Đề cương ôn tập môn Toán Lớp 12 - Chủ đề 13: Bài toán cực trị hình không gian (Có đáp án)

CHỦ ĐỀ 13: BÀI TOÁN CỰC TRỊ HÌNH KHÔNG GIAN 
I. CÁC DẠNG TOÁN TRỌNG TÂM VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI 
1. PHƯƠNG PHÁP GIẢI 
• Áp dụng các phương pháp tính thể tích thông qua tam giác vuông; các loại góc và khoảng cách trong 
không gian cũng như các công thức tính thể tích khối chóp, khối lăng trụ. 
• Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của biểu thức chứa biến. 
Cách 1. Áp dụng bất đẳng thức AM – GM cho các số thực dương 
- Dạng 2 số: 
2 2
2
2
a ba b ab ab ++ ≥ → ≤ hoặc ( )
2
4
a b
ab
+
≤ 
- Dạng 3 số: 
3 3 3
33
3
a b ca b c abc abc + ++ + ≥ → ≤ hoặc 
3( )
27
a b cabc + +≤ 
Cách 2. Khảo sát hàm số f(x) trên khoảng xác định (đạo hàm – lập bảng biến thiên) 
2. CÁC VÍ DỤ MINH HỌA 
Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = 4, cạnh bên SA vuông góc với 
mặt phẳng đáy (ABCD) và SC = 6. Tính thể tích lớn nhất maxV của khối chóp đã cho 
A. max
40
3
V = B. max
80
3
V = C. max
20
3
V = D. max 24V = 
Lời giải 
Đặt AD x= ⇒ Diện tích hình chữ nhật ABCD là 4ABCDS x= 
Tam giác ABC vuông tại B, có 2 2 2 16AC AB BC x= + = + 
Tam giác SAC vuông tại A, có 2 2 220SA SC AC x= − = − 
Do đó, thể tích khối chóp S.ABCD là 
 2 2.
1 1 4. . . 20 .4 . 20
3 3 3S ABCD ABCD
V SA S x x x x= = − = − 
Ta có 
( )22 22 20 20 40. 20 10
2 2 3
x x
x x V
+ −
− ≤ = = ⇒ ≤ 
Dấu bằng xảy ra khi 220 10x x x= − ⇔ = . Vậy max
40
3
V = . 
Chọn A 
Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AD = 4, các cạnh bên bằng nhau và 
bằng 6. Thể tích lớn nhất của khối chóp S.ABCD là 
A. max
40
3
V = B. max
64
3
V = C. max
128
3
V = D. max
32
3
V = 
Lời giải 
 Vì SA SB SC SD= = = ⇒ Hình chiếu của S trên mặt phẳng 
(ABCD) là tâm đường tròn ngoại tiếp đáy ( )SO ABCD⇒ ⊥ 
Đặt AB x= . Ta có 2 2 2 16BD AB AD x= + = + 
Tam giác SBO vuông tại O, có 
2 2
2 2 16 12836
4 2
x xSO SB OB + −= − = − = 
Do đó, thể tích khối chóp S.ABCD là 
2
2
.
1 1 128 2. . . .4 . 128
3 3 2 3S ABCD ABCD
xV SO S x x x−= = = − 
Mà 
2 2
2 128 2 128128 64 .64
2 3 3
x xx x V+ −− ≤ = → ≤ = . Vậy max
128
3
V = . Chọn C 
Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật có AB = 4, SC = 6. Tam giác SAD cân tại 
S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Thể tích lớn nhất của khối chóp S.ABCD là 
A. max
40
3
V = B. max
20
3
V = C. max 20V = D. max
80
3
V = 
Lời giải 
Gọi H là trung điểm AD. Tam giác SAD cân tại S SH AD⇒ ⊥ 
Ta có ( ) ( ) ( ) 1 . .
3 ABCD
SAD ABCD SH ABCD V SH S⊥ ⇒ ⊥ ⇒ = 
Đặt 2 . 8ABCDAD x S AB AD x= → = = 
Tam giác HCD vuông tại D, có 2 2 2 16HC HD CD x= + = + 
Tam giác SHC vuông tại H, có 2 2 220SH SC HC x= − = − 
Do đó 
2 2
2 21 8 8 20 80. 20 .8 . 20 .
3 3 3 2 3
x xV x x x x + −= − = − ≤ = 
Dấu bằng xảy ra khi 220 10x x x= − ⇔ = . Vậy max
80
3
V = . Chọn D 
Ví dụ 4: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A và AB = 1. Các cạnh bên SA = SB = 
SC = 2. Tính thể tích lớn nhất maxV của khối chóp đã cho 
A. max
2
3
V = B. max
5
8
V = C. max
5
4
V = D. max
4
3
V = 
Lời giải 
Gọi H là trung điểm BC, ABC∆ vuông tại A 
Suy ra H là tâm đường tròn ngoại tiếp ABC∆ 
Vì SA SB SC H= = ⇒ là hình chiếu của S trên (ABC) 
Đặt AC x= . Tam giác ABC vuông 2 2 2 1BC AB AC x⇒ = + = + 
Diện tích tam giác ABC là 
1 . .
2 2ABC
xS AB AC∆ = = 
Tam giác SBH vuông tại H, có 
2
2 2 15
2
xSH SB BH −= − = 
Do đó, thể tích cần tính là 21 1. . . 15
3 12ABC
V SH S x x∆= = − 
Mà 
2 2
2 15 15 1 15 515 . .
2 2 12 2 8
x xx x V+ −− ≤ = → ≤ = Vậy max
5
8
V = . 
Chọn B 
Ví dụ 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 1, cạnh bên SA = x và vuông góc với 
mặt đáy (ABCD). Trên cạnh AD lấy điểm M và đặt AM = y (0 1)y< < . Tính thể tích lớn nhất maxV của 
khối chóp S.ABCM, biết 2 2 1x y+ = . 
A. max
3
3
V = B. max
3
8
V = C. max
3
24
V = D. max
3 3
8
V = 
Lời giải 
Từ giả thiết, ta có 2 2 21 1x y y x+ = ⇒ = − 
Diện tích mặt đáy 
1.
2 2ABCM
AM BC xS AB+ + = = 
 
Thể tích khối chóp .S ABCMV là 
( ) 2
.
1 11 . .
3 6S ABCM ABCM
x x
V SA S
+ −
= = 
Xét hàm số ( ) ( ) 21 1f x x x= + − trên (0;1), có 
 ( ) ( )
2 2
2
2 2
1 2 1
1 ; 0
21 1
x x x xf x x f x x
x x
+ − −′ ′= − − = = ⇔ =
− −
Dựa vào bảng biến thiên, ta được 
( )
( )
0;1
1 3 3
max
2 4
f x f  = = 
 
. Vậy max
3
8
V = . Chọn B 
Ví dụ 6: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD, khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SC bằng 4. Thể 
tích lớn nhất của khối chóp S.ABCD là 
A. max 8 3V = B. max 24 3V = C. max 6 3V = D. max 16 3V = 
Lời giải 
Gọi O là tâm hình vuông ABCD ( )SO ABCD⇒ ⊥ 
Gọi M là trung điểm CD, H là hình chiếu của O trên SM 
Ta có ( ) ( )
SO CD
CD SMO CD OH OH SCD
OM CD
⊥
⇒ ⊥ ⇒ ⊥ ⇒ ⊥ ⊥
Lại có ( )/ / / /AB CD AB SCD⇒ 
 ( ) ( )( ) ( )( ); ; 2 ;d AB SC d A SCD d O SCD⇒ = = 
Theo bài ra, ta có ( ); 2 4 2d AB SC OH OH= = → = 
Đặt 2AB x OM x= → = . Tam giác SMO vuông tại O, có 2 2 2 2
1 1 1 2
4
xSO
OH SO OM x
= + ⇒ =
−
Do đó, thể tích khối chóp S.ABCD là 
3
2
2 2
1 1 2 8. . . .4 .
3 3 34 4
ABCD
x xV SO S x
x x
= = =
− −
Xét hàm số ( )
3
2 4
xf x
x
=
−
 trên ( ) ( )2; max 6 3f x+∞ → = 
Vậy thể tích lớn nhất cần tính là 8 .6 3 16 3
3max
V = = . Chọn D 
Ví dụ 7: Cho hình chóp S.ABCD có SA x= ( )0 3x< < , tất cả các cạnh còn lại bằng nhau và bằng 1. Với 
giá trị nào của x thì thể tích khối chóp S.ABCD lớn nhất? 
A. max
3
4
V = B. max
3
4
V = C. max
1
4
V = D. max
3
2
V = 
Lời giải 
Gọi O là tâm hình thoi ABCD OA OC⇒ = (1) 
Theo bài ra, ta có SBD CBD SO OC∆ = ∆ ⇒ = (2) 
Từ (1) và (2), ta có 1
2
SO OA OC AC= = = 
SAC⇒∆ vuông tại S 2 2 2 1AC SA SC x⇒ = + = + 
Suy ra 
21 1
2 2
xOA AC += = và 
2
2 2 3
2
xOB AB OA −= − = 
Diện tích hình thoi 
( )( )2 21 3
2. .
2ABCD
x x
S OAOB
+ −
= = 
Lại có 1SB SC SD= = = ⇒ Hình chiếu vuông góc H của đỉnh S trên mặt đáy là tâm đường tròn ngoại 
tiếp tam giác BCD H AC→ ∈ 
Tam giác SAC vuông tại S, có 
2 2 2
.
1
SA SC xSH
SA SC x
= =
+ +
Do đó, thể tích cần tính là 
( )( )2 2 2
2
1 31 1 1. . . . . 3
3 3 2 61
ABCD
x x xV SH S x x
x
+ −
= = = −
+
Mà 
2 2
2 3 3 1 3 1. 3 .
2 2 6 2 4
x xx x V+ −− ≤ = → ≤ = . Vậy max
1
4
V = . Chọn C 
Ví dụ 8: Cho tứ diện ABCD có AB = x và các cạnh còn lại bằng 2 3 . Thể tích tứ diện ABCD lớn nhất khi 
giá trị của x bằng 
A. 2x = B. 3 2x = C. 4x = D. 2 2x = 
Lời giải 
Gọi M, N lần lượt là trung điểm của CD, AB 
Hai tam giác ACD, BCD đều 
32 3. 3
2
AM BM⇒ = = = 
ABM⇒∆ cân tại M 
2
2 2 36
2
xMN AB MN BM BN −⇒ ⊥ ⇒ = − = 
Ta có ( ) .
22 . .
3ABCD C ABM ABM
BM CD
CD ABM V V CM S
AM CD ∆
⊥
⇒ ⊥ ⇒ = = ⊥
Do đó, thể tích cần tính là 
2
22 3 36 3. . . 36
3 2 2 6ABCD
xV x x x−= = − 
Mà 
2 2
2 36 3. 36 18 .18 3 3
2 6
x xx x V+ −− ≤ = → ≤ = 
Dấu bằng xảy ra khi 2 236 2 36 3 2x x x x= − ⇔ = ⇔ = . Chọn B 
Ví dụ 9: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC vuông cân tại A, SA vuông góc với đáy, khoảng cách từ A đến 
mặt phẳng (SBC) bằng 3. Gọi α là góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC). Tính cosα khi thể tích khối 
chóp S.ABC nhỏ nhất? 
A. 3
6
cosα = B. 1
2
cosα = C. 3
2
cosα = D. 3
3
cosα = 
Lời giải 
Gọi M là trung điểm BC, kẻ AH SM⊥ ( )H SM∈ 
Tam giác ABC cân tại A suy ra BC AM⊥ 
Mà ( )SA ABC SA BC⊥ ⇒ ⊥ 
Suy ra ( ) ( )BC SAM AH BC AH SBC⊥ ⇒ ⊥ ⇒ ⊥ 
Do đó ( )( ); 3d A SBC AH= = . Tam giác AMH vuông 3
sin
AM
α
⇒ = 
Tam giác vuông cân ABC 2 2
9 92
sin 1 osABC
BC AM S
cα α∆
⇒ = ⇒ = =
−
Khi đó, thể tích khối chóp là 
( )2
1 9. .
3 1ABC
V SA S
cos cosα α∆
= =
−
Xét hàm số ( ) ( )21 cosf x cos x x= − , ta được 2 3( ) 9f x ≤ . Suy ra 
27 3
2
V ≥ 
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 3
3
cosα = . Chọn D 
Ví dụ 10: Cho khối chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B. Khoảng cách từ A đến mặt phẳng 
(SBC) bằng  2, 90SAB SCB= = ° . Xác định độ dài cạnh AB để khối chóp S.ABC có thể tích nhỏ nhất. 
A. 3AB = B. 2AB = C. 3 5AB = D. 10
2
AB = 
Lời giải 
Gọi D là điểm sao cho ABCD là hình vuông 
Ta có 

( )
90
⊥ ⊥ ⇒ ⇒ ⊥ ⇒ ⊥  ⊥= ° 
AB AD AB AD
AB SAD AB SD
AB SASAB
Tương tự, ta cũng có BC SD⊥ suy ra ( )SD ABCD⊥ 
Kẻ DH SC⊥ ( ) ( )H SC DH SBC∈ → ⊥ 
Khi đó ( )( ) ( )( ); ;d A SBC d D SBC DH= = . Đặt 0AB x= > 
Tam giác SCD vuông tại D, có 
( )22 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1 2
22
xSD
DH SD DC SD x x
= + ⇔ = + ⇒ =
−
Do đó, thể tích khối chóp S.ABC là 
3
. . 2
1 2. .
2 6 2
S ABC S ABCD
xV V
x
= =
−
Xét hàm số ( )
3
2 2
xf x
x
=
−
 trên ( )2;+∞ , ta được ( ) ( ) ( )2;min 3 3 3f x f+∞ = = . Chọn A 
Ví dụ 11: Cho tam giác ABC vuông cân tại B, AC = 2. Trên đường thẳng qua A vuông góc với mặt phẳng 
(ABC) lấy các điểm M, N khác phía so với mặt phẳng (ABC) sao cho AM.AN = 1. Thể tích của khối tứ 
diện MNBC nhỏ nhất bằng 
A. min
1
3
=V B. min
1
6
=V C. min
2
3
=V D. min
1
2
=V 
Lời giải 
Đặt ,AM x AN y= = suy ra . . 1AM AN x y= = 
Tam giác ABC vuông cân tại B, có 2
2
ACAB BC= = = 
Diện tích tam giác vuông ABC là 
1
.BC 1
2ABC
S AB∆ = = 
Ta có ( ). .
1V .
3 3MNBC M ABC N ABC ABC
x yV V S AM AN∆
+
= + = + = 
Lại có 2x y xy+ ≥ (bất đẳng thức AM – GM) 2
3 3
x y+
⇒ ≥ 
Dấu bằng xảy ra khi 1x y= = . Vậy min
2
3
=V . Chọn C 
Ví dụ 12: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại C, SA = AB = 2. Cạnh bên SA vuông 
góc với mặt phẳng đáy (ABC). Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên SB và SC. Thể tích lớn 
nhất maxV của khối chóp S.AHK bằng 
A. max
2
6
V = B. max
3
2
V = C. max
3
6
V = D. max
2
3
V = 
Lời giải 
Đặt AC x= (0 2)x< < 
Tam giác ABC vuông tại C 2 2 24BC AB AC x⇒ = − = − 
Tam giác SAB vuông cân tại A, có đường cao AH 
1
2
SH SB⇒ = 
Tam giác SAC vuông tại A, có 
2
2
2 2
4.
4
SK SASA SK SC
SC SC x
= ⇒ = =
+
Ta có 
2
.
.2 2 2
.
1 4 2 2 4. . .
2 4 4 3 4
S AHK
S AHK
S ABC
V SH SK x xV
V SB SC x x x
−
= = = ⇒ =
+ + +
Xét hàm số ( )
2
2
2 4.
3 4
x xf x
x
−
=
+
 trên ( )0;2 , ta được 
( )
( )
0;2
2
6
max f x = . 
Chọn A 
Ví dụ 13: Cho hình hộp chữ nhật .ABCD A B C D′ ′ ′ ′ có AB = x, AD = 3, góc giữa đường thẳng A C′ và mặt 
phẳng ( )ABB A′ ′ bằng 30° . Tìm x để thể tích khối hộp chữ nhật có thể tích lớn nhất. 
A. 3 15
5
x = B. 3 6
2
x = C. 3 2
2
x = D. 3 5
5
x = 
Lời giải 
Ta có BB BC′ ⊥ và ( )AB BC BC ABB A′ ′⊥ ⇒ ⊥ 
⇒ B là hình chiếu vuông góc của C trên ( )ABB A′ ′ 
Suy ra ( ) ( ) ; ; 30′ ′ ′ ′ ′ ′= = = °A C ABB A A C A B CA B 
Tam giác A BC′ vuông tại B, có tan 3 3′ ′= ⇒ =
′
BCCA B A B
A B
Tam giác A AB′ vuông tại A, có 2 2 227AA A B AB x′ ′= − = − 
Do đó thể tích khối hộp là 2. . . 3 . 27ABCD A B C DV AA AB AD x x′ ′ ′ ′ ′= = − 
Lại có 
2 2
2
.
27 27 27 81. 27 3.
2 2 2 2ABCD A B C D
x xx x V ′ ′ ′ ′
+ −
− ≤ = → ≤ = 
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 2 3 627
2
x x x= − ⇒ = . Chọn B 
Ví dụ 14: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành, thể tích là V. Gọi M là trung điểm của 
SA, N là điểm nằm trên cạnh SB sao cho SN = 2NB, mặt phẳng ( )α di động qua các điểm M,N và cắt các 
cạnh SC, SD lần lượt tại hai điểm phân biệt K, Q. Tính thể tích lớn nhất maxV của khối chóp S.MNKQ. 
A. 
2
V B. 2
3
V C. 
3
V D. 
6
V 
Lời giải 
Đặt 
SKx
SC
= ( )0 1x≤ ≤ . Hình vẽ tham khảo 
Vì mặt phẳng ( )α di động qua các điểm M, N và cắt các cạnh SC, SD lần lượt tại hai điểm phân biệt K, 
Q nên ta có 
1 3 22
2 2
SA SC SB SD SD x
SM SK SN SQ x SQ x
+ = + ⇒ + = + =
+
Ta có .
.
1 1 4 2 2 1. . . .
2 2 3 2 3 2
S MNPQ
S ABCD
V SM SN SK SM SK SQ x x
V SA SB SC SA SC SD x x
   = + = − = −   + +   
Xét hàm số ( ) 2 1
3 2
xf x
x
= −
+
 trên [ ]0;1 ta được 
[ ]
( ) ( )
0;1
11
3
max f x f= = 
Vậy thể tích lớn nhất cần tính là . 3S MNPQ
VV = . Chọn C 
Ví dụ 15: Cho một tấm nhôm hình vuông cạnh 18 cm. Người ta cắt ở bốn góc của tấm nhôm đó bốn hình 
vuông bằng nhau, mỗi hình vuông có cạnh bằng x cm, rồi gập tấm nhôm lại như hình vẽ dưới đây để có 
được một cái hộp không nắp. Tìm x để hộp nhận được có thể tích lớn nhất. 
A. x = 6 B. x = 4 C. x = 2 D. x = 3 
Lời giải 
Sau khi cắt ở bốn góc hình vuông cạnh x, ta được khối hộp có 
• Chiều cao bằng x cm 
• Đáy là hình vuông cạnh 18 2x− cm 
Do đó, thể tích khối hộp chữ nhật là ( ) ( ) ( )2 1. 18 2 .4 . 18 2 . 18 2
4
V x x x x x= − = − − 
Ta có ( ) ( ) ( )
3 34 18 2 18 2 364 . 18 2 . 18 2 1728
27 27
x x x
x x x
+ − + −
− − ≤ = = 
Suy ra 
1 .1728 432
4
V ≤ = . Dấu bằng xảy ra khi 4 18 2 3x x x= − ⇒ = . Chọn D 
Ví dụ 16: Người ta muốn thiết kế một bể cá bằng kính không có nắp với thể tích 72 3dm và chiều cao 3 dm. 
Một vách ngăn (cùng bằng kính) ở giữa, chia bể cá thành hai ngăn, với các kích thước a,b (đơn vị dm) như 
hình vẽ 
Tính a,b để bể cá tốn ít nguyên liệu nhất (tính cả tấm kính ở giữa), coi bề dày các tấm kính như nhau và 
không ảnh hưởng đến thể tích của bể. 
A. 2 6a b= = B. 3, 8a b= = C. 3 2, 4 2a b= = D. 4, 6a b= = 
Lời giải 
Thể tích của bể cá là 243 72 24V ab ab b
a
= = ⇒ = ⇒ = 
Diện tích bể cá gồm: 3 mặt có diện tích 3a (hai mặt bên và vách ngăn); 2 mặt có diện tích 3b (hai mặt 
bên) và một mặt đáy có diện tích ab (đơn vị 2dm ) 
Do đó, tổng diện tích làm bể là ( ) ( ) 1443. 3 2. 3 9 6 9 24S a b ab a b ab a
a
= + + = + + = + + 
Áp dụng bất đẳng thức AM – GM, ta có 144 1449 2 9 . 72a a
a a
+ ≥ = 
Suy ra 72 24 96S ≥ + = . Dấu bằng xảy ra khi 1449 4; 6a a b
a
= ⇒ = = . Chọn C 
BÀI TẬP TỰ LUYỆN 
Câu 1: Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = SC = 1. Tìm thể tích lớn nhất của khối chóp S.ABC. 
A. 1
3
 B. 1
6
 C. 1
4
 D. 1
12
Câu 2: Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = SC = 2, đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB = 1. Tìm thể tích 
lớn nhất của khối chóp S.ABC 
A. 5
8
 B. 5
4
 C. 2
3
 D. 4
3
Câu 3: Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = SC = BA = BC = 1. Tìm thể tích lớn nhất của khối chóp 
S.ABC. 
A. 1
6
 B. 2
12
 C. 1
8
 D. 3
12
Câu 4: Cho hình hộp chữ nhật có tổng diện tích các mặt bằng 36 và độ dài đường chéo bằng 6. Tìm thể tích 
lớn nhất maxV của hình hộp chữ nhật đã cho. 
A. 8maxV = B. 12maxV = C. 8 2maxV = D. 6 6maxV = 
Câu 5: Cho hình hộp chữ nhật có tổng độ dài tất cả các cạnh bằng 32, độ dài đường chéo bằng 2 6 . Tìm 
thể tích lớn nhất maxV của hình hộp đã cho 
A. 16 2maxV = B. 16maxV = C. 6 6maxV = D. 12 3maxV = 
Câu 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AD = 4, các cạnh bên bằng nhau và 
bằng 6. Tìm thể tích lớn nhất của khối chóp S.ABCD 
A. 130
3
 B. 128
3
 C. 125
3
 D. 250
3
Câu 7: Cho hình chóp S.ABCD có SB x= (0 3)x< < . Tất cả các cạnh còn lại bằng nhau và bằng 1. Với 
giá trị nào của x thì thể tích khối chóp S.ABCD là lớn nhất? 
A. 3
3
x = B. 2
2
x = C. 6
2
x = D. 3
2
x = 
Câu 8: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại C, cạnh bên SA vuông góc với mặt 
phẳng đáy (ABC). Biết SC = 1, tìm thể tích lớn nhất của khối chóp S.ABC. 
A. 3
12
 B. 2
12
 C. 2 3
27
 D. 3
27
Câu 9: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại C, AB = 2. Cạnh bên SA = 1 và vuông góc 
với mặt phẳng đáy. Thể tích lớn nhất của khối chóp S.ABC là 
A. 1
3
 B. 1
4
 C. 1
12
 D. 1
6
Câu 10: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = 4, cạnh bên SA vuông góc với 
mặt phẳng đáy (ABCD) và SC = 6. Thể tích lớn nhất của khối chóp S.ABCD là 
A. 40
3
 B. 80
3
 C. 20
3
 D. 24 
LỜI GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN 
Câu 1: 

1 1 1. sin .
2 2 2
= ≤ =SABS SA SB BSA SA SB 
Mặt khác ( )( );d C SAB SC≤ nên ( )( ). 1 1 1 1. ; . .3 3 2 6S ABC SABV S d C SAB SC= ≤ = 
Dấu bằng xảy ra SA SB SC⇔ ⊥ ⊥ . Chọn B 
Câu 2: 
Do SA = SB = SC = 2⇒ hình chiếu vuông góc của đỉnh S lên mặt 
phẳng đáy trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và 
là trung điểm của BC. 
Đặt 2BC x HA HB HC x= ⇒ = = = (với H là trung điểm của BC). 
Ta có: 2 2 2 24 1; 4AC x SH SA HA x= − = − = − 
Thể tích khối chóp S.ABC là: 
( )( )
2
2 2 21 1 4 1 1. 4 . 4 4 1
3 3 2 6ABC
xV SH S x x x−= = − = − − 
( )( )
2 2
2 21 1 16 4 4 1 516 4 4 1 .
12 12 2 8
x xx x − + −= − − ≤ = 
Vậy 5
8max
V = . Chọn A 
Câu 3: 
Đặt AC x= , gọi E là trung điểm của SB khi đó: 
CE SB
AE SB
⊥
 ⊥
 suy ra ( )SB ACE⊥ và ta có : 3
2
AE CE= = 
Gọi H là trung điểm của AC do tam giác AEC cân nên 
2
2 2 3
4 4
xEH AC HE AE AH⊥ ⇒ = − = − 
2
. .EAC .
1 1 1 3. .
3 3 6 4 4S ABC S B ACE ACE
xV V V SB S HE AH x= + = = = − 
Lại có 
2 2 2 23 3 3 3. 2. .
4 4 4 4 2 4 4 4 4
x x x x xx
 
− = − ≤ − + = 
 
max
1 1
8 8ABCD
V V⇒ ≤ ⇒ = . Dấu bằng xảy ra 2 63 2
2
x x⇔ = ⇔ = 
Cách 2: Nhận xét max ACEV S⇔ lớn nhất  
1 3 3. sin .sin
2 8 8
⇔ = ≤AE CE AEC AEC 
Vậy max
1
8
V = . Chọn C 
Câu 4: 
Giả sử 3 kích thước của hình hộp chữ nhật là , b,ca ta có ( )2 36ab bc ca+ + = 
( )18 18(*)ab bc ca a b c ab⇔ + + = ⇔ + + = 
Lại có: ( ) ( )22 2 2 2 2 26 36 2 36a b c a b c a b c ab bc ca+ + = ⇔ + + = ⇔ + + − + + = 
6 2a b c⇔ + + = 
( ) 2
6 2
(*) 6 2 18
18 6 2
a b c
c c ab
ab c c
 + = −⇒ − + = ⇒ 
= + −
Do ( ) ( ) ( )22 24 6 2 4 18 6 2 0 4 2a b ab c c c c+ ≥ ⇒ − ≥ + − ⇔ ≤ ≤ 
Lại có: ( ) ( )2 3 218 6 2 6 2 18V abc c c c c c c f c= = + − = − + = (với 0;4 2c  ∈   ) 
Ta có: ( ) 2
3 2
3 12 2 18 0
2
c
f c c c
c
 =
′ = − + = ⇔ 
=
Lại có: ( ) ( ) ( ) ( )0 0; 2 4 2 8 2; 3 2 0f f f f= = = = 
Suy ra ( ) ( )max
2 4 2
8 2 5 2 ; ; 4 2; 2; 2
8
c c
V a b a b c
ab
 = ∨ =
= ⇔ + = ⇔ =
 =
 hoặc các hoán vị. Chọn C 
Câu 5: 
Giả sử 3 kích thước của hình hộp chữ nhật là , b,ca ta có: ( )4 32 8a b c a b c+ + = ⇔ + + = 
Lại có: ( ) ( )22 2 2 2 2 22 6 24 2 24a b c a b c a b c ab bc ca+ + = ⇔ + + = ⇔ + + − + + = 
( ) ( )20 20 8 20ab bc ca a b c ab c c ab⇒ + + = ⇔ + + = ⇔ − + = 
2
8
20 8
a b c
ab c c
+ = −
⇔ 
= + −
Do ( ) ( ) ( )2 2 2 44 8 4 20 8 43a b ab c c c c+ ≥ ⇔ − ≥ + − ⇔ ≤ ≤ 
Lại có ( ) ( )2 3 220 8 8 20V abc c c c c c c f c= = + − = − + = (với 4 ;43c
 ∈   
) 
Khi đó ( ) 2
10
3 16 20 0 3
2
c
f c c c
c
 =′ = − + = ⇔

=
Mặt khác ( ) ( ) ( )10 4000 0; 2 16; ; 4 16
3 27
f f f f = = = = 
 
Do đó max 16V = . Chọn B 
Câu 6: 
Do SA = SB = SC = SD nên hình chiếu vuông góc của đỉnh 
S xuống đáy là tâm O của hình chữ nhật ABCD 
Đặt 
2
2 1616
2
xAB x BD x OB += ⇒ = + ⇒ = 
Khi đó 
2 2
2 2 16 12836
4 2
x xSO SB OB + −= − = − = 
Ta có 2.
1 1. 128 .4
3 6S ABCD ABCD
V SO S x x= = − 
( )2 2 22 1 128. 128 1283 3 3x x x x= − ≤ + − = 
Do đó 128 8
3max
V x= ⇔ = . Chọn B 
Câu 7: 
Ta có: SAC ADC∆ = ∆ (c – c – c) 
Do đó SO DO= (2 đường trung tuyến tương ứng) 
Suy ra 
2
BDSO SBD= ⇒ ∆ vuông tại S (tam giác có đường trung 
tuyến ứng với cạnh đối diện bằng nửa cạnh ấy). Khi ấy 
2 2 21BD SB SD x= + = + 
2 2
2 212 2 2 1 3
4 4
BD xAC OA AB x+⇒ = = − = − = − 
Lại có 
2 2
.
1 3 . 3. . .
3 3 2 6S ABCD SBD
x SB SD x xV AC S − −= = = 
Áp dụng BĐT AM – GM ta có: 
2 2
2 3 3 13
2 2 4
x xx x V+ −− ≤ = ⇒ ≤ 
Dấu bằng xảy ra 2 2 63
2
x x x⇒ = − ⇔ = . Chọn C 
Câu 8: 
Đặt 21CA CB x SA x= = ⇒ = − 
Ta có: 
2
2 2 2
.
1 1 1. . 1 . 1 .
3 3 2 6S ABC ABC
xV SA S x x x= = − = − 
Xét hàm số ( ) ( )2 4 4 61f x x x x x= − = − ( )( )0;1x∈ 
Ta có: ( ) 3 5 2 2 24 6 0
3 3
f x x x x x′ = − = ⇔ = ⇔ = 
Khi đó 
( )
( ) max0;1
2 4 1 4 3Max
3 27 6 27 27
f x f V
 
= = ⇒ = =  
 
. Chọn D 
Câu 9: 
Đặt 24AC x BC x= ⇒ = − 
Ta có: 
2 2
2
.
1 1 1 4 1. . 4 .
3 6 6 2 3S ABC ABC
x xV SA S x x + −= = − ≤ = 
Dấu bằng xảy ra 2 2x AC BC⇔ = ⇒ = = . Chọn A 
Câu 10: 
Đặt 2 2 236AC x SA SC x x= ⇒ = − = − 
Lại có 2 2 2 16AD AC AB x= − = − 
2 2
.
1 1. . 36 .4 16
3 3S ABCD ABCD
V SA S x x= = − − 
2 24 36 16 40.
3 2 3
x x− + −
≤ = 
Vậy 40 26
3max
V x= ⇔ = . Chọn A