(Đề đề nghị) thi học sinh giỏi cấp trường năm học 2007 – 2008 môn Toán lớp 12 - Trường THPT Việt Đức

 SỞ GD-ĐT ĐĂK LĂK
TRƯỜNG THPT VIỆT ĐỨC 
ĐỀ THI CHỌN HS GIỎI TỈNH NĂM HỌC 2007-2008 (ĐỀ ĐỀ NGHỊ)
MÔN TOÁN LỚP 12 - THỜI GIAN 180 PHÚT
A. ĐỀ RA: 
Câu 1: (4,0 điểm )
 Định giá trị của m để phương trình sau có nghiệm:
 (1)
Câu 2: ( 4,0 điểm) 
Giải hệ phương trình sau: 
Câu 3: ( 4,0 điểm)
 Chứng minh rằng nếu các số tự nhiên x, y, z thỏa mãn điều kiện:
 thì .
Câu 4: (4,0 điểm) 
Chứng minh rằng mọi tứ diện luôn tồn tại ít nhất một đỉnh mà ba cạnh xuất phát từ đỉnh
 đó có độ dài thích hợp để lập thành một tam giác. 
Câu 5: (4,0 điểm) 
Cho các số thực x, y. Chứng minh rằng nếu tập hợp 
hữu hạn thì .
B. ĐÁP ÁN ĐỀ THI HS GIỎI TỈNH TRƯỜNG THPT VIỆT ĐỨC 
Câu 1: Điều kiện: .
 Nhận thấy rằng: 
Nên tồn tại góc sao cho:
 và 
Với 
 Xét hàm số: 
 . 
Hàm số nghịch biến trên đoạn và 
Suy ra phương trình (1) có nghiệm khi phương trình (2) có nghiệm trên đoạn khi và chỉ khi: 
Câu 2: 
Xét hàm số đại diện: 
Hàm số đồng biến trên khoảng và nghịch biến trên khoảng 
Hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại 
 v à . Vậy x, y, z thuộc miền đồng biến, suy ra hệ phương trình là hệ hoán vị vòng quanh.
Không mất tính tổng quát giả sử 
 . 
Thay vào hệ ta có: 
Suy ra: x = y = z = 3
Câu 3: Gỉa sử các số tự nhiên x, y, z thỏa mãn phương trình 
 Không mất tính tổng quát ta giả sử . Vì 
So sánh (1) và (2) ta có : vì .
Do đó 
Câu 4: Xét tứ diện ABCD, không mất tính tổng quát giả sử AB là cạnh dài nhất của tứ diện đang xét.
Bằng phản chứng ta giả sử rằng: Khẳng định của bài toán là sai, nghĩa là không có đỉnh nào trong tứ diện để cho ba cạnh xuất phát từ đỉnh đó có độ dài thích hợp để lập thành một tam giác. Khi đó ta có: 
 xét đỉnh A
 xét đỉnh B
Suy ra: 
Ta xét các tam giác ABC và ABD ta có: 
Mâu thuẫn giữa (1) và (2) ta suy ra ĐPCM.
Câu 5: Đặt và . Khi đó:
 .
Gỉa sử tập hợp hữu hạn, ta suy ra cũng là tập hợp hữu hạn, do đó suy ra được và cũng là tập hữu hạn 
vì và .
Do tập hữu hạn nên 
Tương tự