Chuyên đề: Tìm nghiệm nguyên của phương trình

Biên soạn: GV HUỲNH ðỨC KHÁNH 
Ví dụ 1: Tìm nghiệm nguyên của phương trình 3x + 4y = 29. 
Giải: 
Ta có x = 29 4y 2 y9 y
3 3
− −
= − + . 
Muốn có x, y nguyên thì 2 y
3
− phải nguyên hay 3 là ước của 2 – y. 
Vậy: 2 – y = 3t (t ∈ Z). 
Khi ñó: y = 2 – 3t và x = 9 – y + t = 9 – 2 + 3t + t = 4t + 7. 
Vậy: 
x 4t 7 (t nguyên)
y 2 3t
= +

= −
 là tất cả các nghiệm nguyên của phương trình ñã cho. 
Muốn tìm nghiệm nguyên dương của phương trình trên, ta ñặt thêm các ñiều kiện ñể x > 0; y > 0. 
Ta có: 
7
t
x 4t 7 0 4
2y 2 3t 0
t
3
 
> − = + > 
⇔ 
= − >  <
 
Do ñó: 7 2t
4 3
− < < và t chỉ có hai giá trị t1 = –1, t2 = 0. 
Với t1 = –1 thì x = 3, y = 5 là nghiệm nguyên dương của phương trình ñã cho. 
Với t2 = 0 thì x = 2, y = 7 là nghiệm nguyên dương của phương trình ñã cho. 
Ví dụ 2: Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình 7x + 23y = 120 (1) 
Giải: 
Ta có x = 120 23y 1 2y17 3y
7 7
− −
= − + . (2) 
Muốn có x, y nguyên thì 1 – 2y = 7t hay 2y = 1 – 7t (t nguyên). 
Từ ñó: y = –3t + 1 t
2
−
. (3) 
Vì y, t nguyên nên 1 – t = 2t1 (t1 nguyên) ⇔ t = 1 – 2t1. 
Thay vào (3) ta có: y = –3(1 – 2t1) + t1 = 7t1 – 3. 
Thay vào (2) ta ñược: x = 17 – 3(7t1 – 3) + 1 – 2t1 = 27 – 23t1. 
Vậy: x = 27 – 23t1 , y = 7t1 – 3 là nghiệm nguyên của phương trình (1). 
Muốn có nghiệm nguyên dương, ta phải có: 
1
1
1
1
27
t
x 27 23t 0 23
y 7t 3 0 3
t
7

 
⇔ 
= − >  >

Suy ra t1 = 1 và x = 4, y = 4 là nghiệm nguyên dương duy nhất của phương trình ñã cho. 
Ví dụ 3: Tìm nghiệm tự nhiên của phương trình xy – 4x = 35 – 5y (1) 
Giải: 
(1) ⇒ xy – 4x + 5y – 20 = 15 hay ( x + 5)(y – 4) = 15 = 15.1 = 5.3. 
Vì x, y ñều là số tự nhiên nên x + 5 ≥ 5 và là ước của 15, 
CHUYEÂN ÑEÀ. TÌM NGHIEÄM NGUYEÂN 
 CUÛA PHÖÔNG TRÌNH 
Biên soạn: GV HUỲNH ðỨC KHÁNH 
ta có: hoặc 
x 5 15 x 5 5
y 4 1 y 4 3
 + = + =
 
− = − =
hoaëc 
Suy ra: x = 10, y = 5 hoặc x = 0, y = 7. ðó là những nghiệm tự nhiên của phương trình ñã cho. 
Ví dụ 4: Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình x2 – 6xy + 13y2 = 100 (1) 
Giải: 
(1) ⇒ x2 – 6xy + 9y2 = 100 – 4y2 hay (x – 3y)2 = 4(25 – y2) ≥ 0 . 
Vậy 2y 5 và 25 y≤ − là số chính phương. 
Với y = 1 hoặc y = 2 thì 25 – y2 không là số chính phương (loại). 
Với y = 3 ta có: 2
x 9 8 x 17(x 9) 4.16
x 9 8 x 1
− = ⇒ =
− = ⇒ 
− = − ⇒ =
. 
Với y = 4 ta có: 2
x 12 6 x 18(x 12) 36
x 12 6 x 6
− = ⇒ =
− = ⇒ 
− = − ⇒ =
. 
Với y = 5 ta có: (x – 15)2 = 0 ⇒ x = 15. 
Vậy các nghiệm nguyên dương của phương trình ñã cho là: (1; 3), (17; 3), (6; 4), (18; 4), (15; 5). 
Ví dụ 5: Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình 3x2 + 5 y2 = 345 (1) 
Giải: 
345 vừa chia hết cho 3 vừa chia hết cho 5 nên 3x2 + 5 y2 vừa chia hết cho 3 vừa chia hết cho 5. 
Vì (3, 5) = 1 nên x ⋮ 5 ⇒ x = 5a (a ∈ Z) và y ⋮ 3 ⇒ y = 3b (b ∈ Z). 
Ta có: 3.25a2 + 5.9b2 = 345 ⇔ 5a2 + 3b2 = 23 (2) 
Ngoài ra: a2 2b23 23; a 2, b 2
5 3
≤ ≤ ⇒ ≤ ≤ 
Thay vào (2) các giá trị của a = 1, 2 và b = 1, 2 ta thấy phương trình có nghiệm nguyên dương 
duy nhất với a = 2, b = 1. Lúc ñó x = 10, y = 3. 
Ví dụ 6: Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình 5x – 3y = 2xy – 11 (1) 
Giải: 
(1) ⇒11 + 5x = y(2x + 3) hay 11 5x 2(5x 11) 7y 2y và 2y 5
2x 3 2x 3 2x 3
+ +
= ⇒ = = +
+ + +
. 
Nếu x, y ñều là nguyên dương thì 2x +3 phải là ước của 7 tức là bằng –1, 1, –7, 7. 
Trong bốn trường hợp này phương trình chỉ nhận một cặp nghiệm nguyên dương với 2x + 3 = 1 
& 7. Lúc ñó x = 2 và y = 3. 
Ví dụ 7: Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình x + y + z = xyz (1). 
Giải: 
Do vai trò của x, y, là bình ñẳng nên ta giả sử 0 < x ≤ y ≤ z. 
Ta có: xyz = x + y + z ≤ 3z ⇒ xy ≤ 3. 
Nếu x = y = z thì z3 = 3z ⇒ z2 = 3 ñiều này không xảy ra với z nguyên. 
Vậy ba số x, y, z không thể bằng nhau. Vậy số nhỏ nhất không thể bằng 3. Ta có xy < 3. 
Nếu xy = 2 thì x = 1, y = 2 ⇒ z = 3. 
Nếu xy = 1 thì x = 1, y = 1 ⇒ 2 + z = z vô nghiệm. 
---------- HẾT ---------- 
TRUNG TÂM LUYÊN THI ðẠI HỌC ÑÖÙC KHAÙNH 
22A – PHẠM NGỌC THẠCH – TP QUY NHƠN 
Thầy KHÁNH (GV TOÁN) 0975.120.189 – 0563.602.929