Đề kiểm tra chất lượng học kì II môn: Toán khối 12

 SỞ GD&ĐT HẢI DƯƠNG 
TRƯỜNG THPT ĐƯỜNG AN 
ĐỀ KIỂM TRA CHẤT LƯỢNG HỌC KÌ II 
Năm học 2010 – 2011 
Môn: TOÁN – Lớp 12 
Thời gian làm bài 150 phút. 
Đề gồm có 01 trang. 
I. PHẦN CHUNG DÀNH CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH (7,0 ñiểm) 
Câu 1 (3,0 ñiểm): Cho hàm số: 2 1
1
x
y
x
+
=
−
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị ( )C của hàm số. 
2) Viết phương trình tiếp tuyến của ( )C tại ñiểm có tung ñộ bằng 5. 
Câu 2 (3,0 ñiểm): 
1) Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số: 2( 2)xy e x= − trên ñoạn [1;3] 
2) Tính tích phân: 1
0
1I x xdx= −∫ 
3) Giải phương trình: 1 29 3 18 0x x+ +− − = 
Câu 3 (1,0 ñiểm): 
Cho hình chóp S.ABCD có ñáy ABCD là hình chữ nhật có AB = a, BC = 2a. Hai mặt bên (SAB) 
và (SAD) vuông góc với ñáy, cạnh SC hợp với ñáy một góc 600. Tính thể tích khối chóp S.ABCD. 
II. PHẦN RIÊNG (3,0 ñiểm) Thí sinh chỉ ñược chọn một trong hai phần dưới ñây 
1. Theo chương trình chuẩn 
Câu 4a (2,0 ñiểm):Trong không gian với hệ toạ ñộ Oxyz, cho (2;1; 1), ( 4; 1;3), (1; 2;3)A B C− − − − . 
1) Viết phương trình ñường thẳng AB. 
2) Tìm toạ ñộ hình chiếu vuông góc của ñiểm C lên ñường thẳng AB. Viết phương trình mặt 
cầu tâm C tiếp xúc với ñường thẳng AB. 
Câu 5a (1,0 ñiểm): Giải phương trình 22 3 4 0z z+ + =
trên tập số phức. 
2. Theo chương trình nâng cao 
Câu 4b (2,0 ñiểm): Trong không gian với hệ toạ ñộ Oxyz, cho ñiểm (0;6;4)A và ñường thẳng d có 
phương trình d: 2 1
1 2 1
x y z− −
= = 
1) Hãy tìm toạ ñộ hình chiếu vuông góc của ñiểm A trên ñường thẳng d. 
2) Viết phương trình mặt cầu ( )S có tâm là ñiểm A và tiếp xúc với ñường thẳng d. 
Câu 5b (1,0 ñiểm): Cho số phức 1 3z i= + . Hãy viết dạng lượng giác của số phức 5z . 
---------- Hết ---------- 
Thí sinh không ñược sử dụng tài liệu. Giám thị coi thi không giải thích gì thêm. 
Họ và tên thí sinh: ........................................ Số báo danh: ............................................... 
Chữ ký của giám thị 1: .................................. Chữ ký của giám thị 2: .......................................... 
 Người ra ñề Tổ trưởng 
 Nguyễn Thành Đô 
ĐỀ CHÍNH THỨC 
xy
5
4
3
1
-2
4
2
2
1
-1
O
 SỞ GD&ĐT HẢI DƯƠNG 
TRƯỜNG THPT ĐƯỜNG AN 
KIỂM TRA CHẤT LƯỢNG HỌC KÌ II 
Năm học 2010 – 2011 
Môn: TOÁN – Lớp 12 
HƯỚNG DẪN CHẤM THI 
(Văn bản gồm 04 trang) 
I. Hướng dẫn chung 
1) Nếu thí sinh làm bài không theo cách nêu trong ñáp án nhưng ñúng thì cho ñủ số ñiểm từng phần như hướng 
dẫn quy ñịnh. 
2) Việc chi tiết hoá (nếu có) thang ñiểm trong hướng dẫn chấm phải ñảm bảo không làm sai lệch hướng dẫn 
chấm và phải ñược thống nhất thực hiện trong toàn Hội ñồng chấm thi. 
3) Sau khi cộng ñiểm toàn bài, làm tròn ñến 0,5 ñiểm (lẻ 0,25 làm tròn thành 0,5; lẻ 0,75 làm tròn thành 1,0 
ñiểm). 
II. Đáp án và thang ñiểm 
CÂU ĐÁP ÁN ĐIỂM 
Câu 1 
(3 ñiểm) 
1. (2 ñiểm) 
a) Tập xác ñịnh: { }\ 1D = ℝ 0,25 
b) Sự biến thiên 
+ Giới hạn và tiệm cận: 
 ; lim 2 lim 2 2
x x
y y y
→−∞ →+∞
= = ⇒ = là tiệm cận ngang. 
 ; 
1 1
lim lim 1
x x
y y x
− +→ →
= −∞ = +∞ ⇒ = là tiệm cận ñứng. 
0,5 
 + Chiều biến thiên: 
Đạo hàm: 
2
3
0,
( 1)
y x D
x
−′ = < ∀ ∈
−
0,25 
Bảng biến thiên: 
Hàm số luôn NB trên các khoảng xác ñịnh và không ñạt cực trị. 
0,5 
c) Vẽ ñồ thị 

 Giao ñiểm với trục hoành: cho 10
2
y x= ⇔ =− 
• Giao ñiểm với trục tung: cho 0 1x y= ⇒ =− 
0,5 
2. (1 ñiểm) 
0
0 0 0 0
0
2 1
5 5 2 1 5 5 2
1
x
y x x x
x
+
= ⇔ = ⇔ + = − ⇔ =
−
0 2
3
( ) 3
(2 1)
f x
−′ = = −
−
0,5 
Phương trình tiếp tuyến cần tìm: 5 3( 2) 3 11y x y x− =− − ⇔ =− +
0,5 
60
a
a2 CB
A D
S
Câu 2 
(3 ñiểm) 
1 (1,0 ñiểm) 
Hàm số 2 2( 2) ( 4 4)x xy e x e x x= − = − + liên tục trên ñoạn [1;3] 

 
2( 2 )xy e x x′ = − 

 
2 2
0 [1;3]
0 ( 2 ) 0 2 0
2 [1;3]
x
x
y e x x x x
x
 = ∉′ = ⇔ − = ⇔ − = ⇔  = ∈
0,5 

 
2 2(2) (2 2) 0f e= − = ; 1 2(1) (1 2)f e e= − = và 3 2 3(3) (3 2)f e e= − = 

 Vậy, 
 khi khi 3
[1;3] [1;3]
min 0 2 , max 3y x y e x= = = = 
0,5 
2 (1,0 ñiểm) 
Đặt 21 1 2t x t x tdt dx= − ⇒ = − ⇒ = − 
Đổi cận: 
x 0 1 
t 1 0 
0,5 
( )1 12 2 4 2
0 0
4
2 (1 ) 2 2
15
I t t dt t t dt= − = − + =∫ ∫ 
0,5 
3 (1,0 ñiểm) 
1 29 3 18 0 9.9 9.3 18 0x x x x+ +− − = ⇔ − − = (*) 

 Đặt 3xt = (ĐK: t > 0), phương trình (*) trở thành 
 (tm)
(L)
2
2
9 9 18 0
1
t
t t
t
 =− − = ⇔  = −
0,5 

 Với t = 2: 
3
3 2 log 2x x= ⇔ = 

 Vậy, phương trình (*) có nghiệm duy nhất: 
3
log 2x = . 
0,5 
Câu 3 
(1,0 ñiểm) 

 
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
SAB ABCD
SAD ABCD SA ABCD
SAB SAD SA
 ⊥ ⊥ ⇒ ⊥ ∩ =

 Suy ra hình chiếu của SC lên (ABCD) là AC, 
do ñó 

 060SCA = 
0,5 

 

 

tan .tan 15
SA
SCA SA AC SCA a
AC
= ⇒ = = 

 
2. .2 2
ABCD
S AB BC a a a= = = 

 Vậy, thể tích khối chóp S.ABCD là: 
3
21 1 2 15. 15 2
3 3 3ACBD
a
V SAS a a= = ⋅ ⋅ = 
(ñvtt) 
0,5 
Câu 4a 
(2,0 ñiểm) 
1 (1,0 ñiểm) 

 Điểm trên ñường thẳng AB: (2;1; 1)A − 

 vtcp của ñường thẳng AB: ( 6; 2;4)u AB= = − −


0,5 
Suy ra, PTTS của ñường thẳng AB:
2 6
1 2 ( )
1 4
x t
y t t
z t
 = − = − ∈ = − +
ℝ 
0,5 
2 (1,0 ñiểm) 
Giả sử (2 6 ;1 2 ; 1 4 )H t t t AB− − − + ∈ . Để H là hình chiếu của C lên AB khi: 
1
. 0
2
CH AB t= ⇔ =
 

 Vậy, toạ ñộ hình chiếu cần tìm là ( 1;0;1)H − 

 Vì mặt cầu (S) tâm C tiếp xúc với ñường thẳng AB nên nó ñi qua ñiểm H 

 Tâm mặt cầu: (1; 2;3)C − 

 Bán kính mặt cầu: 2 2 2(1 1) ( 2 0) (3 1) 2 3R CH= = + + − − + − = 
0,5 

 Vậy, phương trình mặt cầu: 2 2 2( 1) ( 2) ( 3) 12x y z− + + + − = 0,5 
Câu 5a 
(1,0 ñiểm) 
2 23 4.(2).(4) 23 ( 23 )i∆ = − =− = 0,5 
Vậy, pt (*) có 2 nghiệm phức phân biệt 
1
3 23
4
i
z
− ±
= 
0,5 
Câu 4b 
(2 ñiểm) 
1 (1 ñiểm) 

 Đường thẳng d ñi qua ñiểm 
0
(2;1;0)M và có vtcp (1;2;1)u =


 Gọi A′ là hình chiếu v.góc của A lên d thì 
(2 ;1 2 ; ) (2 ;2 5; 4)A t t t AA t t t′ ′+ + ⇒ = + − −


 Do A′ là hình chiếu vuông góc của A lên d nên ta có AA u′ ⊥


, suy ra 
1(2 ) 2(2 5) 1( 4) 0 6 12 0 2t t t t t+ + − + − = ⇔ − = ⇔ = 
0,5 

 Thay t = 2 vào toạ ñộ A′ ta ñược (4;5;2)A′ là hình chiếu vuông góc của A lên d. 0,5 
2 (1 ñiểm) 

 Mặt cầu ( )S có tâm (0;6;4)A , tiếp xúc với ñường thẳng d nên ñi qua (4;5;2)A′ 

 Do ñó, ( )S có bán kính 2 2 2(4 0) (5 6) (2 4) 21R AA′= = − + − + − = 
0,5 

 Vậy, phương trình mặt cầu 2 2 2( ) : ( 4) ( 6) 21S x y z+ − + − = 0,5 
Câu 5b 
(1 ñiểm) 
 Ta có, 1 31 3 2 2.(cos .sin )
2 2 3 3
z i i i
π π
  = + = + = +  
0,5 

 Do ñó, 5 5 5 5 5 52 .(cos .sin ) 32. cos( ) .sin( )
3 3 3 3
z i i
π π π π
 
 = + = +  
0,5