Chuyên đề Về giới hạn của hàm số

Chñ ®Ò : giíi h¹n cña hµm sè 
I/ KiÕn thøc c¬ b¶n.
a.Giíi h¹n h÷u h¹n.
 Gi¶ sö lµ mét kho¶ng chøa ®iÓm vµ f lµ mét hµm sè x¸c ®Þnh trªn kho¶ng . Khi ®ã nÕu trong tËp hîp mµ ,ta ®Òu cã .
b.Giíi h¹n v« cùc.
 nÕu d·y mµ , ta ®Òu cã .
2.Giíi h¹n hµm sè t¹i v« cùc.
 +/ Gi¶ sö ta cã hµm sè f x¸c ®Þnh trªn . Ta nãi r»ng hµm sè f cã giíi h¹n lµ sè thùc L khi x dÇn ®Õn nÕu víi mäi d·y trong kho¶ng mµ ,ta ®Òu cã .
 Ta viÕt .
2.Mét sè ®Þnh lý vÒ giíi h¹n.
 §Þnh lý 1: Gi¶ sö . Khi ®ã:
a/ b/ 
c/ d/.
§Þnh lý 2: Gi¶ sö , khi ®ã:
a/. b/ .
c/ NÕu ,trong ®ã J lµ mét kho¶ng nµo ®ã chøa ®iÓm th× .
4. Giíi h¹n mét bªn.
 +/ Gi¶ sö hµm sè f x¸c ®Þnh trªn kho¶ng .Ta nãi hµm sè f cã giíi h¹n bªn ph¶i lµ L khi x dÇn ®Õn (hoÆc t¹i ®iÓm ),nÕu víi mçi d·y trong kho¶ng mµ ,ta ®Òu cã . Ta viÕt .
 +/ §Þnh nghÜa t­¬ng tù cho .
 +/ Hµm sè cã giíi h¹n t¹i vµ tån t¹i , vµ .
Mét vµi quy t¾c t×m giíi h¹n v« cùc.
 +/ NÕu th× .
+/ Quy t¾c 1.
NÕu ,th× cho bëi b¶ng sau:
DÊu cña L
 Quy t¾c 2: vµ , trong ®ã J lµ méy kho¶ng nµo ®ã chøa ®iÓm ,th× cho bëi b¶ng sau:
DÊu cña L
DÊu cña f(x)
6. Mét sè d¹ng v« ®Þnh
 D¹ng :
 C¸ch khö :
 +/ Ph©n tÝch tö vµ mÉu thµnh tÝch ®Ó gi¶i ­íc nh©n tö chung.
 +/ NÕu u(x) hay v(x) cã chøa biÕn sè d­íi dÊu c¨n th× cã thÓ nh©n c¶ tö vµ mÉu víi biÓu thøc liªn hîp.
D¹ng :
 +/ Chia c¶ tö vµ mÉu cho ,víi k lµ sè mò cao nhÊt cña biÕn sè x.(Hay ph©n tÝch tö vµ mÉu thµnh tÝch chøa nh©n tö råi gi¶n ­íc).
 +/ NÕu u(x) vµ v(x) cã chøa biÕn x trong dÊu c¨n, th× ®­a ra ngoµi (k lµ bËc cao nhÊt cña x trong c¨n) tr­íc khi chia c¶ tö vµ mÉu cho lòy thõa cña x.
D¹ng vµ d¹ng :
 +/ Nh©n vµ chia víi biÓu thøc liªn hîp,nÕu cã biÓu thøc chøa biÕn x d­íi dÊu c¨n hoÆc quy ®ång mÉu ®Ó ®­a vÒ cïng mét ph©n thøc.
II. KÜ n¨ng c¬ b¶n.
 VËn dông linh ho¹t c¸c ®Þnh lý vÒ giíi h¹n h÷u h¹n vµ c¸c quy t¾c t×m giíi h¹n v« cùc ®Ó gi¶i c¸c bµi to¸n vÒ giíi h¹n hµm sè.
III. Mét sè vÝ dô:
A.VÝ dô tù luËn:
VÝ dô 1: ¸p dông ®Þnh nghÜa tÝnh .
Gi¶i :
 +/ Hµm sè x¸c ®Þnh trªn .
 +/ Gi¶ sö lµ d·y sè tïy ý mµ .
 Khi ®ã 
 +/ VËy .
VÝ dô 2: ¸p dông ®Þnh nghÜa tÝnh .
Gi¶i :
 +/ Hµm sè x¸c ®Þnh trªn .
 +/ Gi¶ sö lµ d·y sè tïy ý mµ .
 Khi ®ã 
 +/ VËy .
VÝ dô 3: TÝnh 
 1/ 2/.
Gi¶i :
 1/ Ta cã :
 .
 2/ Ta cã :
 .
L­u ý : Do nªn .
VÝ dô 3: Cho hµm sè .
TÝnh .
Gi¶i :
 +/ Ta cã hµm sè f(x) x¸c ®Þnh trªn tËp .
 +/ .
 +/ .
 +/ Do nªn .
VÝ dô 4: TÝnh
 1/ 2/ 3/ 
 .
Gi¶i :
 1/ Ta cã .
VÝ dô 5: TÝnh 
 1/ 2/ 
 2/ 4/ .
Gi¶i :
 2/ Ta cã
 4/ Ta cã 
 .
 MÆt kh¸c 
 VËy .
VÝ dô 6: TÝnh
 Gi¶i:
B. VÝ dô tr¾c nghiÖm.
 Chän ph­¬ng ¸n ®óng cho mçi vÝ dô sau:
VÝ dô 7: b»ng:
A.0 B. C. D.2
VÝ dô 8 : b»ng:
A.1 B.0 C. D.
VÝ dô 9: b»ng:
A.2 B.4 C. D.
VÝ dô 10: b»ng:
A. B. 2 C.1 D.2
VÝ dô 11:
 Cho hµm sè 
 Khi ®ã b»ng
A.1 B.2 C.kh«ng tån t¹i D.3
VÝ dô 12: b»ng:
A.2 B.0 C.1 D.
VÝ dô 13: b»ng:
A.1 B.1,5 C.3 D.3,5
VÝ dô 14: b»ng:
A. B. C.1 D.0
VÝ dô 15: b»ng:
A. B. C.1 D.2
§¸p ¸n:
VD7
VD8
VD9
VD10
VD11
VD12
VD13
VD14
VD15
B
C
D
C
D
A
C
C
D
II.Bµi tËp
A.Bµi tËp tù luËn
Bµi1: Dïng ®Þnh nghÜa tÝnh giíi h¹n.
 .
HD:
+/ Xem l¹i vÝ dô 1.
+/ §/S: 1/ 2/ 1 .
Bµi 2 : TÝnh
HD :
 1/ §Ó ý:
 2/ §Ó ý:
Bµi 3: T×m a ®Ó hµm sè 
 Cã giíi h¹n khi x dÇn ®Õn 2.
HD:
 +/ Ph¶i cã .
 +/ VËy víi th× hµm sè cã giíi h¹n khi x dÇn ®Õn 2. Vµ .
Bµi 4: TÝnh 
HD : Xem l¹i c¸ch lµm ë vÝ dô 5.
 §/S: 1/ 2/
3/ L­u ý ®Ó cho gän ta biÕn ®æi
Nªn giíi h¹n cÇn tÝnh b»ng:
4/ §Ó rót gän ta biÕn ®æi:
Nh­ vËy giíi h¹n cÇn tÝnh b»ng
Bµi 5:TÝnh
HD:
1/ BiÕn ®æi giíi h¹n cÇn tÝnh b»ng
2/ +/ T­¬ng tù c©u 1, thªm bít 2 ë tö.
 +/ §¸p sè .
3/ +/ Nh©n liªn hîp c¶ tö vµ mÉu.
 +/ §¸p sè: 1
4/ +/ BiÕn ®æi: 
 +/ Tõ ®ã tÝnh ®­îc giíi h¹n ®· cho b»ng .
Bµi 6 :TÝnh
HD: Xem l¹i c¸ch lµm ë vÝ dô 6.
 §/S: 1/ 5 2/ 
 3/ 4/ 0
 5/ 6/ 
 7/ 1 8/ 2
Bµi 7: TÝnh giíi h¹n sau theo a.
HD:
1/ Ta cã 
 +/ Tr­êng hîp 1: 
 +/ Tr­êng hîp 2: .
 +/ VËy .
2/ Ta cã: .
 +/ Tr­êng hîp 1: .
 +/ Tr­êng hîp 2: 
 +/ Tr­êng hîp 3: .
 VËy 
B.Bµi tËp tr¾c nghiÖm.
 Bài 1). Giới hạn bằng :
	A). 3.	B). 2.	C). 1.	D). .
 Bài 2). Giới hạn bằng :
	A). 3.	B). 1.	C). 6.	D). 2,5.
 Bài 3). Giới hạn bằng :
	A). 	B). 	C). 	D). 
 Bài 4). Giới hạn bằng :
	A). .	B). 1	C). 0.	D). .
 Bài 5). Giới hạn bằng :
	A). .	B). 2.	C). .	D). 4.
 Bài 6). Giới hạn bằng :
	A). 	B). 	C). 	D). 
 Bài 7). Giới hạn bằng :
	A). 2.	B). 3.	C). .	D). .
 Bài 8). Giới hạn bằng :
	A). .	B). .	C). .	D). .
 Bài 9). Giới hạn bằng :
	A). .	B). .	C). .	D). .
 Bài 10). Giới hạn bằng :
	A). 3.	B). 11.	C). 14.	D). 13.
 Bài 11). Giới hạn bằng :
	A). 8.	B). 4.	C). 0.	D). 2.
 Bài 12). Giới hạn bằng :
	A). 12.	B). 6.	C). 4.	D). 8.
 Bài 13). Giới hạn bằng :
	A). 	B). 	C). 	D). 
 Bài 14). Giới hạn bằng :
	A). - 2.	B). 2.	C). .	D). 4.
 Bài 15). Giới hạn bằng :
	A). .	B). .	C). .	D). .
 Bài 16). Giới hạn bằng :
	A). 	 B). 	 C). 0.	 D). 
 §¸p ¸n:
Bài 1
Bài 2
Bài 3
Bài 4
Bài 5
Bài 6
Bài 7
Bài 8
B
B
D
C
C
B
D
D
Bài 9
Bài 10
Bài 11
Bài 12
Bài 13
Bài 14
Bài 15
Bài 16
B
B
B
A
B
B
D
C