Công thức Toán Đại số và giải tích

CÔNG THỨC TOÁN ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH
I.Các công thức đạo hàm:
 (C là hằng số).
1) 
2) 
3) 
4) 
5) 
6) 
7) 
8) 
9) 
10) 
II/Các quy tắc tính đạo hàm:
 2) (k.u)’ =k.u’
(u.v)’ =u’.v + u.v’ 4) (v)
 (v) 6) 
*Ý nghĩa hình học của đạo hàm:
	Một điểm M0(x0,y0)Ta có f’(x0)=k:là hệ số góc của tiếp tuyến tại tiếp điểm M0.
III/ Nguyên hàm:
Định nghĩa:F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số y=f(x) trên (a;b) óF’(x) =f(x) , 
Bảng các nguyên hàm:
Nguyên hàm của hàm số sơ cấp
Nguyên hàm của các hàm sồ thường gặp
3)Các phương pháp tích phân:
Dạng 1:
 Tích phân của tích , thương phải đưa về tích phân của 1 tổng hoặc 1 hiệu bằng cách nhân phân phối hoặc chia đa thức.
 *Chú ý: 
Dạng 2:Phương pháp tính tích phân từng phần:
 a/ Loại 1 : Có dạng: A=
 	Trong đó P(x) là hàm đa thức 
 Phương pháp: 
 Đặt u=P(x) 
 dv = 
 Áp dụng công thức tính tích phân từng phần
 A=
 b/Loại 2:có dạng : B=
 	Phương pháp :
 Đặt u = ln(ax+b) => du =
 dv = P(x)dx => V =
 Áp dụng công thức B =
Dạng 3:Phương pháp đổi biến số để tính tích phân:
 A=
 Phương pháp :
 Đặt t = 
 Đổi cận:
	Do đó A =
 	F(t).dt=
Dạng 4:Các dạng đặc biệt cơ bản:
 a/Loại 1: I=
 Phương pháp:Đặt x=a.tgt 
 	=> dx=.
	Đổi cận:
 b/Loại 2:	J=
 	Phương pháp: Đặt x=asint 
	 => dx = acost.dt
	Đổi cận.
Dạng 5: I = 
 	Nếu 
	Do đó : 
	Nếu 
	Để tính I=
	Phương pháp : Đặt x+ (làm giống dạng 4)
*Dùng phương pháp đồng nhất thức để tính tích phân hàm số hữu tỉ:
	1)Trường hợp 1:Mẫu số có nghiệm đơn
	.
	2)Trường hợp 2: Mẫu số có nghiệm đơn và vô nghiệm
	3)Trường hợp 3: Mẫu số có nghiệm bội
	VD:Tính các tích phân sau:
	 A=	;	B= ;	 C=
Dạng 6: A=
	Nếu n chẵn :
	Áp dụng công thức 
	Sin2a=
	Cos2a=
	Nếu n lẽ:
	A=
	Đặt t= cosx (biến đổi sinx thành cosx)
Dạng 7: A=
	Đặt tg2x làm thừa số 
	Thay tg2x = 	 
4.Các công thức lượng giác biến đổi tích thành tổng
Cos2a= 1.1) Sin2a=
2sina.cosa = sin2a 2.1) Cosa.cosb = 
Sina.sinb = 3.1) Sina.cosb = 
	 *Các công thức lượng giác cần nhớ:
Sin2a+cos2a = 1 1.1) 1+tg2a = 
1+cotg2a = 2.1) Cos2a = cos2a – sin2a = 2cos2a -1 = 1- 2sin2a
Tg2a = 3.1) Sin 3a = 3sina – 4sin3a
Cos 3a = 4cos3a – 3cosa
 *Các giá trị lựơng giác của góc đặc biệt:
0
1
1
1/2
sin
cos
1
-1
-1
cost
IV: Diện tích hình phẳng.
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi và hai đường thẳng x=a; x=b
Phương pháp:
+ dthp cần tìm là:
+ Hoành độ giao điểm của (C) và trục Ox là nghiệm của phương trình:
Nếu phương trình f(x) = o vô nghiệm. Hoặc có nghiệm không thuộc đoạn [a;b] thì 
Nếu f(x) = 0 có nghiệm thuộc [a;b]. Giả sử thì 
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi và trục hoành 
Phương pháp:
Hđgđ của (C) và trục Ox là nghiệm của phương trình : f(x) = 0
Diện tích hình phẳng giởi hạn bởi 2 đường (C1): y=f(x) và (C2): y=g(x) và 2 đường x=a; x=b
Phương pháp:
Dthp cần tìm là:
Hđgđ của 2 đường (C1) và (C2) là nghiệm của phương trình.
f(x) – g(x) = 0
Lập luận giống phần số 1
V) Thể tích vật thể
1) Một hình phẳng (H) giới hạn bởi: x=a; x=b, trục ox và y=f(x) liên tục trên [a;b]. Khi (H) quay quanh trục ox tạo ra vật thể có thể tích:
2) Một hình phẳng (H) giới hạn bởi y=a; y=b, trục oy và x=g(y) liên tục trên [a;b]. Khi (H) quay quanh trục oy tạo ra vật thể có thể tích: 
VI) Đại số tổ hợp
Giai thừa
n! = 1.2.3.4..n
Ngắt giai thừa
n!=(n-3)!(n-2).(n-1).n
7!=1.2.3.4.5.6.7
7!=5!.6.7
K!K=(K+1)!
Qui ước:
0!=1
1!=1
Số hoán vị của n phần tử
Pn! = n!	
Số chỉnh hợp chập K của n phần tử
,
Số tổ hợp chập K của n phần tử
* Tính chất của Tổ Hợp:
Nhị thức Newtơn
Số hạng tổng quát thứ k+1 trong khai triển (a+b)x là. 
Khai triển theo tam giác Pascal
n = 3:	1	3	3	1
n = 4:	1 	4 	6 	4 	1	
n = 5:	1	5	10	10	5	1
n = 6:	1	6	15	20	15	6	1
n = 7:	1	7	21	35	35	21	7	1
VII) Các vấn đề có liên quan đến bài toán
Vấn đề 1: Đường lối chung khảo sát hàm số
Phương pháp:
Tập xác định
Tính y’
Tìm giới hạn và tiệm cận (nếu là hàm số hữu tỷ)
Bảng biến thiên
Tính y’’. Lập bảng xét dấu y’’.
Điểm đặc biệt.
Vẽ đồ thị.
Vấn đề 2: Biện luận phương trình f(x,m)=0 (1) bằng đồ thị (C) 
Phương pháp:
Chuyển m sang 1vế để đưa về dạng : f(x)=m
Đặt y=f(x) có đồ thị (C)
y=m là đường thẳng d cùng phương với trục ox
Số nghiệm của phương trình (1) chính là số giao điểm của (C) và d
Dựa vào đồ thị kết luận.
Vấn đề 3: Biện luận theo m số giao điểm của 2 đường (C1): y = f(x)và (C2): y = g(x)
Phương pháp:
+ Hoành độ giao điểm của (C1) và (C2)là nghiệm của phương trình: 
+ Biện luận:
Nếu (1) có n nghiệm =>(C1) và (C2) có n điểm chung (Hay n giao điểm)
Nếu (1) vô nghiệm => (C1) và (C2) không có điểm chung (Hay không có giao điểm)
Chú ý: 
Nếu pt (1) có dạng ax + b = 0 chỉ khi biện luận phải xét 2 trường hợp.
Nếu a=0
Nếu 
Nếu pt (1) có dạng ax2 + bx + c = 0 xét 2 trường hợp
Nếu a=0
Nếu . Tính . Xét dấu . Dựa vào lập luận
Nếu pt (1): ax3 + bx2 + cx + d = 0. Ta đưa về dạng : 
Thế 
Đưa vàobiện luận theo m để tìm số nghiệm của (1) => Số giao điểm của 2 đường (C1) và (C2) .
Vấn đề 4: Tiếp tuyến với (C); y = f(x)
Trường hợp 1: Tại tiếp điểm M0(x0,y0)
Phương pháp:
+ Tính y’ => y’(x0)
+ phương trình tiếp tuyến với (C). Tại M0 có dạng: y – y0 = y’(x0).(x-x0)
Trường hợp 2: Biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y = ax + b (d)
Phương pháp:
+ Gọi M0(x0,y0) là tiếp điểm.
+ Phương trình tiếp tuyến với (C) tại M0 có dạng y – y0 = y’(x0).(x-x0).
+ Vì tiếp tuyến song song với d nên: y’(x0).= a (1)
+ Giải (1) tìm x0 => y0
+ Kết luận
* Chú ý:
Biết tiếp tuyến vuông góc. Vuông góc với đường thẳng d: y=ax + b thì
Trường hợp 3: Biết tiếp tuyến đi qua điểm A(xA,yA)
Phương pháp:
+ Gọi là đường thẳng đi qua A có hệ số góc là k có phương trình:
y - yA = k(x – xA)
 y = kx – kxA + yA.
+ tiếp xúc với đường cong (C) Hệ phương trình sau có nghiệm
+ Thế (1) vào giải tìm x
+ Thế x vừa tìm được vào (2). Suy ra k.
+ Kết luận.
Vấn đề 5: Tìm m để Hàm số có cực đại và cực tiểu.
Trường hợp 1: Hàm số ax3 + bx2 + cx + d = 0.
Phương pháp.
+ Tập xác định : D = R
+ Tính y’. Để hàm số có cực trị thì y’ = 0 có 2 nghiệm phân biệt
Trường hợp 2: Hàm số : 
Phương pháp:
+ Tập xác định D = R\{-b’/a’)
+ Tính 
Để hàm số có cực đại và cực tiểu thì y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt.
Vấn đề 6: Tìm m để Hàm số đạt cực đại tại x0 (hoặc cực tiểu, cực trị)
Phương pháp:
+ Tập xác định.
+ Tính y’
Thuận: Hàm số đạt cực đại tại x0
Đảo: Thế m vào y’. Lập bảng biến thiên để kiểm lại.
+ Kết luận.
Chú ý:
Nếu hàm số đạt cực trị tại x0 thì y’ chỉ cần đổi dấu khi x đi qua x0.
Vấn đề 7: Tìm m (hoặc a, b) để hàm số: ax3 + bx2 + cx + d = 0 nhận điểm I(x0;y0) làm điểm uốn.
Phương pháp:
Phương Trình – Bất Phương Trình Chứa Logarit
Công Thức.
LogaN=b 
Phương Trình – Bất Phương Trình Cơ Bản
Nếu a > 1
Nếu 0 < a < 1
Cách Giải:
Đưa về cùnng cơ số
Đưa về pt và bpt cơ bản
Đặt ẩn số phụ
Phân khoảng
Giải pp đặt biệt.
Hàm Số Lượng Giác
Cos đối : đối của 
Sin bù : Bù của 
Khác tg hoặc cotg 
Lưu ý: 
Hàm số lượng giác = hslg 
Hàm cos không đổi dấu giá trị.
Hàm sin, tg, cotg đổi
 : bù nhau
phụ nhau
Khác