Đề cương ôn tập môn Toán Lớp 12 - Bài toán thực tế liên quan đến hình học

ATRẮC NGHIỆM BÀI TOÁN THỰC TẾ LIÊN QUAN ĐẾN HÌNH HỌC
 A. Nội dung kiến thức.
 Bài toán thực tế liên quan đến hình học thường xoay quanh một số nội dung như sau: Tính toán để đường đi được ngắn nhất, tính toán để diện tích được lớn nhất, hay cũng có thể đơn giản là tính diện tích hoặc thể tích của một vật 
Ta chú ý một số kiến thức sau:
 1. Công thức tính chu vi, diện tích của các hình, thể tích của các khối hình. 
* Hình tam giác: Cho tam giác ABC đường cao AH, đặt a = BC, b = CA, c = AB, h = AH.
Chu vi tam giác là : P = a + b + c.
Diện tích tam giác là :
( với ).
* Hình quạt: Xét hình quạt OAB có bán kính R, góc ở tâm bằng (tính theo radian). 
Chu vi của hình quạt là : 
Diện tích của hình quạt là : 
* Hình nón, khối nón: 
Diện tích xuang quanh của hình nón có bán kính đường tròn đáy bằng r và có độ dài đường sinh bằng l là: 
Diện tích toàn phần của hình nón tròn xoay bằng diện tích xung quanh của hình nón cộng với diện tích đáy của hình nón: 
Thể tích của khối nón tròn xoay có có chiều cao h và bán kính đáy bằng r là: 
*Hình trụ, khối trụ: 
Diện tích xuang quanh của hình trụ có bán kính đáy bằng r và có đường sinh bằng l là: 
Diện tích toàn phần của hình trụ bằng diện tích xung quanh của hình trụ đó cộng với diện tích hai đáy của hình trụ: 
Thể tích của khối trụ có chiều cao h và có bán kính đáy bằng r là: 
Chú ý: Trường hợp hình lăng trụ đứng và khối lăng trụ đứng (như hình vẽ) thì h = l.
*Mặt cầu, khối cầu: 
Mặt cầu bán kính R có diện tích là: 
Khối cầu bán kính R có thể tích là: 
2. Cách tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn, khoảng, nửa đoạn, nửa khoảng. 
Có lẽ đây là một bài toán khá quen thuộc với rất nhiều bạn đọc, tác giả sẽ không nhắc lại phương pháp khảo sát hàm số để tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất. Tác giả cung cấp thêm cho bạn đọc một số công thức sau: 
Cho hàm số nếu a > 0 thì hàm số đã cho đạt giá trị nhỏ nhất trên khi 
Cho hàm số nếu a < 0 thì hàm số đã cho đạt giá trị lớn nhất trên khi 
Với a , b là các số thực dương thì ta có: Đẳng thức xảy ra khi a = b.
Vớia , b, c là các số thực dương thì ta có: Đẳng thức xảy ra khi a = b = c. 
Phần chứng minh xin để lại cho bạn đọc.
3. Ứng dụng của tích phân trong việc tính diện tích hình phẳng, tính thể tích của khối tròn xoay. 
Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [ a;b] thì diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường : là .
Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số liên tục trên đoạn [ a; b] và hai đường thẳng x = a, x = b là 
 Cho hàm số y = f(x) liên tục trên [a , b]. Thể tích V của khối tròn xoay tạo bởi hình phẳng giới hạn bởi các đường : khi quay xung quanh trục hoành được tính theo công thức : 
 Thể tích V của khối tròn xoay tạo bởi hình phẳng giới hạn bởi các đường liên tục trên đoạn [a;b]), x = a, x = b , khi quay xung quanh trục Ox được tính theo công thức : 
B. Ví dụ minh hoạ.
Ví dụ 1. Một đường dây điện được nối từ nhà máy điện trên bờ biển ở vị trí A đến vị trí C trên một hòn đảo. Khoảng cách ngắn nhất từ C đến đất liền là đoạn BC có độ dài 1 km, khoảng cách từ A đến B là 4 km. Người ta chọn một vị trí là điểm S nằm giữa A và B để mắc đường dây điện từ A đến S, rồi từ S đến C như hình vẽ dưới đây. Chi phí mỗi km dây điện trên đất liền mất 3000USD, mỗi km dây điện đặt ngầm dưới biển mất 5000USD. Hỏi điểm S phải cách điểm A bao nhiêu km để chi phí mắc đường dây điện là ít nhất. 
A. 3,25 km.	B. 1 km.	C. 2 km.	D. 1,5 km.
Lời giải
Giả sử 
Tổng chi phí mắc đường dây điện là : .
Bài toán trở thành tìm giá trị lớn nhất của trên (0;4).
Cách 1: Ta có:
So sánh với điều kiện ta có 
Đáp án A.
Cách 2:
Ta có: Ta có: f (3,25) =1600; f (1) =1881,13883; f (2) =1718,033989; f (1,5) =1796,291202.
Như vậy ta cũng tìm ra A là đáp án.
Bình luận: Không ít bạn đọc cho rằng cách giải thứ hai không được khoa học và làm mất đi vẻ
đẹp của toán học. Quan điểm của tác giả về Cách 1 và Cách 2 như sau:
Cả hai cách đều phải tìm giá trị lớn nhất của f (x) trên (0;4).
Cách 1: Chúng ta giải quyết bằng cách khảo sát hàm số f (x) trên khoảng (0;4) để tìm ra
giá trị của x mà tại đó f (x) đạt giá trị lớn nhất; tiếp theo, so sánh kết quả tìm được với các
đáp án A, B, C, D để tìm ra câu trả lời đúng cho câu hỏi.
Cách 2: Sau khi lập được hàm số f (x) như Cách 1, tính f (3,25), f (1), f (2), f (1,5); số
lớn nhất trong bốn số tính được sẽ là giá trị lớn nhất của f (x). Từ đó, hiển nhiên, dễ dàng
tìm ra câu trả lời đúng cho câu hỏi.
Có thể thấy, rõ ràng Cách 2 giúp ta tìm đáp án nhanh hơn cách 1. Sự khác biệt giữa Cách 1 và Cách 2 nêu trên nằm ở quan niệm về tình huống đặt ra. Với Cách 1, ta coi các phương
án A, B, C, D chỉ là các dữ liệu đưa ra để đối chiếu; với Cách 2, ta coi các phương án A, B, C, D là giả thiết của tình huống đặt ra. 
Có lẽ những bài tập trắc nghiệm có thể làm theo Cách 2 đôi phần là hạn chế của việc kiểm tra
theo hình thức trắc nghiệm, tuy nhiên trong quá trình làm bài thi mỗi câu hỏi đã được người ra đề đã ngầm ấn định khoảng thời gian làm bài, do vậy theo tác giả nếu gặp câu hỏi này trong phòng thi học sinh nên làm theo Cách 2. 
Ví dụ 2. Một của sổ có dạng như hình vẽ, bao gồm: một hình chữ nhật ghép với nửa hình tròn có tâm nằm trên cạnh hình chữ nhật. Biết rằng chu vi cho phép của của sổ là 4 m. Hỏi diện tích lớn nhất của cửa sổ là bao nhiêu. 
A. 	B. 	C. 	D. 
Lời giải
Gọi độ dài IA và AB lần lượt là a và b ( 0 < a, b < 4).
Vì chu vi của cửa sổ bằng 4m nên ta có: 
Diện tích của cửa sổ là:
Bài toán trở thành tìm giá trị lớn nhất của S(a) trên (0;4).
Cách 1:
Ta có: Suy ra : 
Đáp án B.
Cách 2: 
Do S(a) là hàm số bậc hai có hệ số của a2 âm nên nó đạt giá trị lớn nhất khi:
Đáp án B.
Bình luận: Vì sao tại (1) chúng ta không biểu diễn a theo b mà lại biểu diễn b theo a? Đâu đó có bạn đọc nghĩ rằng việc biểu diễn a theo b hay biểu diễn b theo a thì các bước làm vẫn vậy và không ảnh hưởng đến quá trình làm bài. Liệu điều này có đúng? Câu trả lời là không? Chúng ta biết rằng cửa gồm hai bộ phận (bộ phận hình chữ nhật và bộ phận có dạng nửa đường tròn), nhưng cả hai bộ phận này khi tính diện tích đều phải tính theo a. Như vậy nếu chúng ta biểu diễn a theo b thì việc tính toán sẽ phức tạp hơn khi biểu diễn b theo a. Công việc tưởng chừng như rất đơn giản này nhưng nó có thể giúp ích rất nhiều cho bạn đọc trong khi tính toán.
Ví dụ 3. Có hai cây cột dựng trên mặt đất lần lượt cao 1 m và 4 m, đỉnh của hai cây cột cách nhau 5 m. Người ta cần chọn một vị trí trên mặt đất (nằm giữa hai chân cột) và giăng dây nối đến hai đỉnh cột để trang trí như mô hình bên dưới. Tính độ dài dây ngắn nhất. 
A. 	B. 	C. 	D. 
Lời giải
Kẻ 
Đặt 
Độ dài đoạn dây cần giăng là :
Bài toán trở thành tìm giá trị nhỏ nhất của f(x) trên (0;4)
Ta có: 
Dùng MTCT sử dụng tính năng nhẩm nghiệm ta tính được:
Đáp án A.
Ví dụ 4. Một màn hình ti vi hình chữ nhật cao 1,4 m được đặt ở độ cao 1,8 m so với tầm mắt (tính từ đầu mép dưới của màn hình). Để nhìn rõ nhất phải xác định vị trí đứng sao cho góc nhìn lớn nhất ( là góc nhìn). Hãy xác định độ dài AO để nhìn được rõ nhất. BOC 
A. AO = 2,4 m.	B. AO = 2 m.	C. AO = 2,6 m.	D. AO = 3 m.
Lời giải
Đặt : Ta có: 
Góc nhìn BOC lớn nhất khi bé nhất. cosBOC 
Cách 1:
Đặt: . Xét: 
Ta có: 
Suy ra cos BOC lớn nhất khi 
Đáp án A.
Cách 2: 
Ta sẽ thử xem trong 4 đáp án đã cho đáp án nào làm nhỏ nhất thì đó là đáp án cần tìm. cosBOC
Đặt: .Ta có:
Từ đó suy ra A là đáp án. 
Ví dụ 5. Mỗi trang giấy của cuốn sách giáo khoa cần diện tích 384 cm2. Lề trên và lề dưới là 3cm, lề trái và lề phải là 2 cm. Hãy cho biết kích thước tối ưu của trang giấy. 
A. Dài 24 cm; rộng 16 cm. 
B. Dài 23,5 cm; rộng 17 cm. 
C. Dài 25 cm; rộng 15,36 cm. 	
D. Dài 25,6 cm; rộng 15 cm. 
Lời giải
Trang giấy có kích thước tối ưu khi diện tích phần trình bày nội dung là lớn nhất. 
Gọi chiều dài của trang giấy là suy ra chiều rộng là 
Diện tích để trình bày nội dung là: 
Ta cần tìm giá trị lớn nhất của với 
Ta có : 
Đáp án A.
Ví dụ 6. (Đề minh hoạ lần 1 kỳ thi THPTQG năm 2017) Cho một tấm nhôm hình vuông cạnh 12 cm. Người ta cắt ở bốn góc của tấm nhôm đó bốn hình vuông bằng nhau, mỗi hình vuông có cạnh bằng x (cm), rồi gập tấm nhôm lại như hình vẽ dưới đây để được một cái hộp không nắp. Tìm x để hộp nhận được có thể tích lớn nhất. 
A. x = 6.	B. x = 3.	C. x = 2.	D. x = 4.
Lời giải
Thể tích của hộp là: . Ta cần tìm x để V(x) đạt giá trị lớn nhất với 0 < x < 6.
Cách 1:
Ta có: V(6) = 0; V(3) = 108; V(2) = 128; V(4) = 64.
Suy ra C là đáp án.
Cách 2:
Ta có: 
Suy ra: 
Mà V(6) = 0; V(2) = 128 nên x = 2 thỏa mãn đề bài.
Đáp án C.
Cách 3:
Theo bất đẳng thức AM-GM ta có:
Đẳng thức xảy ra khi : 2x = 6 – x => x = 2.
Đáp án C.
Cách 4:
Sử dụng chức năng TABLE của MTCT (fx-570ES PLUS) ta thực hiện như sau:
 Bước 1: Nhấn MODE chọn chức năng TABLE bằng cách nhấn số 7.
 Bước 2: Màn hình yêu cầu nhập hàm số f(x) bạn đọc hãy nhập V(x) vào sau đó nhấn dấu “=”. 
Bước 3: Màn hình hiện “Start?” đây là giá trị bắt đầu, bọn đọc nhấn số 1 sau đó nhấn dấu “=”. Màn hình hiện tiếp “End?” đây là giá trị kết thúc, bạn đọc nhấn số 6 sau đó nhấn dấu “=”. Màn hình lại hiện tiếp “Step?” đây là khoảng cách mà bạn đọc cần chọn để đặt khoảng cách cho các giá trị của x, với bài này bạn đọc nhấn số 1 sau đó nhấn dấu “=”. 
Bước 4: Màn hình hiện lên cho ta một bảng gồm hai cột, cột bên trái là giá trị của x kẻm theo đó là các giá trị tương ứng của V(x) ở bên phải. Dựa vào bảng này bạn đọc sẽ suy ra x = 2 thì V(x) lớn nhất.
Đáp số C.
Bình luận: Sau khi xem 4 cách giải trên đâu đó sẽ có bạn đọc cho rằng cách giải thứ nhất hoặc
cách giải thứ tư là nhanh chóng và đơn giản nhất. Tuy nhiên quan điểm của tác giả như sau:
Cách giải thứ nhất không phải bài nào cũng áp dụng được.
Cách giải thứ tư không hữu ích trong các bài toán các biến số là số lẻ (hay bạn đọc còn gọi
là số xấu) vì giá trị của f (x) trong bảng có thể là lớn nhất (nhỏ nhất) nhưng chưa hẳn đã
lớn nhất (nhỏ nhất) trên miền ta đang xét. Ở ví dụ này các giá trị của x đưa ra ở các phương
án A, B, C, D là số nguyên nên ta mới có thể nhanh chóng so sánh và đối chiếu với các giá
trị trong máy tính.
Theo tác giả cách giải thứ ba là nhanh chóng và khoa học nhất, bài làm ở trên tác giả đã
giải chi tiết, tác giả đã đi tìm giá trị lớn nhất của V(x). Tuy nhiên nếu chỉ tìm x để V(x)
lớn nhất thì ta có thể tìm được ngay nhờ việc giải phương trình: 4x = 12 - 2x hoặc
2x = 6 - x, cả hai phương trình này đều cho ta nghiệm x = 2.
Câu hỏi: Tại sao tác giả lại tìm được một trong hai phương trình 4x =12-2x hoặc
2x = 6- x ? Câu trả lời rất đơn giản, trong mục A (kiến thức cần nhớ) tác giả đã
cung cấp cho bạn đọc một dẫn xuất của bất đẳng thức AM-GM đó là:
Ta có: , với a, b, c là các số thực dương.
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c.
Dẫn xuất của bất đẳng thức AM-GM trong phần tác giả đóng khung rất mạnh đối với bài toán này vì nó chuyển trạng thái liên kiết của a, b, c từ liên kết nhân sang liên kết cộng.
Trở lại với bài toán Ta cần tìm x để 2 V(x) = x(12-2x)2 đạt giá trị lớn nhất với 0 < x < 6. Trong biểu thức V(x) đang có các liên kết nhân cụ thể là các liên kết nhân của x, 12 - 2x và 12 - ... Theo bất đẳng thức AM-GM ta có:
Đẳng thức xảy ra khi : 
Áp dụng cho bài toán này : 
Bài 15. Thể tích ban đầu cả khối gỗ là: 
Thể tích của khối gỗ bị khoét đi là: 
Thể tích của khối gỗ bị khoét đi là : 
Thể tích còn lại của khối gỗ sau khi khoét là: 
Tỉ số cần tính là: 
Bài 16. HD: Nếu úp ngược lại thì cái xô có hình nón cụt, hãy tính diện tích xung quanh của nó thông qua diện tích của hai hình nón khác. 
Bài 17. 
Bài 18 
Bài 19. 
Bài 20. Xem ví dụ 7
Bài 21.
Gọi bán kính đáy của khối trụ là r ta có: 
Thể tích của khối trụ là: 
Bài 22. Ta có: 
Đẳng thức xảy xa khi: 
Bài 23. Ta có 
Bài 24. Thể tích hộp là : .Thể tích hộp lớn nhất khi 
Bài 25. 
HD: Toạ độ hoá như hình vẽ. Thể tích của thùng rượu chính là thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số trục Ox và hai đường thẳng x = -50, x = 50 (như trong hình vẽ bên) xung quanh trục Ox. Công việc tính toán tiếp theo xin để lại cho bạn đọc.
Bài 26. Xem ví dụ 12.
Bài 27. Ta có: Suy ra số lượng quả cầu long đựng được trong hộp là 28 quả.
Bài 28. Gọi là bán kính đáy của khối trụ thứ nhất, ta có: 
Gọi R2 là bán kính đáy của khối trụ thứ nhất, ta có:
Suy ra: 
Bài 29. Gọi chiều dài là x thì chiều rộng là 60 – x .Bán kính đáy chiều cao h = 60 –x.
Suy ra: 
Xét hàm số: 
Ta có: 
Suy ra chiều dài bằng 40 cm, chiều rộng bằng 20 cm.
Bài 30. Trong các hình chữ nhật có cùng chu vi thì hình vuông có diện tích lớn nhất. Bài toán này có thể giải quyết nhờ bất đẳng thức AM-GM hoặc khảo sát sự biến thiên của hàm số.
Bài 31. Gọi hai cạnh của miếng đất là x, y. Ta có: x + y = 400 (m).
Ta có: 
Đẳng thức xảy ra khi: x = y = 200 (m).
Bài 32. Gọi bán kính của cái thùng là r ta có: 
Thể tích của cái hộp là: 
Bài 33. Xem ví dụ 9.
Bài 34 .
 Không gian trong lều lớn nhất khi diện tích tam giác ABC lớn nhất.
Ta có: 
Đẳng thức xảy ra khi: 
Suy ra chiều cao của gậy chống là: 
Bài 35. Gọi lần lượt là bán kính đáy của hình nón 
Ta có: 
Suy ra: 
Bài 36. Gọi S là đỉnh của khối tứ diện gấp được, ABC là tam giác đáy, G là trọng tâm tam giác ABC. 
Do tứ diện gấp được là tứ diện đều nên 
Ta có: .Suy ra: 
Thể tích của tứ diện gấp được là: 
Bài 37. 
Gọi độ dài cạnh đáy của mô hình là x, chiều cao của mô hình là h.
Ta có: 
Suy ra: 
Thể tích của mô hình là: 
Ta có: V(x) lớn nhất khi lớn nhất hay lớn nhất
Mà Suy ra thỏa mãn đề bài.
Bài 38. Mỗi hộp đựng được 30 viên phấn, suy ra 12 hộp đựng được 260 viên phấn. Do đó thiếu 10 viên phấn.
Bài 39. Thể tích của bốn viên bi là: 
Chiều cao nước dâng lên là: Như vậy nước sẽ cách mép cốc 
Bài 40. 
Bài 41. Tổng diện tích của ba quả bóng là: 
Diện tích xuang quanh của cái hộp là: 
Suy ra: 
Bài 42. Thể tích của cái cốc là: 
Suy ra: V = 0,46472 (lít). Do đó nếu dùng cốc này để đong 10 lít nước thì phải đong ít nhất 22 lần.
Bài 43. Người chơi chỉ đủ điều kiện tham gia khi có chiều cao thấp hơn đường kính quả bóng.
Bài 44. Ta có: 
Suy ra: 
Bài 45. Diện tích xuang quanh của cái mũ là: 
Suy ra: 
Chiều cao của cái mũ là: 
Thể tích của cái mũ là: 
Bài 46. Thể tích của 1 viên phấn là: 
Ta có: nên có thể đúc được tối đa 70 viên phấn.
Bài 47. Gọi chiều cao mực nước dâng lên là x (cm).
Bán kính của viên bi là: 
Vì phần nước dâng lên có thể tích bằng thể tích viên bi nên: 
Sử dụng tính năng nhẩm nghiệm của MTCT ta tính được: 
Bài 48. Gọi r là bán kính miệng ly, h là chiều cao (phần hình nón) của ly.
Thể tích của ly là: 
Thể tích của lượng nước đổ vào là: 
Thể tích còn lại của cốc là: (1)
Gọi h - k là chiều cao của nước khi úp ngược lại.
Thể tích còn lại của cốc là: (sử dụng tam giác đồng dạng) (2).
Từ (1) và (2) suy ra: 
Bài 49. Ta có: abc = 1,296.
Diện tích của phần kính dùng để làm bể cá là: 
Đẳng thức xảy ra khi: 
Bài 50. Chiều cao của cái gàu là: 
Thể tích của cái gàu là: 
Suy ra cần múc ít nhất 28 lần để đổ đầy cái thùng có thể tích 240 lít.
Bài 51. Diện tích xung quanh của hình nón là:, mà ta lại có: 
Suy ra: 
Do đó: 
Bài 52. Thể tích khối lăng trụ lớn nhất khi diện tích đáy của nó lớn nhất. 
Diện tích đáy của lăng trụ là: 
Sử dụng MTCT ta tính được: 
Nếu để ý một chút bạn đọc sẽ thấy chỉ có đáp án A thoả mãn vì các đáp án B, C, D 
Bài 53. Gọi r là bán kính khối nón, h là chiều cao của khối nón. Không mất tính tổng quát ta có thể xem R = 1. Ta có: 
Do diện tích xuang quanh của hình nón ằng diện tích phần hình quạt đem quấn nên: 
Thể tích của khối nón là: 
Đặt. . Xét hàm số: , ta có: 
Suy ra: 
Do đó: 
Bình luận: Nếu bạn đọc tính theo R thì bài toán sẽ khó khăn và phức tạp hơn rất nhiều.
Bài 54. Gọi độ dài của hàng rào xây bằng xi măng là x (x > 5) và độ dài hai hàng rào vuông góc với nó là y. 
Vì diện tích khu đất rào được bằng 600m2 nên: 
Độ dài dây thép để làm hàng rào là: 
Suy ra tổng chi phí là: 
Theo bất đẳng thức AM-GM ta có: 
Đẳng thức xảy ra khi: 
Suy ra chu vi của khu đất là: 
Bài 55. Gọi x và y lần lượt là bán kính đáy và chiều cao của hình trụ.
Dải dây ruy băng khi đã thắt nơ là: 160 – 40 = 120 (cm).
Ta có: 
Thể tích của hộp quà là:
Đẳng thức xảy ra khi: 
Bài 56. Gọi chiều dài và chiều rộng của đáy khối gỗ lần luột là x và y.
Ta có: 
Thể tích của khối gỗ lớn nhất khi diện tích đáy của nó lớn nhất, tức là: xy lớn nhất. 
Theo bất đẳng thức AM-GM ta có: 
Đẳng thức xảy ra khi: 
Suy ra thể tích lớn nhất của khối gỗ sau khi cưa xong là: 
Bài 57. 
Chọn hệ trục toạ độ Oxy như hình vẽ. Gọi parabol đi qua điểm I là (P1) và có phương trình: Do ( P1 )đi qua gốc toạ độ nên 
Sử dụng tiếp dữ kiện (P1 ) đi qua I và A ta suy ra 
Do đó parabol phía dưới có phương trình là 
Khi đó diện tích mỗi nhịp cầu là là với phần diện tích giới hạn bởi các parabol và trong khoảng (0;25).
Suy ra: 
Thể tích của mỗi nhịp cầu là: 
Suy ra lượng bê tông để xây dựng các nhịp cầu là: (*).
Do làm tròn đến hàng đơn vị nên ta cần 
Chú ý: Tại (*) chúng ta nhân 2 vì là chúng ta phải xây dựng cả hai bên cầu.
Bài 58.
Gọi bán kính đáy của hình nón là R, (R > 0). Suy ra chiều cao của hình nón là 3R chiều cao của hình trụ là 2R.
Gọi bán kính của hình trụ là r thì 
Ta có: 
Do thể tích của khối trụ bằng nên ta có: 
Suy ra đường sinh của hình nón là: 
Diện tích xuang quanh của hình nón là: 
Bài 59. Gọi m là số mảnh da ngũ giác, n là số mảnh da lục giác (để cho thuận tiện tác giả gọi mảnh da ngũ giác là mảnh da đen, mảnh da lục giác là mảnh da trắng).
Số mảnh da của quả bóng là: . M = m + n.
Mỗi mảnh da đen tiếp xúc với 5 mảnh da trắng nên số đường khâu ghép giữa các mảnh da đen và các mảnh da trắng là 5m (1).
Mỗi mảnh da trắng tiếp xúc với 3 mảnh da đen nên số đường khâu ghép giữa các mảnh da trắng và các mảnh da đen là 3n (2).
Từ (1) và (2) ta có: 
Suy ra số mảnh da của quả bóng là: 
Số đường khâu ghép giữa các mảnh da trắng với nhau là . Vì cứ mỗi mảnh da trắng này lại tiếp xúc với 3 mảnh da trắng khác và mỗi đường khâu ghép ta đã đếm 2 lần.
Tổng số đường khâu ghép trên quả bóng là: Số đường khâu giữa các mảnh da cùng màu + Số đường khâu giữa các mảnh da khác màu 
Số đỉnh của tất cả các mảnh da là 5m hay 3n (bằng tổng tất cả các đỉnh của các mảnh da đen). 
Theo công thức Euler ta có: Số đỉnh + Số mặt = Số cạnh + 2 nên ta có:
Bài 60. Gọi R và h theo thứ tự là bán kính và chiều cao của cái phễu.
Thiết diện song song với đáy phễu, qua tâm của viên gạch là hình tròn bán kính 
Ta có: (1)
Thiết diện song song với đáy phễu, chứa cạnh đối diện với cạnh nằm trên đáy phễu là hình tròn có bán kính 
Ta có: (2)
Từ (1) và (2) suy ra: và 
Thể tích còn lại trong phễu là: 
Bài 61. (lít)
Bài 62. 
Gọi I là tâm hình vuông ABCD, H là tâm của hình vuông A’B’C’D’, EF là đường sinh đi qua như hình vẽ bên.
Do hình lập phương có thể tích bằng 1 nên ta có: 
Đặt EH = x ta có: 
Thể tích khối nón là: 
Xét hàm số trong đó x > 0 ta có . Do đó thể tích khối nón đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi x = 2. Thể tích khối nón khi đó là: 
Bài 63. Diện tích hình thang nhỏ nhất khi lớn nhất.
Ta có: (1)
Mà hai tam giác AEH và CGF đồng dạng nên (2)
Thay (2) vào (1) ta có: 2S lớn nhất khi nhỏ nhất
Suy ra: 
Bài 64.
 Gọi các điểm như hình vẽ, kẻ PQ vuông góc với CD. Để N chạm đáy CQ thì MB > MC nên x > 4.
Hai tam giác MNC và NPQ đồng dạng nên ta có: 
Ta chú ý thêm điều kiện 
Suy ra: 
Xét hàm số ta có: 
Ta suy ra: 
Bài 65. 
Gọi O là tâm của miếng bìa.Ta có: 
Suy ra: 
Chiều cao của cái hộp gấp được là:
Thể tích của hộp gấp được là: 
Bình luận: Nếu bạn đọc sử dụng định lý hàm số cos để tính AB thì sẽ đơn giản hơn một chút.
Bài 66. Gọi x là bán kính viên bi. Điều kiện: 
Thể tích viên bi là: 
Thể tích của khối nước hình chỏm cầu khi chưa thả viên bi vào là: 
Thể tích của khối nước hình chỏm cầu khi thả viên bi vào là:
Ta có phương trình: 
Giải phương trình (1) được ba nghiệm sau đó so sánh với điều kiện và làm tròn đến hàng đơn vị ta được x = 2.
Bài 67. Chọn hệ trục toạ độ Oxy như hình vẽ.
Thể tích của cái chum là thể tích của hình giới hạn bởi đường tròn có phương trình và các đường thẳng khi quay xung quanh trục Ox.
Suy ra: 
Bài 68. Gọi h là khoảng cách từ bóng đèn đến mặt bàn.
Ta có : và 
Suy ra cường độ sáng ở mép bàn là: 
Ta có: 
Suy ra h = 1 m thì cường độ sáng ở mép bàn là lớn nhất. 
Bài 69. HD: Diện tích xung quanh của cái hộp bằng diện tích của miếng bìa.
Bài 70. Bán kính của đáy lọ là: 
Diện tích của đáy lọ là: 
Bài 71. Ta có: 
Do thể tích của hố ga là nên ta có: 
Tổng diện tích của các mặt cần xây là:
Ta có: 
Đẳng thức xảy ra khi: 
Bài 72. Gọi x là độ dài của cạnh của bốn hình vuông cắt bỏ 
Thể tích của cái hộp là: 
Đẳng thức xảy ra khi: 
Bài 73. Gọi x là độ dài một cạnh góc vuông ( x > 0 ),thì độ dài cạnh huyền là 120 - x và độ dài cạnh góc vuông còn lại là 
Diện tích của miếng nhôm cắt được là: 
Ta có: 
Suy ra f(x) lớn nhất khi do đó cạnh huyền bằng 80 cm thì diện tích của miếng nhôm là lớn nhất.
Bài 74. 
Gọi H là giao điểm của AB với tim cột cờ. Ta cần tính chiều cao của cột cờ tức là tính HC.
Xét tam giác ABC ta có:
Theo định lý hàm sin trong tam giác ABC ta có: 
Ta có: 
Bài 75. Đặt Suy ra : 
Gọi a là số tiền để làm 1 km đường bên bờ có điểm A. Không mất tính tổng quát giả sử a = 1 thì số tiền để làm đường là: 
Ta có: 
Sử dụng MTCT ta tính được khi .
Suy ra: HM = 2,630 (km). 
Bài 76. Diện tích mặt cắt của ống là: với r = 0,0075 (m) và R = 0,0095 (m).
Thể tích của phần thép tạo nên một ống là: 
Khối lượng mỗi ống thép là: m = 7800.V(kg).
Suy ra số ống thép có thể tạo ra từ 10 tấn thép nguyên liệu là: (ống)
Bài 77. Ta có: 
Theo bất đẳng thức AM-GM ta có: 
Đẳng thức xảy ra khi: 
Bài 78. Thể tích của lon sữa là: 
Bán kính đáy của lon sữa mới là: 
Bài 79. Thể tích của lượng vữa cần trát thêm vào mỗi cột là: 
Thể tích xi măng tương ứng là: 
Số lượng bao xi măng cần dùng là: suy ra cần dùng 18 bao xi măng.
Bài 80. Diện tích của đáy hộp là: 
Suy ra cạnh của đáy của hộp là: 20 (cm). 
Cạnh của tấm bìa hình vuông là: 20 + 2.12 =44 (cm).
Bài 81. Số khối lập phương nhỏ được sơn đỏ 2 trong số 6 mặt là: 8, 12 = 96 (khối). 
Bài 82. 
Gọi (DEF) là thiết diện cắt của viên đá. Ta có: 
Suy ra: 
Do đó: 
Dễ thấy DEF là tam giác đều nên: 
Bài 83. Ta có: