Đề cương ôn tập môn Toán Lớp 12 - Chủ đề 1: Nguyên hàm

CHƯƠNG III
NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG
CHỦ ĐỀ 1
 NGUYÊN HÀM
I. Định nghĩa:
Giả sử liên tục trên khoảng , khi đó hàm số là một nguyên hàm của hàm số khi và chỉ khi , .
Nếu là một nguyên hàm của hàm số thì , 
II. Vi phân:
	Giả sử xác định trên khoảng và có đạo hàm tại điểm . 
	Vi phân của hàm số là: 
	Quan hệ giữa đạo hàm - nguyên hàm và vi phân:
III. Các tính chất của nguyên hàm
	1. Nếu là hàm số có nguyên hàm thì : ; 
	2. Nếu có đạo hàm thì: 
	3. Phép cộng, phép trừ: 
	4. Phép nhân với một hằng số thực khác 0: , "k ¹ 0
IV. Phương pháp tính nguyên hàm:
	1. Phương pháp đổi biến số: 
	Nếu và có đạo hàm liên tục thì: 
	2. Phương pháp từng phần
	Nếu hai hàm số và có đạo hàm liên tục trên K thì:
	 Hay: 
V. Nguyên hàm của một số hàm thường gặp
Nguyên hàm của hàm số sơ cấp
Nguyên hàm hàm số thường gặp
Nguyên hàm của hàm số hợp

VI. Vi phân
	+ Cho hàm số có đạo hàm tại vi phân của hàm số tại điểm là : 
 	 .
	+ Cho hàm số có đạo hàm thì tích được gọi là vi phân của hàm số Kí hiệu : hay .
Nếu 

VII. Các quy tắc tính đạo: 	Cho là hằng số .
VIII. Các công thức tính đạo: 
Đạo hàm của hàm số sơ cấp
Đạo hàm của hàm số hợp









IX. Nguyên hàm mở rộng
X. Lượng giác
	1. Hệ thức cơ bản:
	· 	
	· 
	· 	
	· 
	· 
	2. Giá trị lượng giác của các góc có liên quan đặc biệt
Góc đối nhau
Góc bù nhau
Góc phụ nhau













Góc hơn kém 
Góc hơn kém 









Để thuộc các công thức trên chỉ cần hiểu và thuộc câu thần chú sau:
cos đối, sin bù, phụ chéo
 kém tan, cot, kém chéo cos
3. Công thức lượng giác
	a. Công thức cộng
	Hệ quả: 

 b. Công thức nhân đôi
Công thức nhân đôi
Công thức hạ bậc
Công thức nhân ba

sin thì 31 – 43, cos thì 43 – 31 
hoặc: 
sin thì 3sin 4sỉn , cos thì 4 cổ 3cô

 c. Công thức biến đổi tích thành tổng
	d. Công thức biến đổi tổng thành tích
	
Chú ý:
PHẦN 1
 NGUYÊN HÀM
VẤN ĐỀ 1
 Lý thuyết
Hàm số có nguyên hàm trên nếu:
	A. xác định trên .	B. có giá trị lớn nhất trên .
	C. có giá trị nhỏ nhất trên .	D. liên tục trên .
Giả sử hàm số là một nguyên hàm của hàm số trên . Khẳng định nào sau đây đúng.
	A. Chỉ có duy nhất một hằng số sao cho hàm số là một nguyên hàm của hàm trên 
	B. Với mỗi nguyên hàm của trên thì tồn tại một hằng số sao cho với thuộc .
	C. Chỉ có duy nhất hàm số là nguyên hàm của trên 
	D. Với mỗi nguyên hàm của trên thì với mọi thuộc và bất kỳ.
Cho hàm số là một nguyên hàm của hàm số trên . Các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai.
	A.	B.	
	C. 	D.
Các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai.
	A..	B. 
	C.	D.
Cho hai hàm số là hàm số liên tục, có lần lượt là nguyên hàm của . Xét các mệnh đề sau:
(I). là một nguyên hàm của 
(II). là một nguyên hàm của với .
(III). là một nguyên hàm của 
Các mệnh đúng là	
	A.(I).	B. (I) và (II).	C. Cả 3 mệnh đề.	D. (II).
Mệnh đề nào sau đây sai?
	A. Nếu là một nguyên hàm của trên và là hằng số thì .
	B. Mọi hàm số liên tục trên đều có nguyên hàm trên .
	C. là một nguyên hàm của trên .
	D. .
Xét hai khẳng định sau:
	(I) Mọi hàm số liên tục trên đoạn đều có đạo hàm trên đoạn đó.
	(II) Mọi hàm số liên tục trên đoạn đều có nguyên hàm trên đoạn đó.
Trong hai khẳng định trên:
	A. Chỉ có (I) đúng.	B. Chỉ có (II) đúng.
	C. Cả hai đều đúng. 	D. Cả hai đều sai.
Hàm số được gọi là nguyên hàm của hàm số trên đoạn nếu: 
	A. Với mọi , ta có .	
	B. Với mọi , ta có .
	C. Với mọi , ta có .
	D. Với mọi , ta có , ngoài ra và .
Trong các câu sau đây, nói về nguyên hàm của một hàm số xác định trên khoảng , câu nào là sai?
	(I) là nguyên hàm của trên nếu và chỉ nếu .
	(II) Nếu liên tục trên thì có nguyên hàm trên .
	(III) Hai nguyên hàm trên của cùng một hàm số thì sai khác nhau một hằng số.
	A. Không có câu nào sai.	B. Câu (I) sai.	C. Câu (II) sai.	D. Câu (III) sai.
Giả sử là một nguyên hàm của hàm số trên khoảng . Giả sử cũng là một nguyên hàm của trên khoảng . Khi đó:
	A. trên khoảng .
	B. trên khoảng , với là hằng số.
	C. với mọi thuộc giao của hai miền xác định, là hằng số.
	D. Cả ba câu trên đều sai.
Xét hai câu sau:
	(I) , 
trong đó và tương ứng là nguyên hàm của .
	(II) Mỗi nguyên hàm của là tích của với một nguyên hàm của .
Trong hai câu trên:
	A. Chỉ có (I) đúng.	B. Chỉ có (II) đúng.
	C. Cả hai câu đều đúng.	D. Cả hai câu đều sai.
Các khẳng định nào sau đây là sai?
	A. .	B. .
	C. .	D. ( là hằng số).
Câu nào sau đây sai?
	A. Nếu thì .
	B. .
	C. Nếu là một nguyên hàm của hàm số thì là một nguyên hàm của hàm số .
	D. với .
Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai.
	A..
	B.Nếu và đều là nguyên hàm của hàm số thì là hằng số.
	C. là một nguyên hàm của 
	D. là một nguyên hàm của 
VẤN ĐỀ 2
 Tính nguyên hàm của một số hàm số đa thức
(ĐỀ THI TNTHPT 2021) Cho hàm số . Khẳng định nào sau đây đúng?
A. 	B. .
C. .	D. .
Nguyên hàm của hàm số là hàm số nào trong các hàm số sau?
	A. . 	B. .
	C. .	D. .
Hàm số là họ nguyên hàm của hàm số nào sau đây?
	A. . 	B. .	
	C. .	D. .	
Họ nguyên hàm của hàm số: là 
	A. .	B. .
	C. .	D. .
Tìm nguyên hàm của hàm số 
	A. .	B. .
	C. .	D. .
Biết hàm số có nguyên hàm là với và là phân số tối giản . Tính giá trị biểu thức . 
	A. 	B. 	C. 	D. 
Biết hàm số có nguyên hàm là với và là phân số tối giản . Tính giá trị biểu thức . 
	A. 	B. 	C. 	D. 
Một nguyên hàm của thỏa là:
	A. 	B. 	
	C. 	D. 
Tìm một nguyên hàm của hàm số biết 
	A. 	B. 	
	C. 	D. 
Nguyên hàm của hàm số thỏa mãn điều kiện là
	A. 	B. 	
	C. 	D. 
Cho hàm số . Gọi là một nguyên hàm của , biết rằng thì:
	A. 	B. 
	C. 	D. 
Biết hàm số có nguyên hàm là với . Tính giá trị biểu thức . 
	A. 	B. 	C. 	D. 
Biết hàm số có nguyên hàm là với . Tính giá trị biểu thức . 
	A. 	B. 	C. 	D. 
Trong các khẳng định sau khẳng định nào đúng.
	A.
	B.
	C.
	D.
Cho hàm số . Biết là một nguyên hàm của ; đồ thị hàm số đi qua điểm . Nguyên hàm là
	A. 	B. 	
	C. 	D. 
Hãy xác định hàm số từ đẳng thức: 
	A. 	B. 	C. 	D. Không tính được
Cho Khi đó với a ¹ 0, ta có bằng:
	A. 	B. 	C. 	D. 
Cho . Khi đó bằng:
	A. 	B. 	C. 	D. Không được tính
Cho hàm số thỏa mãn và thì bằng bao nhiêu?
	A. 	B. 	C. 	D. 
Tìm giá trị thực của để là một nguyên hàm của hàm số .
	A..	B..	C..	D..
Cho . Một nguyên hàm của thỏa là:
	A.	B..
	C..	D..
Cho hàm số thỏa mãn và với mọi . Giá trị của bằng?
	A..	B..	C..	D..
Biết , với . Tính giá trị 
	A. 	B.	C.	D.
Biết , với . Tính giá trị 
	A. 	B.	C.	D. 
Biết , với . Tính giá trị 
	A. 	B.	C.	D. 
Cho . Khi đó là:
	A. 	B. 
	C. 	D. 
Cho . Nếu đặt thì là 
	A. 	B. 	C. 	D. 
VẤN ĐỀ 3
 Tính nguyên hàm của một số hàm số hữu tỉ 
Nguyên hàm của hàm số là
	A. F(x) = 	B. F(x) = 
	C. F(x) = 	D. F(x) = 
 bằng:
	A. 	B. 	C. 	D. 
Hàm nào không phải nguyên hàm của hàm số :
	A. 	B. 	C. 	D. 
Họ nguyên hàm F(x) của hàm số là:
	A. 	B. Đáp án khác. 	C. 	D. 
Tính ta được kết quả nào sau đây?
	A. Một kết quả khác	B. 	C. 	D. 
Hàm số nào dưới đây không là nguyên hàm của hàm số ? 
	A. 	B. 	C. 	D. 
Nguyên hàm của hàm số là:
	A.	B..	C.	D. 
Tìm nguyên hàm của hàm số
	A.	B.
	C.	D. 
Nếu thì hàm số là
	A.	B.
	C.	D.
Nguyên hàm của là:
	A..	B..	C..	D..
Một nguyên hàm của là :
	A.	B..	C.	D. 
Tìm nguyên hàm: .
	A. 	B. 	C. 	D. 
Tìm ?	
	A.	B.
	C.	D.
 bằng:
	A. 	B. 	C. 	D. 
Nguyên hàm của hàm số: y = là:
	A. +C	B. +C	C. +C	D. +C
Tìm nguyên hàm .
	A..	B..
	C..	D..
Hàm số nào dưới đây không là 1 nguyên hàm của hàm số 
	A. 	B.	C. 	D.
Cho hàm số Khẳng định nào sau đây là sai?
	A.	B.
	C.	D.
Kết quả bằng:
	A. .	B..	
	C. .	D. .
Nguyên hàm của (với C hằng số) là 
	A. 	B. 	C. 	D. 
 bằng:
	A. 	B. 
	C. 	D. 
Biết là một nguyên hàm của và . Tính .
	A..	B.	C..	D..
Tìm nguyên hàm của hàm số , biết .	
	A. 	B. 	C. 	D.
Tìm một nguyên hàm của hàm số , biết rằng 
	A.	B.
	C.	D.
Tìm một nguyên hàm F(x) của hàm số biết 
	A. 	B. 
	C. 	D. 
Tìm 1 nguyên hàm F(x) của biết F(1) = 0
	A. 	B. 	C. 	D. 
Hãy xác định hàm số f từ đẳng thức sau: 
	A. 	B. 	C. 	D. Một kết quả khác.
Gọi F(x) là nguyên hàm của hàm số thỏa mãn . Khi đó F(3) bằng:
	A. 2ln2	B. ln2	C. -2ln2	D. –ln2
Nếu là một nguyên hàm của hàm thì hằng số C bằng
	A. 	B. 	C. 	D. 
Tìm nguyên hàm của hàm số với F(0) = 8 là:
	A. 	B. 	C. 	D. Một kết quả khác
Để tìm họ nguyên hàm của hàm số: . Một học sinh trình bày như sau:
	(I) 
	(II) Nguyên hàm của các hàm số theo thứ tự là: 
	(III) Họ nguyên hàm của hàm số f(x) là: 
Nếu sai, thì sai ở phần nào?
	A. I	B. I, II	C. II, III	D. III
Tìm giá trị thực của để là một nguyên hàm của hàm số .
	A..	B..	C..	D..
Biết , với là phân số tối giản. Tính S = a + b?
	A.	B.	C.	D.
*Biết là nguyên hàm của với và . Giá trị nhỏ nhất của là:
	A.	B.	C.	D.
Biết . Với a là số nguyên. Tìm a ?
	A.	B.	C.	D.
Biết. Tính giá trị biểu thức 
	A.	B.	C.	D.
Nguyên hàm của hàm số là hàm số nào?
	A. . 	B. .
	C. .	D. .
Biết, với . Tính giá trị 
	A. 	B.	C.	D. 
Biết , với . Tính giá trị .
	A. 	B.	C.	D. 
Biết , với . Tính giá trị .
	A. 	B.	C.	D. 
Hàm số có nguyên hàm là với với . Tính giá trị biểu thức . 
	A. 	B. 	C. 	D. 
Biết , với . Tính giá trị .
	A. 	B.	C.	D. 
Biết , với . Tính giá trị .
	A. 	B. 	C. 	D. 
Biết , với . Tính giá trị .
	A. 	B. 	C. 	D. 
Biết , với . Tính giá trị .
	A. 	B. 	C. 	D. 
Hàm số nào sau đây không phải là nguyên hàm của hàm số: là:
	A. 	 	B. 
	C. 	 	D. 
Biết , với . Tính giá trị .
	A. 	B. 	C. 	D. 
Biết , với . Tính giá trị .
	A. 	B. 	C. 	D. 
Biết hàm số có nguyên hàm là với và là phân số tối giản . Tính giá trị biểu thức . 
	A. 	B. 	C. 	D. 
Biết , với . Tính giá trị .
	A. 	B. 	C. 	D. 
Biết , với . Tính giá trị .
	A. 	B. 	C. 	D. 
Cho . Khi đó bằng:
	A. 	B. .	
	C. 	D. 
Cho . Khi đó bằng:
	A. 	B. .	
	C. 	D. 
VẤN ĐỀ 4
 Tính nguyên hàm của một số hàm số vô tỉ 
Nguyên hàm của hàm số là:
	A. 	B. 	C. 	D. 
Nguyên hàm của hàm số là:
	A. 	B. 	C. 	D. 
 bằng:
	A. 	B. 	C. 	D. 
Nguyên hàm của hàm số là:
	A. 	B. 	C. 	D. 
Tìm nguyên hàm: 
	A. 	B. 	C. 	D. 
Tìm nguyên hàm: 
	A. 	B. 
	C. 	D. 
Tìm nguyên hàm của hàm số .
	A. . 	B. . 	
	C. .	D. .
Tìm nguyên hàm của hàm số .
	A. .	B. .
	C. .	D. .
Tìm nguyên hàm: 
	A. 	B. 	C. 	D. 
Tìm nguyên hàm của hàm số .
	A. . 	B. .
	C. .	D. .
Tìm nguyên hàm của hàm số .
	A. .	B. .	
	C. .	D. .
Tìm họ nguyên hàm của hàm số ?
	A. 	B. 
	C. 	D. 
Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) biết 
	A. 	B. Đáp án khác
	C. 	D. 
Một nguyên hàm của hàm số: là:
	A. 	 	B. 
	C. 	 	D. 
Hàm số nào dưới đây là một nguyên hàm của hàm số: 
	A. 	B. 
	C. 	D. 
Nguyên hàm của hàm số là:
	A. 	B. 
	C. 	D. Đáp án khác.
Tìm hàm số biết là một nguyên hàm của hàm số và 
	A.	B. 	C.	D. 
Cho với . Tính .
	A.	B.	C.	D..
Cho . Khi đó: bằng:
	A..	B..	C..	D.. 
Cho các hàm số: ; với . Để hàm số là một nguyên hàm của hàm số thì giá trị của là:
	A. 	B. 	C. .	D. 
Hàm số có một nguyên hàm là . Nếu thì giá trị của là
	A. 	B. Một đáp số khác	C. 	D. 
Gọi F(x) là nguyên hàm của hàm số thỏa mãn F(2) =0. Khi đó phương trình F(x) = x có nghiệm là:
	A. x = 0	B. x = 1	C. x = -1	D. 
Một học sinh tìm nguyên hàm của hàm số như sau:
	(I) Đặt u = 1 - x ta được 
	(II) Suy ra 
	(III): Vậy nguyên hàm 
	(IV) Thay u = 1 - x ta được: 
Lập luận trên, nếu sai thì sai từ giai đoạn nào?
	A. II	B. III	C.  ... . 	B. 	C. 	D. 
Nguyên hàm của hàm số là:
	A. 	B. 
	C. 	D. 
 bằng:
	A. 	B. 
	C. 	D. 
 bằng:
	A. 	B. 	C. 	D. 
Gọi , với C là hằng số. Khi đó hàm số bằng
	A. 	B. 	C. 	D. 
Nguyên hàm của hàm số là:
	A. 	B. 	C. 	D. 
 là
	A. 	B. 	C. 	D. 
Để tính theo phương pháp nguyên hàm từng phần, ta đặt:
	A.	B.	C.	D.
Họ nguyên hàm của hàm số là:
	A.	B.	C.	D.
Tìm họ nguyên hàm ?
	A. 	B. 
	C. 	D. 
 bằng:
	A. 	B. 	C. 	D. 
 bằng:
	A. 	B. 	C. 	D. 
Nguyên hàm của hàm số: là:
	A. F(x) = 	B. F(x) =
	C. F(x) =	D. F(x) = 
Tính 
A. 	B. 
	C. 	D. Một kết quả khác
Một nguyên hàm của là
	A. 	B. 	C. 	D. 
Tính , kết quả sai là:
	A. 	B. 	C. 	D. 
 Cho hàm số . Khi đó:
	A. .	B. 
	C. 	D. 
Một nguyên hàm của là:
	A. 	B.	C.	D. 
 bằng
	A. 	B. 	C. 	D. 
Nguyên hàm của hàm số là:
	A. 	B. 	C. 	D. 
 bằng:
	A. 	B. 	C. 	D. 
Tính nguyên hàm được kết quả nào sau đây:
	A.	B. 
	C. 	D.
Xác định a,b,c để hàm số là một nguyên hàm của hàm số 
	A. 	B. 	C. 	D. 
Gọi là một nguyên hàm của hàm mà . Giá trị bằng:
	A. 	B. .	C. .	D. .
Cho . Mệnh đề nào dưới đây là đúng
	A.	B.	C.	D.
Cho là một hàm số , biết . Tìm 
	A.	B.	
	C.	D.
Biết rằng Giá trị biểu thức là:
	A.	B.	C.	D.
Cho là một nguyên hàm của hàm số thỏa mãn điều kiện Tính tổng các nghiệm của phương trình 
	A. 	B. 	C. 	D. 
Gọi là một nguyên hàm của hàm số Tính 
	A. 	B. 	C. 	D. 
Gọi là một nguyên hàm của hàm số thỏaKhi đó là
	A.	B.	C.D.
Biết là một nguyên hàm của hàm số và Tính 
	A.	B.	C.	D.
Tính . Giá trị của biểu thức bằng:
	A..	B. .	C. .	D..
là một nguyên hàm của hàm số và . Tính ?
	A. .	B. 	C. 	D. 
Cho là một nguyên hàm của hàm số thỏa mãn . Tìm tập nghiệm của phương trình 
	A. .	B. .	C. 	D. 
Biết là một nguyên hàm của và . Tính .
	A.. 	B..	C..	D..
Biết là một nguyên hàm của hàm số thoả mãn . Giá trị của là
	A.. 	B..	C..	D..
Biết hàm số là một nguyên hàm của hàm số có đồ thị đi qua điểm . Khi đó là
	A..	B..	C..	D..
Biết rằng , trong đó a, b , c là các hằng số. Khi đó, tổng có giá trị là:
	A..	B. .	C. 	D.
Cho , biết . Tìm .
	A.	B.	C.	D.
Cho hàm số thỏa mãn hệ thức . Hỏi là hàm số nào trong các hàm số sau?
	A..	B.	C.	D.
Tìm một nguyên hàm của hàm số thỏa mãn điều kiện 
	A.	B.	
	C.	D.
Cho là một nguyên hàm của hàm số . Tính 
	A. 	B.	C.	D.
Cho là một nguyên hàm của hàm số Tính 
	A.	B.	C.	D.
Biết . Tính 
	A. 	B.	C.	D.
Một nguyên hàm thì tổng bằng:
	A. 	B. 	C. 	D. 
Gọi là một nguyên hàm của hàm mà . Phát biểu nào sau đây là đúng:
	A. là hàm chẵn	B. là hàm lẻ
	C. là hàm tuần hoàn chu kỳ 	D. không là hàm chẵn cũng không là hàm lẻ
Hãy xác định hàm số f từ đẳng thức sau: 
	A. 	B. 	C. 	D. 
Cho hai hàm số . Định m để F(x) là một nguyên hàm của f(x)
	A. 	B. 	C. 	D. 
Biết hàm số là một nguyên hàm của hàm số . Tính .
	A..	B..	C..	D..
Cho . Nhận xét nào sau đây đúng?
	A. là một nguyên hàm của 
	B. là một nguyên hàm của 
	C. là một nguyên hàm của 
	D. là một nguyên hàm của 
Cho là một nguyên hàm của hàm số . Tìm nguyên hàm của hàm số .
	A.	B.
	C.	D.
Cho là một nguyên hàm của hàm số . Tìm nguyên hàm của hàm số .
	A.	B.
	C.	D.
Cho là một nguyên hàm của hàm số . Tìm nguyên hàm của hàm số .
	A.	B.
	C.	D.
Cho là một nguyên hàm của hàm số . Tìm nguyên hàm của hàm số 
	A.	B.
	C.	D.
Cho . Nếu đặt thì là
	A. 	B. 	C. 	D. 
Biết là nguyên hàm của hàm số . Tính .
	A..	B..	C..	D..
Cho là nguyên hàm của hàm số và . Tập nghiệm của phương trình là:
	A..	B..	C..	D..
Biết , với . Tính giá trị .
	A. 	B. 	C. 	D. 
Biết , với . Khẳng định nào sau đây đúng?
	A. 	B. 	C. 	D. 
Biết , với . Khẳng định nào sau đây đúng?
	A. 	B. 	C. 	D. 
Biết , với . Tính giá trị .
	A. 	B. 	C. 	D. 
Cho . Nếu đặt thì là
	A. 	B. 	C. 	D. 
Biết , với . Tính giá trị .
	A. 	B. 	C. 	D. 
Biết , với . Tính giá trị .
	A. 	B. 	C. 	D. 
Biết , với . Tính giá trị .
	A. 	B. 	C. 	D. Đáp án khác.
Cho . Nếu đặt thì là
	A. 	B. 	C. 	D. 
Biết , với . Tính giá trị .
	A. 	B. 	C. 	D. .
VẤN ĐỀ 6
 Tính nguyên hàm của một số hàm số lượng giác
Trong các khẳng định sau khẳng định nào sai.
	A. là một nguyên hàm của hàm số .
	B.Nếu và đều là nguyên hàm của hàm số thì có dạng với là các hằng số, 
	C.
	D. Nếu thì .
Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
	A. Nếu thì .
	B. Nếu và đều là nguyên hàm của hàm số thì có dạng ( là các hằng số và ).
	C. là một nguyên hàm của .
	D. .
Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
	A. Nếu là một nguyên hàm của hàm số thì mọi nguyên hàm của đều có dạng ( là hằng số).
	B. .
	C. là một nguyên hàm của hàm số .
	D. là một nguyên hàm của hàm số .
Xét các mệnh đề sau, với là hằng số:
(I) .
(II) .
(III).
Số mệnh đề đúng là:
	A. .	B. .	C. .	D. .
Tìm nguyên hàm của hàm số 
	A. .	B. .
	C. .	D. .
Một nguyên hàm của hàm số 
	A. 	B. 	C. 	D. 
Tìm nguyên hàm của hàm số .
	A. .	B. .
	C. .	D. .
Tìm nguyên hàm của hàm số .
	A. .	B. .
	C. .	D. .
Tìm nguyên hàm của hàm số .
	A. . 	B. .
	C. .	D. .
Tìm nguyên hàm của hàm số .
	A. . 	B. .
	C. .	D. .
Nguyên hàm của hàm số: y = sin2x.cos3x là:
	A. sin3x + sin5x + C	B. 
	C. sin3x - sin5x + C	D. 
bằng:
	A. 	B. 	C. 4	D. 2
bằng:
	A. 	B. 
	C. 	D. 
 bằng:
	A. 	B. 	C. 	D. 
Họ nguyên hàm F(x) của hàm số là
	A. 	B. Cả (A), (B) và (C) đều đúng
	C. 	D. 
Một nguyên hàm của hàm số là:
	A. 	B. 	C. 	D. 
Biểu thức nào sau đây bằng với ?
	A. 	B. 	C. 	D. 
Một nguyên hàm của bằng
	A. 	B. 	C. 	D. 
Tính ta được kết quả là:
	A. 	B. 	 C. D. 
Cặp hàm số nào sau đây có tính chất: Có một hàm số là nguyên hàm của hàm số còn lại?
	A. và .	B. và .
	C. và .	D. và .
 bằng:
	A. 	B. 	C. 	D. 
 bằng:
	A. 	B. 
	C. 	D. 
Nguyên hàm của là:
	A. 	B. 	C. 	D. 
 bằng:
	A. 	B. 	C. 	D. 
 bằng:
	A. 	B. 	C. 	D. 
 bằng:
	A. 	B. 	C. 	D. 
Tính A = , ta có
	A. 	B. 
	C. 	D. Đáp án khác
Họ nguyên hàm F(x) của hàm số 
	A. 	B. 
	C. 	D. 
Họ nguyên hàm của hàm số là
	A. 	B. 
	C. 	D. 
Họ nguyên hàm của là:
	A. ln	B. ln	C. -ln|cosx| + C	D. ln
 bằng:
	A. 	B. 	C. 	D. 
Họ nguyên hàm của là:
	A. 	B. 	C. 	D. 
bằng:
	A. 	B. 
	C. 	D. 
Một nguyên hàm của hàm số: là:
	A. 	B. 
	C. 	D. 
Kết quả nào sai trong các kết quả sau?
	A. 	B. 
	C. 	D. 
Nguyên hàm của hàm số bằng::
	A. 	B. 	C. .	D. 
Họ nguyên hàm của hàm số là:
	A. 	B. 	C. 	D. 
Họ các nguyên hàm của hàm số là:
	A. .	B. 
	C. 	D. 
Nguyên hàm của hàm số: y = sin2x.cos3x là:
	A. 	B. sin3x + sin5x + C
	C. 	D. sin3x - sin5x + C
Nguyên hàm của hàm số khi là
	A. 	B. 	C. 	D. 
Nguyên hàm của hàm số: y = là:
	A. 	B. 
	C. 	D. 
Nguyên hàm của hàm số: y = cos2x.sinx là:
	A. 	B. 	C. 	D. Đáp án khác.
Nếu thì là:
	A. .	B. .
	C. .	D. .
 là nguyên hàm của hàm số . 
	 là hàm số nào sau đây?
A.. 	B. .
C. .	D. .
Xét các mệnh đề sau, với là hằng số:
(I) .
(II) .
(III).
Số mệnh đề đúng là:
A. .	B. .	C. .	D. .
Tìm họ nguyên hàm của hàm số và 
	A. ; 
	B. ; 
	C. ; 
	D. ; 
Nguyên hàm bằng
	A..	B..
	C..	D..
Nguyên hàm bằng?
	A.	B.
	C.	D.
Tính .
	A.	B.
	C.	D.
Tính .
	A.	B.	
	C.	D.
Tính :
	A.	B.	C.	D.
Tìm nguyên hàm 
	A. 	B. Đáp án khác
	C. 	D. 
Biểu thức nào sau đây bằng với ?
	A. 	B. 
	C. 	D. 
 bằng:
	A. 	B. 	C. 	D. 
 bằng:
	A. 	B. 
	C. 	D. 
 bằng:
	A. 	B. 	C. 	D. 
 bằng:
	A. 	B. 	C. 	D. 
Một nguyên hàm của là
	A. 	B. 	C. 	D. 
Họ nguyên hàm của hàm số là
	A. 	B. 
	C. 	D. 
Nguyên hàm bằng:
	A. 	B. 	C. 	D. 
Nguyên hàm của hàm số: y = là:
	A. F(x) = 	B. F(x) = 
	C. F(x) = 	D. F(x) = 
Nguyên hàm của hàm số: là:
	A. 	B. 
	C. 	D. 
Nguyên hàm của hàm số: là:
	A. F(x) = 	B. F(x) = 
	C. F(x) = 	D. F(x) = 
 là một nguyên hàm của hàm số:
	A. 	B. 
	C. 	D. 
Hàm số là nguyên hàm của hàm số f(x) nào
	A. 	B. Đáp án khác	C. D. 
Cho hàm số . Giá trị của tham số để nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) thỏa mãn điều kiện và là
	A.	B.	C.	D.
Thầy Hùng cho bài toán “ Tìm ”. Bạn Minh Hiền giải bằng phương pháp đổi biến như sau:
+ Bước 1: Đặt , ta có 
+ Bước 2: 
+ Bước 3: Kết luận 
Hỏi bạn Minh Hiền sai ở bước nào?
	A.Bước 1	B.Bước 2	C.Bước 3	D.Không sai.
Cho là một nguyên hàm của hàm số thỏa mãn . Tính .
	A..	B.	C..	D..
Cho là một nguyên hàm của hàm số thỏa mãn . Tính .
	A..	B.	C..	D..
Cho với . Tính .
	A..	B.	C..	D..
Để tính thì nên:
	A. Dùng phương pháp đổi biến số đặt .	
	B. Dùng phương pháp nguyên hàm từng phần đặt .
	C. Dùng phương pháp đổi biến số đặt .
	D. Dùng phương pháp nguyên hàm từng phần đặt .
Cho . Tính 2m+ 3n?
	A.	B. 	C. 	D. 
Cho là một nguyên hàm của hàm số thỏa mãn điều kiện Tính 
	A.	B.	C.	D. 
Biết là một nguyên hàm của và thỏa. Tính 
	A. 	B. 	C. 	D. 
Cho hàm số biết và . Tính 
	A.	B.	C.	D.
Biết là một nguyên hàm của hàm số thỏa Tính 
	A. 	B. 	C. 	D. 
Cho hàm sốthỏa mãn Tính?
	A.	B.	C.	D.
ho hàm số F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) = cos3x và thì
	A. 	B. 
	C. 	D. 	
Cho và . Trong các khẳng định sau khẳng định nào đúng?
	A. 	B. 
	C. 	D. 
Nguyên hàm của hàm số thỏa mãn điều kiện là
	A. 	B. 
	C. 	D. 
Hãy xác định hàm số f từ đẳng thức: 
	A. 2cosucosv	B. -cosucosv	C. cosu + cosv	D. cosucosv
Tìm nguyên hàm của: với là:
	A. 	B. 	C. 	D. 
Cho là một nguyên hàm của hàm số và . Khi đó, ta có là:
	A. 	B. 	C. 	D. 
Cho . Tìm m để nguyên hàm F(x) của f(x) thỏa mãn F(0) = 1 và 
	A. 	B. 	C. 	 D. 
Cho hàm . Nếu là nguyên hàm của hàm số và đồ thị hàm số đi qua điểm thì là:
	A. 	B. 	C. 	D. 
Cặp hàm số nào sau đây có tính chất: Có một hàm số là nguyên hàm của hàm số còn lại?
	A. và 	B. và 	C. và 	D. và 
Gọi F1(x) là nguyên hàm của hàm số thỏa mãn F1(0) =0 và F2(x) là nguyên hàm của hàm số thỏa mãn F2(0)=0. 
 Khi đó phương trình F1(x) = F2(x) có nghiệm là:
	A. 	B. 	C. 	D. 
Nguyên hàm F(x) của hàm số thỏa mãn là:
	A. 	B. 
	C. 	D. 
Tìm nguyên hàm của hàm số thỏa mãn điều kiện: 
	A. 	B. 
	C. 	D. 
Nguyên hàm F(x) của hàm số thỏa mãn là:
	A. 	B. 
	C. 	D. 
Cho hàm số . Nguyên hàm của hàm số bằng 0 khi là hàm số nào trong các hàm số sau ?
	A. 	B. 	C. 	D. 
Tính nguyên hàm được kết quả với . Giá trị của là:
	A. 8	B. 4	C. 0	D. 2
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
	A. 	B. 	C. Cả 3 đều sai.	D. 
Công thức nguyên hàm nào sau đây không đúng?
	A. 	B. 
	C. 	D. 
Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
	A. là một nguyên hàm của hàm số 
	B. Nêu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) thì mọi nguyên hàm của f(x) đều có dạng (C là hằng số)
	C. 
	D. là một nguyên hàm của 
Để tìm nguyên hàm của thì nên:
	A. Dùng phương pháp đổi biến số, đặt 
	B. Dùng phương pháp lấy nguyên hàm từng phần, đặt 
	C. Dùng phương pháp lấy nguyên hàm từng phần, đặt 
	D. Dùng phương pháp đổi biến số, đặt
Biết là một nguyên hàm của hàm số . Tính .
	A..	B..	C..	D..
Cho F(x) là một nguyên hàm của , biết , . Tính ?
	A..	B..	C..	D.
Biết . Với a là số nguyên. Tìm a?
	A.	B.	C.	D.
Biết . Với a là số nguyên. Tìm a?
	A.	B.	C.	D.
Tìm một nguyên hàm của: biết nguyên hàm này bằng 3 khi .
	A.	B.	C..	D..
 là nguyên hàm của:
	A..	B..	C..	D..
Biết , với a, b là các số nguyên. Tính S = a + b?
	A.	B.	C.	D.
Biết , với a, b là cá số nguyên. Tính S = a + b?
	A.	B.	C.	D.
Biết , với a, b là cá số nguyên. Tính S = a + b?
	A.	B.	C.	D.
Cho . Một nguyên hàm của thỏa là:
	A..	B..
	C..	D..