Chuyên đề Phương trình - Hệ phương trình - Bất phương trình (GV: Nguyễn Sỹ An)

Chuyên đề phương trình, Bất phương trình
Phần I. Phương trình có chứa căn thức
A. Một số phương pháp giải
 I.Phương pháp biến đổi tương đương
 1.Kiến thức cơ bản
 a. 
 b. 
Chú ý : Các trường hợp khác ta phải tìm điều kiện trước khi biến đổi.
2.Ví dụ minh hoạ
Ví dụ1: Giải phương trình sau:
 (1)
 Pt (1)
Ví dụ 2: Giải phương trình sau:
 (2)
 ĐK :
 Pt (2) 
 (do x = -2 loại)
Ví dụ 3: Giải phương trình sau:
 (3)
Pt(3)(*) hoặc
 (**)
Giải phương trình (*) ta có phương trình vô nghiệm
Giải phương trình(**) ta được nghiệm của phương trình là 
Vậy nghiệm của phương trình(3)là :
Ví dụ 4: Giải phương trình sau:
 (4)
ĐK 	
Ta xét theo 3 trường hợp như sau:
 +)Trường hợp 1: Nếu thì pt(4) trở thành 
 (t/m).
+)Trường hợp 2: Nếu thì pt(4) trở thành 
 (loại).
+)Trường hợp 3: Nếu x = 0 pt(4) luôn thỏa mãn
Vậy nghiệm của pt(4) là x = 0 , .
 II) Phương pháp đặt ẩn phụ 
 1.Dạng1: Đặt ẩn phụ đưa về phương trình không chứa ẩn ban đầu
Nếu có và f(x), đặt t = 
Nếu có màthì đặt 
Nếu có đặt 
Nếu có đặt 
Nếu có đặt 
 * Bài tập áp dụng :
 Bài1: Gpt 2(x2- 2x) + đặt t = 
 Bài2: Gpt 
 đ/k x ≥ 1 , đặt t = đ/k t ≥ 1dẫn tới pt t2-5t+6=0
 Bài3:Gpt: đ/k -1 ≤ x ≤ 1 đặt x = cost 
 PT trở thành
 Bài4: Gpt: 
 (4)
 Do không là nghiệm của phương trình (4) nên ta chia cả 2 vế của 
 PT(4) cho 
 Pt đặt 
 Pt(5) tt 
 Bài5: Gpt : đ/k x > 1 đặt 
 Đặt
 2. Dạng2: Đặt ẩn phụ đưa về phương trình còn chứa ẩn ban đầu
**Bài tập áp dụng : 
 Bài1: Gpt : (1)
 ĐK : Đặt 
 Khi đó pt(1)tt x2 -2tx-1 = 0 ,= t2+1 = (x-1)2 →x = t±(x-1) khi và chỉ khi
 Bài2: Gpt : (4x-1)8x2+2x+1 
 đặt t = ≥ 1 ,pttt : 2t2-(4x-1)t+2x-1=0 ( loại do t)
 với t =2x-1 PTvô nghiệm
 3. Dạng3: Đặt ẩn phụ đưa về hệ phương trình
 Trong đó m và n nguyên dương lớn hơn hoặc bằng 2
***Bài tập áp dụng :
 Bài1: Gpt: 
 Đặt PT 
 Bài2:Gpt: 
 Đặt Pt 
 III) Phương pháp đánh giá 
 1) Kiến thức cơ bản: 
f2(x) + g2(x) + h2(x) = 0 
2) ( trong đó k là hằng số)
3) (trong đó k là hằng số)
 2) Bài tập áp dụng :
 Bài1:Gpt: 4x2 + 3x +3 = 4x 
 đ/k x ≥ 1/2 . Phương trình tương đương
 (t/m).
 Bài2: Gpt: = 4 – 2x – x2
 Ta có VT = 
 VP = 4 - 2x- x2 = 5 – (x+1)2 ≤ 5 
 Vậy phương trình chỉ thỏa mãn khi và chỉ khi 
 Bài 3:Gpt: . (1)
 ĐK : 5x3 + 3x2 +3x + 2.
 BĐTCôsi
 Ta có .
 Do đó pt (1) x2 + x + 1 = 5x – 2 (thoả mãn).
 IV) Phương pháp sử dụng tính đơn điệu hàm số : 1) Cơ sở lý thuyết
 Dùng tính đơn điệu của hàm số để khẳng định số nghiệm phương trình
 2) Bài tập áp dụng 
 Bài1:Gpt : .
 ĐK : x.
 Xét hàm số f(x) = trên tập .
 Ta có với h/s f(x) đồng biến
 trên tập xác định D.
 Mặt khác với x = -1 thì f (-1) = 0.
 Vậy pt có nghiệm duy nhất là x = - 1.
 Bài2 : Gpt : .
 Pt (*)
 Đặt t = x2- x đ/k ( -3≤ t ≤2)
 PT(*) trở thành (**)
 Xét h/s f(t) = trên tập D = . Ta có với 
 h/s f(t) đồng biến trên tập xác định D.
 Mặt khác h/s g(t) = 1+ với h/s g(t) 
 nghịch biến trên tập D.
 ta thấy với t = 1 thì f(1) = g(1) = 2
 Do vậy Pt (**) có nghiệm duy nhất t =1 .
 Với t = 1 thì x2- x = 1 .
 Bài 3 :Chứng minh rằng với mọi m > 0, phương trình sau luôn có 2 nghiệm thực phân 
 biệt (1) ( Khối B – 2007).
 ĐK 
Pt (1) 
Ta c/m phương trình (2) có nghiệm với 
 Xét hàm số f(x) = x3 + 6x2 -32 với .
 Ta có với h/s f(x) đồng biến trên.
Bảng biến thiên
x
2 
 +
f(x)
0
 Dựa vào bảng biến thiên ta có với Pt(1) luôn có một nghiệm .
Vậy Pt(1) luôn có 2 nghiệm thực phân biệt.
Phần 2 . Bất phương trình có chứa căn thức
I)Phương pháp biến đổi tương đương :
 1) Kiến thức cơ bản : 
 1) 
 2) 
 2) Bài tập áp dụng:
 Bài1: gbpt tương đương với tương đương với
 Bài3: gbpt: điều kiện 
Với - bpt tương đương -
Với 0<x bpt tương đương 0<x
 Vậy nghiệm của bpt là 
II)Phương pháp đặt ẩn phụ
Dạng1: Đặt ẩn phụ hợp lý dẫn tới bất phương trình đại số quen thuộc 
 Bài1 : Gbpt: đặt t = dẫn tới bpt
 t2+2t-15 ≤ 0 suy ra 0 ≤ t ≤ 3 suy ra suy ra x2 -3x+11 ≤ 9 suy ra nghiệm
của bpt 1 ≤ x ≤ 2
 Bài2. Gbpt
 đặt t = có bất phương 
 t2-3t+2 > 0 suy ra t > 2 hoặc t < 1. 
1) xét bpt >2 
2) xét bpt <1
 nghiệm của bpt là 
 Bài3: Gbpt: 
 điều kiện x > 0 đặt t = ≥ 
dẫn tới bất phương trình bậc hai: 2t2 – 5t + 2 > 0 có nghiệm t > 2 khi và chỉ khi 
 >2 Pt có nghiệm 
 Bài4: Gbpt 
 Đặt
 PT dẫn tới t2 -2t -3 >0 có nghiệm t≥ 3
Cho ta tập nghiệm của bpt là 
 2.Dạng2 : đặt ẩn phụ t dẫn bpt xem t là ẩn ,x là tham số,hoặc bpt xem x là ẩn, t 
 là tham số.
 Bài tập:Gbpt: x2-1 
 Đặt t = dẫn tới bpt: x2-2tx-1≤ 0 
 Ta có . PT dẫn tới ( khi và chỉ khi 
 3.Dạng3: Đặt 2 ẩn phụ dẫn tới một hệ.
Bài1: gbpt điều kiện x ≥ 0 biến đổi đặt 
 Trường hợp u = v 
 Vậy để u
 Bài2:gbpt đặt bất phương trình có dạng
III)Phương pháp sử dụng tính đơn điệu hàm số 
 Cơ sở lý thuyết: dựa vào bảng biến thiên của hàm số phát hiẹn miền nghiệm cuả bất phương trình
 Bài tập áp dụng
Bài1: gbpt: xét hàm số f(x) = trên tập x ≥ -2 
 Có đạo hàm luôn dương với mọi x thuộc tập xác định suy ra hàm số luôn đồng biến lại có f(0) = 5
 vậy nghiệm của bpt là x > 0 
Bài2: gbpt: 
 Tương đương 
 Xét hàm số f(t) = Trên có f’(t)hàm số đồng biến trên tập xác định vậy ta có 
 f(x-1)>f(3-x) khi và chỉ khi x-1>3-x cho ta x>2 vậy nghiệm của bất phương trình là 2 < x ≤ 3
 Bài3: gbpt: 2x+ xét hàm số trên tập xác định x≥ 0
 F(x) = 
 Hàm số đồng b iến trên tập xác định vì vậy f(x) < 35 = fvậy nghiệm bpt 0< x <
 IV) Phương pháp sử dụng giá trị lớn nhất nhỏ nhất hàm số 
 Kiến thức cơ bản Lập bảng biến thiên từ đó có kết quả của bài toán 
 Bài tập áp dụng
 Bài1 Tìm m để bpt sau có nghiệm: mx - đặt t = t ≥ 0 ta có 
 m( t2+2) ≤ t+1 tương đương với xét hàm số f(t) = trên tập t≥ 0 có 
 f,(t) = 0 khi t = 1
 Ta có bảng biến thiên t
 f’
f(t)
0
-
+
0
-1
Nhìn vào bảng biến thiên để bất phương trình có nghiệm thì m ≤ 
V) Phương pháp đồ thị : 
 Kiến thức cơ bản : dùng đẻ giải các bài toán tìm tham số để bất phương trình có nghiệm thực hiện các 
 bước sau :
*) sử dụng các phép biến đổi tương đương đưa bất phương tình đã cho về một hệ
*) xét trên hệ trục tọa độ Oxm 
 +) Biểu diễn các điểm M(x,m) thỏa mãn các bất phương trình trong hệ ,giả sử các tập đó là X1,X2,..
 +) Xác định X= X1 ∩ X2 ∩
 +) Chiếu vuông góc tập X lên trục m ,giả sử là Im 
*) Khi đó:
 +) Để hệ vô nghiệm khi m Im 
 +) Để hệ có nghiệm khi m € Im 
 +) Để hệ có nghiệm duy nhất khi đường thẳng m = giao với tập X đúng một điểm duy nhất
Bài tập áp dụng:
 Bài1: Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm đặt y = khi đó bất phương trình tương đương với một hệ 
Các điẻm thỏa mãn (2) ký hiệu là X1 là tập hợp các điểm mằn nửa trên của đường tròn tam O bán kính R=1 các điểm thỏa mãn (3) ký hiệu là X2 là tập hợp các điểm nằm phía trên của đưòng thẳng x + y = m lấy với y ≥ 0 Vậy để bất phương trình có nghiệm khi và chỉ khi 0khi m 
Bài2: Tìm m để bất phương trình sau đúng mọi x thuộc – 4 ≤ x ≤ 6 
 x2 - 2x +m đặt y = ≥ 0 suy ra y2 = 24 + 2x – x2
y
 Tương đương với ( x -1 )2 +y2 = 25 như vậy vế trái của bất phương trình là nửa trên của đường tròn tâm I(1,0) bán kính R = 5 , còn vế phải của bất phương trình y = x2 – 2x + m là một pảabol có đỉnh nằm trên đường thẳng x = 1 để bài toán nghiệm đúng
 với mọi x thuộc – 4 ≤ x ≤ 6 thì pảa bol luôn nằm
 phía trên nửa đường tròn và đỉnh của pảabol tiếp xúc
M(1,5)
 với đường tròn tại điểm M(1,5) tức là 5 = m0 – 1 suy ra m0 = 6
 vậy giá trị m cần tìm là m ≥ 6
 x
1
VI) Phương pháp điều kiện cần và đủ
 Cơ sở lý thuyết : dựa vào đặc điểm của bất phương trình ta có thể
 Suy ra đặc điểm của nghiệm của bất phương trình từ đó suy ra
 Giá trị tham số m , điều kiện đủ với m tìm được thay vào bẩt phương trình ,giá trị m thỏa mãn điều kiện của bài toán là giá trị cần tìm
 Bài tập áp dụng
 Bài toán1: Tìm m để bất phương trình có nghiệm duy nhất (1)
 Điều kiện cần : giả sử (1) có nghiệm là x0 thì – x0 cũng là nghiệm , do đó muốn có nghiệm duy nhất thì phải có x0 = - x0 suy ra x0= 0 thay vào (1) ta có m = 0 
 Điều kiện đủ : với m = 0 thay vào bất phương trình ta có ngay nghiệm duy nhất x = 0 ,vậy m = 0 là giá trị cần tìm
 Bài toán2: Tìm m để bất phương trình (1) nghiệm đúng với mọi 
 Điều kiện cần: để bất phương trình đúng mọi thì x = 1 cũng là nghiệm thay vào (1) ta có m≥ 4 
 Điều kiện đủ : với m ≥ 4 khi đó áp dụng bất đẳng thức Cô si vế trái ta có Vế trái = vế phải x2 – 2x + m = (x-1)2+ m – 1 ≥ 3 suy ra vế phải ≤ vế trái , vậy với m ≥ 4 là giá trị cần tìm 
VII) Phương pháp đánh giá: Đó là các bài toán giải thông thường gặp khó khăn .nếu để ý đặc điểm của bài toán và kết hợp với mọt số bất đẳng thức cơ bản ta có thể suy ngay ra nghiệm của bài toán
 Bài toán áp dụng : giải bất phương trình sau 
 Ta có điều kiện 
 Khi đó vậy bát phương trình có nghiệm khi và chỉ khi Vế trái = 2 khi và chỉ khi 
 vậy x = 1 là nghiệm của bất phương trình