Đề khảo sát chất lượng các môn thi đại học lần 2 Môn: Toán; khối A+B

Trường thpt trần phú nga sơn Đề khảo sát chất lượng các môn thi đại học lần 2 
Đề chính thức năm học 2010 -2011 
(Đề gồm 1 trang) Môn : Toán ; khối A+B 
Thời gian làm bài 180 phút, không kể thời gian giao đề 
I, Phần chung cho tất cả các thí sinh (7,0 điểm) 
Câu I ( 2.0 điểm) 
Cho hàm số  3 2 3 2 y x x = - + (C) 
1. Khảo sát và vễ đồ thị (C) hàm số đã cho. 
2. Tìm m để phương trình  3 2  2 3 2 log x x m - + = có 8 nghiệm phân biệt. 
Câu II (2,0 điểm). 
1.Giải phương trình : 
2( cos ) 1 
cot 2 1 
x sinx 
tanx x cotx 
- 
= 
+ - 
2.Giải hệ phương trình : 
3 2 2 3 
2 2 
(1 ) (2 ) 30 0 
(1 ) 11 0 
x y y x y y xy 
x y x y y y 
ỡ + + + + - = ù 
ớ 
+ + + + - = ù ợ  ( ; ) x y R ẻ 
Câu III (1,0 điểm). Tính tích phân 
3 
2 
4 
( ) 
1 
tanx 
I dx 
cosx cos x 
p 
p 
= 
+ 
ũ 
Câu IV (1,0 điểm). Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy AB = a ; chiều cao SO = 
6
2 
a 
.Mặt phẳng (P) qua A 
vuông góc với SC cắt SB, SC, SD lần lượt tại B’, C’, D’.Chứng minh rằng AC’ vuông góc với B’D’ và tính thể tích khối chóp 
S.AB’C’D’. 
Câu V (1,0 điểm).Cho a,b,c là các số dương thoả mãn abc =1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : 
2 2 2 2 2 2 
bc ca ab 
M 
a b a c b c b a c a c b 
= + + 
+ + + 
II.Phần riêng(3.0 điểm) 
Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần A hoặc phần B) 
A. Theo chương trình Chuẩn 
Câu VI.a (2,0 điểm). 
1. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy , cho đường thẳng (d 1 ) : 3 4 5 0 x y + + = và (d 2 ) : 4 3 5 0 x y - - = . 
Viết phương trình đường tròn có tâm nằm trên đường thẳng ( D ):  6 10 0 x y - - = và tiếp xúc với hai đường thẳng (d 1 ) và (d 2 ). 
2. Trong không gian toạ độ Oxyz cho hai đường thẳng: 
(d 1 ) : 
2 4 
1 1 2 
x y z - + 
= = 
- 
và (d 2 ): 
8 6 10 
2 1 1 
x y z + - - 
= = 
- 
. Lập phương trình đường thẳng (d) cắt (d 1 ) , (d 2 ) và (d) song 
song với trục Ox 
Câu VIIa(1,0 điểm). Cho hai số phức  1 z và  2 z thoả mãn  1 2  1 z z = = ;  1 2  3 z z + = . Tính  1 2 z z - . 
B. Theo chương trình nâng cao 
Câu VI.b (2,0 điểm). 
1. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy , cho tam giác ABC có đỉnh A(-1;3), đường cao BH nằm trên đường thẳng  y x = , phân giác 
trong góc C nằm trên đường thẳng :  3 2 0 x y + + = . Viết phương trình cạnh BC. 
2. Trong không gian toạ độ Oxyz cho điểm M(1;2;-1) và N(7;-2;3) đường thẳng (d) có phương trình : 
1 2 2 
3 2 2 
x y z + - - 
= = 
- 
. Tìm điểm I thuộc (d) sao cho IM + IN nhỏ nhất. 
Câu VIIb (1,0 điểm). Giải phương trình :  5 4 log (3 3 1) log (3 1) 
x x + + = + 
www.laisac.page.tl 
 ..
Trường thpt trần phú nga sơn 
đáp án Đề khảo sát chất lượng các môn thi đại học lần 2 
năm học 2010 -2011 
Môn : Toán ; khối A+B 
Câu Đáp án Điểm 
C.1 
Câu I (2,0 điểm). 
1, 1, TXĐ : R y 
2, Sự biến thiên 
a, Giới hạn của hàm số tại vô cực 
lim 
x 
y 
đ+Ơ 
= + Ơ ;  lim 
x 
y 
đ-Ơ 
= - Ơ 
b, Bảng biến thiên 
y’=3x 2 -6x, y’ = 0 khi x= 0;x= 2. 
x - Ơ 0 2 + Ơ 
y’ + 0 - 0 + x 
2 +Ơ 
y 
- Ơ -2 
3, Vẽ đồ thị 
Điểm uốn (1;0) 
Giao với Ox: (1;0);  (1 3;0); (1 3;0) - + 
Giao với Oy: (0;2) 
------------------------------------------------------------------------------------------------- 
2, y 
Số nghiệm của phuơng trình là số giao 
điểm của hai đồ thi hàm số y=  2 log  m 
và y=  3 2 3 2 x x - + . 
Vẽ đồ thị y=  3 2 3 2 x x - + như sau : 
Từ đồ thị câu 1 ta bỏ phần bên trái Oy 
lấy đối xứng phần còn lại qua Oy , tiếp 
tục bỏ phần đồ thị bên dưới Ox lấy đối x 
xứng phần bị bỏ qua Ox ta được đồ thi 
như hình vẽ. 
Phương trình đã cho có 8 nghiệm phân 
biệt khi: 
0 <  2 log  m < 2  1 4 m Û p p 
Vậy 
1 4 
4 1 
m 
m 
< < ộ 
ờ - < < - ở 
0,25 
0,25 
0,25 
0,25 
0,25 
0,25 
0,25 
0,25 
1 3 + 
O 
2 
1 3 - 2 
-2 
O 
2 
-2
CII 
Câu II (2,0 điểm). 
1. 
2( cos ) 1 
cot 2 1 
x sinx 
tanx x cotx 
- 
= 
+ - 
. (1) 
Đk 
cot 1 
cos .sin 2 .( 2 ). 0 
x 
x x tanx cot x sinx 
ạ ỡ 
ớ + ạ ợ 
(1) Û 
1 2(cos sin ) 
2 
1 
sin 2 sin 
x x 
sinx cos x cosx 
cosx x x 
- 
= 
+ - 
2 ( ) 
.sin 2 2  4 2 2sin . 2 sin 
2 
2 ( ) 
4 
x k loai 
cosx x 
sinx x cosx x cosx 
cosx 
x k Nhan 
p p 
p p 
ộ = + ờ 
Û = Û = Û = Û ờ 
ờ = - + ờ ở 
Vậy x =  2 
4 
k p p - + (k  ) Z ẻ 
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
2. 
3 2 2 3 
2 2 
(1 ) (2 ) 30 0 
(1 ) 11 0 
x y y x y y xy 
x y x y y y 
ỡ + + + + - = ù 
ớ 
+ + + + - = ù ợ 
( )( ) 30 
( ) 11 
xy x y xy x y 
xy x y xy x y 
+ + + = ỡ 
Û ớ + + + + = ợ 
Khi đó ta được 
5 
1 
x y 
xy 
+ = ỡ 
ớ = ợ 
hoặc 
2 
3 
xy 
x y 
= ỡ 
ớ + = ợ 
-Với 
2 
3 
xy 
x y 
= ỡ 
ớ + = ợ 
ta được 
nghiệm là :  (1;2) ;  (2;1) 
-Với 
1 
5 
xy 
x y 
= ỡ 
ớ + = ợ 
ta được ngiệm là 
5 21 5 21 
( ; ) 
2 2 
- + 
, 
5 21 5 21 
( ; ) 
2 2 
+ - 
Đáp số : Hệ có 4 nghiệm như trên. 
0,25 
0,25 
0,25 
0,25 
0,25 
0,25 
0,25 
0,25 
CIII Câu IiI (1,0 điểm). 
3 
2 
4 
( ) 
1 
tanx 
I dx 
cosx cos x 
p 
p 
= 
+ 
ũ = 
3 
2 
2 4 
( ) 
1 
1 
tanx 
dx 
cos x 
cos x 
p 
p + 
ũ = 
3 
2 2 
4 
( ) 
2 tan 
tanx 
I dx 
cos x x 
p 
p 
= 
+ 
ũ . 
Đặt t =  2 2 tan  x + thì dt = 
2 2 
tan 
cos 2 tan 
xdx 
x x + 
. 
Đổi cận : Với x = 
4 
p 
thì t =  3 , x = 
3 
p 
thì t =  5 . 
Ta được 
5 
3 
5 3 I dt = = - ũ 
0,25 
0,25 
0,25 
0,25
C.IV 
Câu IV (1,0 điểm). 
Dựng AC’ vuông góc với SC . Gọi O là tâm 
đa giác đáy .G là giao điểm của AC’ và SO . 
Qua G dựng đường thẳng song song với BD 
cắt SB,SD tại B’ và D’ 
Vì SC ^ AC’ và SC ^ BD nên SC ^ B’D’. Lại 
có BD//B’D’ mà BD ^ AC’ nên B’D’ ^ AC’ 
Tam giác SAC đều nên AC’ = SO = 
6
2 
a 
, 
G là trọng tâm tam giác SAC nên 
B’D’ = 
2 
2 
3 
a 
2 
' ' ' 
1 3 
'. ' ' 
2 3 AB C D 
a 
S AC B D ị = = 
Vậy 
3 
' ' ' ' ' ' 
1 6 
. ' 
3 18 SAB C D AB C D 
a 
V S SC = = (đvtt) 
0,25 
0,25 
0,25 
0,25 
CV. Câu V (1,0 điểm). 
2 2 2 2 2 2 
bc ca ab 
M 
a b a c b c b a c a c b 
= + + 
+ + + 
Đặt x =bc, y =ca, z =ab ( x > 0, y > 0, z > 0) thì xyz = 1 và 
2 2 2 x y z 
M 
y z z x x y 
= + + 
+ + + 
áp dụng BĐT cosi ta có 
2 
4 
x y z 
x 
y z 
+ 
+ ³ 
+ ; 
2 
4 
y z x 
y 
z x 
+ 
+ ³ 
+ ; 
2 
4 
z x y 
z 
x y 
+ 
+ ³ 
+ 
Vậy M 
3 3  3 
2 2 2 
xyz x y z + + 
³ ³ = . Vậy GTNN của M là 
3 
2 
khi x = y =z =1 tức là a =b =c =1 . 
0,25 
0,25 
0,5 
C.VI 
a 
Câu VIa (2,0 điểm). 
1. ( ( ) : 6 10 0 x y D - - = có phương trình tham số 
4 6 
1 
x t 
y t 
= + ỡ 
ớ = - + ợ 
. 
Xét điểm E(4+6t;-1+t)ẻ ( ) D . 
Ta có  1 ( , ) d E d = 
3(4 6 ) 4( 1 ) 5 22 13 
5 5 
t t t + + - + + + 
= 
2 ( , ) d E d = 
4(4 6 ) 3( 1 ) 5 21 14 
5 5 
t t t + - - + - + 
= . 
Ta phải có  1 ( , ) d E d =  2 ( , ) d E d 
1 
22 13 21 14  27 
43 
t 
t t 
t 
= ộ 
ờ Û + = + ị - ờ = 
ở 
Với t =1 thì E(10;0) và R = 7 phương trình đường tròn là  2 2 ( 10) 49 x y - + = 
Với t = 
27 
43 
- 
thì E( 
10 70 
; ) 
43 43 
- 
và R = 
7 
43 
phương trình đường tròn là: 
2 2 
2 
10 70 49 
43 43 43 
x y ổ ử ổ ử - + + = ỗ ữ ỗ ữ 
ố ứ ố ứ 
0,25 
0,25 
0,25 
0,25 
D 
S 
A B 
C 
B’ 
C’
’’’ 
O 
D’ 
G
 .. 
1. Phương trình tham số của ( ) 1 d , ( ) 2 d tương ứng là 
( ) 1 d  2 
2 4 
x t 
y t 
z t 
= ỡ 
ù = - + ớ 
ù = - ợ 
( ) 2 d 
2 ' 8 
' 6
' 10 
x t 
y t 
z t 
= - ỡ 
ù = + ớ 
ù = - + ợ 
Lấy M(t; -t+2; 2t-4), N(2t’-8; t’+6; -t’+10) 
Ta có 
(2 ' 8; ' 4; ' 2 14). MN t t t t t t = - - + + - - + 
uuuur 
Để MN nằm trên Ox hay MN // Ox cần và đủ là 
' 4 0 
' 2 14 0 
t t 
t t 
+ + = ỡ 
ớ + - = ợ 
Ta được 
18 
' 22 
t 
t 
= ỡ 
ớ = - ợ 
. 
Vậy M(18; -16; 32) , MN 
uuuur 
=(-70;0;0) .Từ đó ta được phương trình đường thẳng (d) là 
18 70 
16 ( ) 
32 
x t 
y t R 
z 
= - ỡ 
ù = - ẻ ớ 
ù = ợ 
. Vì M không thuộc Ox nên (d) //Ox. 
0,25 
0,25 
0,25 
0,25 
C,
Vii 
a 
CVi 
b 
CâuVIIa (1,0 điểm). 
1 2  1 z z = = ;  1 2  3 z z + = . Tính  1 2 z z - . 
Đặt  1 1 1 2 2 2 ; z a b i z a b i = + = + . Từ giả thiết ta có hệ phương trình 
2 2 2 2 
1 1 2 2 
2 2 
1 2 1 2 
1 
( ) ( ) 3 
a b a b 
a a b b 
ỡ + = + = ù 
ớ 
+ + + = ù ợ 
. 
Suy ra 2  2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 ( ) 1 ( ) ( ) 1 1 a b a b a a b b z z + = ị - + - = ị - = 
 .. 
CâuVIb (2,0 điểm). 
1. Đường thẳng AC đi qua A và ^ BH nên có 
phương trình là x+ y -2 = 0, C là giao điểm 
của AC và phân giác trong của nó nên C(4;-2) 
Gọi A’ là điểm đối xứng của A qua đường 
phân giác trong góc C thì A’C chứa cạnh BC 
Gọi E là giao điểm của AA’ và x+3y+2=0 thì E là trung 
điểm của AA’. Đưởng thẳng AA’ đi qua A và ^ CE nên 
pt : 3x –y + 6 = 0 suy ra E(-2;0) và A’(-3;-3). Vậy đường 
thẳng A’C có phương trình là : x – 7y – 18 = 0. 
Đáp số : BC có phương trình là : x -7y -18 = 0 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 
2.Đường thẳng d có VTCP =  (3; 2; 2); (6; 4; 4) 2 u MN MN u = - = - ị = 
r uuuur uuuur r 
, M  d ẽ nên MN//d , 
do đó trên mặt phẳng (d;MN) gọi M’ là điểm đối xứng với M qua d và (a ) là mp qua M và 
d ^ suy ra (a ) có phương trình 3x -2y +2z + 3 =0 . Gọi H 
=d  ( ) ( 1;2;2) '( 3;2;5). ' / / H M I M N d HI MN I a ầ ị - ị - = ầ ị ị là trung điểm của M’N 
nên I(2;0;4) là điểm cần tìm. 
Câu VIIb (1,0 điểm). Đặt  5 4 log (3 3 1) log (3 1) 
x x  t + + = + = . Ta được : 
3 1 4  1 2 
3 2 5 3( ) ( ) 1 
5 5 3 3 1 5 
x t 
t t t t 
x t 
ỡ + = ù ị + = Û + = ớ 
+ + = ù ợ 
Vế trái là một hàm số nghịch biến còn vế phải bằng 1 nên nghiệm t = 1 là duy nhất 
Với t =1 ta có x =1. 
Đáp số : x =1 . 
--------- Hết-------- 
0,5 
0,5 
0,25 
0,25 
0,25 
0,25 
0,25 
0,25 
0,25 
0,25 
0,25 
0,25 
0,25 
0,25 
A’ B 
E 
A H C
-------------------------------------------------Hết--------------------------------------------------------------------