Đề cương ôn tập kiểm tra cuối học kì Toán 12 - Năm học 2023-2024

 ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP KIỂM TRA CUỐI KỲ I NĂM HỌC 2023 – 2024 
 PHẦN A. GIẢI TÍCH 
 CHƯƠNG I. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ 
I. SỰ ĐÔNG BIẾN NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ
1. Định nghĩa: Cho hàm số y f() x xác định trên K , với K là một khoảng, nửa khoảng hoặc một 
đoạn. 
 - Hàm số y f() x đồng biến (tăng) trên K nếu x1,,()() x 2 K x 1 x 2 f x 1 f x 2 . 
 - Hàm số y f() x nghịch biến (giảm) trên K nếu x1,,()() x 2 K x 1 x 2 f x 1 f x 2 . 
2. Hình dáng đồ thị 
- Nếu hàm số đồng biến trên K thì đồ thị đi lên từ trái sáng phải. 
- Nếu hàm số nghịch biến trên K thì đồ thị đi xuống từ trái sáng phải. 
3. Điều kiện cần để hàm số đơn điệu: Giả sử hàm số y f() x có đạo hàm trên khoảng K . 
 - Nếu hàm số đồng biến trên khoảng K thì f ( x ) 0,  x K . 
 - Nếu hàm số nghịch biến trên khoảng K thì f ( x ) 0,  x K . 
4. Điều kiện đủ để hàm số đơn điệu: Giả sử hàm số y f() x có đạo hàm trên khoảng K . 
 - Nếu f ( x ) 0,  x K thì hàm số đồng biến trên khoảng K . 
 - Nếu f ( x ) 0,  x K thì hàm số nghịch biến trên khoảng K . 
 - Nếu f ( x ) 0,  x K thì hàm số không đổi trên khoảng K . 
* Chú ý: 
(1) Định lí mở rộng: Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng K. Khi đó: 
 Nếu f x 0,  x K ( hoặc f x 0,  x K ) và fx 0chỉ tại một số điểm hữu hạn của 
 K thì hàm số đồng biến trên khoảng K ( hoặc nghịch biến trên khoảng K ). 
(2) Tìm điều kiện của tham số m để hàm số y f() x đồng biến, nghịch biến trên khoảng (;)abcho 
trước. 
 Cho hàm số y f(,) x m có tập xác định D, khoảng (;)a b D : 
- Hàm số đồng biến (nghịch biến) trên (;)ab y' 0,  x ( a ; b ) ( y' 0,  x ( a ; b ) ) 
- Cô lập m , đưa về dạng h m g x h m g x . 
 hm gx hm Maxgx 
 ab; 
- 
 h m g x h m Min g x 
 ab; 
 ax b
  Riêng hàm số y thì : 
 cx d
 y' 0,  x ( a ; b )
 + Hàm số nghịch biến trên (;)ab d . 
 (;)ab
 c
 1 
 y' 0,  x ( a ; b )
 + Hàm số đồng biến trên (;)ab d . 
 (;)ab
 c
 * Nhắc lại một số kiến thức liên quan: Cho tam thức g( x ) ax2 bx c ( a 0) 
 a 0 a 0
 a). g( x ) 0,  x . b). g( x ) 0,  x . 
 0 0
 a 0 a 0
 c). g( x ) 0,  x . d). g( x ) 0,  x . 
 0 0
II. CỰC TRỊ HÀM SỐ 
 Giả sử hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a;b) và x0 (a;b) 
 1. Định lí 1 
 f'( x ) 0,  x ( x00 h ; x )
 a) (với h > 0) x0 là điểm cực đại của f (x). 
 f'( x ) 0,  x ( x00 ; x h )
 f '(x) 0,x (x0 h ; x0 )
 b) (với h > 0) x0 là điểm cực tiểu của f (x). 
 f '(x) 0,x, (x0 ; x0 h)
 2. Định lí 2: Giả sử hàm số y f() x có đạo hàm cấp hai trên khoảng ab; chứa điểm xo , Khi đó: 
 fx'(0 ) 0 fx'(0 ) 0
 a) x0 là điểm cực tiểu của f(x); b) x0 là điểm cực đại của f(x). 
 fx"(0 ) 0 fx"(0 ) 0
 fx'( ) 0
 c) Nếu thì hàm số fx() đạt cực trị tại điểm . 
 fx o 0
* Ghi nhớ: 
- Nếu hàm số fx đạt cực đại (cực tiểu) tại điểm x0 thì được gọi là điểm cực đại (điểm cực tiểu) 
của hàm số; fx 0 được gọi là giá trị cực đại (giá trị cực tiểu) của hàm số, ký hiệu là ffCD CT , còn 
điểm M x00; f x được gọi là điểm cực đại (điểm cực tiểu) của đồ thị hàm số. 
- Các điểm cực đại, cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị. 
- Nếu hàm số y f x có đạo hàm trên khoảng ab; và đạt cực trị tại thì fx' 0 0. 
- Nếu fx'0 0 và fx"0 0 thì chưa thể khẳng định được là điểm cực đại hay điểm cực tiểu 
hay cực trị của hàm số. 
Chuù yù: 
1. Kỹ năng giải nhanh các bài toán cực trị hàm số bậc ba y ax32 bx cx d ( a 0 ). 
Ta có y 32 ax2 bx c 
 2 
Đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị khi phương trình y 0 có hai nghiệm phân biệt b2 30 ac 
2. Kỹ năng giải nhanh các bài toán cực trị hàm trùng phương y ax42 bx c . 
Cho hàm số: y ax42 bx c ( a 0) có đồ thị là ()C . 
 x 0
Ta có y 4 ax3 2 bx ; y 0 b 
 x2 
 2a
 b
()C có ba điểm cực trị y 0 có 3 nghiệm phân biệt 0 
 2a
 ĐẶC BIỆT 
 + Hàm số có 3 điểm cực trị khi hệ số a, b trái dấu hay ab.0 
 + Hàm số có 1 điểm cực trị khi hệ số a, b cùng dấu hay ab.0 
III. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT - GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT 
 Tìm giá trị lớn nhât, giá trị nhỏ nhất của hàm số y f x trên đoạn ab;. 
 Bước 1. Tính đạo hàm fx (). 
 Bước 2. Cho phương trình fx ( ) 0 tìm nghiệm xi [;] a b . 
 Bước 3. Tính fa(), fb(), fx()i . 
 Bước 4. So sánh các giá trị tính được và kết luận M max f ( x ) , m min f ( x ) . 
 ab;  ab; 
  Chú ý: 
 min f x f a 
 ab; 
  Nếu y f x đồng biến trên ab;  thì . 
 max f x f b 
 ab; 
 minf ( x ) f b 
 ab; 
  Nếu y f x nghịch biến trên ab;  thì . 
 maxf ( x ) f a 
 ab; 
IV. CÁC DƯỜNG TIỆM CẬN 
Cho hàm số y f() x xác định trên tập K 
- Nếu limf ( x ) y0 thì Đường thẳng yy được gọi là đường tiệm cận NGANG của đồ thị hàm số 
 x 0
y f() x 
- Nếu limfx ( ) thì Đường thẳng xx được gọi là đường tiệm cận ĐỨNG của đồ thị hàm số 
 0
 xx 0
y f() x 
Chú ý: 
- Đồ thị hàm số bậc 3, bậc 4 KHÔNG có đường tiệm cận ngang và tiệm cận đứng 
 ax b a
- Đồ thị hàm số y , ad bc 0, c 0 luôn có tiệm cận ngang y và tiệm cận đứng là 
 cx d c
 d
x . 
 c
 3 
 V. KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ
 1. Bảng biến thiên và đồ thị hàm số bậc ba y f x ax32 bx cx d 
Hệ số a Điều kiện Bảng biến thiên Đồ thị 
 y
 fx'( ) 0 
 có 2 
 nghiệm 
 x
 phân biệt O
 a 0 
 vô nghiệm 
 y
 có 2 
 nghiệm 
 phân biệt O x
 a 0 
 vô nghiệm 
* NHÁNH CUỐI CÙNG HƯỚNG ĐI LÊN KHI a > 0; HƯỚNG ĐI XUỐNG KHI a < 0 
2. Bảng biến thiên và đồ thị hàm số trùng phương y f() x ax42 bx c 
Hệ số Điều kiện Bảng biến thiên Đồ thị 
 có 3 
 nghiệm pb 
 hay 
 ab 0 
 có 1 
 nghiệm 
 hay 
 ab 0 
 có 3 
 nghiệm pb 
 hay 
 4 
 có 1 
 nghiệm 
 hay 
 fx'( ) 0 
* NHÁNH CUỐI CÙNG HƯỚNG ĐI LÊN KHI a > 0; HƯỚNG ĐI XUỐNG KHI a < 0 
 ax b
3. Bảng biến thiên và đồ thị hàm số y ,0 ab bc 
 cx d
 Điều kiện Bảng biến thiên Đồ thị 
 ad bc 0 
 ad bc 0 
 a d
ĐỒ THỊ CÓ 2 ĐƯỜNG TIỆM CẬN (TCN: y ; TCĐ: x ); 
 c c
HƯỚNG ĐI LÊN KHI y' >0 ; HƯỚNG ĐI XUỐNG KHI y' <0 
VI. SỰ TƯƠNG GIAO GIỮA HAI ĐỒ THỊ HÀM SỐ 
 Cho 2 hàm số y f x , y g x có đồ thị lần lượt là (C) và (C’). 
 + Lập phương trình hoành độ giao điểm của (C) và (C’): f x g x 
 + Giải phương trình tìm x từ đó suy ra y và tọa độ giao điểm. 
 + Số nghiệm của (*) là số giao điểm của (C) và (C’). 
 BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM 
Câu 1. (Mã 103 - 2019) Cho hàm số fx có bảng biến thiên như sau: 
 ab 0 
 Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào sau đây? 
 A. ; 1 . B. 0;1 . C. 1;0 . D. 1; . 
 Lời giải 
 5 
 Chọn C 
 Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng 
Câu 2. Cho hàm số y f() x có bảng xét dấu đạo hàm như sau: 
 Hàm số đồng biến trên khoảng nào dưới đây? 
 A. 2;0 . B. 3;1 . C. 0; . D. ;2 . 
 Lời giải 
 Chọn A 
 Nhìn bảng xét dấu của đạo hàm ta thấy yx 0,  2;0 . 
 Suy ra hàm số đồng biến trên khoảng 2;0 . 
Câu 3. Cho hàm số y f x có bảng biến thiên như sau 
 Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây? 
 A. ;0 . B. 1;1 . C. 1;0 . D. 1; . 
 Lời giải 
 Chọn C 
 Dựa vào bảng biến thiên hàm số y f x đồng biến trên các khoảng ;1 và 1;0 . 
 Vậy hàm số đồng biến trên khoảng 1;0 . 
Câu 4. Cho hàm số y f x có đồ thị như hình vẽ. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào? 
 A. 2;0 . B. ;0 . C. 2;2 . D. 0;2 . 
 Lời giải 
 Chọn A 
 Xét đáp án A, trên khoảng 2;0 đồ thị hướng đi xuống là hàm số nghịch biến nên chọn. 
 Xét đáp án B, trên khoảng ;0 đồ thị có đoạn hướng đi lên là hàm số đồng biến và có 
 đoạn hướng xuống là hàm số đồng nghịch biến nên lo ạ1;0i. .
 6 
 xét đáp án C, trên khoảng 2;2 đồ thị có hướng đi xuống là hàm số nghịch biến và có 
 đoạn hướng đi lên là hàm số đồng biến nên loại. 
 Xét đáp án D, trên khoảng 0;2 đồ thị có hướng đi lên là hàm số đồng biến nên loại. 
Câu 5. Cho hàm số y f x có đồ thị như hình vẽ. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào? 
 y
 3
 1
 2
 1 O 2 x
 1
 A. 1;1 . B. 2; 1 . C. 1;2 . D. 1; . 
 Lời giải 
 Chọn A 
 Xét đáp án A, trên khoảng 1;1 đồ thị có hướng đi xuống là hàm số nghịch biến nên chọn. 
 Xét đáp án B, trên khoảng 2; 1 đồ thị có hướng đi lên là hàm số đồng biến nên loại. 
 Xét đáp án C, trên khoảng 1;2 đồ thị có đoạn hướng đi xuống là hàm số nghịch biến và 
 có đoạn hướng đi lên là hàm số đồng biến nên loại. 
 Xét đáp án D, trên khoảng 1; đồ thị có hướng đi lên là hàm số đồng biến nên loại. 
Câu 6. Cho hàm số y f x có đồ thị như hình vẽ bên. 
 Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng 
 A. 1;0 . B. 2; 1 . C. 0;1 . D. 1;3 . 
 Lời giải 
 Chọn C 
 Từ đồ thị hàm số ta có hàm số nghịch biến trên các khoảng ;2 và . 
Câu 7. Hàm số nào dưới đây đồng biến trên khoảng ; ? 
 x 1 x 1
 A. y B. y x3 x C. y x3 3 x D. y 
 x 2 x 3
 7 
 Lời giải 
 Chọn B 
 Vì y x3 x y 3 x2 1 0,  x . 
 x 2
Câu 8. Cho hàm số y . Mệnh đề nào dưới đây đúng? 
 x 1
 A. Hàm số nghịch biến trên khoảng ; 
 B. Hàm số nghịch biến trên khoảng 1; 
 C. Hàm số nghịch biến trên khoảng ;1 
 D. Hàm số đồng biến trên khoảng ;1 
 Lời giải 
 Chọn D 
 Tập xác định: \ 1 . 
 3
 Ta có y '0 , x \ 1 . 
 x 1 2
 x3
Câu 9. Cho hàm số y x2 x 2023 
 3
 A. Hàm số đã cho đồng biến trên . 
 B. Hàm số đã cho nghịch biến trên ;1 . 
 C. Hàm số đã cho đồng biến trên và nghịch biến trên 1; . 
 D. Hàm số đã cho đồng biến trên và nghịch biến trên . 
 Lời giải 
 Chọn A 
 Ta có y x2 2 x 1 x 1 2 0,  x và yx 01 (tại hữu hạn điểm) 
 Do đó hàm số đã cho đồng biến trên 
Câu 10. Hàm số nào sau đây nghịch biến trên ? 
 A. y x3 32 x . B. y x42 22 x . 
 C. y x32 2 x 4 x 1. D. y x32 2 x 5 x 2. 
 Lời giải 
 Chọn C 
 y x32 x 2 4 x 1 y'(), 3 x 2 4 x 4 2 x 2 x 2 2 0 x 
 Do đó hàm số nghịch biến trên . 
Câu 11. Cho hàm số y f x có đạo hàm f x x x 2 3 , với mọi x . Hàm số đã cho nghịch 
 biến trên khoảng nào dưới đây? 
 A. 1; 3 . B. 1; 0 . C. 0; 1 . D. 2; 0 . 
 Lời giải 
 x 0
 Ta có: fx 0 . 
 x 2
 8 
 Đồng thời fx 0 x 0;2 nên ta chọn đáp án theo đề bài là 0; 1 . 
Câu 12. Cho hàm số y f x . Biết rằng hàm số fx có đạo hàm là fx' và hàm số 
 y f' x có đồ thị như hình vẽ bên. Khi đó nhận xét nào sau đây là sai? 
 A. Hàm số fx đồng biến trên 2;1 . 
 B. Hàm số fx nghịch biến trên đoạn 1;1 . 
 C. Hàm số đồng biến trên khoảng 1; . 
 D. Hàm số fx nghịch biến trên khoảng ;2. 
 Lời giải 
 Chọn B 
 Dựa vào đồ thị của hàm số y f x ta thấy: 
 21x
 ● fx 0 khi fx đồng biến trên các khoảng 2;1 , 1; . 
 x 1
 Suy ra A và C đều đúng. 
 ● fx 0 khi x 2 fx nghịch biến trên khoảng ;2. 
 Suy ra D đúng, B sai. 
Câu 13. Cho hàm số fx có đạo hàm là f x x3 x 12 2 x . Khoảng nghịch biến của hàm số 
 là 
 A. ; 2 ; 0;1 . B. 2;0 ; 1; . 
 C. ; 2 ; 0; . D. 2;0 . 
 Lời giải 
 Chọn D 
 Bảng biến thiên: 
 Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng 
 9 
 ax b
Câu 14. Đường cong ở hình bên là đồ thị của hàm số y với a,,, b c d là các số thực. Mệnh đề 
 cx d
 nào dưới đây đúng? 
 A. yx 0,  1 B. yx 0,  C. yx 0,  D. yx 0,  1 
 Lời giải 
 Chọn A 
 Ta có: 
 Dựa vào hình dáng của đồ thị ta được: 
 + Điều kiện x 1 
 + Đây là đồ thị của hàm nghịch biến 
 Từ đó ta được yx 0,  1. 
Câu 15. Cho hàm số y f' x có đồ thị như hình vẽ. Hàm số nghịch biến trên khoảng 
 nào? 
 A. ;0 . B. 0;2 . C. 2; . D. 3; . 
Câu 16. Tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y x32 35 x m x đồng biến trên 
 khoảng 2; là 
 A. ;2 . B. ;5 . C. ;5. D. ;2 . 
 Lời giải 
 10