Đề 17 thi thử đại học và cao đẳng năm 2010 môn thi: Toán

Trần Sĩ Tùng 
TRƯỜNG THPT CHUYÊN – ĐHSP 
HÀ NỘI 
Đề số 17 
ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC VÀ CAO ĐẲNG NĂM 2010 
Môn thi: TOÁN 
Thời gian: 180 phút (không kể thời gian phát đề) 
I. PHẦN CHUNG (7 điểm) 
Câu I (2 điểm): Cho hàm số y x mx m x3 2 22 9 12 1= + + + (m là tham số). 
 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = –1. 
 2) Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số có cực đại tại xCĐ, cực tiểu tại xCT thỏa mãn: CÑ CTx x
2 = . 
Câu II (2 điểm): 
 1) Giải phương trình: x x x21 1 4 3+ + = + 
 2) Giải hệ phương trình: x x55cos 2 4sin – 9
3 6
p pæ ö æ ö
+ = -ç ÷ ç ÷
è ø è ø
Câu III (1 điểm): Tìm họ nguyên hàm của hàm số: 
x x x
f x
x
2 3
2
ln( 1)( )
1
+ +
=
+
Câu IV (1 điểm): Cho hình chóp S.ABCD có SA = x và tất cả các cạnh còn lại có độ dài bằng a. Chứng minh rằng đường 
thẳng BD vuông góc với mặt phẳng (SAC). Tìm x theo a để thể tích của khối chóp S.ABCD bằng 
6
23a
. 
Câu V (1 điểm): Cho các số thực không âm a, b. Chứng minh rằng: a b b a a b2 2
3 3 1 1 2 2
4 4 2 2
æ ö æ ö æ öæ ö
+ + + + ³ + +ç ÷ç ÷ ç ÷ç ÷
è ø è ø è øè ø
II. PHẦN TỰ CHỌN (3 điểm) 
1. Theo chương trình chuẩn 
Câu VI.a (2 điểm): 
 1) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho ba đường thẳng: d x y1 : 2 – 3 0+ = , d x y2 : 3 4 5 0+ + = , 
d x y3 : 4 3 2 0+ + = . Viết phương trình đường tròn có tâm thuộc d1 và tiếp xúc với d2 và d3. 
 2) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(1;2; –1), đường thẳng (D): 
2 2
1 3 2
x y z- +
= = và mặt phẳng 
(P): x y z2 1 0+ - + = . Viết phương trình đường thẳng đi qua A, cắt đường thẳng (D) và song song với (P). 
Câu VII.a (1 điểm): Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 6 chữ số đôi một khác nhau, trong đó có mặt chữ số 0 nhưng không 
có mặt chữ số 1? 
2. Theo chương trình nâng cao 
Câu VI.b (2 điểm): 
 1) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường thẳng ( )d : 2 1 2 0x my+ + - = và đường tròn có phương 
trình 2 2( ) : 2 4 4 0+ - + - =C x y x y . Gọi I là tâm đường tròn ( )C . Tìm m sao cho ( )d cắt ( )C tại hai điểm 
phân biệt A và B. Với giá trị nào của m thì diện tích tam giác IAB lớn nhất và tính giá trị đó. 
 2) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm S(0;0;1), A(1;1;0). Hai điểm M(m; 0; 0), N(0; n; 0) thay đổi 
sao cho m n 1+ = và m > 0, n > 0. Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SMN). Từ đó suy ra mặt phẳng (SMN) 
tiếp xúc với một mặt cầu cố định. 
Câu VII.b (1 điểm): Giải bất phương trình: ( )
x
x x xx 
1
2
24 – 2.2 – 3 .log – 3 4 4
+
> - 
============================ 
Trần Sĩ Tùng 
Hướng dẫn: 
I. PHẦN CHUNG 
Câu I: 2) y x mx m x mx m2 2 2 26 18 12 6( 3 2 )¢ = + + = + + 
 Hàm số có CĐ và CT Û y 0¢ = có 2 nghiệm phân biệt x x1 2, Û D = m
2 > 0 Û m 0¹ 
 Khi đó: ( ) ( )x m m x m m1 2
1 13 , 3
2 2
= - - = - + . Dựa vào bảng xét dấu y¢ suy ra CÑ CTx x x x1 2,= = 
 Do đó: CÑ CTx x
2 = Û 
m m m m
2
3 3
2 2
æ ö- - - +
=ç ÷
è ø
 Û m 2= - 
Câu II: 1) Điều kiện x 0³ . PT Û x x x24 1 3 1 0- + - + = Û xx x
x x
2 1(2 1)(2 1) 0
3 1
-
+ - + =
+ +
 Û x x
x x
1(2 1) 2 1 0
3 1
æ ö
- + + =ç ÷
+ +è ø
 Û x2 1 0- = Û x
1
2
= . 
 2) PT Û x x210sin 4sin 14 0
6 6
p pæ ö æ ö
+ + + - =ç ÷ ç ÷
è ø è ø
 Û xsin 1
6
pæ ö
+ =ç ÷
è ø
 Û x k2
3
p
p= + . 
Câu III: Ta có: 
x x x x x x x x
f x x
x x x x
2 2 2
2 2 2 2
ln( 1) ( 1) ln( 1)( )
1 1 1 1
+ + - +
= + = + -
+ + + +
 Þ F x f x dx x d x xdx d x2 2 2
1 1( ) ( ) ln( 1) ( 1) ln( 1)
2 2
= = + + + - +ò ò ò ò 
 = x x x C2 2 2 2
1 1 1ln ( 1) ln( 1)
4 2 2
+ + - + + . 
Câu IV: Do B và D cách đều S, A, C nên BD ^ (SAC). Gọi O là tâm của đáy ABCD. Các tam giác ABD, BCD, SBD là 
các tam giác cân bằng nhau và có đáy BD chung nên OA = OC = OS. Do đó DASC vuông tại S. 
 Ta có: S ABCD S ABCV V BO SA SC ax AB OA
2 2
. .
1 12 2. . . .
6 3
= = = - = a x a xax a ax
2 2
2 22 1 3
4 6
1
3
+
-- = 
 Do đó: S ABCD
a aax a xV
3 3
2 2
.
2 1 23
6 6 6
= Û - = Û x a
x a 2
é =
ê =ë
. 
Câu V: Ta có: a a b a ba b a a b a
2
2 2 1 1 1 1
2 2 2 2
3 1
4 4
æ ö
= - + + + ³ + +ç ÷
è ø
+ + = - + + + + 
 Tương tự: b a a b2 1
2
3
4
+ + ³ + + . 
 Ta sẽ chứng minh a b a b
2
1 1 12 (2
2 2 2
æ ö æ öæ ö
+ + ³ + +ç ÷ ç ÷ç ÷
è ø è øè ø
 (*) 
 Thật vậy, (*) Û a b ab a b ab a b2 2 1 14
4 4
2 ³+ + + + + + + + Û a b 2 0( ) ³- . 
 Dấu "=" xảy ra Û a b 1
2
= = . 
II. PHẦN TỰ CHỌN 
1. Theo chương trình chuẩn 
Câu VI.a: 1) Gọi tâm đường tròn là I t t( ;3 2 )- Î d1. 
 Khi đó: d I dd I d2 3) ( , )( , = Û 
t t t t3 4(3 2 ) 5
5
4 3(3 2 ) 2
5
+ - +
=
+ - +
 Û tt
2
4
é
êë
=
=
 Vậy có 2 đường tròn thoả mãn: x y2 2 49
25
( 2) ( 1) =- + + và x y2 2 9( 4) ( 5)
25
- + + = . 
 2) (D) :
2
2 2 3
1 3 2
2 2
x t
x y z y t
z t
= +ì
- + ï= = Û =í
ï = - +î
. (P) có VTPT n (2;1; 1)= -r . 
Trần Sĩ Tùng 
 Gọi I là giao điểm của (D) và đường thẳng d cần tìm Þ I t t t(2 ;3 ; 2 2 )+ - + 
 (1 ,3 2, 1 2 )AI t t tÞ = + - - +
uur
là VTCP của d. 
 Do d song song mặt phẳng (P) . 0AI nÛ =
uur r
( )t t AI13 1 0 3 2; 9; 5
3
Û + = Û = - Þ = - -
uur
. 
 Vậy phương trình đường thẳng d là: 
1 2 1
2 9 5
x y z- - +
= =
- -
. 
Câu VII.a: Gọi số cần tìm là: x= 1 2 3 4 5 6=x a a a a a a . 
 Vì không có mặt chữ số 1 nên còn 9 chữ số 0, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 để thành lập số cần tìm. 
 Vì phải có mặt chữ số 0 và 1 0a ¹ nên số cách xếp cho chữ số 0 là 5 cách. 
 Số cách xếp cho 5 vị trí còn lại là : 58A . 
 Vậy số các số cần tìm là: 5. 58A = 33.600 (số) 
2. Theo chương trình nâng cao 
Câu VI.b: 1) ( )C có tâm I (1; –2) và bán kính R = 3. 
 (d) cắt ( )C tại 2 điểm phân biệt A, B ( , )Û <d I d R 22 2 1 2 3 2Û - + - < +m m 
 2 2 21 4 4 18 9 5 4 17 0Û - + Û Îm m m m m m R 
 Ta có: ·1 1 9. sin .
2 2 2
= £ =S IA IB AIB IA IBIAB 
 Vậy: SIAB lớn nhất là 
9
2
 khi · 090=AIB Û AB = 2 3 2=R Û 3 2( , )
2
=d I d 
 Û 
3 2 21 2 2
2
m m- = + 2 2 216 16 4 36 18 2 16 32 0Û - + = + Û + + =m m m m m 4Û = -m 
 2) Ta có: ( ;0; 1), (0; ; 1)= - = -SM m SN n
uuur uuur
 Þ VTPT của (SMN) là ( ; ; )=n n m mnr 
 Phương trình mặt phẳng (SMN): 0nx my mnz mn+ + - = 
 Ta có: d(A,(SMN))
2 2 2 2
n m mn
n m m n
+ -
=
+ +
1 . 1 1
12 21 2
m n mn
mnmn m n
- -
= = =
-- +
 Suy ra (SMN) tiếp xúc mặt cầu tâm A bán kính R=1 cố định. 
Câu VII.b: BPT Û x x x xx 12(4 2.2 3).log 3 2 4
+- - - > - Û x x x2(4 2.2 3).(log 1) 0- - + > 
 Û 
x x
x x
x
x
2
2
2
2
2
2
2.2 3 0
log 1 0
2.2 3 0
log 1 0
éì
êí
îê
êì
êí
êîë
- - >
+ >
- - <
+ <
 Û 
x
x
x
x
2
2
2 3
log 1
2 3
log 1
éì >êí > -îê
êì <êí < -êîë
 Û 
x
x
x
x
2
2
log 3
1
2
log 3
10
2
éì >ïêíê >ïêî
êì <ïêíê < <ïêîë
 Û 
x
x
2log 3
10
2
é >
ê
ê < <
ë
=====================