Chuyên đề: Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số

CHUYÊN ĐỀ: ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ 
VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ
I. Các kiến thức cơ bản cần nhớ:
1) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
*) Tìm TXĐ D.
*) Tính y’.
*) Tìm các nghiệm của phương trình y’=0 và các điểm mà tại đó y’ không xác định.
*) Tìm 
*) Tìm các tiệm cận đứng, ngang (nếu có).
*) Lập bảng biến thiên và điền đầy đủ các yếu tố.
*) Nêu sự đồng biến,nghịch biến và cực trị (nếu có).
*) Tìm các điểm đặc biệt (giao với trục Ox, giao với trục Oy) và một số điểm.
*) Vẽ đồ thị.
2) Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
Cho hàm số y = f(x).
Dạng 1: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại một điểm M(x0;y0) 
Xác định x0; y0.
Tính y’ sau đó tính y’(x0) hay f’(x0).
Viết phương trình 
Dạng 2: Phương trình tiếp tuyến có hệ số góc k cho trước
Tính y’ suy ra f’(x0).
Giải phương trình f’(x0) = k tìm x0.
Có x0 tìm y0, viết phương trình .
3) Biện luận số nghiệm phương trình dựa vào đồ thị (C ): y=f(x)
- Đưa phương trình về dạng f(x) = A(m).
- Số nghiệm của phương trình là số giao điểm của đồ thị hàm số y = f(x) với đường thẳng y = A(m).
- Vẽ hai đồ thị trên cùng một hệ trục tọa độ và biện luận kết quả.
Lưu ý: Đôi khi bài toán chỉ yêu cầu tìm m để phương trình có 3, 4 nghiệm, ta chỉ trả lời đúng yêu cầu của mỗi bài toán đưa ra.
4) Tìm GTLN, GTNN của hàm số y = f(x) trên [a; b]
	- Nhận xét: Hàm số y = f(x) liên tục trên [a;b].
	- Tính y’.
	- Giải phương trình y’=0 tìm nghiệm xi trên [a;b], tìm xj trên [a;b] sao cho f(xj) không xác định.
	- Tính f(a), f(b), f(xi),
	- So sánh các giá trị và kết luận.
5) Điều kiện để hàm số có cực trị
	- Hàm số đạt cực trị tại x0 thì f’(x0) = 0 (f(x) có đạo hàm tại x0).
	- Nếu y’ là một tam thức bậc hai có biệt thức thì y’ đạt cực trị .
- Nếu  : Hàm đạt cực đại tại 
- Nếu  : Hàm số f(x) đạt cực tiểu tại 
6) Số giao điểm của hai đồ thị hàm số y = f(x) và y = g(x)
 	- Giải phương trình hoành độ giao điểm: f(x) = g(x).
	- Số nghiệm của phương trình là số giao điểm của hai đồ thị đã cho.
II. Các dạng toán luyện tập:
1.Tìm các khoảng đơn điệu và cực trị của hàm số: 
Bài 1: Tìm các khoảng đồng biến hay nghịch biến và cực trị (nếu có) của các hàm số sau:
a) ; b) ; 	c) ; d); e) ; g) .
Hướng dẫn học sinh giải :
* Các bước tìm :
- Nêu TXĐ
- Tính đạo hàm y'
- Xét dấu y' và dựa vào định lý nêu kết luận
Giải
a) 
 TXĐ: 
 Hàm số đồng biến trên .Hàm số không có cực trị.
b) 
TXĐ: 
; 
Dấu của : 
X
 0 2 
y'
 + 0 - 0 + 
Y
 	1
 	-3
Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng . Hàm số nghịch biến trên khoảng .
Hàm số đạt cực đại tại x = 0, = 1. Hàm số đạt cực tiểu tại x =2, -3
c) 
TXĐ: 
; 
Dấu của y' : 
x
 -1 0 1 
y'
 - 0 + 0 - 0 + 
y
	3
 2 	2
Hàm số đồng biến trên các khoảng .
Hàm số nghịch biến trên các khoảng .
Hàm số đạt cực đại tại x = 0, = 3. Hàm số đạt cực tiểu tại x = -1, x =1, 2
d) 
TXĐ : 
Hàm số đồng biến trên các khoảng .
e) 
TXĐ: 
; 
Dấu của y' : 
x
0 1 2
y'
|| + 0 - ||
y
	1
Vậy hàm số đồng biến trên khoảng và nghịch biến trên khoảng .
Hàm số đạt cực đại tại x=1, =1
g) .
TXĐ : 
.
Dấu của y' : 
x
 0 
y'
 - 0 + 
y
 	1
Hàm số nghịch biến trên khoảng và đồng biến trên khoảng .
Hàm số đạt cực tiểu tại x = 0 , 1
Bài 2: Tìm các giá trị của tham số m để hàm số nghịch biến trên khoảng .
Giải :
TXĐ: 
Để hàm số nghịch biến trên khoảng , thì 
Xét hàm số trên , ta có 
x
1 2 3
f'(x)
 - 0 + 
f(x)
-3 -3
 - 4
Để thì .
Bài 3: Cho hàm số .Tìm để hàm số có cưc trị 
Giải :
TXĐ: D = R.
Hàm số có cực trị có hai nghiệm phân biệt.
Xét 
Vậy với thì phương trình y’=0 có hai nghiệm phân biệt. Hay với thì hàm số có cực trị
Bài 4: Cho hàm số , m là tham số. Xác định m để hàm số đạt cực tiểu tại điểm x = 2.
Giải : TXĐ : R.
Cách 1: y’ = 3x2 – 2mx
Hàm số đạt cực tiểu tại x =2 nên y’(2) = 0 .
Với m = 3, ta có hàm số : y = x3 - 3x2 + 2
y’ = 3x2 – 6x; y’ = 0 khi x = 0, x = 2
x
 0 2 
y'
 + 0 - 0 +
 hàm số đạt cực tiểu tại x = 2.
 Vậy m = 3 là giá trị cần tìm.
Cách 2:
.
TH1: trong trường hợp này không thoả mãn.
TH2: :
Hàm số đạt cực tiểu tại x = 2 .
Vậy m = 3 là giá trị cần tìm.
3. Tìm GTLN-GTNN của hàm số :
Bài 5: Tìm GTLN, GTNN của các hàm số:
a) trên [ -2;2] ;	 b) trên 
c) ; d) trên khoảng (0; )
Giải :
a) 
Do đó .
b) trên 
Đặt , với . Thay vào hàm số ta được hàm 
 với . 
Vậy .
c) 
TXĐ: 
.
.
d) , 
x
 1 +
y'
 || - 0 +
y
+	+
Hàm số có giá trị nhỏ nhất bằng đạt được khi x = 1.
Hàm số không có giá trị lớn nhất.
4. Khảo sát hàm số và bài toán liên quan: 
Bài 6: Cho hàm số 
Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số trên.
Dựa vào đồ thị biện luận theo m số nghiệm của phương trình .
Bài giải
a)
TXĐ: D = R.
Dấu của : 
x
 0 2 
y'
 - 0 + 0 -
Hàm số đồng biến trên (0 ; 2); hàm số nghịch biến trên và .
Hàm số đạt cực đại tại x = 2, yCĐ = 3; hàm số đạt cực tiểu tại x = 0, yCT = -1.
Giới hạn: 
Bảng biến thiên:
Điểm đặc biệt: (0;-1), (-1; 3), (3; -1), (1; 1)
Đồ thị:
b)
Số nghiệm của phương trình là số giao điểm của đồ thị hàm số với đường thẳng y = m – 1.
Vậy:
: Phương trình có 1 nghiệm.
: Phương trình có 2 nghiệm.
: Phương trình có 3 nghiệm.
:Phương trình có 2 nghiệm.
: Phương trình có 1 nghiệm.
Bài 7: Cho hàm số có đồ thị (C ).
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C ).
Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có hoành độ x0 = 2.
Bài giải
a) .TXĐ: D = R.
Dấu của : 
x
 -1 0 1 
y'
 - 0 + 0 - 0 + 
Hàm số đồng biến trên các khoảng (-1; 0) và (1; ); hàm số nghịch biến trên các khoảng (; 0) và (0;1).
Hàm số đạt cực đại tại x = 0, yCĐ = 0; hàm số đạt cực tiểu tại , yCT = -1.
Giới hạn: 
Bảng biến thiên: 
Điểm đặc biệt: 
Đồ thị:
b)
Hàm số với x0 = 2 thì 
Phương trình tiếp tuyến:
Bài 8: Cho hàm số có đồ thị (C).
Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (C).
Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại giao điểm của (C) với trục tung.
Bài giải
a)
TXĐ: 
Hàm số luôn nghịch biến trên từng khoảng xác định.
Giới hạn: , 
Vậy: y = 1 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
	 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
Bảng biến thiên:
Hàm số không có cực trị.
Điểm đặc biệt: 
Đồ thị: 
b)
Tại giao điểm với trục tung thì x0 = 0, 
Phương trình tiếp tuyến:
Bài 9: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C) trong các trường hợp:
a) biết tiếp tuyến có hệ số góc bằng 9.
b) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y = 24x.
c) biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng 
Bài giải
a)
Hệ số góc k = 9 
Với x0 = 2
Phương trình tiếp tuyến: 
Với x0 = -2
Phương trình tiếp tuyến: 
Vậy có hai phương trình tiếp tuyến: và .
b)
Tiếp tuyến song song với đường thẳng y = 24x nên có hệ số góc k = 24.
Phương trình tiếp tuyến:
c)
Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng nên có hệ số góc k = -2.
Với Phương trình tiếp tuyến:
Với phương trình tiếp tuyến: 
Vậy có hai tiếp tuyến cần tìm: và .
Bài 10: Cho hàm số có đồ thị (C)
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C).
Dựa vào đồ thị (C) tìm m để phương trình có 4 nghiệm phân biệt.
Bài giải
a)
	Thực hiện các bước tương tự như bài tập 2, ta được đồ thị hàm số sau:
b)
Số nghiệm của phương trình là số giao điểm của đồ thị (C) với đường thẳng y = .
Dựa vào đồ thị , phương trình có 4 nghiệm phân biệt 
Bài 11: Cho hàm số có đồ thị (C).
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C).
Chứng minh rằng với mọi giá trị của m, đường thẳng y = x – m luôn cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt.
Bài giải
a)
	Thực hiện tương tự các bước khảo sát bài 3, ta có đồ thị (C) như sau:
b)
Đường thẳng y = x – m cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình có hai nghiệm phân biệt.
Xét phương trình: 
	Có 
Vậy với mọi m thì đường thẳng y = x – m cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt.
III. Bài tập tự luyện
Bài 1: Lập bảng xét dấu đạo hàm y’ và kết luận tính đồng biến, nghịch biến và cực trị của các hàm số sau:
 1. y= x3-3x+5
 3. y= x3+x2-3
 5. y= x4-2x2
2. y= -x3+3x2-1
4. y= -x3+2x2-3x
6. y= -x4+2x2
7. y=
Bài2: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số:
y= x2-4x+3
 3. y = x3+3x2-9x-7 trên đoạn [-4;3] 
 5. y= x4-2x2 trên đoạn [0;2]
 7. y= trên đoạn [-2;1]
 9.  trên đoạn [0;π]	
2. y = -x2+6x-1
4. y= -3x2+4x-8 trên đoạn [0;1]
6. y = trên khoảng (-1;3)
8. y= trên đoạn [-1;1] 10., xÎ[0;π/2]
Bài 3. 
Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số y=x3+3x2+1
Dựa vào đồ thị (C) biện luận số nghiệm của phương trình x3+3x2+1-m=0
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bỡi (C) , Ox và 2 đường thẳng x=-2, x=0
Bài 4.
Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số y=-x3+3x+1
Dựa vào đồ thị (C) biện luận số nghiệm của phương trình x3-3x+m-1=0
Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ bằng 1
Bài 5.
Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số y= -x3+3x2-4x+2
Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ x0, biết rằng y”(x0)=0
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) , Ox và Oy
Bài 6. 
Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số y = x3-3x+1
Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại giao điểm của nó với trục tung
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bỡi (C), x’Ox và 2 đường thẳng x=0, x=1
Bài 7. 
a. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số y = x3 – 3x +5
b. Dùng đồ thị (C), biện luận theo k số nghiệm của phương trình: 
 x3 – 3x – k +4 = 0
c. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và đường thẳng (D): y = 3.
Bài 8. 
Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số y = -x3+3x2-2
Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ bằng -1
Tính thể tích vật thể tròn xoay được sinh ra bỡi hình phẳng giới hạn bỡi (C), Ox, x =1, x =2 quay quanh Ox
Bài 9. 
Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số y=x4-2x2+1
Tìm m để phương trình x4-2x2 = có 4 nghiệm phân biệt.
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bỡi (C) và trục hoành
Bài 10.a. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số y = .
	b.Cho điểm A có hoành độ thuộc (C).Viết PT tiếp tuyến của (C) tại A.
Bài 11: Cho hàm số 
Định m để hàm số đồng biến trên TXĐ.
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị với m = 1.
Bài 12:Cho hàm số 
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho.
Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đường thẳng cắt đồ thị của hàm số đã cho tại hai điểm phân biệt.
Bài 13: Cho hàm số có đồ thị (Cm).
Tìm m để đồ thị hàm số đi qua điểm M(-1;4).
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = -2.
Tìm m để hàm số có cực đại và cực tiểu.
Bài 14: Cho hàm số 
Khảo sát hàm số.
Cho đường thẳng d có phương trình 2x-y+m = 0. CMR d luôn cắt đồ thị hàm số tại hai điểm A, B phân biệt với mọi m. Tìm m để AB ngắn nhất.