Chuyên đề Tích phân & ứng dụng

Chuyên đề tích phân & ứng dụng ồ Văn Hoàng
1
1. Bảng nguyên hàm của các hàm số.
2. Các phương pháp tính tích phân:
a) Phương pháp đổi biến số:
* Loại 1:
 Dạng: 2 2


 a x dx , 2 2

 
dx
a x
 đặt x = asint.
 Dạng: 2 2

 
dx
x a
đặt x = atant, 2 2( )

  
dx
ax b c
đặt tan ax b c t
* Loại 2: ( ( )) '( ) .b
a
f u x u x dx Đặt t = u(x).
+ Nhiều khi phải biến đổi mới xuất hiện u’(x)dx.
+ Ta cũng có thể biến đổi: ( ( )) '( ) ( ( )) ( ( )) b b
a a
f u x u x dx f u x d u x
b) Phương pháp tích phân từng phần:
 Dạng: ( )sin ,b
a
P x xdx ( ) cos ,b
a
P x xdx ( ) ,b x
a
P x e dx
Đặt u = P(x), dv = sinxdx (dv = cosxdx, dv = exdx).
 Dạng: 2 2, ,cos sin 
b b
a a
x xdx dx
x x
Đặt u = x, dv = 2cos
dx
x
 hoặc dv = 2sin
dx
x
.
3. Một số tích phân thường gặp:
a) Tích phân hữu tỉ: ( )( )
b
a
P x dxQ x P(x), Q(x) là các đa thức.
+ Nếu bậc P(x)  bậc Q(x) chia P(x) cho Q(x).
+ Nếu bậc của P(x) < bậc Q(x) dùng phương pháp đổi biến hoặc
phương pháp hệ số bất định.
b) Tích phân chứa các hàm số lượng giác.
+ Nắm vững các công thức biến đổi.
c) Tích phân hồi quy:
 Dạng sin ,b x
a
e xdx cos .b x
a
e xdx
Đặt u = sinx (u = cosx), dv = exdx. Tích phân từng phần 2 lần.
 Dạng: sin(ln ) , cos(ln ) . b b
a a
x dx x dx
Đặt u = sin(lnx)(u=cos(lnx)), dv=dx. Tích phân từng phần 2 lần.
d) Tích phân hàm số chẵn, lẻ:
Nếu y = f(x) liên tục trên đoạn [-a; a] và:
+ y = f(x) chẵn thì
0
( ) 2 ( )

 a a
a
f x dx f x dx .
+ y = f(x) lẻ thì: ( ) 0

a
a
f x dx .
e) Tích phân dạng ( )
1

  x
f x dx
a
 trong đó f(x) là hàm số chẵn.
Cách giải: Tách thành 2 tích phân :
0
0
( ) ( ) ( )
1 1 1
 
  
     x x xf x f x f xdx dx dxa a a
Xét tích phân
0 ( )
1  x
f x dx
a
 đổi biến số x = -t.
Kết quả ta được
0
( ) ( )
1
 

 xf x dx f x dxa .
f) Tích phân dạng:
0 0
( ) ( )  a af a x dx f x dx trong đó f(x) là hàm
số liên tục trên [0; a].
Đổi biến x = a - t.
Bài 1: Tính tích phân
1 3
2
0 1
  xI dxx .
HD: Đặt t = x2 + 1 hay x = tant. ĐS I =1/2(1-ln2).
Bài 2: Tính tích phân
ln 3
3
0 ( 1)


x
x
eI dx
e
HD: Đặt t = mẫu đưa về dạng b
a
u du . ĐS 2 1 I
Bài 3: Tính tích phân
0
2 3
1
( 1 )

   xI x e x dx
HD Tách thành 2 tích phân. ĐS I=3/4e-2 - 4/7
Bài 4: Tính tích phân
2
6 3 5
0
1 cos .sin .cos

 I x x dx
HD: t = 6 31 cos x  cos3x = 1- t6. ĐS I =12/91
Bài 5: Tính tích phân
2 3
2
5
1
. 4

I dxx x
HD: nhân tử và mẫu với x rồi đặt 2 4 t x . ĐS I=1/4.ln5/3
Bài 6: Tính tích phân
4
0 1 cos 2

  xI dxx
HD:Đưa về dạng tích phân từng phần. ĐS I = /8-1/4.ln2
Bài 7: Tính tích phân
1
3 2
0
1 I x x dx ; 1 2 2
0
1 J x x dx
Bài 8: Tính tích phân
3
2
4
cos . 1 cos




tgxI dx
x x
HD: Biến đổi về dạng


 
3
2 2
4
tg
cos . tg 1
xI dx
x x
.Đặt   21 tgt x
Bài 9 :Tính tích phân :
2
1 1 1
  
xI dx
x
(Đại học khối A – 2004)
Đặt 2 21 1 1 2t x t x x t dx tdt          1 0; 2 1x t x t     
1 1 12 3
2
0 0 0
13 2
0
1 22 2 2 2
1 1 1
1 1 112 2 2 ln 1 2 2 2 ln 2 4 ln 2
3 2 3 2 3
t t tI tdt dt t t dt
t t t
t t t t
           
                  
  
Bài 10:Tính tích phân :
2
0
sin 2 sin
1 3cos

 
x xI dx
x
(Đại học khối A – 2005)
 
2
2
12 2
0 0 2
2 2 3
1
Ñaët 1 3cos 1 3cos 2 3sin
2sin . caän : 0 2; 1
3 2
1 22 1
2 cos 1 sin 3 32sin cos sin
1 3cos 1 3cos
2 2 1 2 2
3 3 3 9 3
t x t x tdt xdx
tdtxdx Ñoåi x t x t
t tdt
x xdxx x xI dx
tx x
t t t
 

        
       
            
          
  

2
1
2 16 2 2 1 34
3 9 3 9 3 27
                 
Bài 11 : Tính tích phân :
2
2 2
0
sin 2
cos 4sin
xI dx
x x


 (Đại học khối A – 2006)
2 2 2 2
22 2
1 1 1
Ñaët cos 4sin 1 3sin 2 6sin cos
23sin 2 sin 2 . Ñoåi caän : 0 1; 2
3 2
2
2 2 4 2 23
3 3 3 3 3
t x x t x tdt x xdx
tdtxdx xdx x t x t
tdt
I dt t
t

      
        
         
Chuyên đề tích phân & ứng dụng Hồ Văn Hoàng
2
dP
DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG-THỂ TÍCH CỦA VẬT THỂ
TRÒN XOAY.
1) Miền (D) giới hạn bởi các đường : y = f(x); y = g(x);
x = a; x = b có diện tích: SD=  ( ) ( )b
a
f x g x dx
2) Miền (D) giới hạn bởi các đường: y=f(x);y=0;x=a;x=b khi
quay quanh trục Ox nó tạo ra vật trể tròn xoay có thể tích :
VOx=  2 ( )b
a
f x dx
3) Miền (D) giới hạn bởi các đường: x=f(y);x=0;y=a;y=b khi
quay quanh trục Oy nó tạo ra vật trể tròn xoay có thể tích :
VOy=  2 ( )b
a
f y dy
Vd 1 : Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường :
x = 1, x = 2, trục Ox và đường cong  3
1
1
y
x x
 
   
 
 
 
 
2
3 3
1
3 32 2 2 2
33 3
1 1 1
3 22 22
3
3 3
1 1 1
1 1Ta coù : , 1;2 , 0
1 1
1 1
11 1
1 '1 1 3 1 1 1ln ln 1
3 3 31 1
1 1ln 2 ln 9 ln 2 .
3 3
S dx x
x x x x
x xdx xS dx dx
x xx x x x
xx dx dx x x
x xx x
      
           
                     
            

  
 
 4 1 ln 2 ln 93 3S ñvdt 
Ví dụ 2 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các
đường : x + y = 0 và x2 – 2x + y = 0
2
2 2
Dieän tích caàn tìm giôùi haïn bôûi 2 ñöôøng : , 2
Phöông trình hoaønh ñoä giao ñieåm cuûa 2 ñöôøng laø :
2 3 0 0 3
y x y x x
x x x x x x x
    
          
3 3
2 2 2
0 0
 2 3 0;3 , 3 0Vaäy S x x xdx x xdx x x x            
   33 2 32
0 0
3 27 9neân 3 9
2 3 2 2
x xS x x dx ñvdt
         
Ví dụ 3: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường :
y = (e + 1)x, y = (1 + ex)x (Đại học khối A – 2007)
   
 
     
   
 
1 1
0 0
1
0
Pt hoaønh ñoä giao ñieåm cuûa 2 ñöôøng laø : 1 1
0 0
0
1
1 1 ;
0;1 , ta luoân coù 0, vaäy
x
x
x
x x
x x
x
e x e x
x x
x e e
xe e
S e x e xdx x e e dx
x x e e S x e e dx
u x du dx
Ñaët
dv e e dx
  
          
     
          
     
 

 
       11 21
0
0 0
1 1
2 2 2
x x
x x x
v e e dx ex e
ex e eS x ex e ex e dx e e ñvdt
    
                            


Ví dụ 4: Cho parabol (P) : y = 3x2 và đường thẳng (d) qua
M(1;5) có hệ số góc là k.
Tìm k để hình phẳng giới hạn bởi (P)
và (d) có diện tích nhỏ nhất.
   
   
      
     
2
2 3
2 2
3 3
2 2 3 3
2 2
2
1 5 3 5
2
5 5
2 2
5
2
5
2
5. 5
3 2 3 9 3
3
3.18
BB
A A
xx
x x
B A
B B A A
B A B A B A
B A B A A A B B
kxS k x x dx k x x
kx kx
k x x k x x
k x x k x x x x
kx x x x k x x x x
k k k kk
k
             
                   
      
          
            


   
   
2 2 2
33 22
min
90 18 2 6 5 12 60
54
1 112 60 6 24 Vaäy S 6
54 54
k k k k k
k k k k
         
          
Ví dụ 5: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường :
y = x2, trục Ox, tiếp tuyến tại điểm M có hoành độ bằng 3.
  
 
 
 
2
2
 tieáp tuyeán taïi ñieåm M laø : '
9 2.3 3 6 9
0
 tích caàn tìm giôùi haïn bôûi 2 ñöôøng : 96 9
6
9pt tung ñoä giao ñieåm cuûa 2 ñöôøng laø 9 36
6
M M Mpt y y y x x x
y x y x
y x x y x
Dieän yy x x
yy y y y
  
      
        
    
 
9
2
0
9
9 32
0 0
18 81
9 918 81 0 9. 0;9 : 0
6 6
29 9 27 27 9Vaäy : 18
6 12 6 3 4 2 4
y
y yy y y S y dy y y
yy y yS y dy ñvdt
 
              
                  


 Ví dụ 6: Tính thể tích của vật thể tròn xoay sinh ra bởi phép
quay xung quanh trục Ox của hình phẳng giới hạn bởi trục
Ox và đường  sin 0y x x x   
 2 2
0 0
00Pt hoaønh ñoä giao ñieåm cuûa 2 ñöôøng laø : x sin 0
sin 0
sin sinOx
xxx
xx
V x x dx x xdx
 

 
       
  
2 3
0 0 0 0
1 cos2 cos2
2 2 2 4 2 4 2
x xx dx xdx x xdx I I
                   
 3
00 0
1cos2 sin 2
2
1 1sin 2 sin 2 0 cos2 0
2 2 4 4Ox
du dxu x
Ñaët
dv xdx v x
xI x xdx x V ñvtt
  
      
               
Ví dụ 7: Cho hình phẳng H giới hạn bởi các đường : y = xlnx ,
y = 0 , x = e. Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi
quay hình H quanh trục Ox (Đại học khối B – 2007)
 2 2 2 1
1 1
2 3
2 2
132
2 11
0 ( )
Pt hoaønh ñoä giao ñieåm cuûa 2 ñöôøng laø : ln 0
ln 0 1
 ln ln
2 ln
ln 2 ln ln
3 3
3
e e
Ox
e e
x loaïi
x x
x x
Vaäy V x x dx x xdx I
xdu dxu x x exÑaët I x x xdx
xdv x dx v x dx
  
      
  
              
 

3
2
2
3 3
I
   
3
2 2
3 3 3 3 3 3
2
2
11 1
33 3
 ' ln ' ; ' '
3
1 1 2 1ln
3 3 3 9 3 9 9 9
5 22 2 1.
3 3 9 27
e ee
Ox
dx xÑaët u x du dv x dx v x dx
x
x e x e e eI x x dx
ee eV ñvtt

      
                      
     


 
2 2
2
 coù pt ñt (d) : 5 1 5
 hoaønh ñoä giao ñieåm cuûa (P) vaø (d) :
3 5 3 5 0
612 60 0, ( ) luoân caét (P) ôû A vaø B.
6
A
B
Ta y k x y kx k
Pt
x kx k x kx k
kx
k k k d
kx
      
       
 
       
 

Chuyên đề tích phân & ứng dụng Hồ Văn Hoàng
3
2005
Bài 1. ĐH, CĐ Khối A – 2005
2
0
sin 2 sin
1 3cos

 
x xI dx
x
KQ: 34
27
Bài 2. ĐH, CĐ Khối B – 2005
2
0
sin 2 cos
1 cos

  x xI dxx KQ: 2ln 2 1
Bài 3. ĐH, CĐ Khối D – 2005
 2 sin
0
cos cos

  xI e x xdx KQ: 14 e
Bài 4. Tham khảo 2005
7
3
0
2
1
 
xI dx
x
KQ: 141
10
Bài 5. Tham khảo 2005
3
2
0
sin

 I xtgxdx KQ: 3ln 2 8
Bài 6. Tham khảo 2005
 4 sin
0
.cos

  xI tgx e x dx KQ:
1
2ln 2 1 e
Bài 7. Tham khảo 2005
2
1
ln eI x xdx KQ: 32 19 9e
Bài 8. CĐ Khối A, B – 2005
1
3 2
0
. 3 I x x dx KQ: 6 3 85
Bài 9. CĐ Xây Dựng Số 3 – 2005
3
1
3
3 1 3
   
xI dx
x x
KQ: 6ln 3 8
Bài 10. CĐ GTVT – 2005
1
5 2
0
1 I x x dx KQ: 8105
Bài 11. CĐ Kinh Tế Kỹ Thuật I – 2005
2
3
0
sin 5

  xI e xdx KQ:
3
23. 5
34

e
Bài 12. CĐ Tài Chính Kế Toán IV – 2005
3
3 5
0
1. I x x dx KQ: 848105
Bài 13. CĐ Truyền Hình Khối A – 2005
24
0
1 2sin
1 sin 2

  xI dxx KQ: 1 ln 22
Bài 14. CĐSP Tp.HCM – 2005
0
2
1 2 4
   dxI x x KQ: 318
Bài 15. CĐ KT-KT Cần Thơ – 2005
2
1
ln e xI dxx KQ: 21 e
Bài 16. CĐSP Vĩnh Long – 2005
7
3
3
0
1
3 1
 
xI dx
x
KQ: 46
15
Bài 17. CĐ Bến Tre – 2005
2
0
cos3
sin 1

  xI dxx KQ: 2 3ln 2
Bài 18. CĐSP Sóc Trăng Khối A – 2005
232
2
2 20 0
sin sin
;
sin 2 cos
sin 2cos .cos
2

 
 
xdx x xdxI J
x x x
x x
KQ:
ln 2
3
3 4


 
I
J
Bài 19. CĐ Cộng Đồng Vĩnh Long – 2005
1
ln eI x xdx KQ: 2 14e
Bài 20. CĐ Công Ng ... 2 1 2 312 2
0
0 0 1 1
1 1
0 1: 1 ; 1 2 : 1
8 1 10max 1; ; 1
3 3 3 3
x x
x x x x x x
x x x x
xF x x dx dx x dx x
                
                     
49. Tính tích phân :
1 3
2
0 1
x dxT
x x

 
 
    
   
3 2
1 1
3 2
2 2
0 0
11 1 5
3 2 4
0 0 0
2 2 2
21 2 2 5 3
2 2 2 4 2
0 1 1 1
1
1
1 1
11
5 5
0 1
 1 1 2 2 .
1 2
1 1 .
5 3
4 2 2 2
5 3
x x x
T dx x x x dx
x x x x
xx x dx x dx I I
x t
Ñaët t x t x tdt xdx tdt xdx
x t
t tI x x xdx t t tdt t t dt
 
   
   
         
             
          
 

 
 
  
1 1 2 2 2 2 2 1.
5 3 15 15 15
Vaäy T
            
50. Tính tích phân :  4
0
ln 1B tgx dx

 
 
   
0 4 4
0 0
4
4 4 4
4
0
0 0 0
0
4 ;
4
0
4
1 2ln 1 ln 1 ln
4 1 1
ln 2ln 2 ln 1 ln 2 ln 1
4
ln 2 ln 22
4 8
x t
Ñaët t x dt dx
x t
tgtB tg t dt dt dt
tgt tgt
dt tgt dt t tgx dx I
I I
 

  






 
  
    
  
                         
         
   
  
  
51. Chứng minh rằng : Nếu f(x) liên tục trên  và tuần
hoàn với chu kỳ T thì :    
0
a T T
a
f x dx f x dx

 
Áp dụng, tính tích phân :
2004
0
1 cos2I xdx

 
Chuyên đề tích phân & ứng dụng Hồ Văn Hoàng
13
         
 
         
     
0 0
3
0
3
0 0 0
0
 coù : 1
 I Ñaët t
0
 2
 (2) vaøo (1) ta ñöôïc
T a a T T
a a T
T
a T
a a a
a
T a T
a
Ta f x dx f x dx f x dx f x dx
x a T t a
Xeùt f x dx x T dt dx
x T t
I f t T dt f t T dt f t dt f x dx
Theá f x dx f x dx ñpcm
AÙp




  
          
        

   

   
 
2004 2004 2004
2
0 0 0
2 4 2004
0 2 2002
2 4 2004
0 2 2002
duïng : 1 cos2 2sin 2 sin
2 sin sin ... sin
Theo tính chaát treân, ta coù : sin sin ... sin
 1002 2 s
I xdx xdx x dx
x dx x dx x dx
x dx x dx x dx
Neân I
  
  
 
  
 
   
       
  

  
  
  
 
2 2
0 0
2
0
in 1002 2 sin sin
1002 2 cos cos 4008 2
x dx xdx xdx
x x
  

 

      
         
  
52. Tính tích phân :
1
2004
1
sinI x xdx

 
  
0 1
2004 2004
1 0
0
2004
1
1
0 1 1
2004 2004 2004
1
1 0 0
sin sin (1)
1 1
 tích phaân I sin . Ñaët
0 0
sin sin sin (2)
Theá (2) vaøo (1) ta ñöôïc : 0
I x xdx x xdx
x t
Xeùt x xdx x t dx dt
x t
I t t dt t tdt x xdx
I


 
           
      

 

  
53. Tính tích phân : 2
0
sin cosD x x xdx

 
        0 2 2
0
2 2 2 2
0 0 0 0
2 2
0 0
0
0
sin cos sin cos
sin cos sin cos sin cos sin cos
sin cos 2 sin cos
 cos sin
x t
Ñaët t x dt dx
x t
D t t t dt t t tdt
t tdt t t tdt t tdt x x xdx
t tdt D D t tdt
Ñaët u t du t


   
 
 
   
 
 
         
      
   
   
   
 
   
 
  11 1 32 2 2
0 1 1 1
0 1
1
2 sin cos
3 3 3
t u
dt
t u
ut tdt u du u du D



 
  
   
           
54. Tính tích phân :
3
0
sin .sin 2 .sin3 .cos5I x x x xdx

 
        
3
32
30
2
3
3
2
0
3
2
0
sin sin 2 sin3 cos5 sin sin 2 sin3 cos5 (1)
3 3
 sin sin 2 sin3 cos5 Ñaët 3 . 2 2
3 0
sin 3 sin 6 2 sin 9 3 cos 15 5
sin sin 2 sin3 cos5
I x x x xdx x x x xdx
x tXeùt J x x x xdx x t dx dt
x t
J t t t t dt
t t t t






 


   
 
       
  
      

 


3 3
2 2
0
sin sin 2 sin3 cos5 (2).
 Theá (2) vaøo (1) ta ñöôïc 0
dt x x x xdx
I
 
 

 
55. Tính tích phân :   
1
2
1 1 1x
dxI
e x
  
        
        
 
0 1 0
2 2 2
1 0 1
0 1 1 1
22 2 2
1 0 0 0
2
 Xeùt
1 1 1 1 1 1
0 0
1 1
.
11 1 1 1 1 1
 ; 1
2 2
x x x
t x
t t x
dx dx dxI J
e x e x e x
x t
Ñaët x t dx dt
x t
dt e dt e dx dxJ Vaäy I
xe t e t e x
Ñaët x tgu u dx tg u 
 

       
          
         
           
  
   
 24 4
4
2 0
0 0
0 0 0
1 1
4
1
41
x tgu u
du
x tgu u
tg u du
I du u
tg u
 



    
    
       
56. Giải phương trình theo ẩn x :
1
1 ln 18
x
e
t dt
t
 
 
1
21 ln1 ln 2
0 0
1 01 ln Ñaët 1 ln
1 ln
1 ln
2 2
x
e
xx
t ut dtGoïi I dt u t du e
t t t x u x
xuI udu

      
   
     


   
52
2
7
1 ln 1 ln 6 ln 5
18 1 ln 36 12 1 ln 6 ln 7
x ex x x
pt x
x x x
e
                      
57. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C) :
2 4 4
1
x xy
x
    , tiệm cận xiên của (C) và hai đường
thẳng x = 2, x = 5
 
2
5 5
2 2
5 5
2
2
4 4 1 soá vieát thaønh : 3
1 1
1 lim 0 neân TCX cuûa (C) laø 3
1
1 1 1 3 3 Vôùi 2;5 0
1 1 1
1 ln 1 ln 4 ln1 2 ln
1
x
x xHaøm y x
x x
Vì y x
x
Vaäy S x x dx dx x
x x x
neân S dx x
x

       
   
                    
       
 
  2 ñvdt
58. Cho hình giới hạn elip :
2
2 1
4
x y  quay quanh trục
hoành. Tính thể tích của khối tròn xoay được tạo nên.
   
2 2 2
2 2 2
2 2
22 2 3
2 2
2 2 2
4 1 1 1 4
4 4 4 2
 elip coù a 4 2, 1 1 neân hình giôùi haïn elip coù : 2 2
8 8 84 4 8 8
4 4 3 4 3 3 3Ox
x x xElip y y y x
Vì a b b x
xV y dx x dx x ñvtt   
  
         
        
                             
59. Tính thể tích của khối tròn xoay được tạo thành do
quay xung quanh trục Oy hình phẳng giới hạn bởi đường
tròn tâm I (3;0), bán kính R = 2.
   
 
 
     
2 2
2 2 2 2
2 2 2
2 2 2 2 2 2
Oy
2 2 2
2
2
2
pt ñöôøng troøn taâm I 3;0 ,R 2 laø x 3 y 4
x 3 4 y x 3 4 y x 3 4 y
Vì ñöôøng troøn coù taâm I 3;0 ,R 2 neân 2 y 2
V 3 4 y 3 4 y dy 6.2 4 y dy 12 4 y dy
Goïi I 4 y dy Ña
  

   
            
   
               
 
  

 2 2 2 2 22 2
22 2 2 2
Oy
y 2 sin u 1 u
2ët y 2sin u u ; dy 2 cos udu
2 2 y 2 sin u 1 u
2
1I 4 4sin t2 cos udu 4 cos u cos udu 4 cos udu 2 1 cos2u du 2 u sin 2u
2
2 2 V
2 2
    
       
                         
          
            
   
 224 ñvtt
Chuyên đề tích phân & ứng dụng Hồ Văn Hoàng
14
60. Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường :
2 2
4 vaø
4 4 2
x xy y   (Đại học khối B – 2002)
2 2 2 4 4 2 2
2
2 2 2 2 2 2
2 2
2 2 2 2 2
2 2
 hoaønh ñoä giao ñieåm 2 ñöôøng laø :
8 2 24 4 4 0
4 4 32 32 44 2 16 (voâ lyù)
4 Vôùi 2 2;2 2 , 4 0
4 44 2 4 2
neân 4 4
4 44 2
pt
x x x x x x x x
x
x x x xS dx x
x x xS dx dx


                
         
        


 
2 2 2 2 2
2 2 2 2
2 2
2
2 2
4 4 4
2 2
4 4 4 4
4 2
1 16 Ñaët 4sin ; 4 cos
2 2 2
22 2 sin
2 4
22 2 sin
2 4
1 16 16sin .4 cos 8 cos cos 8 cos 4 1 cos2
2
x dx A B
A x dx x t t dx tdt
x t t
x t t
A t tdt t tdt tdt t dt
  
   
 


 

   
  
            
       
    
     
 

  
 
 
4
4
4
2 22 2 2 3
2 2 2 2
1 1 14 s in2t 4 2 4
2 4 2 4 2
1 816 2 16 2
34 2 12 2 12 2
8 4 2 4 2
3 3
t
x xB dx
Vaäy S A B ñvdt



  
 

 
                   
             
      


Tính tích phân :
3 32
3
3
cot . sin sin
sin
gx x xdxA
x


 
 
 
3
3 232 23
2 2
3 3
22 3
2 2
3
1 1
0 53 3 38 3
3 2 3 3
1 0 0
3
sin sincot . cot . 1 1 cotsin
sin sin
1
cot . cot 3 3. cot
sin sin
0
2
3 3 1 9
8 8 81 24
x xgx gx g xxA dx dx
x x
x t
gx g x dxdx Ñaët t gx dt
x x
x t
tA t t dt t dt
 
 




   
      
  
              
 

 
61. Tính tích phân :  21
ln
1
e
e
xI dx
x


   
 
 
 
 
2
2
1 1
1
1 1 1
1
ln
1
1 11
1 .ln 1
1 1
1 1 1 ln ln 1
11 1
1
ln ln ln ln 1.
11 1 1
e e
e e
e e e e
e
e e e
e
e
dxu x du
x
dxÑaët dxdv vx xx
dxI x A
x x x
x xdxA dx dx x x
x xx x x x
x e e e V
x e
e
           
        
                 
         


  
 0aäy I 
62. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường :
2 4 3 vaø 3y x x y x     (Đại học khối A – 2002)
2
2 2
2 2
 hoaønh ñoä giao ñieåm cuûa 2 ñöôøng laø : 4 3 3
3 3
3 0
4 3 3 5 0
0 5 5
4 3 3 3 6 0( )
pt x x x
x x
x x
x x x x x
x x x
x x x x x VN
   
                                       
x 0 5
2 4 3 3x x x    0 – 0
   5 5 52 2
0 0 0
52
0
5
2 2
0
3 4 3 3 4 3
553
2 2
4 3 Giaûi pt 4 3 0 ta ñöôïc : 1 3
S x x x dx x dx x x dx
x x I I
I x x dx x x x x
         
       
        
  

x 0 1 3 5
2 4 3x x  + 0 – 0 +
     
 
1 3 5
2 2 2
0 1 3
1 3 53 3 3
2 2 2
0 1 3
 coù : 4 3 4 3 4 3
4 4 20 282 3 2 3 2 3
3 3 3 3 3 3 3
55 28 109 ñvdt
2 3 6
Ta I x x dx x x dx x x dx
x x xx x x x x x
S
         
                            
  
  
63. Cho hình phẳng D giới hạn bởi các đường :
; 2 ; 0y x y x y    . Tính thể tích của khối tròn xoay
tạo thành khi quay hình D xung quanh trục Oy.
 
 
       
     
2
2 2
1 12 2 22 4
0 0
1
24 2 4
0
0Mieàn D giôùi haïn bôûi
2 2
1 nhaän
Pt tung ñoä giao ñieåm : y 2 2 0
2 loaïi
2 2
 x 0;1 , 2 0 4 4
4 2
Oy
Oy
y x y x y
y x x y
y
y y y
y
V y y dy y y dy
y y neân V y y y dy
y y
 


    
    
          
     
          
 
 

 13 52
0
1 1 324 2
3 5 3 5 15
y y ñvtt              
64. Cho hình phẳng H giới hạn bởi các đường : y =
xlnx , y = 0 , x = e. Tính thể tích của khối tròn xoay
tạo thành khi quay hình H quanh trục Ox (Đại học khối B – 2007)
 2 2 2 1
1 1
2 3
2 2
132
2 11
Pt hoaønh ñoä giao ñieåm cuûa 2 ñöôøng laø :
0 ( )
ln 0
ln 0 1
 ln ln
2 ln
ln 2 ln ln
3 3
3
e e
Ox
e e
x loaïi
x x
x x
Vaäy V x x dx x xdx I
xdu dxu x x exÑaët I x x xdx
xdv x dx v x dx
  
      
  
              
 

3
2
2
3 3
I
   
2 3
2
3 3 3 3 3 3
2
2
11 1
33 3
'' ln
' '
3
1 1 2 1ln
3 3 3 9 3 9 9 9
5 22 2 1.
3 3 9 27
e ee
Ox
dxduu x xÑaët
dv x dx xv x dx
x e x e e eI x x dx
ee eV ñvtt

       
                      
     

