Chuyên đề: Tìm điểm thuộc đồ thị thỏa mãn điều kiện cho trước

Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 0973 329 800 or 01694 013 498 
 --------^^^^ Muốn mù trời chẳng cho mù được, gương mắt trông chi kẻ bạc tình ^^^^------- 1 
CHUYÊN ĐỀ: TÌM ĐIỂM THUỘC ĐỒ THỊ THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN 
CHO TRƯỚC 
Tổng quát: Cho hàm số    y f x C . Tìm điểm  M C thỏa mãn điều kiện cho trước 
Phương pháp: Giả sử    0 0 0;M x y C với  0 0y f x . Từ điều kiện cho trước ta dẫn đến một 
phương trình theo 0x , giải phương trình này được  0 0 0 0x y f x M   
Loại 1: Tìm điểm thuộc đồ thị liên quan dến tiếp tuyến 
Bài 1: (ĐHNN – 2001) Tìm trên đồ thị của hàm số 31 2
3 3
y x x   các điểm mà tại đó tiếp tuyến của đồ 
thị vuông góc với đường thẳng 1 2
3 3
y x   . 
Đáp số:  1 2
42; , 2;0
3
M M   
 
Bài 2: (TCKT – 2000) Cho hàm số  
2 2 2
1
x xy C
x
 


. Tìm những điểm thuộc (C) sao cho tiếp tuyến 
tại đó vuông góc với tiệm cận xiên 
Đáp số: Hai điểm có hoành độ 
21
2
x    . 
Bài 3: (ĐHDB – B 2003) Cho hàm số  2 1
1
xy C
x



. Gọi I là giao điểm của hai đường tiệm cận của 
(C). Tìm điểm  M C sao cho tiếp tuyến của (C) tại M vuông góc với đường thẳng IM 
Đáp số:    1 22;3 , 0;1M M 
Bài 4: (ĐHCĐ – 2001) Tìm điểm M thuộc   3 2: 2 3 12 1C y x x x    sao cho tiếp tuyến của (C) tại M 
đi qua gốc tọa độ 
Đáp số:  1;12M  
Bài 5: Cho hàm số 
2
1
xy
x


 có đồ thị (C). Tìm trên đường thẳng 4y  tất các điểm mà từ mỗi điểm đó 
có thể kẻ tới (C) hai tiếp tuyến tạo với nhau một góc bằng 450 
Đáp số:    1 21 2 2;4 1 2 2;4A A    
Bài 6: Cho hàm số  2 3
2
xy C
x



. Tìm những điểm trên đồ thị (C) mà tại đó tiếp tuyến của (C) lập với 
trục Ox một góc dương 0135 . Viết phương trình các tiếp tuyến khi đó 
Đáp số: 6y x   và 2y x   
Bài 7: Cho hàm số  3 2
2
xy H
x



. Tìm trên (H) những điểm mà tại đó tiếp tuyến của (H) có hệ số 
góc bằng 4. Viết phương trình các tiếp tuyến đó 
Đáp số: 4 3y x  và 4 5y x  
Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 0973 329 800 or 01694 013 498 
 --------^^^^ Muốn mù trời chẳng cho mù được, gương mắt trông chi kẻ bạc tình ^^^^------- 2 
Bài 8: (ĐHAN – A 2001) Tìm trên đồ thị của hàm số 
2 2
1
x xy
x
 


 các điểm A để tiếp tuyến của đồ thị 
tại A vuông góc với đường thẳng đi qua A và tâm đối xứng của đồ thị. 
Đáp số: 
4 4
4 4
1 24 4
4 3 8 8 4 3 8 81 8; 1 8;
8 8
A A
      
       
   
Bài 9: Cho hàm số 2 1
1
xy
x



 (1). Tìm điểm M thuộc đồ thị (C) để tiếp tuyến của (C) tại M với đường 
thẳng đi qua M và giao điểm hai đường tiệm cận có tích hệ số góc bằng - 9. 
Đáp số:    0; 3 , 2; 5M M  
Bài 10: Tìm điểm M trên Ox mà tiếp tuyến đi qua M của 1
1
x
y
x
 


 song song với đường thẳng 
d: y = - 2x 
Đáp số: 1 7;0 ( ;0)
2 2
M và M   
 
Bài 11: Tìm hai điểm A, B thuộc đồ thị (C) 3 23 1y x x   sao cho tiếp tuyến của (C) tại A và B song 
song với nhau và độ dài đoạn AB = 4 2 . 
Đáp số:    3;1 –1; –3A và B 
Loại 2: Tìm điểm liên quan đến khoảng cách và đối xứng 
Bài 1: Tìm M  (C)
2 2 5
1
x xy
x
  


 để tổng các khoảng cách từ M đến 2 tiệm cận là nhỏ nhất 
Đáp số: Hai điểm có hoành độ 4 31 2Mx   
Bài 2: (HVQHQT – D 1999) Cho hàm số  2
3
xy C
x



. Tìm trên (C) điểm M sao cho khoảng cách từ 
điểm M đến tiệm cận đứng bằng khoảng cách từ M đến tiệm cận ngang 
Đáp số:    1 23 5; 5 1 , 3 5; 5 1M M     
Bài 3: Tìm trên đồ thị 
3
2 113
3 3
xy x x     hai điểm phân biệt M, N đối xứng hau qua trục tung 
Đáp số: 
16 16
A(-3; ) và B(3; )
3 3
Bài 4: (ĐHAN – 1997) Cho hàm số 2 1
3
xy
x



. Tìm trên đồ thị hàm số điểm M sao cho tổng khoảng 
cách từ M đến hai đường tiệm cận là nhỏ nhất 
Đáp số: Hai điểm có hoành độ 3 7x   và d = 2 7 
Bài 5: Cho hàm số  2
1
xy C
x



. Tìm những điểm thuộc thuộc (C) cách đều hai điểm  0;0A và 
 2;2B 
Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 0973 329 800 or 01694 013 498 
 --------^^^^ Muốn mù trời chẳng cho mù được, gương mắt trông chi kẻ bạc tình ^^^^------- 3 
Bài 6: Cho hàm số 
 
2 3 3
2 1
x xy
x
  


 (1) 
a. Tìm trên đồ thị 2 điểm A, B thuộc 2 nhánh sao cho AB min. 
b. Tính diện tích tam giác tạo bởi tiệm cận xiên và các trục tọa độ. 
Đáp số: a. 
4 4
4 4 4 4
1 1 5 1 1 1 5 11; ; 1;
2 2 2 25 2 5 5 2 5
A B
   
             
   
 b. 1 . 1
2OAB
S OA OB   
Bài 7: Cho hàm số  
1
xy C
x


. Tìm điểm  M C có khoảng cách đến đường thẳng : 3 4 0x y   
bằng 1 
Bài 8: (QGHN – B 1998) Cho hàm số  
2 2 2
1
x xy C
x
 


. Tìm điểm  M C sao cho khoảng cách 
từ điểm M đến trục hoành bằng hai lần khoảng cách từ M đến trục tung 
Đáp số: Có hai điểm thỏa mãn là    1 22;2 2 , 2; 2 2M M   
Bài 9: Cho hàm số 
2 1
1
x xy
x
 


. Tìm những điểm trên đồ thị cách đều hai trục tọa độ 
Bài 10: Cho hàm số  
2 1
1
x xy C
x
 


. Tìm tất cả những điểm  M C sao cho tổng khoảng cách từ 
M đến hai đường tiệm cận đạt giá trị nhỏ nhất 
Đáp số: 
4 4
4 4
1 24 4
1 8 1 81 ;1 2 , 1 ;1 2
2 22 2
M M
   
           
   
Bài 11: Cho hàm số 1
2 1
xy
x
 


 (C) 
a. Tìm M thuộc (C) sao cho tổng khoảng cách từ M đến 2 trục tọa độ đạt giá trị lớn nhất 
b. Tìm M thuộc (C) sao cho tổng khoảng cách từ M đến 2 tiệm cận đạt giá trị nhỏ nhất 
c. Tìm hai điểm A và B thuộc 2 nhánh của đồ thị hàm số sao cho AB min 
Đáp số: 
 a. 3 1 3 1;
2 2
M
  
  
 
min 3 1d   b.
3 1 3 1;
2 2
M
  
  
 
 3 1 3 1;
2 2
M
    
  
 
 c. min
3 1 3 1 3 1 3 1; ; ; ; 6
2 2 2 2
A B AB
        
      
   
Bài 12: Tìm điểm N (xN >1) thuộc 
2 1
2
xy
x



 sao cho khoảng cách từ N đến tiếp tuyến  ngắn nhất 
Đáp số:  2; 5N  
Bài 13: Tìm điểm M thuộc (C) 
1
12



x
xy sao cho khoảng cách từ điểm )2;1(I tới tiếp tuyến của (C) 
tại M là lớn nhất 
Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 0973 329 800 or 01694 013 498 
 --------^^^^ Muốn mù trời chẳng cho mù được, gương mắt trông chi kẻ bạc tình ^^^^------- 4 
Đáp số:  1 3 ;2 3M    hoặc  1 3 ;2 3M    
Bài 16: Tìm hai điểm E và F thuộc hai nhánh khác nhau của đồ thị  
2 1
1
x xy C
x
 


 sao cho đoạn EF 
ngắn nhất 
Đáp số: Hai điểm E và F có hoành độ 
4
11
2
 
Bài 17: (ĐH KTQS – 2000) Tìm điểm M thuộc đồ thị hàm số 
2 4 5
2
x xy
x
 


 có khoảng cách đến 
đường thẳng : 3 6 0y x    là nhỏ nhất 
Đáp số: Có hai điểm là 1 2
3 5 5 5: ; , ;
2 2 2 2
M M        
   
và 4
10
d  
Bài 18: Tìm điểm M thuộc đồ thị 2
2
xy
x



 sao cho tổng khoảng cách từ M đến hai trục tọa độ là nhỏ 
nhất 
Đáp số:  0; 1M  
Bài 19: Cho hàm số 2
1
xy
x



 (C). Tìm những điểm trên (C) sao cho khoảng từ điểm đó đến trục hoành 
gấp đôi khoảng cách từ đó đến trục tung 
Bài 20: Tìm trên đồ thị (C) 2 4
1
xy
x



 hai điểm đối xứng nhau qua đường thẳng MN biết M(-3; 0) và N(-
1; -1) 
Đáp số: (0; 4) (2;0)A B 
Bài 21: Tìm điểm M thuộc đồ thị 3x 4y
x 2



sao cho M cách đều hai đường tiệm cận của đồ thị (C). 
Đáp số:    1 2M 1;1 ; M 4;6 
Bài 22: (ĐHNT_A 01) Cho
2 2 2
1
x xy
x
 


. Tìm những điểm thuộc đồ thị sao cho khoảng cách từ đó 
đến giao điểm hai tiệm cận nhỏ nhất. 
Đáp số: 41 1 / 2x   , d 2 2 2  
Bài 23: Cho 1
1
xy
x



.CMR tích khoảng cách từ một điểm bất kì thuộc đồ thị hàm số đến các đường tiệm 
cận là một hằng số. 
Bài 24: (ĐHDL Hải Phòng_00) Cho 2
1
xy
x



. Tìm những điểm trên đồ thị cách đều hai điểm O(0;0), 
B(2; 2). 
Bài 25: Cho
2 5
2
x xy
x
 


. CMR tích khoảng cách từ một điểm M bất kì thuộc đồ thị đến các đường 
tiệm cận là một hằng số. 
Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 0973 329 800 or 01694 013 498 
 --------^^^^ Muốn mù trời chẳng cho mù được, gương mắt trông chi kẻ bạc tình ^^^^------- 5 
Bài 26: (ĐHSP TPHCM_D00) Cho 
2 3 3
1
x xy
x
 


. Tìm hai điểm A, B thuộc hai nhánh khác nhau để 
khoảng cách giữa chúng nhỏ nhất 
Đáp số: Hai điểm thỏa mãn là A,B 4
4 4
1 11 ;2 2
2 2
 
    
 
 và d = 2 )12(2  
Bài 27: (ĐHNT_99) Cho hàm số 1
1
y x
x
 

. Tìm hai điểm A, B trên hai nhánh khác nhau của đồ thị 
sao cho khoảng cách AB ngắn nhất 
Đáp số: Hai điểm thỏa mãn A, B 4
4 4
1 11 ;1 2
2 2
 
   
 
Bài 28: (ĐH Đà Nẵng_B98) Cho hàm số 2 1
1
xy
x



. Tìm trên đồ thị những điểm có tổng khoảng cách 
đến hai tiệm cận nhỏ nhất. 
Đáp số: A(0; 1), B(-2; 3), d = 2 
Bài toán 4: Các bài toán liên quan đến khoảng cách: 
 A. Lý thuyết: 
- Khoảng cách giữa hai điểm: 
Cho    ; , ;A A B BA x y B x y khi đó:    
2 2
B A B AAB x x y y    
- Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng: 
Cho điểm 0 0( ; )M x y và đường thẳng : 0ax by c    , khi đó khoảng cách từ M đến đường thẳng 
 là:   0 0
2 2
ax
;
by c
d M
a b
 
 

. 
- Định lí Viét: Nếu phương trình 2 0 ( 0)ax bx c a    có hai nghiệm x1,x2 thì 
1 2
1 2 
bx x
a
cx x
a
   

 

. 
B. Bài tập: 
Bài 1: Tìm m để đồ thị hàm số 
 
2 3 3
2 1
x x
y
x
  


 cắt đường thẳng y = m tại hai điểm phân biệt A,B sao 
cho AB = 1 
Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 0973 329 800 or 01694 013 498 
 --------^^^^ Muốn mù trời chẳng cho mù được, gương mắt trông chi kẻ bạc tình ^^^^------- 6 
Bài 2: Tìm m để đồ thị hàm số 
2 1
1
x x
y
x
  


 cắt đường thẳng y = m tại hai điểm phân biệt A, B sao 
cho AB nhỏ nhất 
Bài 3: Cho hàm số 11
1
y x
x
  

 (C) 
a) Tìm m sao cho (C) cắt đường thẳng y = m tại hai điểm phân biệt A,B sao cho 5AB  
b) Tìm hai điểm M,N thuộc hai nhánh của (C) sao cho MN nhỏ nhất 
Bài 4: Tìm các điểm M trên đồ thị hàm số 2
3
xy
x



 sao cho khoảng cách từ M đến các tiệm cận bằng 
nhau 
Bài 5: Giả sử tiếp tuyến của đồ thị hàm số 
2 2 (C)
2
x x
y
x
 


 tại điểm ( )M C cắt hai tiệm cận tại P 
và Q. Cmr MP = MQ 
Bài 6: Cho hàm số 
2 4 4
1
x x
y
x
  


 (C) 
a) Cmr tích khoảng cách từ điểm M thuộc (C) đến hai tiệm cận là không đổi 
b) Tìm điểm M thuộc (C) sao cho: ( , ) 2 ( , )d M Ox d M Oy 
Bài 7: Cmr với mọi m đồ thị hàm số 3 21 1
3
y x mx x m     luôn có hai điểm cực tri, tìm m để 
khoảng cách giữa hai điểm cực trị đó nhỏ nhất 
Bài 8: Cho hàm số 
2 2 2
1
x xy
x
 


a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số 
b) Tìm điểm M trên đồ thị sao cho khoảng cách từ M đến giao điểm của hai tiệm cận nhỏ nhất 
Bài 9: 
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( )C của hàm số 
22 1
1
x xy
x
 


 b) Gọi ( )M C có hoành độ Mx m . Chứng tỏ rằng tích các khoảng cách từ M đến hai đường tiệm 
cận của ( )C không phụ thuộc vào m 
Bài 10: Cho hàm số 
2 1
1
x xy
x
 


a. Khảo sát hàm số đã cho. 
b. Xác định điểm 1 1( ; )A x y (với 1 1x  ) thuộc đồ thị của hàm số trên sao cho khoảng cách từ A đến giao 
điểm của 2 tiệm cận của đồ thị là nhỏ nhất. 
Bài 11: Cho hàm số: 
22 2
1
x mxy
x
 


với m là tham số. Xác định m để tam giác tạo bởi 2 trục toạ độ và 
đường tiệm cận xiên của hàm số trên có diện tích bằng 4. 
Bài 12: 
Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 0973 329 800 or 01694 013 498 
 --------^^^^ Muốn mù trời chẳng cho mù được, gương mắt trông chi kẻ bạc tình ^^^^------- 7 
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số 
2 2 2
1
x xy
x
 


2. Tìm điểm M trên đồ thị của hàm số sao cho khoảng cách từ M đến giao điểm của hai đường tiệm cận 
là nhỏ nhất. 
Bài 13: 
1. Khảo sát hàm số : 
2 5
2
x xy
x
 


 (C) 
2. Chứng minh rằng tích các khoảng cách từ một điểm M bất kỳ trên đồ thị (C) đến các tiệm cận là một 
hằng số không phụ thuộc vị trí điểm M. 
3. Tìm trên mỗi nhánh của đồ thị (C) một điểm sao cho khoảng cách giữa chúng nhỏ nhất. 
Bài 14: Tìm phương trình tt của (C): 32 24  xxy có khoảng cách đến điểm A(0;-3) bằng 
65
5
Bài 15: Cho hàm số 
2x + 1 y =
1 - x
 Gọi (∆) là tiếp tuyến tại điểm M(0; 1) với đồ thị ( C ). Hãy tìm trên (C) những 
điểm có hoành độ x > 1 mà khoảng cách từ đó đến (∆) là ngắn nhất. 
Bài 16: Tìm trên đồ thị (C):
2 1
1
xy
x



 những điểm có tổng khoảng cách đến hai tiệm cận nhỏ nhất 
Đáp số: (0;1) và (-2;-3) 
Bài 17: Tìm trên đồ thị (C):
2
3
xy
x



những điểm khoảng cách đến TCĐ và TCN bằng nhau 
Bài 18: Tìm trên đồ thị (C):
2
1
xy
x



những điểm cách đều hai điểm A(0;0) và B(2;2) 
Bài 19: Tìm trên đồ thị (C):
2
2
xy
x



những điểm cách đều hai trục tọa độ 
Bài 20: Tìm trên đồ thị (C):
3
1
xy
x



những điểm sao cho khoảng cách từ đó đến trục hoành bằng hai 
lần khoảng cách từ đó đến trục tung. 
Bài 21: Tìm trên đồ thị (C):
2 1
3
xy
x



những điểm có tổng khoảng cách đến hai tiệm cận nhỏ nhất