Chuyên đề Toán 12 đầy đủ

 1
HÀM SỐ 
☯1. TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ 
 Dạng 1: Tính đơn điệu của hàm số 
I. Kiến thức cơ bản 
1. Định nghĩa 
Giả sử hàm số y = f(x) xác định trên K: 
+ Hàm số y = f(x) được gọi đồng biến trên khoảng K nếu: 
1 2 1 2 1 2, , ( ) ( )x x K x x f x f x∀ ∈ < ⇒ < 
+ Hàm số y = f(x) được gọi là nghịch biến trên khoảng K nếu: 
1 2 1 2 1 2, , ( ) ( )x x K x x f x f x∀ ∈ 
2. Qui tắc xét tính đơn điệu 
a. Định lí 
Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên K: 
+ Nếu f’(x) > 0 với mọi x thuộc K thì hàm số đồng biến 
+ Nếu f’(x) < 0 với mọi x thuộc K thì hàm số nghịch biến 
b. Qui tắc 
B1: Tìm tập xác định của hàm số 
B2: Tính đạo hàm của hàm số. Tìm các điểm xi (i = 1, 2,,n) mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không 
xác định. 
B3: Sắp xếp các điểm xi theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên. 
B4: Nêu kết luận về các khoảng đồng biến, nghịch biến. 
II. Các ví dụ 
Loại 1: Xét sự biến thiên của hàm số 
Ví dụ 1. Xét sự đồng biến và nghịc biến của hàm số: 
3 2 2
4 2
1 1
. y = 2 2 b. y = -x 3 4 e. y = x ( 3), (x > 0)
3 2
x - 1
c. y = x 2 3 . y = 
x +1
a x x x x x
x d
− − + + + −
− +
Ví dụ 2. Xét sự biến thiên của các hàm số sau: 
2 3 4 2 3 2
2
2
. y = 3x 8 b. y = x 8 5 c. y = x 6 9
3- 2x x 2 3
. y = e. y = f. y = 25-x
x + 7 1
a x x x x
xd
x
− + + − +
− +
+
Loại 2: Chứng minh hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên khoảng xác định. 
Phương pháp 
+ Dựa vào định lí. 
Ví dụ 3. 
Chứng minh hàm số 22y x x= − nghịch biến trên đoạn [1; 2] 
Ví dụ 4 
a. Chứng minh hàm số 2 9y x= − đồng biến trên nửa khoảng [3; + ∞ ). 
b. Hàm số 4y x
x
= + nghịc biến trên mỗi nửa khoảng [-2; 0) và (0;2] 
Ví dụ 5. Chứng minh rằng 
a. Hàm số 3
2 1
xy
x
−
=
+
 nghịch biến trên mỗi khoảng xác định của nó. 
b. Hàm số 
22 3
2 1
x xy
x
+
=
+
 đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó. 
c. Hàm số 2 8y x x= − + + nghịch biến trên R. 
Dạng 2. Tìm giá trị của tham số để một hàm số cho trước đồng biến, nghịch biến trên khoảng xác định cho 
trước 
Phương pháp: 
+ Sử dụng qui tắc xét tính đơn điêu của hàm số. 
 2
+ Sử dụng định lí dấu của tam thức bậc hai 
Ví dụ 6. 
Tìm giá trị của tham số a để hàm số 3 21( ) ax 4 3
3
f x x x= + + + đồng biến trên R. 
Ví dụ 7. 
Tìm m để hàm số 
2 25 6( )
3
x x mf x
x
+ + +
=
+
 đồng biến trên khoảng (1; )+∞ 
Ví dụ 8. Với giá trị nào của m, hàm số: 2
1
my x
x
= + +
−
 đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó. 
Ví dụ 9 
Xác định m để hàm số 
3
2( 1) ( 3)
3
xy m x m x= − + − + + đồng biến trên khoảng (0; 3) 
Ví dụ 10 
Cho hàm số 4mxy
x m
+
=
+
a. Tìm m để hàm số tăng trên từng khoảng xác định 
b. Tìm m để hàm số tăng trên (2; )+∞ 
c. Tìm m để hàm số giảm trên ( ;1)−∞ 
Ví dụ 11 
Cho hàm số 3 23(2 1) (12 5) 2y x m x m x= − + + + + . Tìm m để hàm số: 
a. Liên tục trên R 
b. Tăng trên khoảng (2; )+∞ 
Ví dụ 12 (ĐH KTQD 1997) 
Cho hàm số 3 2 2ax (2 7 7) 2( 1)(2 3)y x a a x a a= − − − + + − − đồng biến trên [2:+ )∞ 
Dạng 3. Sử dụng chiều biến thiên để chứng minh BĐT 
Phương pháp 
Sử dụng các kiến thức sau: 
+ Dấu hiệu để hàm số đơn điệu trên một đoạn. 
+ f ( x) đồng biến trên [a; b] thì ( ) ( ) ()f a f x f≤ ≤ 
+ f(x) nghịch biến trên [a; b] thì ( ) ( ) ( )f a f x f b≥ ≥ 
Ví dụ 1. Chứng minh các bất đẳng thức sau: 
2
2 3
1 1
. tanx > sinx, 0< x < b. 1 + 1 1 , 0 < x < +
2 2 8 2
x x
. cosx > 1 - , 0 d. sinx > x - , x > 0
2 6
x
a x x x
c x
pi
− < + < + ∞
≠
Ví dụ 2. 
Chohàm số f(x) = 2sinx + tanx – 3x 
a. Chứng minh rằng hàm số đồng biến trên nửa khoảng 0;
2
pi 
 
b. Chứng minh rằng 2sin tan 3 , (0; )
2
x x x x
pi
+ > ∀ ∈ 
Ví dụ 3 
Cho hàm số ( ) t anx - xf x = 
a.Chứng minh hàm số đồng biến trên nửa khoảng 0;
2
pi 
 
b. Chứng minh 
3
tan , (0; )
3 2
x
x x x
pi
> + ∀ ∈ 
Ví dụ 3 
Cho hàm số 4( ) t anx, x [0; ]
4
f x x pi
pi
= − ∈ 
 3
a. Xét chiều biến thiên của hàm số trên [0; ]
4
pi
b. Chứng minh rằng 4tan , [0; ]
4
x x x
pi
pi
≤ ∀ ∈ 
 CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ 
Dạng 1. Tìm cực trị của hàm số 
Phương pháp: 
Dựa vào 2 qui tắc để tìm cực trị của hàm số y = f(x) 
Qui tắc I. 
B1: Tìm tập xác định. 
B2: Tính f’(x). Tìm các điểm tại đó f’(x) = 0 hoặc 
f’(x) không xác định. 
B3. Lập bảng biến thiên. 
B4: Từ bảng biến thiên suy ra các cực trị 
Qui tắc II. 
B1: Tìm tập xác định. 
B2: Tính f’(x). Giải phương trình f’(x) = 0 và kí hiệu 
là xi là các nghiệm của nó. 
B3: Tính f ”(xi) 
B4: Dựa vào dấu của f ” (xi) suy ra cực trị 
( f ”(xi) > 0 thì hàm số có cực tiểu tại xi; ( f ”(xi) < 0 
thì hàm số có cực đại tại xi) 
* Chú ý: Qui tắc 2 thường dùng với hàm số lượng giác hoặc việc giải phương trình f’(x) = 0 phức tạp. 
Ví dụ 1. Tìm cực trị của hàm số 3 22 3 36 10y x x x= + − − 
Qui tắc I. 
TXĐ: R 
2
2
' 6 6 36
' 0 6 6 36 0
2
3
y x x
y x x
x
x
= + −
= ⇔ + − =
=
⇔ 
= −
+∞
-∞
- 54
71
++ - 00
2-3 +∞
-∞
y
y'
x
Vậy x = -3 là điểm cực đại và ycđ =71 
 x= 2 là điểm cực tiểu và yct = - 54 
Qui tắc II 
TXĐ: R 
2
2
' 6 6 36
' 0 6 6 36 0
2
3
y x x
y x x
x
x
= + −
= ⇔ + − =
=
⇔ 
= −
y”= 12x + 6 
y’’(2) = 30 > 0 nên hàm số đạt cực tiểu tại x = 2 và 
 yct = - 54 
y’’(-3) = -30 < 0 nên hàm số đạt cực đại tại x = -3 và 
ycđ =71 
Bài1. Tìm cực trị của các hàm số sau: 
2 3 4 3
3 2 4 2
3 2
. y = 10 + 15x + 6x b. y = x 8 432
. y = x 3 24 7 d. y = x - 5x + 4
e. y = -5x + 3x - 4x + 5 
a x x
c x x
− − +
− − +
3
 f. y = - x - 5x 
Bài 2. Tìm cực trị của các hàm số sau: 
2 2
2 2
2
2
x+1 x 5 (x - 4)
. y = b. y = c. y = 
x 8 1 2 5
9 x 3 3 x
. y = x - 3 + e. y = f. y =
x - 2 1 x 4
x
a
x x x
xd
x
+ −
+ + − +
− +
− +
Bài 3. Tìm cực trị các hàm số 
 4
2
2 2
3
2 2
x+1 5 - 3x
. y = x 4 - x b. y = c. y =
x 1 1 - x
x x
. y = e. y = f. y = x 3 - x 
10 - x 6
a
d
x
+
−
Bài 4. Tìm cực trị các hàm số: 
. y = x - sin2x + 2 b. y = 3 - 2cosx - cos2x c. y = sinx + cosx
1
d. y = sin2x e. y = cosx + os2x f.
2
a
c pi∈ y = 2sinx + cos2x víi x [0; ]
Dạng 2. Xác lập hàm số khi biết cực trị 
Để tìm điều kiện sao cho hàm số y = f(x) đạt cực trị tại x = a 
B1: Tính y’ = f’(x) 
B2: Giải phương trình f’(a) = 0 tìm được m 
B3: Thử lại giá trị a có thoả mãn điều kiện đã nêu không ( vì hàm số đạt cực trị tại a thì f’(a) 
= 0 không kể CĐ hay CT) 
Ví dụ 1. Tìm m để hàm số y = x3 – 3mx2 + ( m - 1)x + 2 đạt cực tiểu tại x = 2 
LG 
2' 3 6 1y x mx m= − + − . 
Hàm số đạt cực trị tại x = 2 thì y’(2) = 0 23.(2) 6 .2 1 0 1m m m⇔ − + − = ⇔ = 
Với m = 1 ta được hàm số: y = x3 – 3x2 + 2 có : 2
0
' 3 6 ' 0
2
x
y x x y
x
=
= − ⇒ = ⇔ 
=
 tại x = 2 hàm số đạt giá trị 
cực tiểu 
Vậy m = 1 là giá trị cần tìm 
Bài 1. Xác định m để hàm số 3 23 5 2 ®¹t cùc ®¹i t¹i x = 2y mx x x= + + + 
Bài 2. Tìm m để hàm số 3 2 2 ă r˜ ă( ) 5 c cùc t t¹i x = 1. Khi ® hµm sè că C§ hay CT
3
y x mx m x= − + − + 
Bài 3. Tìm m để hàm số 
2 1
 ®¹t cùc ®¹i t¹i x = 2
x mx
y
x m
+ +
=
+
Bài 4. Tìm m để hàm số 3 2 22 2 ®¹t cùc tiÓu t¹i x = 1y x mx m x= − + − 
Bài 5. Tìm các hệ số a, b, c sao cho hàm số: 3 2( ) axf x x bx c= + + + đạt cực tiểu tại điểm x = 1, f(1) = -3 và 
đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 2 
Bài 6. Tìm các số thực q, p sao cho hàm số ( )
1
q
f x xp
x
= +
+
 đạt cực đại tại điểm x = -2 và f(-2) = -2 
Hướng dẫn: 
2
'( ) 1 , x -1
( 1)
q
f x
x
= − ∀ ≠
+
+ Nếu 0 th× f'(x) > 0 víi x -1. Do ®ă hµm sè lu Ơ ă r˜«n ®ång bi n . Hµm sè kh«ng c cùc t .q ≤ ∀ ≠ 
+ Nếu q > 0 thì: 
2
2
12 1
'( ) 0
( 1) 1
x qx x q
f x
x x q
 = − −+ + −
= = ⇔ 
+  = − +
Lập bảng biến thiên để xem hàm đạt cực tại tại giá trị x nào. 
Dạng 3. Tìm điều kiện để hàm số có cực trị 
Bài toán: ‘Tìm m để hàm số có cực trị và cực trị thoả mãn một tính chất nào đó.’ 
Phương pháp 
B1: Tìm m để hàm số có cực trị. 
B2: Vận dụng các kiến thức khác Chú ý: 
• Hàm số 3 2ax ( 0)y bx cx d a= + + + ≠ có cực trị khi và chỉ khi phương trình y’ = 0 có hai nghiệm 
phân biệt. 
 5
• Cực trị của hàm phân thức ( )
( )
p x
y
Q x
= . Giả sử x0 là điểm cực trị của y, thì giá trị của y(x0) có thể được 
tính bằng hai cách: hoặc 0 00 0
0 0
( ) '( )
( ) hoÆc y(x )
( ) '( )
P x P x
y x
Q x Q x
= = 
Ví dụ . Xác định m để các hàm số sau có cực đại và cực tiểu 
2
3 21 x 2 4. y = ( 6) 1 . y = 
3 2
mx m
a x mx m x b
x
+ − −
+ + + −
+
Hướng dẫn. 
a. TXĐ: R 
2' 2 6y x mx m= + + + . 
Để hàm số có cực trị thì phương trình: 2 2 6 0 că 2 nghiÖm ph©n biÖtx mx m+ + + = 
2 3' 6 0
2
m
m m
m
>∆ = − − > ⇔  < −
b. TXĐ: { }\ 2−
 
2 2
2 2
2
(2 )( 2) ( 2 4) 4 4 4
'
( 2) ( 2)
µm sè că cùc ®¹i, cùc tiÓu khi ' 0 ă hai nghiÖm ph©n biÖt kh¸c -2 4 4 4 0
' 0 4 4 4 0
0
4 8 4 4 0 0
x m x x mx m x x m
y
x x
H y c x x m
m
m
m m
+ + − + − − + + +
= =
+ +
= ⇔ + + + =
∆ > − − > 
⇔ ⇔ ⇔ < 
− + + ≠ ≠ 
Bài 1. Tìm m để hàm số 3 2 r˜ ă3 2. Víi gi¸ t nµo cña m th× hµm sè c C§, CT?y x mx= − + 
Bài 2. Tìm m để hàm sô 
2 3( 1) 1x m m x m
y
x m
− + + +
=
−
 luôn có cực đại và cực tiểu. 
Bài 3. Cho hàm số 3 22 D 12 13y x x= + − − . Tìm a để hàm số có cực đại, cực tiểu và các điểm cực tiểu của đồ 
thị cách đều trục tung. 
Bài 4. Hàm số 3 22( 1) 4 1
3
m
y x m x mx= − + + − . Tìm m để hàm số có cực đại cực tiểu. 
Bài 5. Cho hàm 
2
1
x mx
y
x
+
=
−
. Tìm m để hàm số có cực trị 
Bài 6. Cho hàm số 
2 2 4
2
x mx m
y
x
+ − −
=
+
. Xác định m để hàm số có cực đại và cực tiểu. 
Dạng 4. Tìm tham số để các cực trị thoả mãn tính chất cho trước. 
Phương pháp 
+ Tìm điều kiện để hàm số có cực trị 
+ Vận dụng các kiến thức về tam thức, hệ thức Viet để thoả mãn tính chất. 
Ví dụ . 
 6
Bài1. Tìm cực trị của các hàm số sau: 
2 3 4 3
3 2 4 2
3 2
. y = 10 + 15x + 6x b. y = x 8 432
. y = x 3 24 7 d. y = x - 5x + 4
e. y = -5x + 3x - 4x + 5 
a x x
c x x
− − +
− − +
3
 f. y = - x - 5x 
Bài 2. Tìm cực trị của các hàm số sau: 
2 2
2 2
2
2
x+1 x 5 (x - 4)
. y = b. y = c. y = 
x 8 1 2 5
9 x 3 3 x
. y = x - 3 + e. y = f. y =
x - 2 1 x 4
x
a
x x x
xd
x
+ −
+ + − +
− +
− +
Bài 3. Tìm cực trị các hàm số 
2
2 2
3
2 2
x+1 5 - 3x
. y = x 4 - x b. y = c. y =
x 1 1 - x
x x
. y = e. y = f. y = x 3 - x 
10 - x 6
a
d
x
+
−
Bài 4. Tìm cực trị các hàm số: 
. y = x - sin2x + 2 b. y = 3 - 2cosx - cos2x c. y = sinx + cosx
1
d. y = sin2x e. y = cosx + os2x f.
2
a
c pi∈ y = 2sinx + cos2x víi x [0; ]
Bài 5. Xác định m để hàm số 3 23 5 2 ®¹t cùc ®¹i t¹i x = 2y mx x x= + + + 
Bài 6. Tìm m để hàm số 3 2 2 ă r˜ ă( ) 5 c cùc t t¹i x = 1. Khi ® hµm sè că C§ hay CT
3
y x mx m x= − + − + 
Bài 7. Tìm m để hàm số 
2 1
 ®¹t cùc ®¹i t¹i x = 2
x mx
y
x m
+ +
=
+
Bài 8. Tìm m để hàm số 3 2 22 2 ®¹t cùc tiÓu t¹i x = 1y x mx m x= − + − 
Bài 9. Tìm các hệ số a, b, c sao cho hàm số: 3 2( ) axf x x bx c= + + + đạt cực tiểu tại điểm x = 1, f(1) = -3 và 
đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 2 
Bài 10. Tìm các số thực q, p sao cho hàm số ( )
1
q
f x xp
x
= +
+
 đạt cực đại tại điểm x = -2 và f(-2) = -2 
Bài 11. Tìm m để hàm số 3  ... +
+ −
 HD: 
1 2cos
tan
1 2cos
x
x
x
+
=
−
2) ( )2 21 1 1 2 1x x x+ − = + − Đs: 12x = 
3) 3 3 2x x x− = + HD: chứng minh 2x > vô nghiệm 
Bài 3 . Giải phương trình sau: 3 6 1 2x x+ = 
Giải: Lập phương 2 vế ta được: 3 3 18 6 1 4 3
2
x x x x− = ⇔ − = 
Xét : 1x ≤ , đặt [ ]cos , 0;x t t pi= ∈ . Khi đó ta được 5 7cos ;cos ;cos9 9 9S
pi pi pi 
=  
 
 mà phương trình bậc 3 
có tối đa 3 nghiệm vậy đó cũng chính là tập nghiệm của phương trình. 
Bài 4. .Giải phương trình 2
2
11
1
x
x
 
+ 
− 
 33
Giải: đk: 1x > , ta có thể đặt 1 , ;
sin 2 2
x t
t
pi pi 
= ∈ − 
 
Khi đó ptt: ( )2
cos 0
1 1 cot 1 1
sin sin 2
2
t
t
x t
=
+ = ⇔
 = −

Phương trình có nghiệm : ( )2 3 1x = − + 
Bài 5 .Giải phương trình : 
( )
( )
222
2
2
111
2 2 1
xx
x
x x x
++
+ = +
−
Giải: đk 0, 1x x≠ ≠ ± 
Ta có thể đặt : tan , ;
2 2
x t t
pi pi 
= ∈ − 
 
Khi đó pttt. ( )22sin cos2 cos2 1 0 sin 1 sin 2sin 0t t t t t t+ − = ⇔ − − = 
Kết hợp với điều kiện ta có nghiệm 1
3
x = 
Bài tập tổng hợp 
Giải các phương trình sau 
( )33 2 21 2 2x x x x+ − = − 
22 2 30 2007. 30 4 2007 30. 2007x x x− − + = 
2
12 82 4 2 2
9 16
x
x x
x
−
+ − − >
+
33 31 1 2x x x− + + = 
3 3 1 2 1x x x+ + = + 
4 5 3 1 2 7 3x x x x+ + + = + + + 
( )2 23 1 3 1x x x x+ + = + + 
4 3 10 3 2x x− − = − (HSG Toàn Quốc 2002) 
( )( ) ( )( )2 2 5 2 10x x x x x− − = + − − 
23 4 1 2 3x x x+ = − + − 
2 33 1 3 2 3 2x x x− + − = − 
2 32 11 21 3 4 4 0x x x− + − − = (OLYMPIC 30/4-2007) 
2 2 2 22 1 3 2 2 2 3 2x x x x x x x− + − − = + + + − + 
2 22 16 18 1 2 4x x x x+ + + − = + 
2
2 3 3 22
3 1
x x
x x
x
+ +
+ + =
+
12 2 1 3 9x x x+ − = + 
3 244 1 1x x x x+ + = + + 
24 3 3 4 3 2 2 1x x x x x+ + = + + − 
3 2 41 1 1 1x x x x x− + + + + = + − 
( ) ( ) ( )2 24 2 4 16 2 4 16 2 9 16x x x x+ + − + − = + 
2(2004 )(1 1 )x x x= + − − 
( 3 2)( 9 18) 168x x x x x+ + + + = 
2 4 233 1 1
3
x x x x− + = − + + 
( ) ( )2 2233 32 1 3 1 1 0x x x+ + − + − = 
22008 4 3 2007 4 3x x x− + = − 
( ) ( )2 23 2 1 1 1 3 8 2 1x x x x+ − = + + + 
2 12 1 36x x x+ + + = 
( ) 3 34 1 1 2 2 1x x x x− + = + + 
1 1 12 1 3xx x
x x x
−
+ = − + − 
2 25 14 9 20 5 1x x x x x− + − − − = + 
33 6 1 8 4 1x x x+ = − − 
( ) ( )215 30 4 2004 30060 1 12 x x x− = + + 
24 9 7 7
28
x
x x
+
= + 
2 24 4 10 8 6 10x x x x− − = − − 
3 x x x x− = + 
 34
CHUYÊN ĐỀ: PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ 
I. PHƯƠNG PHÁP BIỂN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG 
Dạng 1 : Phương trình 
(*)
0
x D
A B A B
A B
∈
= ⇔ = ≥ ⇔ 
=
Lưu ý: Điều kiện (*) được chọn tuỳ thuôc vào độ phức tạp của 0A ≥ hay 0B ≥ 
Dạng 2: Phương trình 2
0B
A B
A B
≥
= ⇔ 
=
Dạng 3: Phương trình 
+) 
0
0
2
A
A B C B
A B AB C
 ≥

+ = ⇔ ≥

+ + =
 (chuyển về dạng 2) 
 +) ( )3 3 3 33 33 .A B C A B A B A B C+ = ⇒ + + + = 
và ta sử dụng phép thế : 3 3A B C+ = ta được phương trình : 33 . .A B A B C C+ + = 
Bài 1: Giải phương trình: 
a) 2 1 1x x− = − 
b) 2 3 0x x− + = 
c) 2 1 1x x+ + = 
e) 3 2 1 3x x− + − = 
f) 3 2 1x x+ − − = 
g) 9 5 2 4x x+ = − + 
h) 3 4 2 1 3x x x+ − + = + 
i) 2 2( 3) 10 12x x x x+ − = − − 
II.PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ 
Phương pháp đặt ẩn phụ thông thường. 
-Nếu bài toán có chứa ( )f x và ( )f x khi đó đặt ( )t f x= (với điều kiện tối thiểu là 0t ≥ . đối với các 
phương trình có chứa tham số thì nhất thiết phải tìm điều kiện đúng cho ẩn phụ). 
-Nếu bài toán có chứa ( )f x , ( )g x và ( ). ( )f x g x k= (với k là hằng số) khi đó có thể đặt : 
( )t f x= , khi đó ( ) kg x
t
= 
-Nếu bài toán có chứa ( ) ( ) ; ( ). ( )f x g x f x g x± và ( ) ( )f x g x k+ = khi đó có thể đặt: 
( ) ( )t f x g x= ± suy ra 
2
( ). ( )
2
t kf x g x −= 
-Nếu bài toán có chứa 2 2a x− thì đặt sinx a t= với 
2 2
t
pi pi
− ≤ ≤ hoặc cosx a t= với 0 t pi≤ ≤ 
-Nếu bài toán có chứa 2 2x a− thì đặt 
sin
a
x
t
= với { }; \ 0
2 2
t
pi pi 
∈ −  
 hoặc 
cos
a
x
t
= với 
[ ]0; \
2
t
pi
pi
 
∈  
 
Bài 2: Tìm m để phương trình sau có nghiệm: 2 23 2 2x x m x x− + − = + − 
Bài 3: Cho phương trình: 2 1x x m− − = 
-Giải phương trình khi m=1 
-Tìm m để phương trình có nghiệm. 
Bài 4: Cho phương trình: 22 3x mx x m+ − = − 
-Giải phương trình khi m=3 
-Với giá trị nào của m thì phương trình có nghiệm. 
 35
-Nếu bài toán có chứa 2 2x a+ ta có thể đặt . tanx a t= với ;
2 2
t
pi pi 
∈ − 
 
NguyÔn Thµnh ®« 
Chuyªn ®Ò líp 12 36 
 Bài 1: Giải phương trình: 
a) 2 2 2 8 12 2x x x x+ + + = − 
b) 2 22 5 2 3 9 3 3x x x x− + + = − − 
c) 2 24 6 2 8 12x x x x− + = − + 
d) 2 23 15 2 5 1 2x x x x+ + + + = 
e) 2( 4)( 1) 3 5 2 6x x x x+ + − + + = 
f) 2 22 5 2 2 2 5 6 1x x x x+ + − + − = 
g) 2 23 2 2 2 6 2 2x x x x+ + − + + = − 
h) 2 2 11 31x x+ + = 
i) 2( 5)(2 ) 3 3x x x x+ − = + 
Bài 2: Giải phương trình: 
a) ( ) ( )33 2 21 2 1x x x x+ − = − 
b) 
( ) ( )3 32 21 1 1 1 2 1x x x x + − − − + = + −   
c) 2 21 2 1 2 1 0x x x x− − − − + = 
d) 6 4 2 264 112 56 7 2 1x x x x− + − = − 
e) 
2
35
121
x
x
x
+ =
−
f) ( )( ) ( ) 13 1 4 3 3
3
x
x x x
x
+
− + + − = −
−
Bài 4: Cho phương trình: 
2
1 1
1
m
x x
+ =
−
-Giải phương trình với 22
3
m = + 
-Tìm m để phương trình có nghiệm. 
Bài 5: Cho phương trình: ( )2 22 2 2 3 0x x x x m− + − − − = 
-Giải phương trình với m = 9 
-Tìm m để phương trình có nghiệm. 
2. Phương pháp đặt ẩn phụ không hoàn toàn 
Là việc sử dụng một ẩn phụ chuyển phương trình ban đầu thành một phương trình với một ẩn phụ nhưng các hệ 
số vẫn còn chứa x. 
-Từ những phương trình tích ( )( )1 1 1 2 0x x x+ − + − + = , ( )( )2 3 2 3 2 0x x x x+ − + − + = 
Khai triển và rút gọn ta sẽ được những phương trình vô tỉ không tầm thường chút nào, độ khó của phương trình 
dạng này phụ thuộc vào phương trình tích mà ta xuất phát. 
Từ đó chúng ta mới đi tìm cách giải phương trình dạng này .Phương pháp giải được thể hiện qua các ví dụ sau . 
Bài 1. Giải phương trình : ( )2 2 23 2 1 2 2x x x x+ − + = + + 
Giải: 2 2t x= + , ta có : ( )2 32 3 3 0
1
t
t x t x
t x
=
− + − + = ⇔ 
= −
Bài 2. Giải phương trình : ( ) 2 21 2 3 1x x x x+ − + = + 
NguyÔn Thµnh ®« 
Chuyªn ®Ò líp 12 37 
Giải: 
Đặt : 2 2 3, 2t x x t= − + ≥ 
Khi đó phương trình trở thnh : ( ) 21 1x t x+ = + ( )2 1 1 0x x t⇔ + − + = 
Bây giờ ta thêm bớt , để được phương trình bậc 2 theo t có ∆ chẵn 
( ) ( ) ( ) ( )2 2 22 3 1 2 1 0 1 2 1 0
1
t
x x x t x t x t x
t x
=
− + − + + − = ⇔ − + + − = ⇔ 
= −
Từ một phương trình đơn giản : ( )( )1 2 1 1 2 1 0x x x x− − + − − + + = , khai triển ra ta sẽ được pt sau 
Bài 3. Giải phương trình sau : 24 1 1 3 2 1 1x x x x+ − = + − + − 
Giải: 
Nhận xét : đặt 1t x= − , pttt: 4 1 3 2 1x x t t x+ = + + + (1) 
Ta rt 21x t= − thay vo thì được pt: ( ) ( )23 2 1 4 1 1 0t x t x− + + + + − = 
Nhưng không có sự may mắn để giải được phương trình theo t ( ) ( )22 1 48 1 1x x∆ = + + − + − không có 
dạng bình phương . 
Muốn đạt được mục đích trên thì ta phải tách 3x theo ( ) ( )2 21 , 1x x− + 
Cụ thể như sau : ( ) ( )3 1 2 1x x x= − − + + thay vào pt (1) ta được: 
Bài 4. Giải phương trình: 22 2 4 4 2 9 16x x x+ + − = + 
Giải . 
Bình phương 2 vế phương trình: ( ) ( ) ( )2 24 2 4 16 2 4 16 2 9 16x x x x+ + − + − = + 
Ta đặt : ( )22 4 0t x= − ≥ . Ta được: 29 16 32 8 0x t x− − + = 
Ta phải tách ( ) ( )2 2 29 2 4 9 2 8x x xα α α= − + + − làm sao cho t∆ có dạng chình phương . 
Nhận xét : Thông thường ta chỉ cần nhóm sao cho hết hệ số tự do thì sẽ đạt được mục đích. 
Bài tập: Giải các phương trình sau: 
a) 3 3(4 1) 1 2 2 1x x x x− + = + + b) 2 21 2 2x x x x− = − 
c) 2 21 2 2x x x x− = + d) 2 24 ( 2) 2 4x x x x x+ = + − + 
3. Phương pháp đặt ẩn phụ chuyển về hệ. 
a) Dạng thông thường: Đặt ( ) ( ),u x v xα β= = và tìm mối quan hệ giữa ( )xα và ( )xβ từ đó tìm được hệ 
theo u,v. Chẳng hạn đối với phương trình: ( ) ( )m ma f x b f x c− + + = ta có thể đặt: ( )( )
m
m
u a f x
v b f x
 = −

= +
 từ đó 
suy ra m mu v a b+ = + . Khi đó ta có hệ 
m mu v a b
u v c
 + = +

+ =
Bài tập: Giải các phương trình sau: 
a) 3 2 1 1x x− = − − b) 3 9 2 1x x− = − − c) 21 ( 1) 0x x x x x x− − − − + − = 
b) Dạng phương trình chứa căn bậc hai và lũy thừa bậc hai: 
2( )ax b c dx e xα β+ = + + + với d ac
e bc
α
β
= +

= +
NguyÔn Thµnh ®« 
Chuyªn ®Ò líp 12 38 
Cách giải: Đặt: dy e ax b+ = + khi đó phương trình được chuyển thành hệ: 
( )
( )
2
22( )
dy e ax bdy e ax b
dy e c dx e x c dy e x dy eα β α β
 + = + + = + 
⇔ 
+ = + + + + = − + + − 
 ->giải 
Nhận xét: Dể sử dụng được phương pháp trên cần phải khéo léo biến đổi phương trình ban đầu về dạng thỏa mãn 
điều kiện trên để đặt ẩn phụ.Việc chọn ;α β thông thường chúng ta chỉ cần viết dưới dạng 
: ( ) ' 'n nx p a x bα β γ+ = + + là chọn được. 
c) Dạng phương trình chứa căn bậc ba và lũy thừa bậc ba. 
( )33 ax b c dx e xα β+ = + + + với d ac
e bc
α
β
= +

= +
Cách giải: Đặt 3dy e ax b+ = + khi đó phương trình được chuyển thành hệ: 
( )
( )
( )
( )3 33
3 3 3( ) ( )
dy e ax bdy e ax b c dy e acx bc
dy e c dx e x c dx e ac d x dy bcc dx e x dy e
 + = ++ = + + = +  
⇔ ⇔  
+ = + + + + = − + ++ = − + + −    α β α β
Bài tập: Giải các phương trình sau: 
1) 21 4 5x x x+ = + + 
2) 23 1 4 13 5x x x+ = − + − 
3) 3 32 3 3 2x x+ = − 
4) 24 9 7 7 0
28
x
x x x
+
= + > 
5) 3 31 2 2 1x x+ = − 
6) ( )3 33 335 35 30x x x x− + − = 
7) 24 13 5 3 1 0x x x− + + + = 
8) 24 13 5 3 1 0x x x− + + + = 
( ) ( )215 30 4 2004 30060 1 12 x x x− = + + 
3 23 3 5 8 36 53 25x x x− = − + − 
9) 3 23 481 8 2 2
3
x x x x− = − + − 
10) 33 6 1 8 4 1x x x+ = − − 
II. PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ 
Sử dụng các tính chất của hàm số để giải phương trình là dạng toán khá quen thuộc. Ta có 3 hướng áp dụng sau 
đây: 
Hướng 1: Thực hiện theo các bước: 
Bước 1: Chuyển phương trình về dạng: ( )f x k= 
Bước 2: Xét hàm số ( )y f x= 
Bước 3: Nhận xét: 
• Với 0 0( ) ( )x x f x f x k= ⇔ = = do đó 0x là nghiệm 
• Với 0 0( ) ( )x x f x f x k> ⇔ > = do đó phương trình vô nghiệm 
• Với 0 0( ) ( )x x f x f x k< ⇔ < = do đó phương trình vô nghiệm 
• Vậy 0x là nghiệm duy nhất của phương trình 
Hướng 2: thực hiện theo các bước 
Bước 1: Chuyển phương trình về dạng: ( ) ( )f x g x= 
Bước 2: Dùng lập luận khẳng định rằng ( )f x và g(x) có những tính chất trái ngược nhau và xác định 0x sao cho 
0 0( ) ( )f x g x= 
Bước 3: Vậy 0x là nghiệm duy nhất của phương trình. 
Hướng 3: Thực hiện theo các bước: 
NguyÔn Thµnh ®« 
Chuyªn ®Ò líp 12 39 
Bước 1: Chuyển phương trình về dạng ( ) ( )f u f v= 
Bước 2: Xét hàm số ( )y f x= , dùng lập luận khẳng định hàm số đơn điệu 
Bước 3: Khi đó ( ) ( )f u f v u v= ⇔ = 
Ví dụ: Giải phương trình : ( )( ) ( )2 22 1 2 4 4 4 3 2 9 3 0x x x x x+ + + + + + + = 
pt ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )2 22 1 2 2 1 3 3 2 3 3 2 1 3x x x x f x f x⇔ + + + + = − + − + ⇔ + = − 
Xét hàm số ( ) ( )22 3f t t t= + + , là hàm đồng biến trên R, ta có 15x = − 
Bài tập: Giải phương trình: 
24 1 4 1 1x x− + − = , 31 4 5x x x− = − − + , 21 3x x x− = + − , 2 31 2 2x x x x= − + − ,
1 2 3x x− + + = , 22 1 3 4x x x− + + = −