểm) 
1 
b) J=  ( 
0 
x 
x 3 + 1 
) 2 dx 
Trong không gian Oxyz, cho các điểm A(1 ; 0 ; 0) , B(0 ; 2 ; 0) , 
C(0 ; 0 ; 3). 
a) Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua hai điểm B, C và song 
song với đường thẳng OA. 
b) Tìm tọa độ điểm H là hình chiếu vuông góc của gốc tọa độ O 
trên mặt phẳng(ABC). 
B.PHẦN RIÊNG : ( 3 điểm) 
Học sinh học chương trình nào thì chỉ được làm phần dành riêng cho 
chương trình đó.( phần I hoặc phần II) 
I)Theo chương trình chuẩn. 
1) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số : 
y = − x 3 − 3x 2 + 4 
2) Xác định m để hàm số 
điểm cực tiểu. 
trên đoạn [-3;2]. 
y = x 3 + (m + 2) x 2 − 2mx + m + 1 có điểm cực đại và 
3) Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt cầu ( S ) đi qua hai điểm 
x = 2 - t 
A(-2 ; 4 ; 1), B(2 ; 0 ; 3 ) và có tâm I thuộc đường thẳng (d): y = 3t 
z = 1 + 6t 
II)Theo chương trình nâng cao. 
1) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số : 
y = x 2 + 2 x + 5 trên đoạn [-3;2]. 
2) Xác định m để hàm số 
xác định của nó. 
y = x 3 + (m + 2) x 2 − 2mx + m + 1 đồng biến trên tập 
3) Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt cầu ( S ) đi qua ba điểm 
A(-2 ; 4 ; 1), B(2 ; 0 ; 3 ), C(0 ; 2 ; -1) và có tâm I thuộc mp(P) có phương 
trình: x + y – z + 2 = 0. 
HẾT 
1 
Đáp án : 
A.PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ HỌC SINH ( 7 điểm) 
Câu 1. (3,5 điểm) 
Cho hàm số : − x + 2 y = 
2 x + 1 
(C ) 
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C ) của hàm số. 
Tập xác định : R \ {− 1} 
2 
0,25 đ 
Sự biến thiên. 
. chiều biến thiên : 
y ' = 
− 5 
(2 x + 1) 2 
− 1 < 0, ∀x ≠ 
2 
− 1
0,25 đ 
−
Hàm số nghịch biến trên các khoảng (−∞; ) 
2 
Hàm số không có cực trị 
và ( 1 ;+∞) 0,25 đ 
2 
Tiệm cận : − x + 2 − 1
Lim y = Lim = 
x →±∞ x→±∞ 2 x + 1 2 
Lim y = −∞ và Lim y = +∞ 0,25 đ 
−1− −1 + 
x → x→ 
2 
Đường thẳng 
Đường thẳng 
Bảng biến thiên 
2 
− 1 
y = là tiệm cận ngang 
2 
− x = là tiệm cận đứng. 0,25 đ 
2 
x - ∞ 
y’ 
y -1/2 
-1/2 + ∞ 
− − 
+ ∞ 
−∞ -1/2 
0,25 đ 
Đồ thị cắt trục Oy tại điểm ( 0 ; 2 ), cắt trục Ox tại điểm ( 2 ; 0 ) 
Vẽ đồ thị . 
Lưu ý: Giao điểm của hai tiệm cận là tâm đối xứng của đồ thị. 
0,5 đ 
b)Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị 
với trục Ox . 
Giao điểm với trục Ox : ( 2 ; 0 ) 
(C ) tại giao điểm của (C ) 
− 1 y’(2) = 
5 
Phương trình tiếp tuyến của ( C ) tại điểm ( 2 ; 0 ) : 
− 1 − 1 2 y − 0 = ( x − 2) ⇔ y = x + 
0,5 đ 
5 5 5 
c)Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị 
Oy 
Giao điểm với trục Ox : ( 2 ; 0 ) 
(C ) , trục Ox và trục 
0 
1 2 
⇔
2 
1 x x 
2 
Giao điểm với trục Oy : ( 0 ; 2 ). 
− x + 2 Vì y = ≥ 0 với 
2 x + 1 
x ∈ [0 ; 2] nên diện tích hình phẳng cần tìm : 
2 − x + 2 2 − 1 5 / 2 − 1 5 S = 
0 2x + 1 
dx = ( 2 + 2 x + 
)dx = ( 
1 2 
x + Ln 2 x + 1 ) 2 
4 0 
S = − 1 + 5 Ln5 
4 
( đvdt) 0,5 đ 
d)Xác định m để đường thẳng 
điểm phân biệt. 
(d ) : y = x + 2m cắt đồ thị (C ) tại hai 
Hoành độ giao điểm của (d ) và đồ thị ( C ) thỏa phương trình : 
− x + 2 = x + 2m − 1
( x ≠ ) 
2 x + 1 2 
2 x 

2 + 4mx + 2 x + 2m − 2 = 0 
⇔  
2( 

− 
) − 2m − 1 + 2m − 2 ≠ 0 
2 
x 2 + (2m 

 1 
+ 1) x + m − 1 = 0 
 − 1 − 2 ≠ 0  2 
x 2 + (2m + 1) x + m − 1 = 0 có 
∆ = 4m 2 + 5 > 0 , ∀m 
Vậy với mọi m đường thẳng ( d ) luôn cắt (C ) tại hai điểm phân biệt. 
0,5 đ 
Câu 2. (1,5 điểm) 
Tính các tích phân : 
π 
2 
a) I=  cos 2 x.sin xdx 
0 
Đặt u = cos x thì du = − sin xdx 0,25 đ 
Ta có : x = 0 thì 
π 
u = 1 
x = thì 
2 
0 3 
u = 0 
Vậy I =  u 2 (−du) = (− u ) 0 = 1 0,5 đ 
1 3 1 3 
1 2 
2 b) J=  ( 
0 
) 
x 3 + 1 
dx = 
0 
dx 
( x 3 + 1) 
Đặt u = x 3 + 1 thì du = 3x 2 dx 0,25 đ 
Ta có : x = 0 thì 
x = 1 thì 
2
u = 1 
u = 2 
Vậy J=  
du = − 1 2 = − 1 + 1 = 1 
0,5 đ 
Câu 3. (2 điểm) 
1 3u 3u 1 6 3 6 
Trong không gian Oxyz, cho các điểm A(1 ; 0 ; 0) , B(0 ; 2 ; 0) , 
C(0 ; 0 ; 3). 
a)Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua hai điểm B, C và song 
song với đường thẳng OA. 
Ta có BC = (0 ; − 2 ; 3) 




OA = (1 ; 0 ; 0) 
Mp(P) đi qua BC và song song với OA nên có vectơ pháp 
tuyến là : 
n = (0 ; 3; 2 ) 0,5 đ 
Mp(P) đi qua điểm B(0 ; 2 ; 0), có vectơ pháp tuyến 
n = (0 ; 3; 2 ) nên có phương trình : 
(y – 2)3 + 2z = 0 ⇔ 3y + 2z – 6 = 0 0,5đ 
b)Tìm tọa độ điểm H là hình chiếu vuông góc của gốc tọa độ O 
trên mặt phẳng(ABC). 
Phương trình mp(ABC) : x + y + z = 1 ⇔ 6 x + 3 y + 2 z − 6 = 0 
1 2 3 
0,25 đ 
Đường thẳng OH vuông góc với mp(ABC) nên có vecto chỉ 
phương là vecto pháp tuyến của mp(ABC) : ( 6 ; 3 ; 2 ) 
x = 6t 
Phương trình tham số của đường thẳng OH: y = 3t 
z = 2t 
0,5 đ 
H là giao điểm của OH và mp(ABC) nên tọa độ H thỏa hệ : 
x = 6t 
y = 3t 
z = 2t 
6x + 3y + 2z - 6 = 0 
Giải hệ trên ta được H ( 36 ; 18 ; 12 ) 
0,25 đ 
49 49 49 
B.PHẦN RIÊNG : ( 3 điểm) 
I)Theo chương trình chuẩn. 
1) Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số : 
y = − x 3 − 3x 2 + 4 
y = −x 3 − 3x 2 + 4 xác định và liên tục trên R 
y ' = −3x 2 − 6x 
y ' = 0 ⇔ x = 0; x = −2 
( thuộc đoạn [ - 3 ; 2 ] ) 
Xét trên trên đoạn [-3;2]: 
Ta có y(-3) = 4 ; y(-2) = 0 ; y(0) = 4 ; y(2) = - 16 
Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là 4 , đạt tại x = -3 hoặc x = 0 
và giá trị nhỏ nhất của hàm số là -16 đạt tại x =2. 
0,5 đ 
0,5 đ 
2) Xác định m để hàm số 
điểm cực tiểu. 
y = x 3 + (m + 2) x 2 − 2mx + m + 1 có điểm cực đại và 
Hàm số xác định có tập xác định là R 
y = x 3 + (m + 2) x 2 − 2mx + m + 1 
y' = 3x 2 + 2(m + 2) x − 2m 
y' = 0 ⇔ 3x 2 + 2(m + 2) x − 2m = 0 (1) 
∆' = (m + 2) 2 + 6m = m 2 + 10m + 4 




0,5 đ 
Để hàm số có cực đại và cực tiểu thì (1) phải có hai nghiệm phân biệt : 
∆' > 0 ⇔ m −5 + 21 0,5 đ 
3) Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt cầu ( S ) đi qua hai điểm 
x = 2 - t 
A(-2 ; 4 ; 1), B(2 ; 0 ; 3 ) và có tâm I thuộc đường thẳng (d): y = 3t 
z = 1 + 6t 
Vì mặt cầu (S) qua hai điểm A, B nên tâm I của mặt cầu thuộc mặt trung 
trực của AB. 
Trung điểm của AB là : K (0 ; 2 ; 2 ) 
→ 
Vecto AB = (4 ; − 4 ; 2) 
Phương trình mp trung trực của AB : (x-0)4 +(y-2)(-4)+(z-2)2 = 0 
⇔ 2x − 2y + z + 2 = 0 
Ta có I là giao điểm của đường thẳng ( d ) và mp trung trực của AB nên 
tọa độ tâm I thỏa : 
x = 2 − t 
y = 3t 
z = 1 + 6t 
2x − 2y + z + 2 = 0 
Giải hệ trên ta được I ( − 3 ; 21 ; 22) 
0,5 đ 
2 
Bán kính mặt cầu (S) : IB = 
2 
(− 3 − 2) 2 + ( 21) 2 + 19 2 = 
967 
2 2 2 
3 1
Phương trình mặt cầu ( S ) ( x + ) 2 + ( y − 
2 
2 2 
) 2 + ( z − 22) 2 = 967 
2 
0,5 đ 
II)Theo chương trình nâng cao. 
1) Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số : 
y = x 2 + 2 x + 5 trên đoạn [-3;2]. 
Ta có tập xác định của hàm sô là R 
Hàm số liên tục trên R. 
y ' = x + 1 
x 2 + 2 x + 5 
y ' = 0 ⇔ x = −1 ∈ [−3; 2 ] 
0,5 đ 
Ta có y(-3) = 8 ; y(-1) =2 ; y(2) = 13 
Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là 13 , đạt tại x = 2 
và giá trị nhỏ nhất của hàm số là 2 đạt tại x = -1 0,5 đ 
2) Xác định m để hàm số 
xác định của nó. 
y = x 3 + (m + 2) x 2 − 2mx + m + 1 đồng biến trên tập 
Hàm số xác định có tập xác định là R 
y = x 3 + (m + 2) x 2 − 2mx + m + 1 
y' = 3x 2 + 2(m + 2) x − 2m 
y' = 0 ⇔ 3x 2 + 2(m + 2) x − 2m = 0 (1) 
∆' = (m + 2) 2 + 6m = m 2 + 10m + 4 
0,5 đ 
Để hàm số đồng biến trên tập xác định của nó thì (1) phải có nghiệm 
kép hoặc vô nghiệm ( vì hệ số a của y’ là số dương) 
∆' ≤ 0 ⇔ −5 − 21 ≤ m ≤ −5 + 21 0,5 đ 
3) Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt cầu ( S ) đi qua ba điểm 
A(-2 ; 4 ; 1), B(2 ; 0 ; 3 ), C(0 ; 2 ; -1) và có tâm I thuộc mp(P) có phương 
trình: x + y – z + 2 = 0. 
Vì mặt cầu (S) qua hai điểm A, B nên tâm I của mặt cầu thuộc mặt trung 
trực của AB. 
Trung điểm của AB là : K (0 ; 2 ; 2 ) 
→ 
Vecto AB = (4 ; − 4 ; 2) 
Phương trình mp trung trực của AB : (x-0)4 +(y-2)(-4)+(z-2)2 = 0 
⇔ 2x − 2y + z + 2 = 0 ( 1 ) 
Vì mặt cầu (S) qua hai điểm B,C nên tâm I của mặt cầu thuộc mặt trung 
trực của BC. 
Trung điểm của BC là : J (1 ; 1 ; 1 ) 
→ 
Vecto BC = (−2 ; 2 ; − 4) 
Phương trình mp trung trực của BC : (x-1)(-2) +(y-1)(2)+(z-1)(-4) = 0 
⇔ −x + y − 2 z + 2 = 0 
Theo giả thiết tâm I thuộc mp(P):x + y – z + 2 = 0 (3) 
(2) 
Vậy tọa độ I thỏa hệ phương trình ( 1 ) , ( 2 ) , ( 3 ). Giải hệ này ta được 
I( -1 ; 1 ; 2). 0,5 đ 
Bán kính mặt cầu ( S ) : IA = 11 
Vậy phương trình mặt cầu ( S ): ( x + 1) 2 + ( y − 1) 2 + ( z − 2) 2 = 11 
0,5 đ 
Hết