Đề thi tuyển sinh đại học bách khoa Hà Nội môn toán khối A năm 2000

ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI
 MÔN TOÁN KHỐI A NĂM 2000
Câu I . Cho hàm số y = f(x) = x3 + ax + 2 , a là tham số .
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi a = -3.
Tìm tất cả các giá trị của a để đồ thị hàm số y = f(x) cắt trục hoành tại một và chỉ một điểm.
Câu II 
Giải bất phương trình : 	
b) Giải phương trình : 	
Câu III
Gọi A , B , C là ba góc của tam giác ABC. Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để tam giác ABC đều là có hệ thức:
Với n là số tự nhiên bất kỳ lớn hơn 2 , tìm x thuộc khoảng thỏa mãn phương trình:	
Câu IV . Trong không gian với hệ tọa độ Đề các trực chuẩn Oxyz cho đường thẳng (d) và mặt phẳng (P) có phương trình :
	(d): 
	(P) : 2x – 2y + z – 3 = 0 
Tìm tọa độ giao điểm A của đường thẳng (d) cới mp (d) với mặt phẳng (P) . Tính góc giữa đường thẳng (d) và mặt phẳng (P) .
Viết phương trình hình chiếu vuông góc (d’) trên mặt phẳng (P). Lấy điểm B nằm trên đường thẳng (d) sao cho AB = a , với a là số dương cho trước . Xét tỉ số với điểm M di động trên mặt phẳng (P) . Chứng tỏ rằng tồn tại một vị trí của M để tỉ số đó có giá trị lớn nhất và tìm giá trị lớn nhất ấy .
Câu V ( tự chọn) Cho hàm số g(x) = sinxsin2xcos5x.
Tìm họ nguyên hàm của hàm số g(x).
Tính tích phân 	
Câu VI (tự chọn)
a) Tìm 2 số A, B để hàm số 	 có thể biểu diễn dưới dạng : , từ đó tính tích phân 
b) Tính tổng 
(n là số tự nhiên bất kỳ lớn hơn 3 , là số tổ hợp chập k của n phần tử)