Đề 36 thi tuyển sinh đại học 2010 môn thi: Toán – Khối A

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC 2010
 Môn Thi: TOÁN – Khối A
 ĐỀ THI THAM KHẢO Thời gian: 180 phút, không kể thời gian giao đề
I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm) 
Câu I: (2 điểm) Cho hàm số .
	1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1) khi m = 0.
	2) Định m để hàm số (1) có hai cực tiểu.
Câu II: (2 điểm)
 	1) Giải phương trình: 	cos3xcos3x – sin3xsin3x = 
	2) Giải phương trình: 	
Câu III: (1 điểm) Tính tích phân: .
Câu IV: (1 điểm) Cho lăng trụ ABC.A'B'C' có A¢.ABC là hình chóp tam giác đều cạnh đáy AB = a, cạnh bên AA¢ = b. Gọi là góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (A¢BC). Tính tan và thể tích của khối chóp A¢.BB¢C¢C.
Câu V: (1 điểm) Cho ba số a, b, c khác 0. Chứng minh: .
II. PHẦN RIÊNG (3 điểm)
	A. Theo chương trình chuẩn
Câu VI.a: (2 điểm)
	1) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có điểm I (6; 2) là giao điểm của 2 đường chéo AC và BD. Điểm M (1; 5) thuộc đường thẳng AB và trung điểm E của cạnh CD thuộc đường thẳng D: x + y – 5 = 0. Viết phương trình đường thẳng AB.
	2) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x – 2y – z – 4 = 0 và mặt cầu (S): x2 + y2 + z2 – 2x – 4y – 6z – 11 = 0. Chứng minh rằng mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo một đường tròn. Xác định tọa độ tâm và tính bán kính của đường tròn đó.
Câu VII.a: (1 điểm) Giải bất phương trình: 	.
	B. Theo chương trình nâng cao
Câu VI.b: (2 điểm)
	1) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C): x2 + y2 + 4x + 4y + 6 = 0 và đường thẳng D: x + my – 2m + 3 = 0 với m là tham số thực. Gọi I là tâm của đường tròn (C). Tìm m để D cắt (C) tại 2 điểm phân biệt A và B sao cho diện tích DIAB lớn nhất.
	2) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm D(–1; 1; 1) và cắt ba trục tọa độ tại các điểm M, N, P khác gốc O sao cho D là trực tâm của tam giác MNP.
Câu VII.b: (1 điểm) Giải phương trình: .
----------------------------
Hướng dẫn
Câu I: 2) Đạo hàm 
	Hàm số có 2 cực tiểu Û y có 3 cực trị Û y¢ = 0 có 3 nghiệm phân biệt 
	Û (2) có 2 nghiệm phân biệt khác 1 
	Thử lại: Với , thì y¢ = 0 có 3 nghiệm phân biệt 
	Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số có 2 cực tiểu. Vậy, hàm số có 2 cực tiểu khi 
Câu II: 1) PT Û 
	2) Đặt: 
	PT Û 
	Vì u > 0, v > 0, nên (c) vô nghiệm. 	
	Do đó: PT Û
Câu III: Đặt Þ I = .
Câu IV: Gọi E là trung điểm của BC, H là trọng tâm của D ABC. Vì A¢.ABC là hình chóp đều nên góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (A¢BC) là j = .
	Ta có : Þ .
	Do đó: ; 
	.
	Do đó: = 
Câu V: Áp dụng BĐT Cô–si, ta có:
	· 	(1)
	· Þ 	(2)
	Từ (1) và (2) Þ Þ đpcm.
Câu VI.a: 1) I (6; 2); M (1; 5)
	D : x + y – 5 = 0, E Î D Þ E(m; 5 – m); Goïi N laø trung ñieåm cuûa AB
	I trung ñieåm NE Þ Þ N (12 – m; m – 1)
	 = (11 – m; m – 6);	 = (m – 6; 5 – m – 2) = (m – 6; 3 – m)
	 Û (11 – m)(m – 6) + (m – 6)(3 – m) = 0
	Û m – 6 = 0 hay 14 – 2m = 0 Û m = 6 hay m = 7
	+ m = 6 Þ = (5; 0) Þ PT (AB) laø y = 5
	+ m = 7 Þ = (4; 1) Þ PT (AB) laø x – 1 – 4(y – 5) = 0 Þ x – 4y + 19 = 0
	2) I (1; 2; 3); R = 
	d (I; (P)) = < R = 5. Vậy (P) cắt (S) theo đường tròn (C)
	Phương trình d qua I, vuông góc với (P) : 
	Gọi J là tâm, r là bán kính đường tròn (C). J Î d Þ J (1 + 2t; 2 – 2t; 3 – t)
	J Î (P) Þ 2(1 + 2t) – 2(2 – 2t) – 3 + t – 4 = 0 Þ t = 1
	Vậy tâm đường tròn là J (3; 0; 2) , bán kính r = 
Câu VII.a: Đặt , t > 0. BPT Û t2 – 10t + 9 ³ 0 Û ( t £ 1 hoặc t ³ 9)
	Khi t £ 1 Þ 	(a)
	Khi t ³ 9 Þ 	(b)
	Kết hợp (a) và (b) ta có tập nghiệm của bpt là: S = (–¥; –2] È [–1;0] È [1; + ¥).
Câu VI.b: 1) (C) có tâm là I (–2; –2); R =
	Giả sử D cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B. Kẻ đường cao IH của DABC, ta có 
	SDABC = = sin
	Do đó SDABC lớn nhất khi và chỉ khi sin = 1 Û DAIB vuông tại I
	Û IH = (thỏa IH < R) Û 
	Û 1 – 8m + 16m2 = m2 + 1 Û 15m2 – 8m = 0 Û m = 0 hay m = 
	2) Theo giả thiết ta có M(m; 0; 0) ÎOx , N(0; n; 0) ÎOy , P(0; 0; p) Î Oz.
	Ta có : .
 	Phương trình mặt phẳng (P): . Vì D Î(P) nên: .
	D là trực tâm của DMNP Û Û 
	Kết luận, phương trình của mặt phẳng (P): .
Câu VII.b: PT Û 
	Từ (2) Þ .
	· Khi , thay vào (1), ta được: 2x = 0 (VN)
	· Khi , thay vào (1), ta được: 2x = 2 Û x = 1. 
	Thay x = 1 vào (1) Þ sin(y +1) = –1 Û .
	Kết luận: Phương trình có nghiệm: .