PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH (7,0 điểm)
Câu I (2,0 điểm) Cho hàm số y=x3-3x2+1
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2. Tìm hai điểm M, N thuộc đồ thị (C) sao cho độ dài đoạn MN bằng 32 và tiếp tuyến của (C) tại M và
N song song với nhau.
SỞ GD & ĐT THANH HOÁ TRƯỜNG THPT HẬU LỘC 4 ----------***---------- ĐỀ KIỂM TRA CHẤT LƯỢNG DẠY – HỌC BỒI DƯỠNG LẦN 1 NĂM HỌC: 2011 - 2012 MÔN TOÁN, KHỐI A (Thời gian làm bài 180 phút) PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH (7,0 điểm) Câu I (2,0 điểm) Cho hàm số 3 23 1y x x= − + . 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 2. Tìm hai điểm M, N thuộc đồ thị (C) sao cho độ dài đoạn MN bằng 32 và tiếp tuyến của (C) tại M và N song song với nhau. Câu II (2,0 điểm) 1. Giải phương trình 2 sin( ) 4 (1 sin 2 ) cot 1 sin x x x x pi − + = + . 2. Giải bất phương trình − ≤ + +3 23 1 2 3 1x x x . Câu III (1,0 điểm) Tính tích phân 1 0 3 2 1 x x x xe e I dx xe + + = +∫ . Câu IV (1,0 điểm) Cho hình chóp .S ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân đỉnh A, = 2BC a . Gọi O là trung điểm của BC, hình chiếu vuông góc H của S lên mặt đáy ( )ABC thỏa mãn: 2 0OA OH+ = , góc giữa SC và mặt đáy ( )ABC bằng 060 . Hãy tính thể tích khối chóp .S ABC và khoảng cách từ trung điểm I của SB tới mặt phẳng ( )SAH . Câu V (1,0 điểm) Giải hệ phương trình 2 2 4 22 (4 3 ) ( 3) 2012 ( 2 2 5 1) 4024x y y x x x y x x + = + − + − + = PhÇn riªng (3,0 ®iÓm) ThÝ sinh chØ ®−îc lµm mét trong hai phÇn (phÇn A hoÆc phÇn B) A. Theo ch−¬ng tr×nh chuÈn C©u VI.a (2,0 điểm) 1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình thoi ABCD có tâm (2;1)I và = 2AC BD . Điểm 1(0; ) 3 M thuộc đường thẳng AB, điểm (0;7)N thuộc đường thẳng CD. Viết phương trình đường chéo BD biết đỉnh B có hoành độ dương. 2. Trong không gian tọa độ Oxyz, cho hai điểm (1;8;9)A và − − −( 3; 4; 3)B . Tìm tọa độ điểm C trên mặt phẳng Oxy sao cho tam giác CAB cân tại C và có diện tích bằng 1672 . C©u VII.a (1,0 điểm) Cho tập hợp { }22 31 15 0X x N x x= ∈ − + ≤ . Chọn ngẫu nhiên từ tập X ba số tự nhiên. Tính xác suất để ba số được chọn có tổng là một số lẻ. B. Theo ch−¬ng tr×nh n©ng cao C©u VI.b (2,0 điểm) 1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn ( ) 2 2: 2+ =C x y . Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn (C) biết tiếp tuyến đó cắt các tia Ox, Oy lần lượt tại A và B sao cho tam giác OAB có diện tích nhỏ nhất. 2. Trong không gian tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC có (3;1;0)A , đỉnh B nằm trên mặt phẳng Oxy và đỉnh C nằm trên trục Oz. Tìm tọa độ các điểm B và C sao cho điểm (2;1;1)H là trực tâm của tam giác ABC. Câu VII.b (1,0 điểm) Giải phương trình ( ) ( ) ( )84 221 1log 3 log 1 log 4 .2 4+ + − =x x x -------------------- HÕt -------------------- tamxamau@gmail.com gửi tới www.laisac.page.tl SỞ GD & ĐT THANH HOÁ TRƯỜNG THPT HẬU LỘC 4 ----------***---------- ®¸p ¸n – thang ®iÓm ®Ò kiÓm tra chÊt l−îng d¹y - häc båi d−ìng LÇn 1 n¨m häc: 2011 – 2012- m«n to¸n, khèi A (Đáp án – Thang điểm gồm 05 trang) Câu Nội dung Điểm Tổng I.1 Khảo sát hàm số. 01 . Tập xác định: D=R 02 . Sự biến thiên: Giới hạn: ( ) ( )3 2 3 2lim 3 1 ; lim 3 1 →−∞ →+∞ − + = −∞ − + = +∞ x x x x x x y’=3x2-6x=0 0 2 x x = ⇔ = Bảng biến thiên: x -∞ 0 2 + ∞ y’ + 0 - 0 + 1 + ∞ y -∞ -3 Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng: (-∞;0) và (2; + ∞) Hàm số nghịch biến trên khoảng (0;2) Cực trị: Hàm số đạt cực đại tại x = 0, giá trị cực đại bằng 1 Hàm số đạt cực tiểu tại x = 2, giá trị cực đại bằng -3. 0,25 0,25 0,25 0,25 1,0 (điểm) I.2 Tìm hai điểm M, N Giả sử 3 3( ; 3 1), ( ; 3 1) ( )M a a a N b b b a b− + − + ≠ Vì tiếp tuyến của (C) tại M và N song song suy ra y a y b( ) ( )′ ′= ⇔ a b a b( )( 2) 0− + − = ⇔b = 2 – a ⇒ a ≠ 1 (vì a ≠ b). 2 2 3 2 3 2 2( ) ( 3 1 3 1)MN b a b b a a= − + − + − + − =[ ] 22 3 32(1 ) ( 1) ( 1) 3( )a b a b a − + − − − − − = 2 2 34( 1) 2(1 ) 6(1 )a a a − + − − − = a a a 6 4 24( 1) 24( 1) 40( 1)− − − + − 2 32MN = ⇔ a a a6 4 24( 1) 24( 1) 40( 1)− − − + − = 32 . Đặt 2( 1)t a= − Giải ra được t = 4 ⇒ a b a b 3 1 1 3 = ⇒ = − = − ⇒ = ⇒ M(3; 1) và N(–1; –3) 0,25 0,25 0,25 0,25 1,0 (điểm) 03 . Đồ thị Có y’’= 6x-6 y’’ = 0 và y’’ đổi dấu tại x =1 →điểm uốn là I(1;-1) Nhận xét: Đồ thị hàm số nhận điểm I(1;-1) là tâm đối xứng II.1 Giải phương trình: 2 sin( ) 4 (1 sin 2 ) cot 1 sin x x x x pi − + = + . Điều kiện: sin 0x ≠ [ ] pi pi pi pi ⇔ − + = + ⇔ + − + − = ⇔ + − = ⇔ = = − +⇔ = 2(cos s inx)(cos s inx) cos s inx (cos s inx) (cos s inx)(cos s inx) 1 0 (cos s inx)( os2 1) 0 2 s in(x+ )=0 4 os2 1 (tháam·n§K) 4 (kh«ng tháam·n§K) PT x x x x x x x c x c x x k x k Vậy phương trình có nghiệm pi pi= − + ∈( ). 4 x k k Z 0,25 0,25 0,25 0,25 1,0 (điểm) II.2 Giải bất phương trình Điều kiện: x ≥ 1 − ≤ + + ⇔ − + + ≤ − + + +3 2 2 23 1 2 3 1 3 1. 1 ( 1) 2( 1)x x x x x x x x x Chia hai vế cho x2 + x + 1, ta được bất phương trình tương đương 2 2 1 1 3 2 1 1 x x x x x x − −≤ + + + + + Đặt t = 1 1 2 ++ − xx x , t ≥ 0, ta ta được bất phương trình: 23 2 1t t t≤ + ⇔ ≤ hoặc 2t ≥ + Với 1t ≤ , ta có: 2 2 2 1 1 1 1 2 1 x x x x x x x − ≤ ⇔ − ≤ + + ⇔ ≥ − + + (luôn đúng) + Với 2t ≥ , ta có: 2 2 2 1 2 1 4( 1) 4 3 5 0 1 x x x x x x x x − ≥ ⇔ − ≥ + + ⇔ + + ≤ + + (vô nghiệm) Vậy bất phương trình đã cho có nghiệm x ≥ 1. 0,25 0,25 0,25 0,25 1,0 (điểm) III Tính tích phân 1 1 1 0 0 0 1 0 3 2 (2 ) 2 1 1 1 x x x x x x x x x xe e xe e xe e I dx dx x dx xe xe xe + + + + = = + = + + + +∫ ∫ ∫ Xét 1 0 1 x x x xe e J dx xe + = +∫ . Đặt 1 ( )x x xt xe dt xe e dx= + ⇒ = + Đổi cận: 0 1, 1 1x t x t e= ⇒ = = ⇒ = + Từ đó 1 1 1 ln ln( 1) 1 e edt J t e t + + = = = +∫ Vậy 2 ln( 1)I e= + + 0,25 0,25 0.25 0,25 1,0 (điểm) Tính thể tích, khoảng cách Ta có 2 0OA OH+ = nên H thuộc tia đối của tia OA và OA = 2OH BC = AB 2 a2= 2AB AC a⇒ = = ; AO = a ; OH = 2 a AH = AO + OH = 2 3a 0,25 IV 6 15 2 15)2( 2 1 . 3 1 . 3 1 32 . aa aSHSV ABCABCS === ∆ Ta có ⊥ ⇒ ⊥⊥ ( ) BO AH BO SAH BO SH ( ,( )) 1 ( ,( )) 2 d I SAH SI d B SAH SB ⇒ = = ⇒ = = = 1 1 ( ,( )) ( ,( )) 2 2 2 a d I SAH d B SAH BI 0,25 0,25 0,25 1,0 (điểm) V Giải hệ phương trình: 2 2 4 22 (4 3 ) ( 3) (1) 2012 ( 2 2 5 1) 4024 (2)x y y x x x y x x + = + − + − + = Nếu x = 0, từ (1) suy ra y = 0. Khi đó không thỏa mãn (2). Vậy 0x ≠ Chia cả 2 vế của (1) cho 3x , ta được: 3 32 2( ) 3. 3 y y x x x x + = + (3) Xét hàm số 3( ) 3 ,f t t t t R= + ∈ . Dễ thấy f(t) là hàm số đồng biến trên R Do đó từ (3) ta được 2y x x = , hay 22y x= . Thế vào (2) ta có: 1 22012 ( 1) 4 ( 1) 2x x x− − + − − = Đặt u = x – 1, ta được phương trình : 22012 ( 4 ) 2u u u+ − = (4) Lại xét hàm số 2( ) 2012 ( 4 ) 2ug u u u= + − = trên R. Có 2 2 '( ) 2012 ln 2012( 4 ) 2012 ( 1) 4 u u ug u u u u = + − + − + 2 2 1 2012 ( 4 )(ln 2012 ) 4 u u u u = + − − + Vì 2 4 0u u+ − > và 2 1 1 ln 2012 4u < < + nên g’(u)>0 với mọi u R∈ Suy ra hàm số g(u) đồng biến trên R. Mặt khác g(0)=2 nên u = 0 là nghiệm duy nhất của (4). Từ đó x = 1 và 1 2 y = . Vậy hệ PT có 1 nghiệm duy nhất 1( ; ) (1; ) 2 x y = . 0,25 0,25 0,25 0,25 1,0 (điểm) Ta có 2 2 5 2 a HC HO OC= + = Vì ⇒⊥ )(ABCSH 060))(;( == ∧∧ SCHABCSC 2 1560tan 0 aHCSH == ; VI.a.1 Viết phương trình đường chéo BD N D IA C B N'M Phương trình đường thẳng AB(qua M và N’): 4x + 3y – 1 = 0 Khoảng cách từ I đến đường thẳng AB: 2 2 4.2 3.1 1 2 4 3 d + − = = + AC = 2. BD nên AI = 2 BI, đặt BI = x, AI = 2x. Trong ∆vuông ABI có: 2 2 2 1 1 1 4d x x = + suy ra x = 5 suy ra BI = 5 Điểm B là giao điểm của đường thẳng 4x + 3y – 1 = 0 với đường tròn tâm I bán kính 5 Tọa độ B là nghiệm của hệ: 2 2 4x 3y – 1 0 ( 2) ( 1) 5x y + = − + − = B có hoành độ dương nên B( 1; -1). Vậy phương trình đường chéo BD (đi qua B và I) là: 2x – y - 3 = 0. 0,25 0,25 0,25 0,25 1,0 (điểm) VI.a.2 Tìm tọa độ điểm C Gọi C(a ;b ;0). Ta có CA = CB hay CA2 = CB2 2 2 2 2 2 2( 1) ( 8) 9 ( 3) ( 4) 3 14 3a b a b a b⇔ − + − + = + + + + ⇔ = − Gọi I là trung điểm của AB. Ta có I(-1 ;2 ;3). 304AB = . Vì tam giác ABC cân tại C nên 2 22ABC S CI AB ∆ = = Ta có C(14-3b; b; 0). 2 2 222 (15 3 ) ( 2) 3 22CI b b= ⇔ − + − + = Từ đó b = 4 hoặc 27 5 b = . Suy ra 11 27(2;4;0) ; ;0) 5 5 C hoÆc C(- 0,25 0,25 0,25 0,25 1,0 (điểm) VII.a Tính xác suất Ta có − + ≤ ⇔ ≤ ≤2 12 31 15 0 15 2 x x x .Vì x thuộc N nên { }= 1;2;3;...;15X . Số cách chọn ngẫu nhiên 3 số tự nhiên trong tập X là 315C . Để tổng 3 số đó là số lẻ, ta có các trường hợp: + Cả 3 số đều lẻ: Số cách chọn là 38C (vì tập X có 8 số lẻ và 7 số chẵn) + Có 2 số chẵn và 1 số lẻ: Số cách chọn là 2 17 8.C C ⇒ số cách chọn 3 số có tổng là 1 số lẻ là 38C + 2 1 7 8.C C . Vậy xác suất cần tìm là: += = = 3 2 1 8 7 8 3 15 . 224 32 455 65 C C C P C . 0,25 0,25 0,25 0,25 1,0 (điểm) Gọi N’ là điểm đối xứng của N qua I thì N’ thuộc AB, ta có : ' ' 2 4 2 5 N I N N I N x x x y y y = − = = − = −
Tài liệu đính kèm: