Đề cương học kỳ II môn Toán lớp 12

Trường THPT chuyên Hà Nội – Amsterdam, 2011 
 1 
TRƯỜNG THPT CHUYÊN HÀ NỘI – AMSTERDAM 
ĐỀ CƯƠNG HỌC KỲ II MÔN TOÁN LỚP 12 NĂM HỌC 2010 – 2011 
ĐỀ SỐ 1. 
Bài 1. Cho hàm số 4 28 1.y x x= - - 
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( )C của hàm số. 
2) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi ( ) ,C các đường 1, 2x x= - = và trục hoành. 
Bài 2. Giải hệ phương trình và bất phương trình sau: 
1) 
3 1 2 3
2
2 2 3.2
.
3 1 1
x y y x
x xy x
+ - +ì + =ï
í
+ + = +ïî
 2) 2
4 2 1
log .
2 2x
x
x
æ ö-
³ç ÷ç ÷-è ø
Bài 3. 
1) Tìm nguyên hàm 
2
1
.
3
I dx
x
=
-
ò 2) Tính tích phân 
1 4
1
.
1 2x
x
I dx
-
=
+ò 
Bài 4. Trong không gian với trục tọa độ ,Oxyz hãy lập phương trình mặt phẳng ( )P trong các 
trường hợp sau: 
1) ( )P chứa hai đường thẳng ( )1 1 1: 1 1 1
x y z+ +
D = = và ( )2
2 2
:
2 3 1
x y z+ -
D = =
- -
 cắt nhau. 
2) ( )P chứa ( )1 1 1: 1 1 1
x y z+ +
D = = và tiếp xúc với ( ) 2 2 2: 8 2 4 7 0.S x y z x y z+ + - + + + = 
3) ( )P chứa ( )3 2 1 3: 2 3 1
x y z+ - -
D = =
-
 và cắt ( ) 2 2 2: 8 2 4 7 0S x y z x y z+ + - + + + = theo 
một đường tròn có bán kính lớn nhất. 
Bài 5. Tìm phần thực và phần ảo của số phức ,z biết rằng 
1) z thỏa mãn biểu thức ( ) ( ) ( )21 2 8 1 2 .i i z i i z+ - = + + + 
2) z thỏa mãn biểu thức 2 1 3 .
1 2
i i
z
i i
+ - +
=
- +
------------- HẾT ------------- 
www.VNMATH.com
Trường THPT chuyên Hà Nội – Amsterdam, 2011 
 2 
ĐỀ SỐ 2. 
Bài 1. Cho hàm số 3 21 2 3 .
3
y x x x= - + 
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( )C của hàm số. 
2) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị ( )C và trục hoành. 
Bài 2. 
1) Giải hệ phương trình: ( ) ( )
( ) ( )
2 2
1 1
1 1
log 1 2 log 1 2 4
.
log 1 2 log 1 2 2
x y
x y
y y x x
y x
+ -
+ -
ì - + + + + =ï
í
+ + + =ïî
2) Tìm a để bất phương trình sau có nghiệm đúng x" : 
 ( )2log 4 1 0.a x x a- + + > 
Bài 3. 
1) Tìm nguyên hàm .
cos
dx
I
x
= ò 2) Tính tích phân ( )
2
3
0
4sin
.
sin cos
x
I dx
x x
p
=
+ò 
Bài 4. 
1) Lập phương trình mặt phẳng ( )P chứa đường thẳng d là giao tuyến của hai mặt phẳng 
( ) ( ): 2 1 0; : 1 0x y za b- - = - = và khoảng cách từ điểm ( )1;2;3A - đến ( )P bằng 3. 
2) Trong không gian với hệ tọa độ ,Oxyz cho hình lập phương . ' ' ' 'ABCD A B C D với 
( ) ( ) ( ) ( )0;0;0 , 1;0;0 , 0;1;0 , ' 0;0;1 .A B D A Viết phương trình mặt phẳng ( )P chứa 'A C 
và tạo với mặt phẳng ( )Oxy một góc a sao cho 6cos .
6
a = 
3) Trong không gian với hệ tọa độ ,Oxyz cho điểm ( )2;3;5A và đường thẳng 
1 2
: .
2 1 2
x y z
d
- -
= = Viết phương trình mặt phẳng ( )P chứa d sao cho khoảng cách từ A 
đến ( )P là lớn nhất. 
Bài 5. Trong mặt phẳng tọa độ ,Oxy cho ba điểm , ,A B C lần lượt biểu diễn các số phức 
( )( )1 2 3
4 2 6
; 1 1 2 ; .
1 3
i i
z z i i z
i i
+
= = - + =
- -
1) Chứng minh rằng tam giác ABC là tam giác vuông. 
2) Tìm số phức biểu diễn bởi điểm D sao cho ABCD là hình vuông. 
------------- HẾT ------------- 
www.VNMATH.com
Trường THPT chuyên Hà Nội – Amsterdam, 2011 
 3 
ĐỀ SỐ 3. 
Bài 1. Cho hàm số 3 21 12 2 .
3 3
y x mx x m= + - - - 
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( )C của hàm số trên ứng với 1 .
2
m = 
2) Tìm 
5
0;
6
m æ öÎç ÷
è ø
 sao cho hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số đã cho và các đường 
0, 2, 0x x y= = = có diện tích bằng 4. 
Bài 2. Giải hệ phương trình và bất phương trình sau: 
1) 
( ) ( )2 2 2 22 2
2 2
log 1 log 1
.
4 5.2 6x y x y
x y y x
+ +
ì + - + = -ï
í
+ =ïî
 2) ( )31 1
3 3
1
log log 1 1 .
2
x x< + - 
Bài 3. 
1) Tìm nguyên hàm 
( )
2001
10022
.
1
x
I dx
x
=
+
ò 2) Tính tích phân 
2
0
1 sin
.
1 cos
xxI e dx
x
p
+
=
+ò 
Bài 4. 
1) Viết phươn trình mặt phẳng ( )P đi qua điểm ( )2; 1;3B - và cách điểm ( )1;3;5A - một 
khoảng lớn nhất. 
2) Cho ba điểm ( ) ( ) ( )1;1;1 , 2;1;0 , 2;0;2 .A B C Viết phương trình mặt phẳng ( )P đi qua hai 
điểm ,B C và cách A một khoảng lớn nhất. Đáp số: 5 2 8 0.x y z- + + + = 
3) Trong không gian với hệ tọa độ ,Oxyz cho mặt phẳng ( ) ( ): 1 0P m x y mz- + + = và điểm 
( )1;1;2 .A Tìm m để khoảng cách từ A đến (P) lớn nhất. 
Bài 5. Tìm tất cả số phức z trong các trường hợp sau: 
1) 2 0.z z+ = 2) 2 10z i- - = và . 25.z z = 
------------- HẾT ------------- 
www.VNMATH.com
Trường THPT chuyên Hà Nội – Amsterdam, 2011 
 4 
ĐỀ SỐ 4. 
Bài 1. Cho hàm số 4 26 4.y x x= - + 
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( )C của hàm số. 
2) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị ( )C và parabol ( ) 2: .P y x= - 
Bài 2. 
1) Giải hệ phương trình: ( )
( )
2 2log log log 1 13
.
log log . log 7
x x
y
x y y
xy x y
ì - + =ï
í
= -ïî
2) Tìm a để bất phương trình sau có nghiệm duy nhất: 
( ) ( )2 21 5log 5 1 .log 6 log 3 0.a
a
x ax x ax+ + + + + + ³ 
Bài 3. Tính các tích phân sau: 
1) 
2
2
cos
.
1 x
x
I dx
e
p
p
-
=
+ò 2) 
2
0
sin
.
sin cos
x
I dx
x x
p
=
+ò 
Bài 4. Trong không gian với hệ tọa độ ,Oxyz viết phương trình đường thẳng D trong những trường 
hợp sau: 
1) D qua ( )1;2;3 ,A vuông góc với 1
2 2 3
:
2 1 1
x y z
d
- + -
= =
-
 và cắt 2
1 1 1
: .
1 2 1
x y z
d
- - +
= =
-
2) D nằm trong ( ) : 2 3 4 0,P x y z+ - + = cắt và vuông góc 2 2: .
1 1 1
x y z
d
+ -
= =
-
3) D vuông góc với ( ) : 7 4 0P x y z+ - = và cắt cả 1 2
1 2
1 2
: ; : 1 .
2 1 1
3
x t
x y z
d d y t
z
= - +ì
- + ï= = = +í- ï =î
Bài 5. Tìm các số phức z thỏa mãn: 
1) 
4
1.
z i
z i
+æ ö =ç ÷-è ø
 2) 
1
1
z
z i
-
=
-
 và 
3
1.
z i
z i
-
=
+
------------- HẾT ------------- 
www.VNMATH.com
Trường THPT chuyên Hà Nội – Amsterdam, 2011 
 5 
ĐỀ SỐ 5. 
Bài 1. Cho hàm số 3 22 .y x x x= - + 
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( )C . 
2) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị ( )C và đường thẳng : 4 .d y x= 
Bài 2. Giải hệ phương trình và bất phương trình sau: 
1) 2 3
2 3
log 3 5 log 5
.
3 log 1 log 1
x y
x y
ì + - =ï
í
- - = -ïî
 2) ( ) ( )
2
21 log 2 log1, 25 0,64 .x
x x- +< 
Bài 3. Tích các tích phân sau: 
1) 
2
3
3
sin cos
.
sin cos
x x
I dx
x x
p
p
+
=
-ò 2) ( )
4
0
sin
4 .
sin 2 2 1 sin cos
x dx
I
x x x
p pæ ö-ç ÷
è ø=
+ + +ò 
Bài 4. Trong không gian với hệ tọa độ ,Oxyz lập phương trình đường thẳng D trong những 
trường hợp sau: 
1) D đi qua ( )1;2; 1 ,H - cắt 3 3:
1 3 2
x y z
d
- -
= = và song song với ( ) : 3 0.P x y z+ - + = 
2) D qua ( )2; 1;1M - đồng thời vuông góc với cả 1 2
1 0 2 1 0
: , : .
2 0 0
x y x y
d d
x z z
+ + = + - =ì ì
í í- = =î î
3) D nằm trong ( ) : 2 0P y z+ = đồng thời cắt cả 1 2
1 2
: ; : 4 2 .
4 1
x t x t
d y t d y t
z t z
= - = -ì ì
ï ï= = +í í
ï ï= =î î
Bài 5. Tìm tập hợp các điểm ( );M x y trong mặt phẳng tọa độ biểu diễn số phức z x yi= + nếu như 
thỏa mãn một trong các điều kiện sau: 
1) 2 2 .z i z z i- = - + 2) 4 4 10.z i z i- + + = 
------------- HẾT ------------- 
www.VNMATH.com
Trường THPT chuyên Hà Nội – Amsterdam, 2011 
 6 
ĐỀ SỐ 6. 
Bài 1. Cho hàm số 2 .
1
x
y
x
-
=
+
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( )C của hàm số. 
2) Tìm giá trị của k biết rằng thể tích khối tròn xoay giới hạn bởi ( )C và trục Oy khi quay 
quanh Oy là .kp 
Bài 2. 
1) Giải hệ phương trình: 
4 3 0
.
log log 0y x
x y
x y
ì - + =ï
í
- =ïî
2) Giải bất phương trình: ( ) ( )
3
4 2 2
2 1 2 12
2 2
32
log log 9.log 4.log .
8
x
x x
x
æ ö æ ö- + <ç ÷ ç ÷
è øè ø
Bài 3. 
1) Tìm nguyên hàm 
( )
( )
3
2
3 2
.
2 1
x x dx
I
x x x
- +
=
+ +ò
4) Tính tích phân 
2
2 2
0
3sin 4cos
.
3sin 4cos
x x
I dx
x x
p
+
=
+ò 
Bài 4. Trong không gian với hệ trục tọa độ ,Oxyz lập phương trình đường thẳng D trong những 
trường hợp sau: 
1) D vuông góc với 1 3 3: ,
1 2 1
x y z
d
- + -
= =
-
 nằm trong ( ) : 2 2 9 0P x y z+ - + = và đi qua giao 
của d và ( ).P 
2) D song song với 1 5:
3 1 1
x y z
d
- -
= =
-
 và cắt cả 1 2
1 2 2 4 7
: ; : .
1 4 3 5 9 1
x y z x y z
d d
- + - + +
= = = = 
3) D là đường vuông góc chung của 1
1 2
:
2 1 1
x y z
d
- +
= = và 2d là giao tuyến của 
( ) : 2 3 0P x y- + = và ( ) : 3 0.Q z - = 
Bài 5. Giải các phương trình sau: 
1) ( ) ( )22 3 4 3 1 0.i z i z i- + - + - = 2) ( ) ( )21 2 1 2 4 0.i z i z- - + - = 
------------- HẾT ------------- 
www.VNMATH.com
Trường THPT chuyên Hà Nội – Amsterdam, 2011 
 7 
ĐỀ SỐ 7. 
Bài 1. Cho hàm số 1.
1
x
y
x
-
=
+
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( )C của hàm số. 
2) Tính thể tích khối tròn xoay khi quay quanh Ox của hình phẳng giới hạn bởi các đường 
( ) ,C trục hoành và trục tung. 
Bài 2. 
1) Giải hệ phương trình: ( )
3
3 4
1 1 3
.
log 1
y xx
x
y x
ì -
+ - =ï
í
ï + =î
2) Giải bất phương trình: ( ) ( )2 3log 2 1 log 4 2 2.x x+ + + £ 
Bài 3. 
1) Tìm nguyên hàm 
( )( )
2
2 2
1
.
5 1 3 1
x
I dx
x x x x
-
=
+ + - +ò
3) Tính tích phân 
2
2 2
0
4 .I x x dx= -ò 
Bài 4. Giải bài toán bằng phương pháp tọa độ: Cho hình chóp .S ABCD có đáy là hình thoi tâm 
O cạnh ,a góc 60 ,oBAD SO= vuông góc với ( )ABCD và 3 .
4
a
SO = Gọi ,E F lần lượt 
là trung điểm ,BC BE . 
1) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng ( ).SBC 
2) Tính góc giữa hai đường thẳng AE và .SF 
3) Gọi ( )a là mặt phẳng chứa AD và vuông góc với ( )SBC , cắt hình chóp .S ABCD theo 
một thiết diện. Hãy dựng và tính diện tích thiết diện đó. 
Bài 5. 
1) Giải phương trình 
2
4 3 1 0
2
z
z z z- + + + = trên tập số phức. 
2) Giải hệ phương hai ẩn 1 2,z z sau đây trên tập số phức: 1 22 2
1 2
4
.
5 2
z z i
z z i
+ = +ì
í
+ = -î
------------- HẾT ------------- 
www.VNMATH.com
Trường THPT chuyên Hà Nội – Amsterdam, 2011 
 8 
ĐỀ SỐ 8. 
Bài 1. Cho hàm số 
2 1
.
x x
y
x
- +
= 
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( )C của hàm số. 
2) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị ( ) ,C tiếp tuyến của ( )C qua ( )1;0 ,A tiệm 
cận xiên của ( )C và đường thẳng 2.x = 
Bài 2. 
1) Giải hệ phương trình: ( )( )2 2
2 2
log log 1
.
1
x ye e y x xy
x y
ì - = - +ï
í
+ =ïî
2) Tìm m để bất phương trình sau sau đúng với :x R" Î 
( ) ( )2 25 51 log 1 log 4 .x mx x m+ + ³ + + 
Bài 3. Tính các tích phân sau: 
1) 
3
2
4
tan
.
cos 1 os
x
I dx
x c x
p
p
=
+
ò 2) ( )
3
2
1
3 ln
.
1
x
I dx
x
+
=
+ò
Bài 4. Giải bài toán sau bằng phương pháp tọa độ: Cho hình lập phương . ' ' ' 'ABCD A B C D 
cạnh bằng .a Các điểm ,I J thuộc ',AD BD sao cho ( )0 2 .AI DJ m m a= = < < 
1) Tính theo a khoảng cách giữa 'A B và ' .B D Đs: .
6
a
2) Chứng minh rằng IJ luôn song song với mặt phẳng ( )' 'A BCD khi m thay đổi. 
3) Tìm m để đoạn thẳng IJ nhỏ nhất. Khi đó hãy chứng tỏ IJ là đường vuông góc chung 
của 'AD và .BD 
Bài 5. 
1) Tìm một acgumen của số phức 1 sin cosz ij j= - + với 0 .
2
pj< < 
2) Trong các số phức z thỏa mãn điều kiện 2 2 2 1,z i- - = hãy tìm số phức có 
acgumen dương và nhỏ nhất. 
------------- HẾT ------------- 
www.VNMATH.com