Đề cương ôn tập Giải tích khối 12

Trường THPT Triệu Sơn 2 GV: Nguyễn Thị Thức
đề cương ôn tập giải tích khối 12
Chương ứng dụng của đạo hàm
I. sự đồng biến – nghịch biến của hàm số
A. Tóm tắt sách giáo khoa: 
1. Định lí Lagrăng: 
Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn và có đạo hàm trên khoảng (a; b) thì tồn tại một điểm sao cho: 
 f(b) – f(a) = f’(c)(b – a) hay .
2. Định lí: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên khoảng (a; b).
 a) Nếu f’(x) > 0 với mọi thì hàm số y = f(x) đồng biến trên khoảng đó. 
 b) Nếu f’(x) < 0 với mọi thì hàm số y = f(x) nghịch biến trên khoảng đó.
3. Điểm tới hạn: 
Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; b) và . Điểm x0 được gọi là một điểm tới hạn của hàm số nếu tại đó f’(x) không xác định hoặc bằng 0.
B. Phương pháp giải toán: 
Để xét tính đơn điệu của hàm số y = f(x) ta thực hiện các bước:
Tìm điểm tới hạn.
Xác định dấu của đạo hàm trong các khoảng xác định bởi các điểm tới hạn.
Từ đó suy ra chiều biến thiên của hàm số trong mỗi khoảng. 
C. Bài tập: 
Bài 1: Xét sự đồng biến, nghịch biến của các hàm số:
 a) y = 2x2 – 3x + 5; b) y = 4 + 3x – x2; 
 c) y = x4 – 2x2 + 3; d) 
Bài 2: Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số: 
 a) b) 
 c) .
Bài 3: Xác định m để hàm số giảm trong từng khoảng xác định.
Bài 4: Xác định m để hàm số sau luôn nghịch biến: y = (m – 3)x – (2m + 1)cosx.
Bài 5: Chứng minh các bất đẳng thức sau:
a. ln(1 + x) 0); b. (với x > 0).
II. cực đại và cực tiểu 
A. Tóm tắt sách giáo khoa:
1. Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x) liên tục trên khoảng (a; b) và điểm .
. x0 là điểm cực đại của f f(x) < f(x0); x (x x0)
 là lân cận của x0 
f(x0) gọi là giá trị cực đại của f.
. x0 là điểm cực tiểu của f f(x) > f(x0); x (x x0)
f(x0) gọi là giá trị cực tiểu của f.
2. Điều kiện cần để hàm số có cực trị:
. Nếu f có đạo hàm tại x0 và f đạt cực trị tại x0 thì f’(x0) = 0.
. ý nghĩa hình học: Nếu hàm số có đạo hàm và đạt cực trị tại x0 thì tại điểm đó tiếp tuyến với đồ thị của hàm số tại điểm M(x0, f(x0)) cùng phương với trục hoành.
3. Điều kiện đủ để hàm số có cực trị:
a/ Dấu hiệu 1:
Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên khoảng (a; b); và f’(x0) = 0.
Nếu khi x qua x0 thì f’(x) đổi dấu thì f đạt cực trị tại x0.
-x0
b
a
x
-x0
b
a
x
y’
 + 0 -
 - 0 +
y’
y
CĐ
CT
y
b/ Dấu hiệu 2: Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm liên tục tới cấp 2 tại x0 và f’(x0) = 0, thì x0 là một điểm cực trị của hàm số. Hơn nữa :
Nếu thì x0 là điểm cực tiểu.
Nếu thì x0 là điểm cực đại.
Nói cách khác,
f’(x0) = 0, x0 là điểm cực tiểu.
f’(x0) = 0, x0 là điểm cực đại.
B. Phương pháp giải toán: 
1. Tìm cực trị của hàm số: Thực hiện các bước sau:
 . Tìm miền xác định của hàm số.
 . Tính đạo hàm y’ .
 . Tìm các điểm tới hạn và lập bảng biến thiên
 + Nếu y’ đổi dấu từ - sang + khi qua x0 thì y đạt cực tiểu tại x0.
 + Nếu y’ đổi dấu từ + sang - khi qua x0 thì y đạt cực đại tại x0. 
Lưu ý: hàm số chỉ có thể đạt cực trị tại những điểm có đạo hàm bằng 0 hoặc tại những điểm không tồn tại đạo hàm (điểm tới hạn của hàm số).
2. Điều kiện để hàm số có cực trị:
y có cực trị hay không và bao nhiêu cực trị tuỳ thuộc vào y’ có nghiệm (hoặc không có y’) và tại các giá trị đó y’ có đổi dấu hay không khi x qua x0.
Đặc biệt nếu y’ là tam thức bậc hai thì hàm số có cực trị y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt. 
C. Bài tập: 
Bài 1: Tìm cực trị của các hàm số sau:
 a) y = 2x3 + 3x2 – 36x - 10; b) y = xe-x; 
 c) y = x4 + 2x2 - 3; d) .
Bài 2: Tuỳ theo a hãy tìm cực trị của hàm số: 
 a) b) y = x3 – 2ax2 + a2x .
Bài 3: Cho hàm số Xác định m để hàm số đạt cực tiểu tại x = 1. 
Bài 4: Xác định m để hàm số y = 2x3 – 3(2m + 1)x2 + 6m(m + 1)x + 1 đạt cực đại,
 cực tiểu tại x1, x2. Chứng minh rằng khi đó x2 - x1 không phụ thuộc vào m.
III. giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số
A. Tóm tắt sách giáo khoa:
1. Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x) xác định trên D
 a. .
 b. .
2. Cách tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất: 
 . Lập bảng biến thiên của hàm số trên D.
 . Trường hợp đặc biệt D = . Thực hiện các bước sau:
 + Tìm các điểm tới hạn x1, x2,.,xn của f(x) trên đoạn .
 + Tính f(a), f(b), f(x1), f(x2),.,f(xn). 
 + So sánh các số vừa tính. Trong các số đó, số lớn nhất là giá trị lớn nhất, số nhỏ nhất là giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn .
B. Bài tập:
Bài 1: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số: .
Bài 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số: . 
Bài 3: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của các hàm số sau đây trong đoạn đã chỉ ra:
 a) y = 2x3 + 3x2 – 12x +1 trong ; 
 b) trong .
Bài 4: Dựng hình chữ nhật có diện tích lớn nhất biết rằng chu vi của nó không đổi và bằng 16cm.
IV. tính lồi lõm và điểm uốn của đồ thị
A. Tóm tắt sách giáo khoa: 
1. Tính lồi lõm của đồ thị:
Định nghĩa: (C) là đồ thị của hàm số y = f(x) trong khoảng (a; b) và giả sử f có đạo hàm trong khoảng (a; b). Nếu tại mỗi điểm của (C) tiếp tuyến luôn ở phía trên (C) ta nói (C) là đồ thị lồi, nếu tiếp tuyến luôn ở phía dưới (C) ta nói (C) là đồ thị lõm.
Định lí: Giả sử y = f(x) có đạo hàm cấp hai trong khoảng (a; b) có đồ thị là (C)
. Nếu thì (C) là đồ thị lõm trên (a; b).
. Nếu thì (C) là đồ thị lồi (a; b).
2. Điểm uốn: 
Điểm I(x0; f(x0)) ngăn cách giữa phần lồi và lõm của (C) gọi là điểm uốn của (C). Nếu đổi dấu khi x đi qua x0 thì I(x0; f(x0)) là điểm uốn của (C).
B. Phương pháp giải toán: 
1. Tìm khoảng lồi,lõm và điểm uốn của đồ thị hàm số.
Phương pháp:
 . Tìm miền xác định của hàm số y = f(x).
 . Tính đạo hàm cấp hai y” .
 . Giải phương trình y” = 0 và xét dấu y”.
 + Nếu y” > 0 trên (a; b) thì đồ thị (C) lõm trên (a; b).
 + Nếu y” < 0 trên (a; b) thì đồ thị (C) lồi trên (a; b).
 + Nếu y” đổi dấu khi x qua x0 thì M(x0; f(x0)) là điểm uốn của đồ thị (C). 
Chú ý: Tại điểm uốn của đồ thị, tiếp tuyến xuyên qua đồ thị.
2. M(x0, y0) là điểm uốn của đồ thị y = f(x) .
C. Bài tập: 
Bài 1: Tìm các khoảng lồi lõm và điểm uốn của đồ thị các hàm số sau đây:
 a) y = x4 – 6x2 + 3; b) 
 c) d) y = ln(1 + x2).
Bài 2: Chứng minh rằng các tiếp tuyến tại điểm uốn của đồ thị hàm số
 y = 2x3 – 6x2 + 3 có hệ số góc nhỏ nhất.
Bài 3: Xác định a, b để I(2, -6) là điểm uốn của đồ thị hàm số y = ax3 + bx2 + x – 4.
Bài 4: Chứng minh rằng đồ thị hàm số có ba điểm uốn nằm trên cùng một đường thẳng.
Bài 5: Xác định hoành độ các điểm uốn của đồ thị hàm số 
V. Tiệm cận 
A. Tóm tắt sách giáo khoa: 
1. Tiệm cận đứng: 
 Cho đồ thị (C) của hàm số y = f(x)
 x = x0 là tiệm cận đứng của (C) .
2. Tiệm cận ngang: 
y = y0 là tiệm cận ngang của (C) .
3. Tiệm cận xiên:
y = ax + b (a 0) là tiệm cận xiên của (C) .
Công thức tính của tiệm cận xiên: 
B. Bài tập:
Bài 1: Tìm tiệm cận các hàm số sau đây:
 a) b) 
 c) d) .
Bài 2: Chứng minh đồ thị hàm số có hai tiệm cận xiên. Tìm các tiệm cận đó.
Bài 3: Tuỳ theo m tính số tiệm cận của các đồ thị hàm số: 
 a) b) 
 c) d) .
Bài 4: Cho hàm số . Xác định a, b, c biết hàm số có cực trị bằng 1 khi x = 1 và đường tiệm cận xiên của đồ thị vuông góc với đường thẳng .
VI. Khảo sát hàm số. Một số bài toán liên quan đến khảo sát hàm số
A. Tóm tắt sách giáo khoa: 
1. Sơ đồ khảo sát hàm số:
* Tìm tập xác định của hàm số. (Xét tính chẳn lẻ, tính tuần hoàn(nếu có)).
* Khảo sát sự biến thiên của hàm số
	+ Xét chiều biến thiên của hàm số
	. Tính đạo hàm
. Tìm các điểm tới hạn
	. Xét dấu của đạo hàm
	. Suy ra chiều biến thiên của hàm số
	+ Tính các cực trị
	+ Tìm các giới hạn của hàm số
	. Khi x dần tới vô cực
	. Khi x dần tới bên trái và bên phải các giá trị của x tại đó hàm số không xác định
	. Tìm các tiệm cận (nếu có)
	+ Lập bảng biến thiên (ghi tất cả các kết quả đã tìm được vào bảng biến thiên)
	+ Xét tính lồi, lõm và tìm đỉêm uốn của đồ thị hàm số (đối với các hàm số trong chương trình)
	. Tính đạo hàm cấp 2
	. Xét dấu của đạo hàm cấp 2
	. Suy ra tính lồi, lõm và điểm uốn của đồ thị
* Vẽ đồ thị
	+ Chính xác hoá đồ thị
	+ Vẽ đồ thị 
2. Hàm số bậc ba: y = ax3 + bx2 + cx + d (a )
* Miền xác định: D = R
* y’= 3ax2 + 2bx + c; y” = 6ax + 2b
a > 0
y
a < 0
y’ = 0 có hai nghiệm phân
biệt
y
x
0
x
0
y’ = 0 có nghiệm kép
y
0
x
y
0
x
y’ = 0
vô nghiệm
y
x
O
y
x
O
3. Hàm số y = ax4 + bx2 + c (a
	. MXĐ: D = R
	. y’ = 4ax3 + 2bx ; y” = 12ax2 + 2b
a > 0
yOOy
a < 0
y’ = 0
có 3 nghiệm phân biệt
y
x
O
y
y
x
O
y’ = 0
có 1 nghiệm 
O
x
O
x
4 . Hàm số (c , D = ad – bc )
	y” = ; Tiệm cận đứng: Tiệm cận ngang: 
y
D = ad – bc > 0
D = ad – bc < 0
 I
x
O
y
x
 I
O
5. Hàm số (aa’
y
aa’ > 0
y
aa’ < 0
y’ = 0
có 2 nghiệm 
I
O
 x
y
I
O
x
y
y’ = 0
vô nghiệm
I
 x
O
 x
I
O
6. Các bài toán liên hệ đến khảo sát hàm số:
a. Vị trí tương đối giữa hai đường cong
+ Giả sử (C1) và (C2) là đồ thị của hàm số: y1 = f(x) và y2 = g(x)
Phương trình hoành độ giao đỉêm của (C1) và (C2) là: f(x) = g(x) (1)
. Nếu (1) vô nghiệm thì (C1) và (C2) không có điểm chung.
. Nếu (1) có n nghiệm phân biệt thì (C1) và (C2) cắt nhau tại n điểm phân biệt.
. Nếu (1) có nghiệm kép x = x0 thì (C1) và (C2) tiếp xúc tại điểm có hoành độ x = x0
Vậy muốn khảo sát vị trí tương đối của (C1) và (C2): ta biện luận số nghiệmcủa(1).
+ Điều kiện tiếp xúc của (C1) và (C2): 
	(C1) tiếp xúc (C2) có nghiệm.
Nghiệm x0 (nếu có) là hoành độ tiếp điểm.
Trường hợp đặc biệt:
Điều kiện để đường thẳng tiếp xúc với đường cong:
Cho (C): y = f(x) và đường thẳng d: y = ax + b .
d tiếp xúc (C) f(x) = ax +b (1)
 f’(x) = a (2) có nghiệm.
Khử a giữa (1) và (2) ta được phương trình: f(x) = xf’(x) + b (3).
Nghiệm của (3) là hoành độ tiếp điểm của d và (C).
(3) gọi là phương trình hoành độ tiếp điểm của d và (C).
b. Biện luận số nghiệm của phương trình bằng đồ thị:
 Cho phương trình f(x, m) = 0 (1) (m là tham số)
	. Đưa (1) về dạng: f(x) = m (2)
	. Xét dấu hàm số (C): y1 = f(x) có đồ thị (C)
	y2 = m có đồ thị d
	d là đường thẳng song song với trục tung tại tung độ y = m.
	Số nghiệm của phương trình (1) chính là số giao điểm của (C) và d.
c. Tìm tập hợp điểm:
Giả sử phải tìm tập hợp (L) các điểm M thoả mãn điều kiện cho trước. Từ các điều kiện cho trước, tính toạ độ của điểm M:
M ( m là tham số thoả mãn điều kiện cho trước).
	. Khử m giữa x và y, tìm hệ thức x, y độc lập với m: F(x, y) = 0.
	. Kết hợp điều kiện tồn tại M suy ra phương trình của (L).
d. Họ đường cong:
Biện luận số đường cong đi qua một điểm cho trước.
Cho họ đường cong (Cm) có phương trình: y = f(x, m), m là tham số.
. Xét điểm A(x0, y0). Ta có A (1).
. Xem (1) là phương trình theo ẩn m.
	* Nếu (1) vô nghiệm (theo m) thì không có đường cong nào của họ (Cm) đi qua A.
	* Nếu (1) có n nghiệm phân biệt thì có n đường cong của họ (Cm) đi qua A.
	* Nếu (1) được nghiệm đúng với mọi m thì mọi đường cong của họ (Cm) đi qua A. Khi đó A gọi là điểm cố định của họ (Cm).
B. Bài tập: 
Bài 1: Cho hàm số y = x3 – 4x2 +4x.
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2. Tiếp tuyến của (C) tại gốc toạ độ cắt (C) ở điểm A. Tính toạ độ của điểm A.
3. Biện luận theo k vị trí tương đối của (C) và đường thẳng d: y = kx.
Bài 2: Cho hàm số y = x(3 – x)2.
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C), trục hoành và các đường thẳng x = 2, x = 4.
3. Một đường thẳng d đi qua gốc toạ độ O có hệ số góc m. Với giá trị nào của m thì d cắt (C) tại ba điểm phân biệt? Gọi ba điểm phân biệt lần lượt là O, A, B. Tìm tập hợp trung điểm I của đoạn thẳng AB khi m thay đổi.
Bài 3: Cho hàm số y = x3 – 3x
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2. Dựa vào đồ thị (C), biện luận theo m số nghiệm của phương trình: 
	x3 – 3x + m = 0.
3. Tính diện tích hình hữu hạn bị chắn về phía trên bởi đường thẳng y = 2 và về phía dưới bởi đồ thị (C).
Bài 4: Cho hàm số y = x3 – 3x2 +3mx + 3m + 4 .
1. Xác định m để hàm số có cực trị.
2. Xác định m để (Cm) tương ứng nhận điểm I(1, 2) làm điểm uốn.
3. Xác định m để (Cm) tương ứng tiếp xúc với trục hoành.
4. Tìm điểm cố định của (Cm) khi m thay đổi.
Bài 5: Cho hàm số y = 2x2 – x4.
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2. Dùng đồ thị (C), biện luận theo m số nghiệm của phương trình: 
	x4 – 2x2 + m = 0.
3. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong (C) và trục hoành.
Bài 6: Cho hàm số y = – x4 + 2mx2 + m +1. 
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = -1.
2. Gọi đồ thị của hàm số đã cho là (Cm). Với những giá trị nào của m thì (Cm) luôn luôn lồi.	
3. Khi m = 1, tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số trên đoạn [0; 2].
Bài 7: Cho hàm số y = x4 - ax2 + b. với a và b là các tham số.
1. Tìm a và b để hàm số đạt cực trị bằng -2 khi x = 1.
2. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi a = 1, b = .
3. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và trục hoành.
Bài 8: Cho hàm số , m là tham số.
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 2.
2. Với những giá trị nào của m thì hàm số đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó.
3. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C), các trục Ox, Oy và đường thẳng x = 2.
Bài 9: Cho hàm số , 
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2. Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm A(2, 0) và có hệ số góc k. Biện luận theo k số giao đỉêm của d và (C). Từ đó suy ra phương trình tiếp tuyến của (C) xuất phát từ A.
3. Gọi (H) lầ phần hình phẳng giới hạn bởi (C), trục Ox và hai đường thẳng x = 0, x = 2. Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay (H) một vòng xung quanh trục Ox.
 Bài 10: Cho hàm số , 
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số.
2. M là một điểm có hoành độ a -1, và thuộc đồ thị. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm M.
3. Tính khoảng cách từ điểm I(-1, 1) đến tiếp tuyến đó. Xác định a để khoảng cách này là lớn nhất.
Bài 11: Cho hàm số , 
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2. Viết phương trình các tiếp tuyến của đồ thị (C) kẻ từ điểm M(-2, 0). Kiểm nghiệm rằng hai tiếp tuyến đó vuông góc với nhau.
3. Tính diện tích tam giác chắn bởi trục Oy và hai tiếp tuyến trên.
Bài 12: Cho hàm số , 
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và hai trục toạ độ.
3. (C) cắt trục hoành tại hai điểm A và B. Viết phương trình các tiếp tuyến của (C) tại hai điểm này, rôi tìm toạ độ giao ddieermcuar hai tiếp tuyến đó.
Bài 13: Cho hàm số , 
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C), đường tiệm cận xiên của (C) và hai đường thẳng x = 2, x = ( > 2).
3. M(x0, y0) là một điểm bất kì trên (C). Chứng minh rằng tích các khoảng cách từ M đến hai đường tiệm cận của (C) bằng một hằng số (không phụ thuộc m).
Bài 14: Cho hàm số , 
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 1.
2. Chứng tỏ rằng với mọi m, hàm số luôn luôn có cực đại và cực tiểu.
3. Tìm tập hợp điểm cực đại của đồ thị hàm số khi m thay đổi.