Đề khảo sát chất lượng ôn thi đại học lần 2 môn thi: Toán, Khối A, B, D

SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO BẮC NINH 
TR¦êNG THPT THUËN THµNH Sè II 
ĐỀ kh¶o s¸t chÊt l­îng «n thi ®¹i häc LẦN 2 
 Năm học: 2011 – 2012 
Môn thi: Toán, Khối A, B, D 
Thời gian làm bài: 180 phút 
a. phÇn chung cho tÊt c¶ c¸c thÝ sinh (7,0 ®iÓm) 
Câu I ( 2,0điểm). Cho hàm số  3 2 2 33 3 1 .x mx m x m m    y = (1) (m lµ tham sè ) 
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi 0m  . 
2. Chøng minh r»ng hµm sè (1) lu«n cã cùc ®¹i, cùc tiÓu víi m . T×m m ®Ó c¸c ®iÓm cùc trÞ cña ®å thÞ hµm 
sè (1) cïng víi ®iÓm I(1;1), lËp thµnh mét tam gi¸c néi tiÕp mét ®­êng trßn cã b¸n kÝnh b»ng 5 . 
Câu II ( 2,0điểm). 
1. Giải phương trình: 2
2 sin
4
tan 2 cos 0
sin cos
x
x x
x x
 
 
    

. 
2. Giải hệ phương trình:  
4
1
,
x x y
x y R
  


2
- = 1
y + x + 4y = 1
. 
Câu III (1,0 điểm). Tính tích phân: 
2 2
2 2
1
2 (1 2 ln ) ln
( ln )
e
x x x x
I dx
x x x
  


 . 
Câu IV ( 1,0 điểm). Cho hình chóp S.ABCD có ®¸y lµ h×nh vu«ng c¹nh a. C¸c ®iÓm M, N n»m trªn c¸c ®o¹n th¼ng 
AB, AD sao cho MA= MB, ND= 3NA. BiÕt SA= a, MN vu«ng gãc víi SM, tam gi¸c SMC c©n t¹i S. TÝnh thÓ tÝch 
h×nh chãp S.MNDC vµ kho¶ng c¸ch gi÷a hai ®­êng th¼ng SA vµ MC theo a. 
Câu V ( 1,0 điểm) Cho x, y, z là ba số thùc tuú ý tho¶ m·n x + y + z = 3. Chøng minh r»ng víi 1a  ta lu«n cã : 
1 1 1
.
x y z x y z
x y z
a a a a a a
     
b. PHẦN RIÊNG(3,0®iÓm). (ThÝ sinh chØ ®­îc chän mét trong hai phÇn) 
a. Phần dành cho ch­¬ng tr×nh chuÈn. 
Câu VIa ( 2,0 điểm). 
1. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho tam giác ABC vu«ng t¹i A. Hai ®iÓm A, B thuéc trôc hoµnh. 
Ph­¬ng tr×nh c¹nh BC : 4 3 16 0x y   . X¸c đÞnh to¹ ®é trọng tâm G của tam giác ABC . BiÕt r»ng b¸n 
kÝnh ®­êng trßn néi tiÕp tam gi¸c ABC b»ng 1. 
2. Trong không gian với hệ trục toạ ®é Oxyz cho 1
1 1
: ,
2 1 1
x y z
d
 
  2
1 1 2
:
1 1 1
x y z
d
  
 

 vµ ®iÓm 
A(1; 1;2) . T×m to¹ ®é cac®iÓm ,B C lÇn l­ît thuéc 1d , 2d sao cho ®­êng th¼ng BC n»m trong mÆt ph¼ng 
®i qua A vµ ®­êng th¼ng 1d , ®ång thêi 2AC AB . BiÕt ®iÓm B cã hoµnh ®é d­¬ng. 
Câu VIIa (1,0 điểm). T×m sè phøc z tho¶ m·n :    1 . 2z z i  lµ sè thùc vµ 2z i  . 
b. Phần dành cho ban nâng cao. 
Câu VIb ( 2,0 điểm). 
1. Trong mÆt ph¼ng víi hÖ to¹ ®é Oxy cho h×nh ch÷ nhËt ABCD cã D( 1; 1)  , ®­êng th¼ng chøa ph©n gi¸c trong 
 gãc A cã ph­¬ng tr×nh lµ  : 2 0x y   . T×m té ®é ®iÓm B. BiÕt ®iÓm A cã tung ®é ©m vµ diÖn tÝch tø gi¸c 
 ABCD b»ng 6. 
2. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho ba điểm (1;0;1),A (3; 2;0),B  (1;2; 2).C  Viết phương trình mặt 
(P) ph¼ng ®i qua A sao cho tæng kho¶ng c¸ch tõ ®iÓm B vµ C ®Õn mÆt ph¼ng (P) lµ lín nhÊt . BiÕt r»ng mÆt 
ph¼ng (P) kh«ng c¾t ®o¹n th¼ng BC. 
Câu VIIb ( 1,0 điểm ). Cho hai sè phøc 1,z 2z tho¶ m·n 1 3z  , 2 2z  , 1 2 5z z  . TÝnh 1 2z z . 
----------------------------Hết------------------------- 
www.VNMATH.com
ĐÁP ÁN – HƯỚNG DẪN CHẤM 
Môn: Toán 
Câu 
Điểm 
Câu I 
(2 
điểm) 
1. ( 1.0 đ) 
*) Víi m = 0 hµm sè trë thµnh 3 3y x x  
*) TXĐ: D R 
*) Sự biến thiên: 
 - Chiều biến thiên: 2 3y' = 3x , 
 Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng  ; 1  và  1; . 
- Cực trị: Hµm sè ®¹t cùc ®¹i t¹i x = -1 ; y(c®) = 2. 
 Hµm sè ®¹t c­c tiÓu t¹i x = 1 ; y(ct) = -2. 
- Giới hạn : 
Ta có: lim
x
y

  
- Bảng biến thiên: 
x -  - 1 1 + 
y’ + 0 - 0 + 
y 
 2 + 
 -2 
-  
*) Đồ thị: 
Đồ thị hàm số đi qua các điểm  3;0 , (0,0),  3;0 , 
0,25 
0,25 
0,25 
x 
y 
O 
1 
-2 
-1 
2 
3 3 
www.VNMATH.com
 0,25 
 2. 
 + ta cã  , 2 26 3 1mx m  y = 3x 
 + ,y = 0   2 22 1mx m  x = 0. Ta cã , = 1>0 => ,y = 0 cã 2 nghiÖm pb vµ ®æi 
dÊu khi ®i qua c¸c nghiÖm ®ã. Suy ra hµm sè lu«n cã cùc trÞ m 
 + ®iÓm C§ A(m-1, 2-2m) , CT B(m+1, -2-2m) 
 + ph­¬ng tr×nh AB : 2x + y =0 , tõ ®ã suy ra A, B, I lËp thµnh 3 ®Ønh mét tam gi¸c. 
 + Víi R= 5 , TÝnh AB = 2 5 = 2R 
 suy ra tam gi¸c AIB vu«ng t¹i I, víi AB lµ ®­êng kÝnh. 
 Khi ®ã ta t­¬ng ®­¬ng víi ®iÒu kiÖn 2 2 2IA IB AB  210 4 6 0m m   => m= -1 hoÆc 
 m = 
3
5
 . VËy m = -1 hoÆc m = 
3
5
 th× bµi to¸n tho¶ m·n. 
0.25 
0,25 
0,25 
0,25 
Câu II 1( 1.0 đ) 
 §K : cos2x  0. 
 BiÕn ®æi ph­¬ng tr×nh  
2 2sin cos sin 2 cos .cos2 0x x x x x     
 BiÕn ®æi ph­¬ng tr×nh vÒ d¹ng 
2cos .cos2 1 0pt x x  
 2cos 2 cos 2 2 0pt x x    
 cos 2 1x  (tho¶ m·n §K) hoÆc cos2x = -2 (v« nghiÖm). 
 Víi cos2x = 1  2 2x k   x k , k Z. 
 Vậy phương trình có 1 họ nghiệm. x k , k Z. 
0,25 
0,25 
0.25 
0,25 
www.VNMATH.com
2(1.0đ) 
 Điều kiện 0,x  1 0x y   . 
 Tõ pt ®Çu cña hÖ ta ®­îc 1 1x x y    b×nh ph­¬ng 2 vÕ ta ®­îc 2 1y x y   
 B×nh ph­¬ng 2 vÕ biÕn ®æi vÒ d¹ng  
2
2 4y x  (1) 
 Tõ pt 2 cña hÖ biÕn ®æi ta ®­îc  
2 42 5 0y x    (2). 
 Thay (1) vµo (2) ta ®­îc pt 4 4 5 0x x    3 2( 1).( 5) 0x x x x     x = 1 hoÆc 
3 2 5 0x x x    
 Víi x =1 thay vµo (1) ta ®­îc  
2
2 4y   => y = 0 hoÆc y = - 4. 
 Víi 3 2 5 0x x x    pt v« nghiÖm do 3 2 5x x x   >0 víi 0x  . 
 Víi x = 1 , y = 0 thay vµo hÖ tho¶ m·n . 
 Víi x = 1 , y = -4 thay vµo hÖ kh«ng tho¶ m·n. 
 VËy hÖ cã nghiÖm duy nhÊt (x,y) = (1,0). 
0,25 
0,25 
0,25 
0,25 
Câu III 
( 
1điểm) 
 Ph©n tÝch 
2 2
2 2
1
2 (1 2 ln ) ln
( ln )
e
x x x x
I dx
x x x
  


 = 
2
2 2
1
( ln )
( ln )
e
x x
dx
x x x




2
2 2
1 ( ln )
e
x x
dx
x x x


 
 TÝnh 
2
2 2
1
( ln )
( ln )
e
x x
dx
x x x




2
2 2
1
( ln )
( ln )
e
x x
dx
x x x



 2
1
1
e
dx
x

1
1
e
 
 TÝnh 
2
2 2
1 ( ln )
e
x x
dx
x x x


 = 2
1
1
1
( ln )
e
x dx
x x



 2
1
( ln )
( ln )
e
d x x
x x



 1
1 1
1
ln 1
e
x x e
  
  
. VËy 
1 1
2
1
I
e e
  

. 
0,25 
0,25 
0.25 
0.25 
Câu 
IV 
(1 
điểm) 
* TÝnh thÓ tÝch h×nh chãp S.MNDC 
Ta cã NA= 3ND => NA = 
1
4
a , ND = 
3
4
a TÝnh 
5 5 5
, ,
4 2 4
MN a MC a NC a   . 
Suy ra MNC vu«ng t¹i M => ( )MN SMC MN SH   => ( )
SH MC
SH ABCD
SH MN
 
 
 
0,5 
www.VNMATH.com
+ TÝnh 2 2SH SA AH  , gäi I lµ trung ®iÓm BM 
=> 2 2 2 2
13 3
16 4
AH IH AI a SH a     
+ TÝnh 2
11
16
MNDCS a . Suy ra 
3
.
1 11 3
.
3 192
S MNDC MNDCV SH S a  (dvtt) 
* TÝnh kho¶ng c¸ch gi÷a SA vµ MC theo a. 
 Gäi K lµ trung ®iÓm CD => MC //(SAK) => d(MC,SA) = d(MC,(SAK)) = d(H,(SAK)) 
H¹ ,HE AK HF SE  suy ra ( )HF SAK => d(H,(SAK)) = HF. 
 + gi¶ sö MN c¾t AK t¹i T => tø gi¸c MTEH lµ h×nh ch÷ nhËt => 
2
5
AM a
HE MT
MN
   
Suy ra 
2 2
. 3
.
31
SH HE
HF a
SH HE
 

 VËy d(MC,SA) = d(H,(SAK)) 
3
.
31
a 
(Kh«ng vÏ h×nh hoÆc vÏ h×nh sai kh«ng chÊm ®iÓm) 
0,5 
 S 
 F 
 B A 
 I M T 
 N 
 H 
 C E D 
 K 
www.VNMATH.com
* Víi a = 1 ta thÊy B§T ®óng . 
* Ta xÐt khi a > 1. 
Hµm sè y= 
1 1
t
t
y
a a
 
   
 
 nghÞch biÕn víi t R  , khi a > 1. 
Khi ®ã ta cã 
Ta có : 
1 1
( )( ) 0,
x y
x y
a a
   , .x y R  
 Suy ra 
x y y x
x y x y
a a a a
   (1) 
Chøng minh t­¬ng tù 
y z y z
y z z y
a a a a
   (2) 
z x z x
z x x z
a a a a
   (3) 
Céng vÕ víi vÕ (1) ,(2) vµ (3) ta ®­îc 2( )
x y z x y z
x y z y z z x x y
a a a a a a
  
     (4) 
0.25 
0,25 
 Céng 2 vÕ cña (4) víi biÓu thøc 
x y z
x y z
a a a
  ta ®­îc 
1 1 1
3( ) ( )( )
x y z x y z x y z
x y z x y z x y z x y z
x y z
a a a a a a a a a
     
          
0.25 
 Suy ra 
1 1 1
.
x y z x y z
x y z
a a a a a a
     ( do x + y + z = 3 ) 
DÊu b»ng x¶y ra khi chØ khi x = y = z = 1. (®pcm) 
0.25 
Câu V 
( 1 
điểm) 
Câu 
VIa 
(2 
điểm) 
1. ( 1điểm) 
Ta cã ®iÓm B lµ giao cña trôc Ox vµ ®­êng th¼ng BC lªn to¹ ®é ®iÓm B lµ nghiÖm cña hÖ: 
4 3 16 0 4
0 0
x y x
y y
    
 
  
 => B(4, 0). 
Ta cã AOx nªn gi¶ sö A(a,0) (a 4), C BC =>
16 4
( , )
3
a
C a

 (do ABC nªn A Cx x a  ). 
Ta cã 
1 1 16 4
. 4
2 2 3
ABC
a
S AB AC a

   , mµ .ABCS p r , víi ; 1
2
AB BC CA
p r
 
  
Tõ ®ã ta ®­îc 
1 16 4 1 16 4 5
4 ( 4 4 )
2 3 2 3 3
a a
a a a
 
      
=>  
22 1 4 5
4 4 (1 )
3 2 3 3
a a     => a = 1 hoÆc a = 7. 
0,25 
0,5 
www.VNMATH.com
Víi 
4
1 (1;0), (1;4), (4;0) (2; ).
3
a A C B G   
Víi 
4
7 (7;0), (7; 4), (4;0) (6; ).
3
a A C B G     
VËy cã hai to¹ ®é träng t©m 
4
(2; )
3
G hoÆc 
4
(6; ).
3
G  
0,25 
 2.(1.0 đ) 
 + 1d ®i qua M( 0,1,1) vtcp 1 1(2,1,1) ( 1,2, 1) , ( 3,1,5)u AM u AM         
  
 => (P) : -3x + y + 5z - 6 = 0 
 + Theo gi¶ thiÕt ( )C P vµ 2C d => 2 ( )C d P  => C(-1,3,0) 
+ 1B d => B(2t; 1+t; 1+t) . Ta cã 24,AC  
26 2 6AB t t   
+ AC = 2AB 26 2 6 6t t    => t = 0 hoÆc t = 
1
3
 Víi t = 0 => B(0,1,1) ( lo¹i) do hoµnh cña B b»ng 0. 
 Víi t = 
1
3
 => B(
2
,
3
4
,
3
4
3
) tho¶ m·n. 
VËy 2 ®iÓm ph¶i t×m C(-1,3,0) , B(
2
,
3
4
,
3
4
3
) 
0,25 
0,25 
0,25 
0,25 
Câu 
VIIa 
( 1 
điểm) 
Gi¶ sö z = a + bi , ( , )a b R 
 Khi ®ã: 
       ( 1).( 2 ) ( 1) . (2 ) ( 1) (2 ) 2 2 2 2z z i a bi a b i a a b b a b i R a b                  (1) 
 +  
222 2 1 2z a b      (2) 
 Tõ (1) vµ (2) ta ®­îc a = 1 , b = 0 hoÆc 
1
5
a

 , 
12
5
b  
 VËy 1 1,z  2
1 12
5 5
z i

  
0,5 
0,25 
0,25 
Câu 
VIb 
(2 
điểm) 
1( 1.0 đ) 
 + Gäi E ®èi xøng víi D qua E AB  
 ViÕt pt®t DE ®i qua E vµ vu«ng gãc víi  => pt d¹ng x + y + 2 = 0 
 + Gi¶ sö DE I  . Khi to¹ ®é ®iÓm I lµ nghiÖm cña hÖ 
2 0
( 2,0).
2 0
x y
I
x y
  
 
  
 Mµ I lµ trung ®iÓm DE => E(-3,1). 
0.25 
www.VNMATH.com
 + §iÓm A thuéc ®­êng trßn (C) t©m I(-2,0) , b¸n kÝnh 2ID  => (C) :  
2 22 2x y   
 Tõ ®ã to¹ ®é ®iÓm A lµ nghiÖm cña hÖ 
 
2 2
2 0
2 2
x y
x y
  

  
 => A(-3,-1) , A(-1,1) ( lo¹i do 0)Ay  
 ViÕt ph­¬ng tr×nh ®­êng th¼ng AE : x + 3 = 0 
 Do B AE nªn gi¶ sö B(-3,b) . Ta cã AD = 2 nªn ABCDS = AB.AD = 6 => AB = 3 
 Tõ ®ã ta ®­îc 
2
1 3
4
b
b
b

     
 Víi b = 2 => B(-3,2) , víi b = -4 => B(-3,-4) 
. 
 Do  lµ ph©n gi¸c trong gãc BAD nªn B vµ D n»m kh¸c phÝa víi ®t  
 KiÓm tra ®iÒu kiÖn f(B).f(D) < 0 khi ®ã ta ®­îc B(-3,2) tho¶ m·n. 
 VËy B(-3,2) lµ ®iÓm cÇn t×m. 
0,25 
0,.25 
0,25 
 2.(1.0đ) 
 Gi¶ sö I lµ trung ®iÓm cña BC => I(2,0,-1) 
Gäi M, N, H lÇn l­ît lµ h×nh chiÕu vu«ng gãc cña B , C, I lªn mÆt ph¼ng (P) => H lµ trung ®iÓm 
cña MN. 
 Khi ®ã tø gi¸c BMNC lµ h×nh thang vu«ng vµ IH lµ ®­êng trung b×nh cña h×nh thang. 
Khi ®ã ta cã d(B,(P)) + d(C,(P)) = BM + CN = 2IH 2IA (do AHI vu«ng t¹i H ). 
VËy d(B,(P)) + d(C,(P)) lín nhÊt b»ng 2IA x¶y ra khi chØ khi H trïng víi A. 
VËy mp(P) cÇn viÕt ®i qua A(1,0,1) nhËn (1,0, 2)AI  

 lµm VTPT nªn cã pt (P): 2 1 0x z   
0.25 
0.5 
0.25 
Câu 
VIIb 
(1 
điểm) 
 Gäi 1 1 1 1 1, ( , )z a b i a b R   , 2 2 2 2 2, ( , )z a b i a b R   
Tõ gi¶ thiÕt bµi to¸n ta cã 
   
2 2
1 1
2 2
2 2
2 2
1 2 1 2
3
4
5
a b
a b
a a b b
  

 

   
 => 1 2 1 22( ) 2a a b b  . 
VËy          2 2 2 2 2 21 2 1 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 22 3z z a a b b a b a b a a b b            
Chú ý: Nếu học sinh làm cách khác đúng thì cho điểm tối đa câu đó. 
0.25 
0.5 
0,25 
www.VNMATH.com
www.VNMATH.com