Chuyên đề Tỷ số thể tích và ứng dụng

Chuyên đề THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN Luyện thi Đại học 2013 
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO beckbo1210@yahoo.com Tổ Toán THPT Phong Điền 1 
H' HB'
A'
B
A
O
H' H
C'
B'
A'
C
B
A
S
Chủ đề 2: TỶ SỐ THỂ TÍCH VÀ ỨNG DỤNG 
I- CÁC KẾT QUẢ QUAN TRỌNG: 
Kết quả 1: Cho tam gi¸c , trªn c¹nh chän ' , trªn c¹nh chän ' . OAB OA A O OB B O¹ ¹ 
Lóc ®ã: ' '
' '
 . OA B
OAB
S OA OB
S OA OB
= 
Chøng minh: 
= =' '
Gäi H, H' lÇn l­ît lµ h×nh chiÕu vu«ng gãc cña A vµ A' lªn OB.
1 1
Lóc ®ã: ' '. ' vµ .
2 2OA B OAB
S A H OB S AH OB
 ( )= =' '
Suy ra:
' ' ' ' '
 . . §Þnh lý thalesOA B
OAB
S A H OB OA OB
S AH OB OA OB
Kết quả 2: 
Cho h×nh chãp . , trªn c¹nh chän ' , trªn c¹nh chän ' trªn c¹nh S 
chän ' . 
S ABC SA A O SB B O C
C O
¹ ¹
¹
Lóc ®ã: . ' ' '
.
' ' '
 . . S A B C
S ABC
V SA SB SC
V SA SB SC
= 
Chøng minh: 
Gäi H, H' lÇn l­ît lµ h×nh chiÕu vu«ng gãc cña A vµ A' lªn mp( ). 
Lóc ®ã: 
SBC
( )
. ' ' ' ' ' .
. ' ' ' ' '
.
1 1
' '. vµ V .
3 3
 Suy ra:
' ' ' ' '
 . . . §Þnh lý thales
V
S A B C SB C S ABC SBC
S A B C SB C
S ABC SBC
V A H S AH S
V SA H SA SB SC
AH S SA SB SC
= =
= =
II- CÁC KỸ THUẬT CƠ BẢN: 
Kỹ thuật 1: KẺ ĐƯỜNG PHỤ 
Bài tập 1: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy AB a= , cạnh bên SA hợp với 
mặt đáy (ABCD) một góc bằng 600. 
a. Tính thể tích khối chóp S.ABCD. 
b. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SB, SD. Mặt phẳng (AMN) cắt SC tại E. 
Tính thể tích của khối chóp S.AMEN. 
Gợi ý: 
1
2
SM SN SI
SB SD SO
= = = 
¾¾® Qua O dựng OK // AE. 
Xét tam giác AEC: 1
2
//OK AE
OK AE
ìï
í =ïî
Suy ra: K là trung điểm EC. 
KI
600 O
E
M
N
S
D C
B
A
Chuyên đề THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN Luyện thi Đại học 2013 
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO beckbo1210@yahoo.com Tổ Toán THPT Phong Điền 2 
Xét tam giác SOK: 1
2
//IE OK
IE OK
ìï
í =ïî
Suy ra: E là trung điểm SK. Vậy 1
3
SE
SC
= 
Ta có: 2 1 1 1 1
2 2 3 6 6
. .
. .
. .
. . .S AMEN S AME S AMEN S ABCD
S ABCD S ABC
V V SA SM SE
V V
V V SA SB SC
= = = = Þ = 
Bài tập 2: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh bên SA a= , cạnh bên SA hợp với 
mặt đáy (ABC) một góc bằng 600. 
a. Tính thể tích của khối chóp S.ABC theo a . 
b. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC, SM. Mặt phẳng (ABN) cắt SC tại E. 
Tính thể tích của khối chóp S.ABE theo a . 
Gợi ý: 
¾¾® Qua M dựng MK // BE. 
Xét tam giác BEC: 1
2
//MK BE
MK BE
ìï
í =ïî
Suy ra: K là trung điểm EC. 
Xét tam giác SMK: 1
2
//NE MK
NE MK
ìï
í =ïî
Suy ra: E là trung điểm SK. 
Vậy 1
3
SE
SC
= 
Ta có: 1 1
3 3
= = Þ =. . .
.
. .S ABE S ABE S ABC
S ABC
V SA SB SE
V V
V SA SB SC
Kết quả: 
33
32
=.S ABE
a
V (đ.v.t.t) 
Cách khác: 
Chọn B là đỉnh thì mặt đáy của chóp S.ABC và S.ABE tương ứng là (ABC), (ABE). 
 Để ý: ( ).
1 d ,( .
3S ABC ABC
V B ABC SD= và ( ).
1 d ,( .
3S ABE ABE
V B ABE SD= 
Suy ra: ( )
( )
1 1
3 3
D D
D D
= = = = Þ =. . .
.
d ,( .
.
d ,( .
ABES ABE ABE
S ABE S ABC
S ABC ABC ABC
B ABE SV S AB AE
V V
V B ABC S S AB AC
và đưa ra được kết quả như trên. 
Bài tập 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Trên các cạnh SB, 
SC ta lấy lần lượt các điểm M, N sao cho SM 2
SB 3
= và SN 1
SC 2
= . 
 a) Mặt phẳng (AMN) cắt cạnh SD tại điểm P. Tính tỷ số SP
SD
. 
 b) Mặt phẳng (AMN) chia hình chóp S.ABCD thành hai phần. Tìm tỉ số thể tích 
 của hai phần đó. 
K
E
N
M
600
C
B
A
S
Chuyên đề THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN Luyện thi Đại học 2013 
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO beckbo1210@yahoo.com Tổ Toán THPT Phong Điền 3 
Gợi ý: 
a) Gọi O AC BD= Ç . Trong tam giác SAC, các trung tuyến SO và AN cắt nhau ở I là trọng tâm 
của tam giác nên có 
2
3
SI
SO
= . Suy ra 
2
//
3
SM SI
IM BD
SB SO
= = Þ . 
Trong tam giác SBD, IM cắt SD tại P chính là giao điểm của (AMN) với SD. 
Suy ra 
2 2
3 3
SP SM SP
SD SB SD
= = Þ = . 
b) O là trung điểm của BD và IM // BD nên 
I là trung điểm của PM, suy ra: 
;ABC ACD AMN APNS s S S= = 
Do đó: 
 . .
. .
2 2 1 1
. . 1
2 3 2 3
S AMPN S AMN
S ABCD S ABC
V V SA SM SN
V V SA SB SC
= = = ´ ´ = 
.
. . .
1 2 1
3 3 2
S AMNP
S AMNP S ABCD ABCDMNP S ABCD
ABCDMNP
V
V V V V
V
Þ = Þ = Þ = 
Kỹ thuật 2: TÍNH TRỰC TIẾP CÁC TỈ SỐ 
Bài tập 1: Cho hình chóp S.ABC có ABCD vuông tại B có 3 4 cm, cmAB BC= = , cạnh 
bên ( )SA ABC^ và 4 cmSA = . Gọi (P) là mặt phẳng qua A và vuông góc với SC; 
mặt phẳng (P) cắt SC và SB lần lượt tại D và E. 
 a. Chứng minh: ( )AE SBC^ . 
 b. Tính thể tích khối chóp S.ADE. 
Gợi ý: 
a) Chứng minh: ( )AE SBC^ . 
Ta có ( )
^ì Þ ^í ^î
BC AB
BC SAB
BC SA
Suy ra: ^BC AE (1) 
( )^ Þ ^ (2)SC ADE SC AE 
Từ (1) và (2) suy ra: ( )AE SBC^ (đ.p.c.m) 
b) Tính thể tích khối chóp S.ADE. 
Xét SABD vuông tại A. 
Ta có: 2.SE SB SA= 
æ öÞ = = =ç ÷è ø
2
2
. 16
25
SE SE SB SA
SB SBSB
Tương tự, trong SACD vuông tại A. 
 æ öÞ = = =ç ÷è ø
2
2
. 16
41
SD SD SC SA
SC SCSC
D
E
C
B
A
S
B
E
S
A
I
P
N
M
S
A B
CD O
Chuyên đề THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN Luyện thi Đại học 2013 
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO beckbo1210@yahoo.com Tổ Toán THPT Phong Điền 4 
Suy ra: = =.
.
256. .
1025
S ADE
S ABC
V SA SD SE
V SA SB SC
Nên: = = » 3. .
256 256. .8 2 cm
1025 1025S ADE S ABC
V V 
Bài tập 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a; SA ^ (ABCD), SA = 2 a . 
Gọi B’, D’ là hình chiếu của A trên SB, SD. Mặt phẳng (AB’D’) cắt SC tại C’. Tính thể tích 
khối chóp S.AB’C’D’. 
Gợi ý: 
* Tính thể tích khối chóp S.AB’C’D’: 
Nhận xét rằng: 
 . . . ' ' ' . ' ' . ' '
. ' ' ' . ' ' . . .
2 2 ' ' ' '. . . (*)
2 2
S ABCD S ABD S AB C D S AB D S AB D
S AB C D S AB D S ABCD S ABD S ABD
V V V V V SA SB SD SB SD
V V V V V SA SB SD SB SD
=ì
Þ = = = =í =î
Tính 'SB
SB
: Xét SABD vuông tại A. 
Ta có: 2'.SB SB SA= 
æ öæ öÞ = = = =ç ÷ç ÷ ç ÷è ø +è ø
22
2 2 2
' '. 4
5
SB SB SB SA SA
SB SBSB SA AB
Tương tự, trong SADD vuông tại A. 
 æ öÞ = = =ç ÷è ø
2
2
' '. 4
5
SD SD SD SA
SD SDSD
Suy ra, (*) trở thành: 
3
. ' ' '
. ' ' ' .
.
16 16 16 1 32. . .
25 25 25 3 75
S AB C D
S AB C D S ABCD ABCD
S ABCD
V aV V SA S
V
= Û = = = (đ.v.t.t) 
O
I
D'
B'
C'
D
S
A B
C
A
S
B'
B
Chuyên đề THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN Luyện thi Đại học 2013 
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO beckbo1210@yahoo.com Tổ Toán THPT Phong Điền 5 
III- ĐỊNH HƯỚNG CÁC ỨNG DỤNG CỦA TỈ SỐ THỂ TÍCH: 
DẠNG TOÁN 1: TÍNH TỈ SỐ THỂ TÍCH CỦA CÁC KHỐI ĐA DIỆN 
Bài tập 1: Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M là trung điểm 
của CD và I là giao điểm của AC và BM. Tính tỉ số thể tích của hai khối chóp S.ICM và 
S.ABCD. 
Bài giải: 
Gọi O là giao điểm của AC và BD. 
Ta có I là trọng tâm của tam giác BCD. 
Do đó: 
. .
1 1 1 1 1 1
. . .
3 3 2 3 2 2ISCM B SCM DSBC S ABCD
V V V V= = = 
Vậy 
.
1
12
ISCM
S ABCD
V
V
= . 
Bài tập 2: Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi B’, D’ lần lượt là 
trung điểm SB và SD. Mặt phẳng (AB’D’) cắt SC tại C’. Tính tỉ số thể tích của hai khối 
chóp được chia bởi mp(AB’D’). 
Bài giải: 
Gọi O là giao điểm của AC và BD và gọi I là giao điểm của SO và B’D’. Khi đó AI cắt SC 
tại C’. 
Ta có: 
. ' '
.
' ' 1 '
. .
2
S AB C
S ABC
V SB SC SC
V SB SC SC
= = và . ' '
.
' ' 1 '
. .
2
S AC D
S ACD
V SC SD SC
V SC SD SC
= = 
Suy ra: 
( ). ' ' . ' ' . . .
1 ' 1 '
. .
2 2S AB C S AC D S ABC S ACD S ABCD
SC SC
V V V V V
SC SC
+ = + = . 
Kẻ OO’ // AC’ ( )'O SCÎ . Do tính chất các đường thẳng 
song song cách đều nên ta có ' ' ' 'SC C O O C= = . 
Do đó . ' ' ' .
1 1
.
2 3S AB C D S ABCD
V V= hay . ' ' '
.
1
6
S AB C D
S ABCD
V
V
= . 
Bài tập tự luyện: 
Bài tập 1: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a, H là trực tâm của đáy. 
Gọi I, J, K lần lượt là trung điểm của SI, SJ, SK. Tính tỉ số thể tích của hai khối chóp 
H.MNP và S.ABC. Từ đó tính thể tích khối chóp H.MNP. 
 Đáp số: .
.
1
32
H MNP
S ABC
V
V
= 
Bài tập 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Mặt phẳng ( )a qua 
AB, cắt SC, SD lần lượt tại M và N. Tính SM
SC
 để mặt phẳng ( )a chia hình chóp thành hai 
phần có thể tích bằng nhau. 
 Đáp số: 3 1
2
SM
SC
-
= 
I
M
O
D
CB
S
A
C'
D'
B'
O'
A
S
B C
D
O
I
Chuyên đề THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN Luyện thi Đại học 2013 
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO beckbo1210@yahoo.com Tổ Toán THPT Phong Điền 6 
DẠNG TOÁN 2: 
ỨNG DỤNG TỈ SỐ THỂ TÍCH ĐỂ TÍNH THỂ TÍCH CỦA CÁC KHỐI ĐA 
DIỆN 
Bài tập 1: (ĐH B- 2008) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A 
và B, ( ) , 2 , AB BC a AD a SA ABCD= = = ^ và 2 .SA a= Gọi M, N lần lượt là trung điểm 
của SA và SD. Tính thể tích khối chóp S.BCNM theo .a 
Bài giải: 
Ta có: .
.
1
2
S BCM
S BCA
V SM
V SA
= = và .
.
1
.
4
S CMN
S CAD
V SM SN
V SA SD
= = 
Suy ra: . . . . .
1 1
2 4S BCNM S BCM S CNM S BCA S CAD
V V V V V= + = + 
3 3 3
6 6 3
a a a
= + = (đ.v.t.t) 
Bài tập 2: (ĐH A- 2007) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , 
mặt bên SAD là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng với đáy. Gọi M, N, P lần lượt là 
trung điểm của các cạnh SB, BC, CD. Tính thể tích khối tứ diện CMNP theo a . 
Bài giải: 
Ta có: 1. (1)
4
CMNP
CMBD
V CN CP
V CB CD
= = 
.
.
1
 (2)
2
CMBD M BCD
CSBD S BCD
V V MB
V V SB
= = = 
Lấy (1) nhân (2) vế theo vế ta có: 
.
.
1 1
8 8
CMNP
CMNP S BCD
S BCD
V
V V
V
= Þ = . 
Gọi H là trung điểm của AD, 
ta có SH AD^ , mà ( ) ( )SAD ABCD^ nên ( )SH ABCD^ . 
Do đó: 
3
2
.
1 1 3 1 3
. . .
3 3 2 2 12S BCD BCD
a a
V SH S aD= = = . 
Vậy 
33
.
96CMNP
a
V = 
Bài tập 3: (ĐH D- 2006) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a , 
2SA a= và SA vuông góc với đáy. Gọi M, N lần lượt là hình chiếu của A trên SB và SC. 
Tính thể tích khối tứ diện A.BCMN theo a . 
Bài giải: 
Ta có: .
.
.S AMN
S ABC
V SM SN
V SB SC
= 
AM và AN lần lượt là đường cao của các tam giác SAB và SAC. Do SAB SACD = D , nên ta 
có: 
2 2
2 2
4 4
4
5
SM SA a SM
MB AB a SB
= = = Þ = . 
NM
S
B
A
C
D
H
P
N
A
S
B
CD
M
S
A C
N
M
B 
Chuyên đề THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN Luyện thi Đại học 2013 
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO beckbo1210@yahoo.com Tổ Toán THPT Phong Điền 7 
Tương tự: 4
5
SN
SC
= 
Do đó: . . . .
4 4 16 9
. .
5 5 25 25S AMN S ABC A BCNM S ABC
V V V V= = Þ = 
Mà 
3
.
1 3
.
3 6S ABC ABC
a
V SA SD= = suy ra: 
3
.
3 3
50A BCNM
a
V = (đ.v.t.t) 
Bài tập 4: (ĐH B- 2006) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với 
,AB SA a= = 2AD a= và SA vuông góc với đáy. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD 
và SC, gọi I là giao điểm của BM và AC. Tính thể tích khối tứ diện ANIM theo a . 
Bài giải: 
Gọi O là giao điểm của tam giác ABC, do đó: 2 1
3 3
AI AI
AO AC
= Þ = 
nên 1 1 1. .
3 2 6
AIMN
ACDN
V AI AM
V AC AD
= = = (1) 
Mặt khác 1
2
ACDN
ACDS
V NC
V SC
= = (2) 
Từ (1) và (2) suy ra: 1
12
AIMN
ACDS
V
V
= . 
Mà 
31 2
.
3 6SACD ACD
a
V SA SD= = . Vậy 
31 2
.
12 72AIMN ACDS
a
V V= = (đ.v.t.t) 
Bài tập 5: (ĐH D- 2010) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , 
cạnh bên SA a= , hình chiếu vuông góc của đỉnh S trên mặt phẳng (ABCD) là điểm H 
thuộc đoạn AC sao cho 
4
AC
AH = . Gọi CM là đường cao của tam giác SAC. Chứng minh 
rằng M là trung điểm của SA và tính thể tích khối tứ diện SMBC theo a . 
Bài giải: 
Từ giả thiết, ta tính được 
2 14 3 2
, , , 2
4 4 4
a a a
AH SH CH SC a SC AC= = = = Þ = . 
Do đó, tam giác SAC cân tại C nên M là trung điểm của SA. 
Ta có: . . .
.
1 1
.
2 2
S MBC
S MBC S ABC
S ABC
V SM
V V
V SA
= = Û = . 
Ta có: 
3
.
1 14
.
3 24S ABC ABC
a
V SH SD= = 
Do đó: 
3
. .
1 14
.
2 48S MBC S ABC
a
V V= = (đ.v.t.t). 
Bài tập tự luyện: 
Bài tập 1: Cho khối tứ diện ABCD có 090ABC BAD= = , 0120CAD = , , 2 , AB a AC a= = 
3 .AD a= Tính thể tích khối tứ diện ABCD theo a . 
 Đáp số: 
32
2ABCD
a
V = 
N
A
S
B C
D
O
M
I
A
S
B C
D
O
M
H
Chuyên đề THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN Luyện thi Đại học 2013 
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO beckbo1210@yahoo.com Tổ Toán THPT Phong Điền 8 
Bài tập 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , cạnh bên SA 
vuông góc với đáy và 2SA a= . Gọi B’, D’ lần lượt là hình chiếu của A trên SB và SD. Mặt 
phẳng (AB’D’) cắt SC tại C’. Tính thể tích khối chóp S.A’B’C’D’ theo a . 
 Đáp số: 
3
. ' ' ' '
16
45S A B C D
a
V = 
Bài tập 3: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a . Gọi M, P lần 
lượt là trung điểm của SA và SC. Mặt phẳng (DMP) cắt SB tại N. Tính theo a thể tích khối 
chóp S.DMNP. 
 Đáp số: 
3
.
2
36S DMNP
a
V = 
Bài tập 4: (ĐH B- 2010) Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có ,AB a= góc giữa 
hai mặt phẳng (A’BC) và (ABC) bằng 060 . Gọi G là trọng tâm tam giác A’BC. Tính thể 
tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện GABC theo a . 
 Đáp số: 
3
. ' ' '
3 3
8ABC A B C
a
V = và 7 .
12
a
R = 
DẠNG TOÁN 1: TÍNH TỈ SỐ THỂ TÍCH ĐỂ TÍNH KHOẢNG CÁCH 
Bài tập 1: (ĐH D- 2002) Cho tứ diện ABCD có AD vuông góc với mặt phẳng (ABC), 
4 cm,AD AC= = 3 cm, 5 cmAB BC= = . Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BCD). 
Bài giải: 
Ta có: 2 2 2AB AC BC ABC+ = Û D vuông tại A. 
Do đó: 31 . . 8 cm
6ABCD
V AB AC AD= = . 
Mặt khác 4 2 cm, 5 cm.CD BD BC= = = 
Nên BCDD cân tại B, gọi I là trung điểm của CD. 
21 . 2 34 cm
2BCD
S DC BIDÞ = = 
Ta có: ( )( ) ( )( ) 31 6 34d , . d , cm
3 17
ABCD
ABCD BCD
BCD
V
V A BCD S A BCD
SD D
= Û = = 
Bài tập 2: (ĐH D- 2007) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang, 
090 ,ABC BAD= = 2 , AD a BA BC a= = = , cạnh bên SA vuông góc với đáy và 2SA a= . 
Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên SB. CMR: Tam giác SCD vuông và tính theo a 
khoảng cách từ H đến mặt phẳng (SCD). 
Bài giải: 
Ta có: .
.
S HCD
S BCD
V SH
V SB
= . 
Tam giác SAB vuông tại A và AH là đường cao 
nên 
2 2
2 2
2 2
2 .
3
SH SA a SH
HB AB a SB
= = = Þ = 
Vậy 
2 3
. .
2 2 1 2
. . 2.
3 3 3 2 9S HCD S BCD
a a
V V a= = = 
I
A B
C
D
D
C
A
B
S
H
Chuyên đề THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN Luyện thi Đại học 2013 
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO beckbo1210@yahoo.com Tổ Toán THPT Phong Điền 9 
Mặt khác ( )( ). 1 d , .3S HCD SCDV H SCD SD= 
( )( ) .d , S HCD
SCD
V
H SCD
SD
Û = (*) 
Ta có SCDD vuông tại C do 2 2 2AC CD AD+ = 
21 1. . 2.2 2
2 2SCD
S CD SC a a aDÞ = = = . 
Thay vào (*) ta được: ( )( )
3
.
2
3 2
d ,
39 2
S HCD
SCD
V a a
H SCD
S aD
= = = . 
Bài tập 3: (ĐH D- 2008) Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông, 
, AB BC a= = ' 2AA a= . Gọi M là trung điểm của BC. Tính theo a khoảng cách giữa hai 
đường thẳng AM và B’C. 
Bài giải: 
Gọi M là trung điểm của BB’, ta có EM // CB’. 
Suy ra: B’C // (AME) nên ( ) ( )( ) ( )( )d ' , d ' , d ,B C AM B C AME C AME= = . 
Ta có 
2 3
.
. .
.
1 1 1 1 2 2
. . .
2 2 2 3 2 2 24
C AEM
C AEM C AEB
C AEB
V MC a a a
V V
V CB
= = Þ = = = . 
suy ra ( )( ) ( )( ) .. 31 d , . d ,3
C EAM
C EAM EAM
EAM
V
V C EAM S C EAM
SD D
= Û = (*) 
Gọi H là hình chiếu vuông góc của B trên AE, ta có .AE HM^ 
Hơn nữa ( )BM ABE BM AE^ Þ ^ , nên ta được .AE HM^ 
Mặt khác 6 , 
2
a
AE ABE= D vuông tại B 
nên 
2 2 2 2
1 1 1 3 3
3
a
BH
BH AB EB a
= + = Û = . 
Tam giác BHM vuông tại B nên 
2 2 21
4 3 6
a a a
MH = + = . 
Do đó 
21 1 6 21 14
. . .
2 2 2 6 8AEM
a a a
S AE HMD = = = . 
Thay vào (*) ta được: ( )( ) . 7d ,
7
C EAM
EAM
V a
C EAM
SD
= = . 
Vậy ( ) 7d ' , .
7
a
B C AM = 
Bài tập 4: Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có độ dài cạnh bên bằng 2a , đáy ABC là tam giác 
vuông tại A, , 3AB a AC a= = và hình chiếu vuông góc của A’ trên mặt phẳng (ABC) 
trùng với trung điểm của BC. Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BCC’B’) theo .a 
Bài giải: 
Theo giả thiết ta có ( )'A H ABC^ . 
Tam giác ABC vuông tại A và AH là trung tuyến nên 1
2
AH BC a= = . 
H
E
M
C'
B'
A'
B
A C
Chuyên đề THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN Luyện thi Đại học 2013 
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO beckbo1210@yahoo.com Tổ Toán THPT Phong Điền 10 
Tam giác A’AH vuông tại H nên ta có 2 2' ' 3A H A A AH a= - = . 
Do đó 
3
'.
1 . 3
. 3.
3 2 2A ABC
a a a
V a= = . 
Mặt khác 
3
3'.
'. ' ' . ' ' '
. ' ' '
1 2 2
.3.
3 3 3 2
A ABC
A BCC B ABC A B C
ABC A B C
V a
V V a
V
= Þ = = = . 
Ta có ( )( )' . ' ' ' '1 d ', ' ' .3A BCC B BCC BV A BCC B S= 
( )( ) ' . ' '
' '
3
d ', ' ' A BCC B
BCC B
V
A BCC B
S
Û = (*) 
Vì ' ' ' ' ' 'AB A H A B A H A B H^ Þ ^ Þ D vuông tại A’. 
Suy ra 2 2' 3 2 ' 'B H a a a BB BB H= + = = Þ D cân tại B’. Gọi K là trung điểm của BH, ta 
có 'B K BH^ suy ra 2 2 14' '
2
a
B K BB BK= - = . 
Ta có: 2' '
14
' '. 2 . 14
2BCC B
a
S B C BK a a= = = . 
Thay vào (*) ta được: ( )( )
3
'. ' '
2
' '
3 3 3 14
d ', ' '
1414
A BCC B
BCC B
V a a
A BCC B
S a
= = = . 
Bài tập tự luyện: 
Bài tập 1: (ĐH D- 2009) Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông 
tại B, ,AB a= ' 2 , ' 3AA a A C a= = . Gọi M là trung điểm của A’C’, I là giao điểm của AM 
và A’C. Tính theo a thể tích khối tứ diện IABC và khoảng cách từ A đến mp(IBC). 
 Đáp số: 
34
9IABC
a
V = và ( )( ) 2 5d ,
5
a
A IBC = 
Bài tập 2: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có ' , 2AA AB a BC a= = = , điểm M 
thuộc cạnh AD sao cho 3AM MD= . Tính khoảng cách từ M đến mp(AB’C). 
 Đáp số: ( )( )d , '
2
a
M AB C = 
Bài tập 3: Cho tứ diện ABCD có DA vuông góc với mp(ABC), góc 090 .ABC = Tính 
khoảng cách từ A đến mp(BCD) nếu , .AD a AB BC b= = = 
 Đáp số: ( )( )
2 2
d ,
ab
A BCD
a b
=
+
Bài tập 4: Cho tứ diện đều ABCD, biết AB a= , M là 1 điểm thuộc miền trong của tứ diện. 
Tính tổng khoảng cách từ M đến các mặt của tứ diện. 
 Đáp số: 1 2 3 4
3 6
3
ABCD
ACD
V a
h h h h
SD
+ + + = = 
Bài tập 5: Cho tứ diện ABCD và điểm M là 1 điểm thuộc miền trong của tứ diện. Gọi 
1 2 3 4, , , r r r r lần lượt là khoảng cách từ M đến các mặt (BCD), (CDA), (DAB), (ABC). Gọi 
1 2 3 4, , , h h h h lần lượt là khoảng cách từ các đỉnh A, B, C, D đến các mặt đối diện. 
Chứng minh: 1 2 3 4
1 2 3 4
1
r r r r
h h h h
+ + + = . 
K
H
A'B'
C'
A
B
C 
Chuyên đề THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN Luyện thi Đại học 2013 
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO beckbo1210@yahoo.com Tổ Toán THPT Phong Điền 11 
IV- BÀI TẬP ÔN TẬP: 
11. Tre ân ca ïnh CD cu ûa töù die än ABCD la áy ñie åm M sao cho CM = CD . Tính tæ so á the å tích 
3
cu ûa hai töù die än ABMD va ø ABMC . 
¢ ¢ ¢
¢ ¢ ¢ ¢ ¢
2. Cho kho ái la êng tru ï ñöùng tam gia ùc ABC.A B C . Tính tæ so á the å tích cu ûa kho ái cho ùp
 A.BB C C va ø kho ái la êng tru ï ABC.A B C 
3. Cho töù die än ABCD co ù ca ùc ñie åm M, N, P la àn löôït thuo äc BC, BD, AC sao cho BC=4BM, 
AC=3AP, BD=2BN. Mặt phẳng (MNP) ca ét AD ta ïi Q. Tính ty û so á AQ
AD
va ø ty û so á the å tích 2 
pha àn cu ûa kho ái töù die än ABCD ñöôïc pha ân chia bôûi mp(MNP). 
4. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a; SA ^ (ABCD), SA = 2 a . Gọi B’, 
D’ là hình chiếu của A trên SB, SD. Mặt phẳng (AB’D’) cắt SC tại C’. Tính thể tích khối 
chóp 
S.AB’C’D’. 
5. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của AB, AD, 
SC. Tính tỉ số thể tích của hai phần hình chóp được phân chia bởi mp (MNP). 
6) Cho h×nh chãp S.ABC. Gäi M lµ mét ®iÓm trªn c¹nh SA sao cho MS=2MA. TÝnh tû sè
 thÓ tÝch cña M.SBC vµ M.ABC.
7) Cho h×nh chãp tam gi¸c ®Òu S.ABC c¹nh ®¸y a, c¹nh bªn 2a. Gäi I lµ trung ®iÓm BC.
S.ABI
 a. Chøng minh r»ng: SA BC.
 b. TÝnh V
8) Cho h×nh chãp tø gi¸c ®Òu S.ABCD. MÆt ph¼ng (P) qua A vµ vu«ng gãc víi SC c¾t SB,
SB' 2
SC, SD lÇn l­ît t¹i B', C', D'. BiÕt r»ng AB=a, = .
SB 3
 a.
^
 TÝnh tû sè thÓ tÝch cña hai khèi chãp S.AB'C'D' vµ S.ABCD.
 b. TÝnh thÓ tÝch khèi chãp S.AB'C'D'. 
9) Cho h×nh l¨ng trô tam gi¸c ABC.A'B'C'. MÆt ph¼ng qua A'B' vµ trung ®iÓm I cña AC chia
l¨ng trô thµnh 2 phÇn. TÝnh tû sè thÓ tÝch gi÷a 2 phÇn ®ã.
SM 1 SN
10) Trªn c¸c c¹nh SA, SB cña tø diÖn SABC lÊy c¸c ®iÓm M,N sao cho = , =2.
MA 2 NB
MÆt ph¼ng ®i qua MN vµ song song víi SC chia tø diÖn thµnh 2 phÇn. TÝnh tû sè thÓ tÝch cña
hai phÇn nµy. 
V- MỘT SỐ ĐỀ KIỂM TRA MẪU: 
Đề 1: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy AB a= , cạnh bên SA hợp với mặt 
đáy (ABCD) một góc bằng 600. 
a) Tính thể tích khối chóp S.ABCD. 
b) Tính góc hợp bởi mặt bên (SBC) và mặt đáy (ABCD) của hình chóp S.ABCD. 
c) Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SB, SD. Mặt phẳng (AMN) cắt SC tại E. 
Tính thể tích của khối chóp S.AMEN. 
Đề 2:Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh bên SA a= , cạnh bên SA hợp với mặt 
đáy (ABC) một góc bằng 600. 
a) Tính thể tích của khối chóp S.ABC theo a . 
b) Tính góc hợp bởi mặt bên (SAC) và mặt đáy (ABC) của hình chóp S.ABC. 
Chuyên đề THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN Luyện thi Đại học 2013 
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO beckbo1210@yahoo.com Tổ Toán THPT Phong Điền 12 
c) Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC, SM. Mặt phẳng (ABN) cắt SC tại E. 
Tính thể tích của khối chóp S.ABE theo a . 
Đề 3:Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy AB a= , mặt bên (SAD) hợp với mặt 
đáy (ABCD) một góc bằng 600. 
a) Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a . 
b) Tính góc hợp bởi cạnh bên SA và mặt đáy (ABCD) của hình chóp S.ABCD. 
c) Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA, SC. Mặt phẳng (BMN) cắt SD tại E. 
Tính thể tích của khối chóp S.BMEN. 
Đề 4:Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy AB a= , mặt bên (SAB) hợp với mặt 
đáy (ABC) một góc bằng 600. 
a) Tính thể tích của khối chóp S.ABC theo a . 
b) Tính góc hợp bởi cạnh bên SA và mặt đáy (ABC) của hình chóp S.ABC. 
c) Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AC, SM. Mặt phẳng (ABN) cắt SC tại E. 
Tính thể tích của khối chóp S.ABE theo a .