Đạo hàm - Vi phân (phần 1)

1C2. ĐẠO HÀM – VI PHÂN
1. ĐẠO HÀM HÀM SỐ MỘT BIẾN
Định nghĩa: Cho hàm số f(x) xác định trong (a,b) và x0
 (a,b). Nếu tồn tại
0
0
xx xx
)x(f)x(flim
0 


thì giới hạn đó được gọi là đạo hàm của hàm số f(x) tại
x0. Ký hiệu f’(x0), y’(x0) 
Đặt x = x – x0, ta có x = x0 + x và
đặt y = f(x0 + x) – f(x0) thì
x
ylim'y
0x 



Ký hiệu dy/dx, df/dx
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - 
2C2. ĐẠO HÀM – VI PHÂN
- Đạo hàm bên phải: 
- Đạo hàm bên trái: 
x
ylim'y
0x 



x
ylim'y
0x 



- Hàm số f(x) có đạo hàm trên khoảng (a,b) nếu nó có
đạo hàm tại mọi điểm trong khoảng đó, 
- f(x) có đạo hàm trên đoạn [a,b] nếu nó có đạo hàm
tại mọi điểm trong khoảng (a,b), có đạo hàm phải tại a 
và đạo hàm trái tại b 
Ví dụ: Tìm đạo hàm của y = x2, y = sinx
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - 
3C2. ĐẠO HÀM – VI PHÂN
Đạo hàm của tổng thương tích của hai hàm số:
Nếu các hàm số u, v có đạo hàm tại x thì:
• u + v cũng có đạo hàm tại x và (u + v)’ = u’ + v’
• u.v cũng có đạo hàm tại x và (u.v)’ = u’v + v’u
• u/v cũng có đạo hàm tại x\V(x)0 và 2
'
v
u'vv'u
v
u 






Đạo hàm của hàm số hợp:
Nếu hàm số u = u(x) có đạo hàm theo x, hàm y = f(u) 
có đạo hàm tương ứng u = u(x) thì hàm số hợp f(u) có
đạo hàm theo x và y’(x) = y’(u).u’(x).
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - 
4C2. ĐẠO HÀM – VI PHÂN
Đạo hàm của hàm số ngược:
Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm tại x, f’(x) ≠ 0 và
có hàm số ngược x = f-1(y) thì hàm số x = f-1(y) có đạo
hàm tại y = f(x):
)]y(f['f
1
)x('f
1)y()'f( 1
1

 
Ví dụ, tìm đạo hàm của y = arcsinx
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - 
5C2. ĐẠO HÀM – VI PHÂN
Đạo hàm các hàm số sơ cấp cơ bản: 
(c)’ = 0
(x)’ = x-1
(ax)’ = axlna
(ex)’ = ex
alnx
1)'x(loga 
x
1)'x(ln 
(sinx)’ = cosx
(cosx)’ = -sinx
xcos
1)'tgx( 2
xsin
1)'gx(cot 2
2x1
1)'x(arcsin


2x1
1)'x(arccos


2x1
1)'arctgx(


2x1
1)'gxcotarc(


Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - 
6C2. ĐẠO HÀM – VI PHÂN
Đạo hàm cấp cao :
Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm thì y’ = f’(x) gọi là
đạo hàm cấp 1. Đạo hàm, nếu có, của đạo hàm cấp 1 
gọi là đạo hàm cấp 2. Ký hiệu: y’’(x), f’’(x)
2
2
2
2
dx
fd ,
dx
yd
Tương tự, đạo hàm của đạo hàm cấp (n-1) là
đạo hàm cấp n. Ký hiệu: f(n)(x), y(n)(x).
n
n
n
n
dx
fd ,
dx
yd
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - 
7C2. ĐẠO HÀM – VI PHÂN
Công thức Leibniz:
Giả sử hàm số u, v có đạo hàm liên tiếp đến n. Khi đó
ta có:
(u + v)(n) = u(n) + v(n)



n
0k
k)kn(k
n
)n( v.uC)uv( trong đó u(0) = u, v(0) = v 
Ví dụ: Cho y = x (  R, x > 0), y = kex, tìm y(n)
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - 
8C2. ĐẠO HÀM – VI PHÂN
2. VI PHÂN
Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x) khả vi, ta ký hiệu dy
= y’dx (df = f’dx) được gọi là vi phân cấp 1 của hàm
số f.
Vi phân của tổng, tích, thương:
d(u + v) = du + dv
d(u.v) = vdu + udv
2v
udvvdu
v
ud 





Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - 
9C2. ĐẠO HÀM – VI PHÂN
Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x) và f(n-1) khả vi, ta ký
hiệu d(n)y = y(n)dxn (d(n)f = f(n)dx) được gọi là vi phân
cấp n của hàm số f.
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - 
10
C2. ĐẠO HÀM – VI PHÂN
3. CÁC ĐỊNH LÝ VỀ ĐẠO HÀM
Định lý Rolle: Nếu f là hàm số liên tục trên [a,b], khả vi 
trong (a,b) và f(a) = f(b) thì tồn tại c  (a,b) sao cho f’(c) 
= 0.
Định lý Lagrange: Nếu f là hàm số liên tục trên [a,b], 
khả vi trong (a,b) thì tồn tại c  (a,b) sao cho
)c('f
ab
)a(f)b(f



Nhận xét: Định lý Rolle là một trường hợp đặc biệt của
định lý Lagrange trong trường hợp f(b) = f(a).
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - 
11
C2. ĐẠO HÀM – VI PHÂN
Định lý Cauchy: Nếu f , g cùng liên tục trên [a,b], khả
vi trong khoảng (a,b) và g’(x) ≠ 0, x  (a,b) thì tồn tại
c  (a,b) sao cho
)c('g
)c('f
)a(g)b(g
)a(f)b(f



Nhận xét: Định lý Lagrange là một trường hợp đặc
biệt của định lý Cauchy trong trường hợp g(x) = x.
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - 
12
C2. ĐẠO HÀM – VI PHÂN
Định lý Taylor: Nếu hàm số f khả vi đến cấp (n+1) 
trong lân cận D của x0 thì x  D, x ≠ x0 thì tồn tại c 
nằm giữa x và x0 sao cho:
1n
0
)1n(
n
0
0
)n(
2
0
0
0
0
0
)xx(
)!1n(
)c(f)xx(
!n
)x(f...
...)xx(
!2
)x("f)xx(
!1
)x('f)x(f)x(f






1n
0
)1n(
n )xx()!1n(
)c(f)x(R 




Số hạng cuối cùng được gọi là phần dư Lagrang
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - 
13
C2. ĐẠO HÀM – VI PHÂN
• Đa thức Taylor:



n
0k
k
0
0
k
n )xx(!k
)x(f)x(P
Khi x0=0 thì công thức Taylor trở thành công thức
Maclaurin
1n
)1n(
n
)n(
2 x
)!1n(
)c(fx
!n
)0(f...x
!2
)0("fx
!1
)0('f)0(f)x(f 



Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - 
14
C2. ĐẠO HÀM – VI PHÂN
L’Hospital khử dựng vô định khi tìm giới hạn
Định lý: Giả sử f, g khả vi trong (a,b), g’(x) ≠ 0 với mọi x 
 (a,b)
0)x(glim)x(flim
axax


L
)x('g
)x('flim
)x('g
)x('flim
axax


Nhận xét: Qui tắc L’Hospital vẫn đúng nếu:
0)x(glim)x(flim
xx




)x(glim)x(flim
axax


)x(glim)x(flim
xx
• Qui tắc L’Hospital có thể áp dụng nhiều lần.
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - 
15
C2. ĐẠO HÀM – VI PHÂN
Ví dụ: Tìm các giới hạn sau (dạng 0/0)
3x4x
27xlim 2
3
3x 

 xsinx
xtgxlim
0x 


30x x
xsinxlim 

x
1
arctgx
2lim
x



Ví dụ: Tìm giới hạn sau (dạng /)
gxcot
xlnlim
0x  nx x
xlnlim
 x
n
x e
xlim

1. Dạng 0/0, /
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version -