Đề 35 thi tuyển sinh đại học 2010 môn thi: Toán – Khối A

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC 2010
 Môn Thi: TOÁN – Khối A
 ĐỀ THI THAM KHẢO Thời gian: 180 phút, không kể thời gian giao đề
I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm) 
Câu I: (2 điểm) Cho hàm số y = .
	1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
	2) Gọi I là giao điểm của hai đường tiệm cận, A là điểm trên (C) có hoành độ là a. Tiếp tuyến tại A của (C) cắt hai đường tiệm cận tại P và Q. Chứng tỏ rằng A là trung điểm của PQ và tính diện tích tam giác IPQ.
Câu II: (2điểm)
	1) Giải bất phương trình: 	
	2) Giải phương trình: 	
Câu III: (1 điểm) Tính tích phân: I = 
Câu IV: (1 điểm) Cho hình lăng trụ đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD là một hình thoi cạnh a, góc = 600. Gọi M là trung điểm AA¢ và N là trung điểm của CC¢. Chứng minh rằng bốn điểm B¢, M, N, D đồng phẳng. Hãy tính độ dài cạnh AA¢ theo a để tứ giác B¢MDN là hình vuông.
Câu V: (1 điểm) Cho ba số thực a, b, c lớn hơn 1 có tích abc = 8. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:	
II. PHẦN RIÊNG (3 điểm) 
 	A. Theo chương trình chuẩn
Câu VI.a. (2 điểm)
	1) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm A(2; –1) và đường thẳng d có phương trình 2x – y + 3 = 0. Lập phương trình đường thẳng (D) qua A và tạo với d một góc α có 
	cosα .
	2) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho 3 điểm A(3;1;1), B(0;1;4), C(–1;–3;1). Lập phương trình của mặt cầu (S) đi qua A, B, C và có tâm nằm trên mặt phẳng (P): x + y – 2z + 4 = 0.
Câu VII.a: (1 điểm) Cho tập hợp X = {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6}. Từ các chữ số của tập X có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau và phải có mặt chữ số 1 và 2.
	B. Theo chương trình nâng cao
Câu VI.b: ( 2 điểm)
	1) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm A(–1;1) và B(3;3), đường thẳng (D): 3x – 4y + 8 = 0. Lập phương trình đường tròn qua A, B và tiếp xúc với đường thẳng (D).
	2) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho 4 điểm A(3;0;0), B(0;1;4), C(1;2;2), D(–1;–3;1). Chứng tỏ A, B, C, D là 4 đỉnh của một tứ diện và tìm trực tâm của tam giác ABC.
Câu VII.b: (1 điểm) 	Giải hệ phương trình: .
Hướng dẫn
Câu I: 2) Giao điểm I(1; –2).
	Phương trình tiếp tuyến tại A: y = (x – a) + 
	Giao điểm của tiệm cận đứng và tiếp tuyến tại A: 
	Giao điểm của tiệm cận ngang và tiếp tuyến tại A: Q(2a – 1; –2)
	Ta có: xP + xQ = 2a = 2xA. Vậy A là trung điểm của PQ
	Ta có IP = ; IQ = . SIPQ = IP.IQ = 2 (đvdt)
Câu II: 1) Điều kiện: 
	BPT Û Þ 
	Þ Þ Þ 49x2 – 418x + 369 ≤ 0 
	Þ 1 ≤ x ≤ (thoả)
	2) Điều kiện: cos2x ≠ 0 
 	PT Þ 3sin22x + sin2x – 4 = 0 
	Þ sin2x = 1 Þ ( không thoả). Vậy phương trình vô nghiệm.
Câu III: I = = I1 + I2
	Tính: I1 = Đặt Þ I1 = – 2
	I2 = = = 
Câu IV: Gọi P là trung điểm của DD¢. A¢B¢NP là hình bình hành Þ A¢P // B¢N
	A¢PDM là hình bình hành Þ A¢P // MD 
	Þ B¢N // MD hay B¢, M, N, D đồng phẳng.
	Tứ giác B¢NDM là hình bình hành. Để B’MND là hình vuông thì 2B¢N2 = B¢D2.
	Đặt: y = AA’ Þ y = 
Câu V: Ta chứng minh: Û ≥ 0
 (đúng). Dấu "=" xảy ra Û a = b.
 	Xét 
	Þ P . Vậy P nhỏ nhất bằng 1 khi a = b = c = 2
Câu VI.a: 1) PT đường thẳng (D) có dạng: a(x – 2) + b(y +1) = 0 Û ax + by – 2a + b = 0
	Ta có: 7a2 – 8ab + b2 = 0. Chon a = 1 Þ b = 1; b = 7.
	Þ (D1): x + y – 1 = 0 và (D2): x + 7y + 5 = 0
	2) PT mặt cầu (S) có dạng: x2 + y2 + z2 – 2ax – 2by – 2cz + d = 0
	(S) qua A: 6a + 2b + 2c – d – 11 = 0
	(S) qua B: 2b + 8c – d – 17 = 0
	(S) qua C: 2a + 6b – 2c + d + 11 = 0
	Tâm I Î (P): a + b – 2c + 4 = 0
	Giải ra ta được: a = 1, b = –1, c = 2, d = –3
	Vậy (S): x2 + y2 + z2 – 2x + 2y – 4z – 3 = 0
Câu VII.a: Có 6 tập con có 5 chữ số chứa các số 0; 1; 2
	Có 4 tập con có 5 chữ số chứa 1 và 2, nhưng không chứa số 0
	Vậy số có các chữ số khác nhau được lập từ các chữ số đã cho bằng:
	6(P5 – P4) + 4P5 = 1.056 (số)
Câu VI.b: 1) Tâm I của đường tròn nằm trên đường trung trực d của đoạn AB
	d qua M(1; 2) có VTPT là Þ d: 2x + y – 4 = 0 Þ Tâm I(a;4 – 2a)
	Ta có IA = d(I,D) Û 2a2 – 37a + 93 = 0 Û 
	· Với a = 3 Þ I(3;–2), R = 5 Þ (C): (x – 3)2 + (y + 2)2 = 25
	· Với a = Þ , R = Þ (C): 
	2) Ta có 
	PT mặt phẳng (ABC): 3x + y + 2z – 6 = 0 Þ đpcm
Câu VII.b: Điều kiện: x > 0 và x ≠ 1 và y > 0 và y ≠ 1
	Ta có 
	· Với x = y Þ x = y = 
	· Với x = ta có: theo bất đẳng thức Cô-si suy ra PT vô nghiệm