Đề 10 Thi thử đại học 2009 môn toán đề thi số 2

Thi thử Đại học 2009 Môn Toán
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Trang 1
THI THỬ ĐẠI HỌC 2009
MÔN TOÁN
Đề thi số 2
Thời gian làm bài: 180 phút
A. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH
Câu I (2 điểm) Cho hàm số 23 23  xxy
a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b) Biện luận số nghiệm của phương trình
1
222  x
m
xx theo tham số m.
Câu II (2 điểm)
a) Giải phương trình  23 4 2 2 2 1 2sin x cos x sin x  
b) Giải phương trình 2 316 4
2
14 40 0
x x x
log x log x log x .  
Câu III ( 2 điểm)
a) Tính tích phân
3
2
3
x sin xI dx.
cos x


 
b) Cho hàm số 3
2
sin)(
2
 xxexf x . Tìm giá trị nhỏ nhất của )(xf và chứng minh rằng
0)( xf có đúng hai nghiệm.
Câu IV (2 điểm) Trong không gian Oxyz cho đường thẳng d:
3
2
12
1

 zyx và mặt phẳng
012:)(  zyxP
a) Tìm tọa độ giao điểm A của đường thẳng d với mặt phẳng )(P . Viết phương trình của
đường thẳng  đi qua điểm A vuông góc với d và nằm trong )(P .
b) Viết phương trình mặt phẳng )(Q chứa d sao cho khoảng cách từ điểm )0,0,1(I tới )(Q bằng
3
2
.
B. PHẦN DÀNH RIÊNG CHO TỪNG LOẠI THÍ SINH
Câu Va (2 điểm)
Dành cho học sinh thi theo chương trình cơ bản
a) Trong mặt phẳng Oxy cho ABC có  0 5A ; . Các đường phân giác và trung tuyến xuất
phát từ đỉnh B có phương trình lần lượt là 1 21 0 2 0d : x y ,d : x y .     Viết phương trình
ba cạnh của tam giác ABC.
b) Có bao nhiêu số hữu tỉ trong khai triển  6032 3 .
Thi thử Đại học 2009 Môn Toán
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Trang 2
Câu Vb (2 điểm)
Dành cho học sinh thi theo chương trình nâng cao
a) Giải phương trình 12 9.
4
14.69.
3
14.3   xxxx .
b) Cho chóp tứ giác đều SABCD có cạnh bên bằng a và mặt chéo SAC là tam giác đều. Qua
A dựng mặt phẳng )(P vuông góc với SC .Tính diện tích thiết diện tạo bởi mặt phẳng )(P
và hình chóp.
ĐÁP ÁN
Câu I 2 điểm
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số 3 23 2y x x .  
 Tập xác định: Hàm số có tập xác định D R.
 Sự biến thiên: 23 6y' x x.  Ta có 00
2
x
y'
x
   
0,25
    0 2 2 2CD CTy y ; y y .     0,25
 Bảng biến thiên:
x  0 2 
y'  0  0 
y
 2 
 2
0,25
a)
 Đồ thị: Học sinh tự vẽ hình 0,25
Biện luận số nghiệm của phương trình
1
222  x
m
xx theo tham số m.
 Ta có  2 22 2 2 2 1 11mx x x x x m,x .x         Do đó số nghiệm
của phương trình bằng số giao điểm của    2 2 2 1y x x x , C'    và đường
thẳng 1y m,x . 
0,25
 Vì     2
1
2 2 1
1
f x khi x
y x x x f x khi x
      
 nên  C' bao gồm:
+ Giữ nguyên đồ thị (C) bên phải đường thẳng 1x .
+ Lấy đối xứng đồ thị (C) bên trái đường thẳng 1x  qua Ox.
0,25
 Học sinh tự vẽ hình 0,25
b)
 Dựa vào đồ thị ta có: 0,25
Thi thử Đại học 2009 Môn Toán
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Trang 3
+ 2m :  Phương trình vô nghiệm;
+ 2m :  Phương trình có 2 nghiệm kép;
+ 2 0m :   Phương trình có 4 nghiệm phân biệt;
+ 0m : Phương trình có 2 nghiệm phân biệt.
0,25
Câu II 2 điểm
Giải phương trình  23 4 2 2 2 1 2sin x cos x sin x  
 Biến đổi phương trình về dạng    2 3 2 1 2 1 0sin x sin x sin x    0,75
a)
 Do đó nghiệm của phương trình là
7 2 5 22 2
6 6 18 3 18 3
k k
x k ; x k ; x ; x              
0,25
Giải phương trình 2 316 4
2
14 40 0
x x x
log x log x log x .  
 Điều kiện: 1 10 2
4 16
x ; x ; x ; x .   
 Dễ thấy x = 1 là một nghiệm của pt đã cho
0,25
 Với 1x  . Đặt 2
x
t log và biến đổi phương trình về dạng
2 42 20 0
1 4 1 2 1t t t
    
0,5
b)
 Giải ra ta được 1 12 4
2 2
t ;t x ; x .      Vậy pt có 3 nghiệm x =1;
14
2
x ; x . 
0,25
Câu III
Tính tích phân
3
2
3
x sin xI dx.
cos x


 
 Sử dụng công thức tích phân từng phần ta có
3 33
33 3
1 4
3
x dxI xd J ,
cosx cosx cosx
 
 

 
         với
3
3
dxJ
cosx


 
0,25
a)
 Để tính J ta đặt t sin x. Khi đó
3 3
3 2 2
2
33
23 2
1 1 2 3
1 2 1 2 3
dx dt tJ ln ln .
cosx t t

  
         
0,5
Thi thử Đại học 2009 Môn Toán
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Trang 4
 Vậy 4 2 3
3 2 3
I ln .   
0,25
Cho hàm số 3
2
sin)(
2
 xxexf x . Tìm giá trị nhỏ nhất của )(xf và chứng
minh rằng 0)( xf có đúng hai nghiệm.
 Ta có xf ( x ) e x cos x.    Do đó   0 xf ' x e x cos x.     0,25
 Hàm số xy e là hàm đồng biến; hàm số y x cosx   là hàm nghịch biến
vì 1 0y' sin x , x     . Mặt khác 0x là nghiệm của phương trình
xe x cos x   nên nó là nghiệm duy nhất.
0,25
b)
 Lập bảng biến thiên của hàm số  y f x (học sinh tự làm) ta đi đến kết
luận phương trình 0)( xf có đúng hai nghiệm.
 Từ bảng biến thiên ta có   2 0min f x x .   
0,5
Câu IV
Tìm tọa độ giao điểm A của đường thẳng d với mặt phẳng )(P . Viết phương
trình của đường thẳng  đi qua điểm A vuông góc với d và nằm trong )(P .
 Tìm giao điểm của d và (P) ta được 1 72
2 2
A ; ;   
0,25
 Ta có      2 1 3 2 1 1 1 2 0d P d pu ; ; ,n ; ; u u ;n ; ;         
     0,5
a)
 Vậy phương trình đường thẳng  là 1 72 2
2 2
: x t; y t; z .       0,25
Viết )(Q chứa d sao cho khoảng cách từ điểm )0,0,1(I tới )(Q bằng
3
2
.
 Chuyển d về dạng tổng quát 2 1 0
3 2 0
x y
d :
y z
     
0,25
 Phương trình mặt phẳng (Q) chứa d có dạng
    2 22 1 3 2 0 0m x y n y z ,m n       
 2 3 2 0mx m n y nz m n      
0,25
b)
       1 22 1 0 7 5 3 03d I ; Q Q : x y z , Q : x y z .         
0,5
Câu VIa
a) Trong mặt phẳng Oxy cho ABC có  0 5A ; . Các đường phân giác và trung
tuyến xuất phát từ đỉnh B có phương trình lần lượt là
1 21 0 2 0d : x y ,d : x y .     Viết phương trình ba cạnh của tam giác ABC.
Thi thử Đại học 2009 Môn Toán
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Trang 5
 Ta có  1 2 2 1 3 5 0B d d B ; AB : x y .         0,25
 Gọi A' đối xứng với A qua    1 2 3 4 1d H ; ,A' ; . 0,25
 Ta có 3 1 0A' BC BC : x y .     0,25
 Tìm được  28 9 7 35 0C ; AC : x y .    0,25
Có bao nhiêu số hữu tỉ trong khai triển  6032 3 .
 Ta có   6060603 3260
0
2 3 2 3
kk
k
k
C .


  0,5
b)
 Để là số hữu tỷ thì  60 2 2 6
3
k k
k .
k
  
   Mặt khác 0 60k  nên có 11
số như vậy.
0,5
Câu Vb
Giải phương trình 12 9.
4
14.69.
3
14.3   xxxx
 Biến đổi phương trình đã cho về dạng 2 2 2 293 2 27 3 6 2 3
4
x x x x
. . . .   0,5
a)
 Từ đó ta thu được 3
2
3 2 2
2 39 39
x
x log      
0,5
Cho chóp tứ giác đều SABCD có cạnh bên bằng a và mặt chéo SAC là tam
giác đều. Qua A dựng mặt phẳng )(P vuông góc với SC .Tính diện tích thiết
diện tạo bởi mặt phẳng )(P và hình chóp.
 Học sinh tự vẽ hình 0,25
 Để dựng thiết diện, ta kẻ AC' SC. Gọi I AC' SO.  0,25
b)
 Kẻ B' D' // BD. Ta có
21 1 2 3 3
2 2 3 2 6AD' C' B'
a aS B' D' .AC' . BD. .   0,5
Nguồn: Hocmai.vn