Đề cương ôn tập thi tốt nghiệp THPT – Ban cơ bản - Chủ đề: Khảo sát hàm số và các bài toán liên quan

ĐỀ CƯƠNG ÔN T HI TỐT NGHIỆP NĂM HỌC 2011 – 2012
MÔN : TOÁN 
 A /Chủ đề 1 : Khảo sát hàm số và các bài toán liên quan : 
 I/ Sơ đồ khảo sát hàm số:
1 / Tập xác định 
 Hàm số bậc 3 và bậc 4 : TXĐ : D = R
 Hàm số hữu tỷ : TXĐ : D = R – { - d/c } 
 2/ Sự biến thiên.
. Xét chiều biến thiên của hàm số.
 + Tính đạo hàm y’.
 + Tìm các điểm tại đó đạo hàm y’ bằng 0 hoặc không xác định
 + Xét dấu đạo hàm y’ và suy ra chiều biến thiên của hàm số
. Tìm cực trị
. Tìm các giới hạn tại vô cực, các giới hạn vô cực và tìm tiệm cận (nếu có)
. Lập bảng biến thiên. (Ghi các kết quả tìm được vào bảng biến thiên)
Hàm bậc 3 :
x
y’
 +
 -
 +
y
 C Đ
 CT
Trường hợp a > 0 . y’ = 0 có hai nghiệm
x
y’
 -
 +
 - 
y
 CĐ CT
Trường hợp a < 0 . y’ = 0 có hai nghiệm
x
y’
 + 
 +
y
Trường hợp a > 0 , y’ = 0 không nghiệm hoặc nghiệm kép
x
y’
 - 
 - 
y
Trường hợp a < 0 , y’ = 0 không nghiệm hoặc nghiệm kép
Hàm bậc 4 :
x
y’
 -
 +
 -
 +
y
 CT
CĐ
 CT
Trường hợp a > 0 , y’ = 0 có ba nghiệm
x
y’
 +
 -
 +
 -
y
CĐ
 CT
CĐ
Trường hợp a < 0 , y’ = 0 có ba nghiệm
 x
 y’
 - 
 +
 y
 CT
 Trường hợp a > 0 , y’ = 0 có một nghiệm
 x
 y’
 +
 -
 y
 CĐ
 Trường hợp a < 0 , y’ = 0 có một nghiệm
Hàm hữu tỷ :
x
y’
 +
 +
y
Trường hợp ac – bd > 0
x
y’
 -
 -
y
Trường hợp ac – bd < 0
3 / Đồ thị : Dựa vào bảng biến thiên và các yếu tố xác định ở trên để vẽ đồ thị
 a / Hàm bậc ba:
Trường hợp a > 0 ,pt y’ = 0 có 2 nghiệm
Trường hợp a < 0 ,pt y’ = 0 có 1nghiệm
Hoặc vô nghiệm
Trường hợp a < 0 , pt y’ = 0 có hai nghiệm
Trường hợp a < 0 , pt y’ = 0 có một nghiệm,VN
 b/Hàm bậc bốn trùng phương:
Trường hợp a > 0 , pt y’ = 0 có 3 nghiệm
Trường hợp a > 0 , pt y’ =0 có 1 nghiêm.
 Trường hợp a < 0 , pt y’= 0 có 3 nghiệm
Trường hợp a < 0 , pt y’ = 0 có một nghiệm
 ( Kèm theo giáo án điện tử bài Khảo sát hàm số )
 II / Các bài toán liên quan đến khảo sát : ( Kèm theo bài GA ĐT bài toán phương trình tiếp tuyên, bài toán biện luận nghiệm pt theo đồ thị ) 
 1/ B ài toán Phương trình tiếp tuyến :Cho hàm số y = f ( x ) ,Gọi (C ) là đồ thị của nó , hãy viết phương trình tiếp tuyến của đường cong ( C ) tại điểm M0(x0;f(x0)).
Cách giải : Phương trình có dạng :
 y – y0 = f ’(x0) ( x – x0 )
 Ví dụ : Cho hàm số y = x3 – 2x2 + 1. Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị ( C ) của nó tại điểm M ( -1 ; -2 ) . 
 Giải : Ta thấy M là một điểm thuộc đồ thị ( C ) . 
 Đạo hàm f ’(x) = 3x2 – 4x => f ’(-1 ) = 7
 Vậy phương trình tiếp tuyến tại M có dạng:
 y – (-2) = 7 ( x – (-1)) ó y+2 = 7x + 7
 Hay y = 7x + 5
 2/ B ài toán biện luận nghiệm của phương trình bằng đồ thị : 
 Dựa vào đồ thi biện luận số nghiệm của phương trình f ( x;m ) = 0 (1) 
- Biến đổi F(x,m) = 0 Û f(x) = g(x,m)
- Vẽ đồ thị (C) : y = f(x) và đường thẳng D: y = g(x,m)
- Số nghiệm của phương trình (1) chính là số giao điểm của đồ thị (C) với đường thẳng D
 VÍ Dụ 1: Dùng đồ thị, biện luận theo m số nghiệm của phương trình:
4x3 -3x - m = 0 (1)
Lời giải:
Biến đổi :
 4x3 -3x - m = 0
 Û 4x3 -3x = m
Vẽ đồ thị 
 (C) : y = 4x3-3x 
và D : y = m
Ta thấy : 
 * m 1 : 
 đồ thị và đường thẳng cắt nhau 
tại một điểm phương trình có
 một nghiệm.
 * m = -1 hoăc m = 1, đồ thị và
Đường thẳng cắt nhau tại 2 điểm
Phương trình có hai nghiệm.
* -1 < m <1 : đồ thị và đường thẳng cắt nhau tại hai điểm , phương trình có ba nghiệm.
 3 / Bài toán tìm diện tích hình phẳng : 
 Dùng công thức tings tích phân để tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị ( C ) của hàm số , trục Ox, đường thẳng x = a ; x = b .
 Ví dụ :VD1. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường
 y = x2, x = 0, x = 3, trục Ox
 Giải : Ta có công thức : = 9 (đvdt)
III / Bài tập áp dụng : Ví dụ 1 : Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số (C),Dựa vào đồ thị (C) tìm k để phương trình : (1) có 3 nghiệm phân biệt.
Giải :Hàm số
 * Tập xác định: D= R
 * Sự biến thiên
 Hàm số nghịch biến trên 
 và đồng biến trên khoảng (0;2)
 Hàm số có cực trị: 
 Các giới hạn: 
 Bảng biến thiên:
x
 0 2 
y’
 - 0 + 0 -
y
 4
 0 
 * Đồ thị 
 Đồ thi cắt trục Ox tại điểm (0;0), (3;0)
 Đồ thi cắt trục Oy tại điểm (0;0)
2. Phương trình: 
 (1)
Dựa vào đồ thị thì để (1) có 3 nghiệm khi 
Vậy với thì phương trình (1) có 3 nghiệm phân biệt.
 Ví dụ 2 :Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số 
Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) tại điểm cực đại của (C).
 Giải :Hàm số
 * Tập xác định: D= R
 * Sự biến thiên
 Hàm số đồng biến trên 
 và nghịch biến trên khoảng 
 Hàm số có cực trị: 
 Các giới hạn: 
 Bảng biến thiên:
x
 -1 0 1 
y’
 - 0 + 0 - 0 +
y
 3 
 2 2
 * Đồ thị 
 Đồ thi cắt trục Oy tại điểm (0;3)
 4
2
-2
-4
-5
5
f
x
(
)
 = 
x
4
-2
×
x
2
(
)
+3
 *. Ta có tọa độ điểm CĐ là (0;3)
 y’(0) = 0 Vậy phương trình tiếp tuyến có dạng :y – 3 = 0.x
 Hay : y = 3
 Ví dụ 3 :Cho hàm số có đồ thị là (C) ,
 a)Khảo sát hàm số (1), 
 b) Tìm diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị ( C ) , trục Ox, đường thẳng x = 2;x = 5
 Giải :
 a )
TXĐ: 
Sự biến thiên
Chiều biến thiên: 
Suy ra hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng .
Cực trị: hàm số không có cực trị
Giới hạn: 
Suy ra đồ thị hàm số có một tiệm cận đứng là đường thẳng: x = 1
Và một tiệm cận ngang là đường thẳng: y =1
Bảng biến thiên:
x
 1 
y’
 - -
y
1 
 1
Đồ thị:
Cắt trục tung tại điểm (0; -1), cắt trục hoành tại điểm (-1;0).
Đồ thị nhận điểm I (1; 1) làm tâm đối xứng (là giao của hai đường tiệm cận)
b) diện tích hình phẳng được tính theo công thức :
 B / Chủ đề 2 :Hàm số lũy thừa – Hàm số mũ – Hàm số Lô ga rit :
 I / Các kiến thức cơ bản : 
 1/ Nắm khái niệm , tính chất :
 - Lũy thừa: Nắm các khái niệm , tính chất 
 . .
 . . 
 - Lô ga rit : Định nghĩa , tính chất điều kiện lo ga rit cơ số a , Lô ga rit Nê pe,Số e ;
 lô ga rit thập phân . Dùng định nghĩa để một số biểu thức chứa lô ga rit đơn giản. Áp dung các tính chất vào các bài tập biến đổi, tính toán về lô ga rit.
 ( Với những điều kiện để các biểu thức đều có nghĩa .)
 2 / Ngoài ra phải biết áp dụng các tính chất của hàm mũ,hàm lo ga rit vào việc so sánh hai số ,hai biểu thức chứa mũ,lô ga rit.
 3 / Tính được đạo hàm hàm mũ,lo ga rit
 4 / Giải được một số phương trình , bất phương trình mũ , lô ga rit đơn giản .
II / Bài tập áp dụng :