Chuyên đề Về giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số

 GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ
Phần1 TÓM TẮT GIÁO KHOA
I. Định nghĩa
Giả sử hàm số xác định trên tập hợp D .
1) Nếu tồn tại một điểm sao cho thì số được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số trên , kí hiệu là .
Như vậy: .
2) Nếu tồn tại một điểm sao cho thì số được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số trên , kí hiệu là .
Như vậy: .
II. Phương pháp tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
Cho hàm số xác định trên tập hợp. D 
 Nếu thì ta lập bảng biến thiên của hàm số trên khoảng , dựa vào bảng biến thiên suy ra giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số.
 Nếu :
+ Tìm đạo hàm f/(x) và giải phương trình f/(x) = 0 để tìm các nghiệm : x1, x2, , xn trên đoạn .
+ Tính .
+ So sánh các giá trị vừa tìm, số lớn nhất là và số nhỏ nhất là .
Sử dụng các bất đẳng thức thông dụng : Cauchy, Bunhiacốpxki,
Phần2 CÁC VÍ DỤ
Ví dụ 1. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số sau
	 trên.
	 (Trích ĐTTS vào Đại học Quốc gia Hà Nội, 1997)
Giải
Tập xác định: 
Bảng biến thiên
 x	0	
 y’	-
 y
 -5
Từ bảng biến thiên, ta có:, khi ; , khi .
Ví dụ 2. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số sau
	 trên đoạn .
	 (Trích ĐTTS vào Trường Đại học Huế, 1999)
Giải
Tập xác định: 
Bảng biến thiên
 x -3	 -1	 0	 1 2
 y’ - 0	+ 0	 - 0 +
 66	 3	 11
 y
 2 2	 
Từ bảng biến thiên, ta có:
, khi ; , khi .
Ví dụ 3. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số 
	 (Trích ĐTTS vào Đại học, Cao đẳng, khối B, 2003)
Giải
Tập xác định: 
, 
Bảng biến thiên
 x -2 2
 	 + 0 -
 y
	 	 -2 	2 	
Từ bảng biến thiên ta thấy:
, khi ; , khi .
Ví dụ 4. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số 
	, với 
Giải
Tập xác định: R, 
Bảng biến thiên
 x -2 1 2
 	 + 0 -
 	 1	
 y
Từ bảng biến thiên ta thấy:
, khi ; , khi .
Ví dụ 5. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số 
	 trên đoạn .
	 (Trích ĐTTS vào Đại học, Cao đẳng, khối B, 2004)
Giải
Tập xác định: 
 ; Bảng biến thiên
0
 x 1 
 + 0 -
 y
 0 	 	
Từ bảng biến thiên, ta có:
, khi ; , khi .
Ví dụ 6. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số 
	 trên đoạn .
	 (Trích ĐTTS vào Đại học, Cao đẳng, khối D, 2003)
Giải
Tập xác định: 
 ; ; Bảng biến thiên
 x -1 1 2
 	 + 0 -
 y
	 	 0 	 	
Từ bảng biến thiên ta thấy:
, khi ; , khi .
Ví dụ 7. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số: 
	 (Trích ĐTTS vào Trường Đại học Sư phạm TPHCM, 2000)
Giải
Tập xác định: R
; 
Bảng biến thiên
 x 	-5 
 	 - 	 0 + 0 -
 3 7
 y
	 	 	 3	
Từ bảng biến thiên ta thấy:
, khi ;, khi .
Cách khác
Ta có:
 (1)
Xét :
 phương trình có nghiệm (a)
Xét :
Phương trình (1) có nghiệm x 
 (b)
Từ (a) và (b) ta có miền giá trị của hàm số là: 
Vậy: , .
Ví dụ 8. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
trên đoạn .
Giải
Tập xác định: R
Đặt ; Ta có: , 
; 
Bảng biến thiên
 t 0 1
 	 - 0 +
 	 4	1
 y
Từ bảng biến thiên ta thấy:, khi ;, khi .
Ví dụ 9. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số 
	 trên đoạn .
	 (Trích ĐTTS vào Trường Đại học Cảnh sát Nhân dân, 2001)
Giải
Tập xác định: R
Ta có:
, , Vậy: , khi .
Ví dụ 10. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
	.
	 (Trích ĐTTS vào Trường Đại học Giao thông Vận tải, 1997)
GiảiTập xác định: R. Ta có: 
Phương trình này có nghiệm x . Vậy: .
Ví dụ 11. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số 
trên đoạn .
	 (Trích ĐTTS vào Trường Đại học Kinh tế Quốc dân Hà Nội, 1997)
Giải
Tập xác định:R Xét hàm số ; 
; Ta có: , , 
 Vậy: .
Ví dụ 12. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số 
Giải
Nhận xét: và Do đó:
Đặt .Khi đó:
 ; 
; 
Bảng biến thiên 
 x - -1 
 	 - +
	 	 1	 	
Từ bảng biến thiên, ta có:
; .
Ví dụ 13. Tìm các giá trị của tham số a, b sao cho hàm số
có giá trị lớn nhất bằng 4 và giá trị nhỏ nhất bằng –1.
Giải
Tập xác định: R
Hàm số đạt giá trị lớn nhất bằng 4
	 	 (1)
Hàm số đạt giá trị nhỏ nhất bằng -1
	 	 (2)
Từ (1) và (2) ta có:
 .Vậy giá trị cần tìm là: .
Ví dụ 14. Cho hàm số . Tìm a để giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn đạt giá trị nhỏ nhất.
	 (Trích ĐTTS vào Trường Đại học Lâm nghiệp, 2001)
Giải
Tập xác định: R
Ta có:.Đặt 
Xét hàm số: ;;
Bảng biến thiên
 x -2 -1 1
 	 - 0 +
 	 1	4
	 	 0	 	
Vậy: ;
Ta có: 
Mặt khác:
Vậy giá trị nhỏ nhất của bằng 2 khi .
Ví dụ 15. Có một tấm bìa hình chữ nhật ABCD, cạnh AB = 2 cm, BC = 4 cm, cắt bỏ 4 góc vuông có gạch chéo (như hình vẽ) và xếp theo đường đứt khúc một cái hộp (không có nắp). 
 Hỏi chiều dài cạnh góc vuông bị cắt bỏ là bao nhiêu để cái hộp có dung tích (thể tích) là lớn nhất. Tính thể tích lớn nhất đó.
	 (Trích ĐTTS vào Học viện Ngân Hàng, 1998)
Giải
Gọi x là chiều dài cạnh góc vuông bị cắt bỏ thì hình hộp tạo thành có ba kích thước là:
.	
Điều kiện : 
.Thể tích hình hộp là:
Ta có :
Bảng biến thiên
 x 0 1
 	 + 0 -
 y
Từ bảng biến thiên ta thấy :, khi (cm).	
Ví dụ 16. Một trang chữ của một quyển sách giáo khoa cần diện tích 384 . Lề trên, lề dưới là 3cm; lề phải, lề trái là 2 cm. Tính kích thước tối ưu cho trang giấy.	
Giải
Gọi x, y là hai kích thước của trang chữ thì hai kích thước của trang sách là và .
Ta có :.Diện tích của trang sách là: 
. Theo bất đẳng thức Cauchy, ta có:
, đạt được khi .
Vậy, kích thước tối ưu của trang sách là: 20 cm, 30 cm.
Phần3 ỨNG DỤNG GTLN,GTNN CỦA HÀM SỐ ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH
*Ví dụ1 : Tìm m để phương trình (1) có nghiệm .
HD: (1)
Đặt , ta có pt: (2)
(1) có nghiệm (2) có nghiệm thoả mãn 
Lập bảng biến thiên hàm số trên đoạn [-1; +)
t -1 +
 f(t) - 0 +
 f’(t) -
Vậy pt (1) có nghiệm khi m > -
*Ví dụ2: Tìm m để phương trình sau có nghiệm
	 (1)
HD: (1) 
Đặt , điều kiện ,ta được pt: (2)
Nếu m = 0 thì (1) có nghiệm x = 0.
Nếu thì (1) không có nghiệm x = 0, nên (2) không có nghiệm t = 0
(2)
Xét hàm số trên (0; 1), ta có : 
Bảng biến thiên t 0 1
 f’(t) -
 f(t) 0 
 - 
Căn cứ vào bảng biến thiên pt(2) có nghiệm khi 
 ĐS: 
*Ví dụ 3: Tìm m để phương trình sau có nghiệm 
HD: , chia hai vế pt cho cos, ta được:
Đặt t = tgx, vì , ta được pt: 
Xét hàm số trên (0; 1), ta có : 
Bảng biến thiên t 0 1
 f’(t) +
 f(t) 
 1 
Căn cứ vào bảng biến thiên pt(2) có nghiệm khi 
ĐS: .
Ví dụ4 : Tìm m để pt (1) có nghiệm.
ĐK 
Đặt (*)
Ta có pt (2)
Xét hàm số , dùng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có :, mặt khác 
 Do (*) ta suy ra: t 3 , khi 
Do đó (1) có nghiệm (2) có nghiệm 
Lập bảng biến thiên hàm số trên đoạn 
 t 1 3 3
 f’(t) + 0 - -
 6 
 f(t)	 ĐS: 
Ví dụ5: Tìm a để bpt sau nghiệm đúng với mọi x: x+ a
Giải
Đặt f(x) = x+ ta tìm giá trị lớn nhất của hàm số f(x) trên đoạn , áp dụng bất đẳng thức Bunhi acopxki ta có: (x+ )2 (1+1)(x2 + 1- x2 ) = 2 =>{f(x){ , vậy các giá trị cần tìm của a là : a
Ví du6: ïgiải phương trình: = x4 – 18x2 + 82 (6) 
Giải
Đkxđ : 2 x 4. Ta đặt f(x) = hay =1,
Xét g(x) = x4 – 18x2 + 82 = (x2-9)2 + 1 1, hay = 1 do đó để có pt (6) ta phảicó hệ
giải hệ này ta có nghiệm là x=3 củng là nghiệm của pt đã cho.
BÀI TẬP VẬN DỤNG
Bài1 . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau đây
1) . 	 Đáp số: .
2) . 	 Đáp số: .
3) . 	 Đáp số: .
Bài 2. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau đây
1) . 	 Đáp số: .
2) . 	 Đáp số: .
3) . 	 Đáp số: .
Bài 3. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau đây
1) . 	 Đáp số: , .
2) . 	 Đáp số: , .
Bài 4. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau đây
1) . 	 Đáp số: .
2) . 	 Đáp số: .
3) . 	 Đáp số: .
Bài 5. 1) Cho hàm số . Định k để giá trị nhỏ nhất của hàm số nhỏ hơn – 1. 	 
 Đáp số: .
Tìm các giá trị của a, b để hàm số có giá trị nhỏ nhất bằng 1 và giá trị lớn nhất bằng 3. 	
 	 Đáp số: Vô nghiệm.
Bài 6. 1) Cho trước chu vi hình chữ nhật là , dựng hình chữ nhật có diện tích lớn nhất. 	
 Đáp số: Hình vuông có cạnh bằng 4 (cm).
Trong tất cả các hình chữ nhật có diện tích , hãy xác định hình chữ nhật có chu vi nhỏ nhất. 	 
 Đáp số: Hình vuông có cạnh bằng (m).
Một tấm tôn hình vuông cạnh là a. Người ta phải cắt bỏ bốn hình vuông bằng nhau ở bốn góc để gò thành một bể chứa hình hộp chữ nhật không nắp, cạnh hình vuông cắt đi bằng bao nhiêu thì bể có dung tích lớn nhất. 
 Đáp số: Cạnh hình vuông cắt đi bằng . 
5)Tìm tất cả các giá trị của m sao cho giá trị nhỏ nhất của hàm số không lớn hơn 3. 	 Đáp số: .