Chuyên đề Tiếp tuyến và sự tiếp xúc

THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 
1 
Tiếp tuyến và sự tiếp xúc 
 Mục lục 
Loại 1. Tiếp tuyến tại một điểm và tiếp tuyến qua một điểm ..................................................2 
A. Tóm tắt lý thuyết ..............................................................................................................2 
B. Một số ví dụ .......................................................................................................................3 
C. Bài tập ............................................................................................................................. 10 
D. Hướng dẫn và đáp số ...................................................................................................... 11 
Loại 2. Một số tính chất hình học của tiếp tuyến ................................................................... 12 
A. Tóm tắt lý thuyết ............................................................................................................ 12 
B. Một số ví dụ ..................................................................................................................... 13 
C. Bài tập ............................................................................................................................. 21 
D. Hướng dẫn và đáp số ...................................................................................................... 22 
Loại 3. Điều kiện tiếp xúc ........................................................................................................ 23 
A. Tóm tắt lý thuyết ............................................................................................................ 23 
B. Một số ví dụ ..................................................................................................................... 24 
C. Bài tập ............................................................................................................................. 28 
D. Hướng dẫn và đáp số ...................................................................................................... 29 
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 
2 
Loại 1. Tiếp tuyến tại một điểm và tiếp tuyến qua một điểm 
A. Tóm tắt lý thuyết 
Cho  y f x  C . 
* Tiếp tuyến tại một điểm (Hình 1): 
Tiếp tuyến với  C tại   0 0M x ;f x là đường thẳng đi qua 
M và có hệ số góc  0f ' x . Như vậy, PTTT với  C tại M 
là: 
      0 0 0: y f ' x x x f x    . 
Chú ý: Khi nói đến tiếp tuyến của  C tại M , ta phải hiểu 
rằng  M C và M là nơi xảy ra sự tiếp xúc. 
Δ
O
y
x
M x0;f x0  
C( )
 Hình 1 
* Tiếp tuyến qua một điểm: 
Tiếp tuyến qua M của  C là tiếp tuyến với  C tại một điểm N nào đó. Ta có ba trường hợp 
sau: 
+) Trường hợp 1 (Hình 2):  M C . 
+) Trường hợp 2 (Hình 3):  M C , M không phải tiếp điểm. 
+) Trường hợp 3(Hình 4):  M C , M là tiếp điểm. Trong trường hợp này, tiếp tuyến 
qua M chính là tiếp tuyến tại M . 
N
M
(C)
 Hình 2 
M
N
(C)
 Hình 3 
M≡N
(C)
 Hình 4 
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 
3 
B. Một số ví dụ 
Ví dụ 1. Cho  
2x x 1
23x 1
f x  

  C . Viết PTTT của  C tại điểm M có hoành độ bằng 1 . 
Giải 
Ta có   14f 1  ,    
23x 4x 1
2 23x 1
f ' x  

    18f ' 1    PTTT với  C tại M là: 
 1 18 4: y x 1      
31
8 8: y x    . 
Ví dụ 2. Cho   3 2f x x 4x 5x 2     C . Viết phương trình các tiếp tuyến của  C tại 
những giao điểm của  C với trục hoành. 
Giải 
 M C Ox    
 
3 2y x 4x 5x 2 1M :
y 0 2
    


. 
Thay  2 vào  1 ta được 3 2x 4x 5x 2 0        2x 2 x 1 0    
x 2
x 1
 
  
. 
Vậy  C có hai giao điểm với trục hoành là  1M 2;0 và  2M 1;0 . 
 Ta có   2f ' x 3x 8x 5   . 
+)  f ' 2 1   PTTT với  C tại 1M là  1 : y 1. x 2 0     1 : y x 2   . 
+)  f ' 1 0   PTTT với  C tại 2M là  2 : y 0. x 1 0     2 : y 0  . 
Vậy phương trình các tiếp tuyến của  C tại những giao điểm của  C với trục hoành là 
1 : y x 2   , 2 : y 0  . 
Ví dụ 3. Cho   3 223f x x x 2x 2     C . Viết phương trình các tiếp tuyến có hệ số góc bằng 
2 của  C . 
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 
4 
Giải 
PTTT của  C tại điểm có hoành độ 0x là 
     0 0 0: y f ' x x x f x    . 
 có hệ số góc bằng 2 khi và chỉ khi 
 0f ' x 2  
2
0 02x 2x 2 2    
2
0 0x x 2 0    
0
0
x 1
x 2
 
 
. 
+) 0x 1     70 3f x    
7
3: y 2 x 1     
13
3: y 2x   . 
+) 0x 2    20 3f x     
2
3: y 2 x 2     
14
3: y 2x   . 
Vậy phương trình các tiếp tuyến có hệ số góc bằng 2 của  C là: 
13
3: y 2x   và 
14
3: y 2x   . 
Ví dụ 4. Cho   3 2f x x 3x 12x 5     C . Viết PTTT có hệ số góc nhỏ nhất của  C . 
Giải 
Hệ số góc tiếp tuyến tại điểm có hoành độ 0x của  C là: 
   220 0 0 0k f ' x 3x 6x 12 3 x 1 15       . 
Ta thấy k 15  , dấu “ ” xảy ra  0x 1 . Do đó k nhỏ nhất bằng 15 , đạt được  
0x 1 . 
 f 1 9   tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất của  C là: 
 : y 15 x 1 9      : y 15x 6    . 
Ví dụ 5. [ĐHB08] Cho    3 2f x 4x 6x 1 C   . Viết phương trình các tiếp tuyến đi qua điểm 
 M 1; 9  của  C . 
Giải 
PTTT của  C tại điểm có hoành độ 0x là: 
     0 0 0: y f ' x x x f x        2 3 20 0 0 0 0: y 12x 12x x x 4x 6x 1       . 
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 
5 
 đi qua  M 1; 9      2 3 20 0 0 0 09 12x 12x 1 x 4x 6x 1        
 3 20 0 08x 6x 12x 10 0    
    20 04x 5 x 1 0    
5
0 4
0
x
x 1
 

  
. 
+) 50 4x   
 
 
15
0 4
9
0 16
f ' x
f x
 

 
   15 5 94 64 1: y x     15 214 4: y x   . 
+) 0x 1   
 
 
0
0
f ' x 24
f x 9
 

 
   : y 24 x 1 9     : y 24x 15   . 
Vậy phương trình các tiếp tuyến đi qua điểm M của  C là 15 214 4: y x   , : y 24x 15   . 
Ví dụ 6. Cho   1 xx 1f x


  C . Chứng minh qua điểm  I 1; 1  không tồn tại tiếp tuyến của 
 C . 
Giải 
PTTT của  C tại điểm có hoành độ 0x là: 
     0 0 0: y f ' x x x f x      
  1 x02 02 x 10x 10
: y x x 

    . 
d đi qua  I 1; 1    
  1 x02 02 x 10x 10
1 1 x 

     
 
1 x02
x 1 x 10 0
1 
 
   
  
3 x0
x 10
1 

  
 
 0 0
0
x 1 3 x
x 1 0
   

 
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 
6 
 0x  . 
Vậy không tồn tại 0x để  đi qua I . Nói cách khác qua I không tồn tại tiếp tuyến của  C . 
Ví dụ 7. Cho    2f x 4x 3mx 6 C   . Tìm m để  C có tiếp tuyến đi qua  A 1; 2 . 
Giải 
PTTT với  C tại điểm có hoành độ 0x là: 
      0 0 0: y f ' x x x f x    
     20 0 0 0: y 8x 3m x x 4x 3mx 6       . 
 C có tiếp tuyến đi qua  A 1; 2  0x :  đi qua A  phương trình: 
    20 0 0 02 8x 3m 1 x 4x 3mx 6        * 
có nghiệm đối với 0x . 
Ta có:  *  20 04x 8x 3m 8 0    ( ' 12m 48   ). 
Do đó  * có nghiệm  ' 0   12m 48 0   m 4  . 
Vậy  C có tiếp tuyến đi qua  A 1; 2  m 4  . 
Ví dụ 8. Cho   2x 1x 2f x


  C . Tìm trên đường thẳng x 3 các điểm mà qua đó có tiếp tuyến 
của  C . 
Giải 
PTTT với  C tại điểm có hoành độ 0x ( 0x 2 ) là: 
     0 0 0: y f ' x x x f x     
 
  2x 15 002 x 20x 20
: y x x 

    . 
Điểm A nằm trên đường thẳng x 3  tọa độ A có dạng  A 3;a . 
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 
7 
Qua A có tiếp tuyến tới  C 
 tồn tại 0x sao cho  qua A 
 phương trình 
 
  2x 15 002 x 20x 20
a 3 x 

    1 có nghiệm đối với 0x . 
Ta thấy  1  
         20 0 0 0 0
0
a x 2 5 3 x 2x 1 x 2 x 2 0
x 2 0
          

 
        20 0 0 0a x 2 5 3 x 2x 1 x 2       
    20 0a 2 x 2 2a 1 x 4a 17 0       2 . 
* a 2 0   a 2 . Khi đó  2 trở thành 010x 21 0    210 10x  . Do đó trong trường 
hợp này  2 có nghiệm   1 có nghiệm. 
* a 2 0   a 2 . Khi đó  2 là phương trình bậc hai có ' 5a 35    . Do đó, trong 
trường hợp này  1 có nghiệm   2 có nghiệm  ' 0   5a 35 0    a 7 . 
Vậy tập hợp các điểm thỏa mãn yêu cầu bài toán là   A 3;a a 7 . 
Ví dụ 9. [ĐHD02] Cho    
22m 1 x m
x 1f x
 

  C và d : y x . Tìm m để  C tiếp xúc với d . 
Giải 
PTTT với  C tại điểm có hoành độ 0x ( 0x 1 ) là: 
     0 0 0: y f ' x x x f x    
    
22 2m 1 x m0m 1
0x 1 x 10 0
: y x x  
 
     
 
. 

  22 2 2m 1 x m0m 1 m 1
0x 1 x 1 x 10 0 0
: y x x   
  
         
   
. 
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 
8 
 C tiếp xúc với d  0x : d  
 hệ 
 
2
m 1
x 10
22 2m 1 x m0m 1
0x 1 x 10 0
1
x 0


 
 
   
 

       
  * có nghiệm đối với 0x . 
Ta có  *  
 
   
2
m 1
x 10
22m 1 x m0
0 x 10
1 1
x 0 2


 

   
 


  
 1  
0
0
0
x 1
x 1 m 1
x 1 1 m


  
   
  
0
0
0
x 1
x m
x 2 m



  
. 
+) m 1  m 2 m 1     1 vô nghiệm   * vô nghiệm. 
+) m 1 :  1  0
0
 x m
x 2 m

  
. 
0x m   
   
22m 1 m m
m 1VT 2 m 0 VP 2
 

     
 0x m là một nghiệm của  * 
  * có nghiệm. 
Vậy  C tiếp xúc với d  m 1 . 
Ví dụ 10. Cho   4 2f x x 8x 7    C . Tìm m để đường thẳng d : y 60x m  tiếp xúc với 
 C . Với mỗi m tìm được, hãy chỉ ra hoành độ tiếp điểm của d và  C . 
Giải 
PTTT với  C tại điểm có hoành độ 0x là: 
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 
9 
     0 0 0: y f ' x x x f x    
      0 0 0: y f ' x x x f x    . 
      0 0 0 0: y f ' x x x f ' x f x    . 
 C tiếp xúc với d  0x : d  
 hệ 
 
   
0
0 0 0
f ' x 60
x f ' x f x m
 

  
  * có nghiệm đối với 0x . 
Ta có  *  
   
   
0
0 0
f ' x 60 1
m 60x f x 2
 

  
. 
 1  30 04x 16x 60   0x 3 . 
Thay 0x 3 vào  2 ta có: m 164  . 
Vậy d tiếp xúc với  C  m 164  . Khi đó hoành độ tiếp điểm là 0x 3 . 
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 
10 
C. Bài tập 
Bài 1. Viết PTTT của  C biết rằng 
1)  C là ĐTHS   4 2f x x 2x 3   và hoành độ tiếp điểm bằng 2 . 
2)  C là ĐTHS  
2x 3x 4
x 1f x
 

 và tiếp điểm là giao điểm của  C với trục tung. 
3)  C là ĐTHS   3 2f x 2x 3x 5   và tiếp tuyến đi qua  1912A ;4 . 
Bài 2. Viết PTTT của  C biết 
1)  C là ĐTHS   3 2f x x 3x 5x 1    , tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất. 
2)  C là ĐTHS   3 213f x x x 5x 2     , tiếp tuyến có hệ số góc lớn nhất. 
3)  C là ĐTHS  ...  10 0 02x 10
d I,
     
     

    . 
Theo bất đẳng thức Cô-si: 
 
 29 02x 10
x 1 2 9 6

    , vậy  d I, 6  . Đẳng thức xảy ra 
khi và chỉ khi 
 
 202
0
9 x 1
x 1
 

   20x 1 3   0x 1 3   . 
Vậy khoảng cách  d I, lớn nhất bằng 6 , đạt được khi và chỉ khi 0x 1 3    
 M 1 3;2 3   hoặc  M 1 3;2 3   
Ví dụ 8. [ĐHD07] Cho    2xx 1f x C . Tìm tọa độ điểm M thuộc  C biết tiếp tuyến của 
 C tại M cắt hai trục Ox , Oy tại A , B sao cho OAB có diện tích bằng 14 . 
Giải 
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 
19 
Ta có  
 
2
2x 1
f ' x

 . Xét điểm  M C , M có hoành độ 0x . Ta có PTTT với  C tại M : 
     0 0 0: y f x x x f x      
  2x02 02 x 10x 10
: y x x

    
    
22x02x
2 2x 1 x 10 0
: y
 
   . 
A Ox       
22x02x
2 2x 1 x 10 0A :
y 0
y
 


 



   20A x ;0 , 
B Oy      
22x02x
2 2x 1 x 10 0A :
x 0
y
 


 



  
 
22x0
2x 10
B 0;

 
 
 
 
. 
Ta có 20OA x , 
 
22x0
2x 10
OB


 
 
xOA.OB 0
ABC 2 2x 1
4
0
S

  . 
1
OAB 4S  
 
 
x0 1
2 4x 10
4

 
  20 04x x4 1 
 
 
0 0
0
2
0
2
2x x 1
2x x 1
 

  

 
 voâ nghieäm
0 0
0 0
2
2
2x x 1 0
2x x 1 0 7 0

      
  

 
 
0
1
0 2
x 1
x


 
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 
20 
 
 
 12
M 1;1
M ; 2


  

. 
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 
21 
C. Bài tập 
Bài 1. Viết PTTT của  C biết rằng 
1) [ĐHB06]  C là ĐTHS 
2x x 1
x 2y
 

 và tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng d : y x 1  . 
2)  C là ĐTHS 1 2x2x 1y


 và tiếp tuyến song song với đường thẳng d : 4x y 1 0   . 
3)  C là ĐTHS 3 21 12 2y x x 2x 1    và tiếp tuyến tạo với đường thẳng d : x 3y 1 0   góc 
o45 . 
Bài 2. Tìm tất cả các điểm trên đồ thị  C của hàm số 31 23 3y x x   mà tiếp tuyến tại đó 
vuông góc với đường thẳng 1 23 3d : y x   . 
Bài 3. Cho  4 212y mx 2m x 3     mC . Tìm m để tiếp tuyến của  mC tại các điểm có 
hoành độ bằng 1 và 3 tạo với nhau một góc có cô-sin bằng 3
13
. 
Bài 4. Cho    3 213y mx m 1 x 3m 4 x 1       mC . Tìm điều kiện của m để  mC có 
tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y x 2012  . 
Bài 5. Cho 3 xx 4y


  C . Viết PTTT của  C biết tiếp tuyến cách  A 4; 1  một khoảng bằng 
7 2
5 . 
Bài 6. Cho   x 13x 4f x


  C . Viết PTTT của  C biết khoảng cách từ điểm  4 13 3I ; tới tiếp 
tuyến đạt giá trị lớn nhất. 
Bài 7. [ĐHA09] Cho    x 22x 3f x C


 . Viết PTTT của  C biết tiếp tuyến cắt các trục tọa độ 
tại các điểm A , B sao cho OAB cân tại O . 
Bài 8. Cho      
x 3
2 x 1
f x C

 . Viết phương trình tiếp tuyến của  C biết tiếp tuyến cắt các 
trục tọa độ tại các điểm A , B sao cho trung trực của đoạn thẳng AB đi qua gốc tọa độ O . 
Bài 9. Cho    2xx 2f x C . Viết PTTT của  C biết rằng tiếp tuyến cắt các trục tọa độ Ox , 
Oy lần lượt tại hai điểm A , B phân biệt sao cho AB OA 2 . 
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 
22 
D. Hướng dẫn và đáp số 
Bài 1. 1) Có hai tiếp tuyến thỏa mãn yêu cầu bài toán là: y x 2 2 5    , y x 2 2 5    . 
2) Chỉ có một tiếp tuyến thỏa mãn yêu cầu bài toán là: y 4x 7   . 
3) Có bốn tiếp tuyến thỏa mãn yêu cầu bài toán là: 
1 1
2 2y x  , 
2291
2 54y x  , y 2x 1   , 
29
27y 2x   . 
Bài 2. Trên  C có hai điểm mà tiếp tuyến tại đó vuông góc với d là:  2;0 và  432; . 
Bài 3. 148m  hoặc 
7
240m   . 
Bài 4.  mC có tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y x 2012   phương trình 
   20 0mx 2 m 1 x 3m 4 1      có nghiệm đối với 0x  12 m 1   . 
Bài 5. Các tiếp tuyến thỏa mãn yêu cầu bài toán là: y 7x 15   , y 7x 43   , 317 7y x   , 
251
7 7y x   . 
Bài 6. Các tiếp tuyến thỏa mãn yêu cầu bài toán là: y x 1  , 73y x  . 
Bài 7. Đồ thị có đúng một tiếp tuyến thỏa mãn yêu cầu bài toán là y x 2   . 
Bài 8. Các tiếp tuyến thõa mãn yêu cầu bài toán là: 32y x   , 
5
2y x   . 
Bài 9. Đồ thị có đúng một tiếp tuyến thỏa mãn yêu cầu bài toán là: y x 4   . 
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 
23 
Loại 3. Điều kiện tiếp xúc 
A. Tóm tắt lý thuyết 
* Định nghĩa (Hình 5): Cho  y f x  C và  y g x  C' . 
 C và  C' tiếp xúc với nhau tại điểm  0 0M x ;y nếu cả hai 
điều kiện sau đây thỏa mãn: 
+) M là một điểm chung của  C và  C' . 
+) Tiếp tuyến của hai đường cong tại M trùng nhau. 
Điểm M được gọi gọi là tiếp điểm của hai đường cong đã cho. 
y
xO
y0
x0
M
 Hình 5 
* Điều kiện tiếp xúc: Để xét sự tiếp xúc của hai ĐTHS  y f x  C và  y g x  C' , ta xét 
hệ: 
   
   
 
f x g x
*
f ' x g' x
 


. 
Ta có: 
+)  C và  C' tiếp xúc nhau  hệ  * có nghiệm đối với x . 
+) Nghiệm của  * chính là hoành độ tiếp điểm. 
+) 0x là hoành độ tiếp điểm  tiếp tuyến chung của  C và  C' tại điểm có hoành độ 
0x là:      0 0 0y f ' x x x f x   . 
Hệ quả: Đường thẳng y kx m  là tiếp tuyến của ĐTHS  y f x  C khi và chỉ khi hệ 
 
 
f x kx m
f ' x k
  

 
có nghiệm đối với x . 
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 
24 
B. Một số ví dụ 
Ví dụ 1. [SGKNC] Cho 3 54y x x 2    C và 
2y x x 2    C' . Chứng minh  C và 
 C' tiếp xúc nhau và viết PTTT chung. 
Giải 
Ký hiệu   3 54f x x x 2   và  
2g x x x 2   . Xét hệ: 
   
   
f x g x
f ' x g' x
 


  I . 
Ta có  I  
   
3 25
4
' '3 25
4
x x 2 x x 2
x x 2 x x 2
     


     

  
3 2 x
4
2 5
4
x x 0
3x 2x 1
   

  
  12x  . 
Vậy  C và  C' tiếp xúc nhau tại điểm có hoành độ bằng 12 . 
 
 
51
2 4
1
2
g
g ' 2
  

 

  PTTT chung là:   512 4y 2 x   hay 94y 2x  . 
Ví dụ 2. [SGK] Chứng minh rằng đường thẳng y kx m  là tiếp tuyến của parabol 
2y ax bx c   (a 0 ) khi và chỉ khi phương trình 2ax bx c kx m     1 có nghiệm kép. 
Giải 
Ta có  1   2ax b k x c m 0     (    2b k 4a c m     ). 
Do đó:  1 có nghiệm kép  0      2b k 4a c m 0    . 
Đường thẳng và parabol đã cho tiếp xúc nhau khi và chỉ khi hệ sau đây có nghiệm đối với x 
 I 
2ax bx c kx m
2ax b k
    

 
. 
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 
25 
Ta có  I  
     
 
2
k b
2a
ax b k x c m 0 1
x 2
     


. 
 I có nghiệm  k b2ax
 là nghiệm của  1 
      2k b k b2a 2aa b k . c m 0      
      
2 2b k b k
4a 2a c m 0
 
    
     2b k 4a c m 0    . 
   1 có nghiệm kép (ĐPCM). 
Ví dụ 3. [SGKNC] Viết PTĐT qua điểm  A 1; 2 và tiếp xúc với parabol 2y x 2x  . 
Giải 
PTĐT qua  A 1; 2 có hệ số góc k có dạng  : y k x 1 2     : y kx k 2    . 
Xét phương trình 2x 2x kx k 2    hay  2x k 2 x k 2     1 (    2k 2 4 k 2     ). 
 tiếp xúc với parabol đã cho   1 có nghiệm kép  0   
k 2
k 2
 
 
. 
+) k 2    : y 2 x 1 2      : y 2x   . 
+) k 2   : y 2 x 1 2     : y 2x 4   . 
Vậy qua điểm A có hai đường thẳng tiếp xúc với parabol là: y 2x  và y 2x 4  . 
Ví dụ 4. [ĐHB08] Cho    3 2f x 4x 6x 1 C   . Viết phương trình các tiếp tuyến đi qua điểm 
 M 1; 9  của  C . 
Giải 
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 
26 
Đường thẳng qua M , hệ số góc k có phương trình dạng  : y k x 1 9    . 
 là tiếp tuyến của  C khi và chỉ khi hệ sau đây có nghiệm 
 I 
   
 
3 2
2
4x 6x 1 k x 1 9 1
12x 12x k 2
     

 
. 
Thế  2 vào  1 ta có:    3 2 24x 6x 1 12x 12x x 1 9      
  3 24x 3x 6x 5 0    
  
5
4x
x 1
 

  
. 
Do đó:  I có nghiệm  54x  là nghiệm của  2 hoặc x 1  là nghiệm của  2 . 
+) Thay 54x  vào  2 ta có 
15
4k    
15
4: y x 1 9     
15 21
4 4: y x   . 
+) Thay x 1  vào  2 ta có k 24   : y 24 x 1 9     : y 24x 15   . 
Vậy phương trình các tiếp tuyến đi qua điểm M của  C là 15 214 4y x  , y 24x 15  . 
Ví dụ 5. [ĐHD02] Cho    
22m 1 x m
x 1f x
 

  C và d : y x . Tìm m để  C tiếp xúc với d . 
Giải 
 C tiếp xúc với d khi và chỉ khi hệ sau đây có nghiệm đối với x 
 I 
 
 
f x x
f ' x 1
 


. 
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 
27 
Ta có  I  
 
 
22m 1 x m
x 1
2m 1
x 1
x
1
 






 
  
     22m 1 x m x x 1 1
x m
x 2 m
x 1
    

 
  
 

Do đó  I có nghiệm  
 
 
laø nghieäm cuûa
laø nghieäm cuûa
m 1
m 1
2 m 1
2 m 1
 


   
 
   
       
2
2
m 1
2m 1 m m m m 1
2 m 1
2m 1 2 m m 2 m 1 m
 

   

 

     
 
m 1
m 1
m
m
1
 


 





 m 1 . 
Vậy  C tiếp xúc với d  m 1 . 
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 
28 
C. Bài tập 
Bài 1. [SGK] Chứng minh các đồ thị sau tiếp xúc nhau và viết PTTT chung 
1)   2f x x 3x 1   và  
2x 2x 3
x 1g x
  

 . 
2)  
2 3x
2 2f x x  và  
3x
x 2g x  . 
3)   2f x x 3x 6    ,   3 2g x x x 4   và   2h x x 7x 8   . 
Bài 2. [SGK] Chứng minh có hai tiếp tuyến của parabol 2y x 3x  đi qua điểm  3 52 2A ; và 
chúng vuông góc với nhau. 
Bài 3. Viết PTTT qua A của đồ thị  C trong các trường hợp sau: 
1)  239A ; 2 ,  C là ĐTHS 3 2y x 3x 2   . 
2)  A 6;5 ,  C là ĐTHS x 2x 2y


 . 
Bài 4. Chứng minh rằng qua  A 1;0 có hai tiếp tuyến vuông góc với nhau của ĐTHS 
2x 2x 2y
x 1
 


. 
Bài 5. Tìm m để đường thẳng y mx 9  tiếp xúc với đồ thị 4 2y x 8x 7   . 
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 
29 
D. Hướng dẫn và đáp số 
Bài 1 1) PTTT chung: y x 5  . 2) PTTT chung: 32y x . 
3) PTTT chung: y 5x 7  . 
Chú ý: ba ĐTHS  y f x ,  y g x ,  y h x tiếp xúc nhau khi và chỉ khi hệ 
     
     
f x g x h x
f ' x g' x h' x
  

 
có nghiệm đối với x . 
Bài 2 Đường thẳng  qua  3 52 2A ; có hệ số góc k   3 52 2: y k x    . Ta chứng 
minh tồn tại hai giá trị của k có tích bằng 1 sao cho phương trình  2 3 52 2x 3x k x    có 
nghiệm kép. 
Bài 3 1) Các tiếp tuyến thỏa mãn yêu cầu bài toán là: 5 613 27y x   , y 9x 25  , y 2  . 
 2) Các tiếp tuyến thỏa mãn yêu cầu bài toán là: y x 1   , 1 74 2y x   . 
Bài 4 Chứng minh tồn tại hai giá trị của k có tích bằng 1 sao cho hệ sau có nghiệm 
 
2
'2
x 2x 2 k x 1
x 1
x 2x 2 k
x 1
  
 


      
. 
Bài 5 m 0 .