Đề cương ôn tập học kì I - Môn Toán lớp 12 - Nâng cao

PHÇN i- gI¶I TÝCH 
A. Hàm số 
I. Ứng dụng của đạo hàm
Bài 1: Xác định để hàm số:
1, đồng biến trên tập xác định.
2, nghịch biến trên tập xác định.
3, nghịch biến trên từng khoảng xác định. 
Bài 2: Xác định để hàm số:
1, có cực đại và cực tiểu.
2, có 3 cực trị.
3, đạt cực tiểu tại .
4, đạt cực đại tại 
5, đạt cực đại tại 
6. Cho hµm sè: . T×m m ®Ĩ hµm sè cã cùc tiĨu thuéc (P): x2 + x - 4 = 0
7. Cho hµm sè: 
8. T×m m ®Ĩ hµm sè cã cùc ®¹i vµ cùc tiĨu vµ hoµnh ®é c¸c ®iĨm C§ vµ CT x1,x2 tho¶ ®iỊu kiƯn:	x1+2x2=1.
9. Cho hs: T×m m ®Ĩ hs cã cùc ®¹i vµ cùc tiĨu vµ tho¶ 
 Bài 3: Tìm GTLN, GTNN của hàm số:
 1, trên đoạn . 2, 	 trên đoạn
 3,	 y = .	4.	
 5.	 trªn .	6.	y = .
	 7. 	8. 	 trªn ®o¹n 
II. Khảo sát hàm số và các bài toán liên quan.
Bài 1 : Cho hàm số : y = – x3 + 3x + 1 (C)
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho. 
2) Dựa vào đồ thị (C), biện luận theo tham số m số nghiệm của phương trình: x3 – 3x + m = 0.
3) Biện luận theo m số giao điểm của đồ thị (C) và đường thẳng y = –mx + 1.
4) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) song song với đường thẳng (d): y = –9x + 1.
Bài 2 : Cho hàm số y = có đồ thị (C). 
1) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 3.
2) Dựa vào đồ thị (C), hãy tìm k để phương trình = 0 có 4 nghiệm phân biệt.
3) Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến đi qua điểm A(0 ; ).
Bài 3 : Cho hàm số y = có đồ thị (C).
1) Khảo sát hàm số.
2) Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm A(0 ; 2) và tiếp xúc với (C).
3) Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho khi –2 £ x £ 0.
4) Chứng minh rằng đồ thị (C) có tâm đối xứng. Tìm tọa độ tâm đối xứng.
Bài 4 : Cho hàm số y = x3 – (m + 2)x + m , m là tham số.
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) với giá trị m = 1.
2) Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm uốn của đồ thị (C). 
3) Biện luận theo k số giao điểm của đồ thị (C) với đường thẳng y = k.
4) Tìm m để phương trình : x3 – 3x + 6 – 2–m có 3 nghiệm phân biệt. 
5) Dựa vào đồ thị (C) tìm GTLN và GTNN của hàm số 
 y = 1 – cos2xsinx – 2sinx.
Bài 5 : Cho hàm số y = x4 – 2x2 + 1 có đồ thị (C).
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2) Dùng đồ thị (C), biện luận theo m số nghiệm của phương trình : 
 x4 – 2x2 + 1 –m = 0.
3) Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến đi qua điểm A(0 ; 1).
4) Tìm m trên Oy sao cho từ đó có thể vẽ được 3 tiếp tuyến tới đồ thị (C).
Bài 6 : Cho hàm số : , có đồ thị là (C).
1) Khảo sát hàm số.
2) Chứng minh đồ thị (C) nhận đường thẳng y = x + 2 làm trục đối xứng.
3) Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho khi 0 £ x £ 3.
4) Tìm các điểm trên (C) của hàm số có tọa độ là những số nguyên.
Bài 7 : Cho hàm số : y = –x3 + 3x – 2 có đồ thị (C).
1) Khảo sát hàm số.
2) Một đường thẳng d đi qua điểm uốn có hệ số góc k. Biện luận theo k vị trí tương đối của d và (C).
3) Dựa vào đồ thị (C), biện luận theo m số nghiệm của phương trình : x3 – 3x + m + 1 = 0	
Bài 8 : Cho hàm số y = (2 – x2)2 có đồ thị (C). 
1) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2) Dựa vào đồ thị (C), biện luận theo m số nghiệm của phương trình : x4 – 4x2 – 2m + 4 = 0 .
3) Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến đi qua điểm A(0 ; 4).
Bài 9 : Cho hàm số 
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2) Biện luận theo m số giao điểm của (C) và đường thẳng d có phương trình : y = x + m.
3) Dựa vào đồ thị (C), biện luận theo m số giao điểm của đồ thị (C) và đường thẳng y = m.
4) Trong trường hợp (C) và d cắt nhau tại hai điểm M, N tìm tập hợp các trung điểm I của đoạn thẳng MN.
Bài 10 : Cho hàm số : y = x3 – 3mx2 + 3(2m – 1)x + 1 (Cm).
1) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 1.
2) Xác định m sao cho hàm số đồng biến trên tập xác định.
3) Xác định m sao cho hàm số có một cực đại và một cực tiểu.
4) Chứng minh rằng đồ thị của hàm số (C) có tâm đối xứng.
Bài 11 : Cho hàm số y = x3 – 3x2 + 3mx + 3m + 4, có đồ thị (Cm).
1) Xác định m để hàm số có cực trị.
2) Xác định m để đồ thị của hàm số cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt.
3) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 1.
4) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) đi qua điểm A(0 ; 7).
BÀI 12 : Cho hàm số 
1) Khảo sát sự biến thiên, vẽ đồ thị (C) của hàm số trên.
2) Chứng tỏ rằng đường thẳng d : y = 2x + k luôn luôn cắt (C) tại 2 điểm thuộc 2 nhánh khác nhau.
3) Tìm những điểm trên trục tung mà từ mỗi điểm đó chỉ kẻ được đúng một tiếp tuyến tới đồ thị (C).
Bài 13 : Cho hàm số y = 3x2 – x3
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2) Gọi I là điểm uốn của đồ thị (C) và A là điểm thuộc (C) có hoành độ bằng 3. Viết phương trình các tiếp tuyến của (C) tại I và A. Tìm tọa độ giao điểm B của hai tiếp tuyến này.
3) Tính diện tích của phần hình phẳng giới hạn bởi cung AI của đồ thị (C) và bởi các đoạn thẳng BI và BA.
4) Gọi (d) là đường thẳng đi qua gốc tọa độ O có hệ số góc –m. Với giá trị nào của m thì (d) cắt (C) tại 3 điểm phân biệt ? Gọi 3 điểm phân biệt lần lượt là O, A, B. Tìm tập hợp trung điểm I của đoạn thẳng AB khi m thay đổi.
Bài 14 : Cho hàm số : y = (m + 1)x4 – 4mx2 + 2, đồ thị là (Cm).
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 1.
2) Tìm các điểm cố định của (Cm).
3) Định m để (Cm) cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt.
Bài 15 : Cho hàm số : y = x3 – (m + 3)x2 + mx + m + 5 (Cm).
1) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) khi m = 0.
2) Tìm m để hàm số đạt cực tiểu tại x = 2.
3) Giá trị nào của m thì trên đồ thị (Cm) có 2 điểm đối xứng với nhau qua O.
Bài 16: Cho hµm sè (m lµ tham sè)
1. Kh¶o s¸t hµm sè khi 
2. X¸c ®Þnh m ®Ĩ hµm sè ®ång biÕn trªn c¸c kho¶ng 
3. Víi gi¸ trÞ nµo cđa m th× tiƯm cËn xiªn cđa ®å thÞ hµm sè t¹o víi c¸c trơc täa ®é mét tam gi¸c cã diƯn tÝch b»ng 4 (®¬n vÞ diƯn tÝch).
B . Hàm số Mũ, Logarit- Phương trình Mũ-logarit.
A. Hàm số Mũ - Logarit
Bµi 1: TÝnh gi¸ trÞ c¸c biĨu thøc sau:
Bµi 2 : So s¸nh
	a/	 vµ 	b/	 vµ 
c/	 vµ 	d/	 vµ 
Bài 3. TÝnh gi¸ trÞ cđa biĨu thøc sau:
A = 	B = 
C = 	D = 
B. Ph­¬ng tr×nh Mị vµ Logarit.
I. Ph­¬ng tr×nh Mị 
Bµi 1: Gi¶i c¸c ph­¬ng tr×nh sau
	1) 	 	 	2) 	
	3) 	 	4) 
	5) 	6) 	
	7) 	 	8) 
	9) 	 10) 	
Bµi 2: Giải các phương trình :
1) 	 2) 	
3) 	 4) 	
5) 	 6) 	
7) 	 8) 	 
9) 	 10) 	
11) 	 12) 	
13) 	 14) 	
Bµi 3: Giải các phương trình :
 1) 	2) 	
 3) 	4) 	
 5) 	6) 
II. Ph­¬ng tr×nh Logarit
Bài 1: Giải các phương trình:
1) 	2) 
3) 	4) 
5) 	 	6) 	
7) 	8) 
9) 	10) 	
Bài 2: Giải các phương trình:
1) 	2) 	
3) 	 	4) 
5) 	6) 	
PHÇN iI-h×nh häc 
I- Bài tập cơ bản
II- Bài tập nâng cao
Bài 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, 
, SA vuông góc với mp (ABCD), SA = a. Gọi C′ là trung điểm của SC. Mặt phẳng (P) đi qua AC và song song với BD, cắt các cạnh SB, SD của hình chóp lần lượt tại ,B’D′. Tính thể tích của khối chóp S.A’B’C’D’. 
Bµi 2. Cho l¨ng trơ ®øng ABCA1B1C1 cã ®¸y ABC la tam gi¸c vu«ng, AB = AC = a, AA1 = . Gäi M, N lÇn lượt trung ®iĨm cđa ®o¹n AA1 và BC1. Chøng minh MN là ®ưêng vu«ng gãc chung cđa c¸c ®ưêng th¼ng AA1 và BC1. TÝnh thĨ tÝch h×nh chãp MA1BC1. 
Bµi 3. Trong mỈt ph¼ng (P) cho nưa ®ưêng trßn ®ưêng kÝnh AB = 2R và ®iĨm C thuéc nưa ®ưêng trßn ®ã sao cho . Trªn ®ưêng th¼ng vu«ng gãc víi (P) t¹i A lÊy ®iĨm S sao cho . Gäi H, K lÇn lưỵt là h×nh chiÕu cđa A trªn SB, SC. Chøng minh r»ng tam gi¸c AHK vu«ng và tÝnh thĨ tÝch h×nh chãp S.ABC. 
Bµi 4. Cho h×nh chãp S.ABCD cã ®¸y ABCD là h×nh vu«ng t©m O, SA vu«ng gãc víi ®¸y h×nh chãp. Cho .SA = , AB = a. Gäi H, K lÇn lưỵt là h×nh chiÕu cđa A trªn SB, SD. Chøng minh và tÝnh thĨ tÝch h×nh chãp OAHK.
Bµi 5. Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy ABCD là hình chữ nhật với AB=a, AD= , SA = a và
SA vuơng gĩc với mặt phẳng (ABCD). Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AD và SC;
I là giao điểm của BM và AC. Chứng minh rằng mặt phẳng (SAC) vuơng gĩc với mặt 
phẳng (SMB). Tính thể tích của khối tứ diện ANIB.
Bµi 6. Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy là hình vuơng cạnh a, mặt bên SAD là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuơng gĩc với đáy. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh SB, BC, CD. Chứngminh AM vuơng gĩc với BP và tính thể tích của khối tứ diện CMNP.