Chuyên đề Thể tích khối chóp

Ba Huy 
 1 
Chuyê n đê 11. THỂ TÍ CH KHỐ Í CHỐ P 
I. Tóm tắt lí thuyết 
 Công thức thể tích khối chóp: 
1
.
3
V B h 
 B: diện tích đáy 
 h: độ dài chiều cao 
II. Bài tập 
Dạng 1. CÓ CẠNH BÊN VUÔNG GÓC VỚI ĐÁY 
Bài 1. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, 
SA vuông góc với đáy và SB = 2a. Tính thể tích khối chóp S.ABC. 
Bài giải 
Ta có: 
.
1
.
3
S ABC ABC
V SA S 

2
a 3
4
ABC
S 
 
  
 
2 2 2
2 2 2
4a a 3a
3
SA SB AB
SA a 
Bài 2. Cho khối chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, 
SA vuông góc với đáy. Biết AB = 3a, AC = 5a, SAC vuông cân. 
Tính thể tích khối chóp. 
Bài giải 
Ba Huy 
 2 
Ta có: 
.
1
.
3
S ABC ABC
V SA S 
+) Tính S
ABC
2 2 2
2 2 2
25a 9a 16a
BC AC AB 
  
 BC = 4a 
2
1 1
. 3a.4a 6a
2 2
ABC
S AB BC    
+) Tính SA 
Tam giác SAC vuông cân SA = AC = 5a 
Vậy, 2 3
.
1
5a.6a 10a
3
S ABC
V  
Bài 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, 
 ̂ . Cho SA vuông góc với đáy và SC = 2a. Tính thể 
tích hình chóp S.ABCD. 
Bài giải 
Ta có: 
. D D
1
.
3
S ABC ABC
V SA S 
+) Tính 
D
S
ABC
Do ̂ nên ̂ ABD đều. 
2 2
D D
a 3 a 3
2S 2.
4 2
ABC AB
S    
+) Tính SA 
600
D
CA
B
Ba Huy 
 3 
3
AC 2 3
2
a
a  
2 2 2 2 2 2
4a 3a aSA SC AC
SA a
    
 
Vậy, 
2 3
. D
1 a 3 3
.
3 2 6
S ABC
a
V a  
Bài 4. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là một hình thang 
cân (AB//CD) với AC = 20cm, BC = 15cm, AB = 25cm. Cho SA 
vuông góc với đáy và SA = 8cm. Tính thể tích của khối chóp. 
Bài giải 
Thể tích khối chóp: 
. D D
1
.
3
S ABC ABC
V SA S
Chỉ cần tính 
D
S
ABC
. 
Ta có: 
AB2 = 625 
AC2 + BC2 = 400 + 225 = 625 
 AC2 + BC2 = AB2 
 Tam giác ABC vuông tại C. 
Gọi CH là đường cao trong ABC. 
Từ 
. 20.15
. . 12 ( )
25
AC BC
CH AB AC BC CH cm
AB
     
2
2
225
. 9 ( )
25
BC
HB AB BC HB cm
AB
     
Do hình thang ABCD cân nên CD = AB – 2HB = 25 – 2.9 = 7 (cm) 
2
D
( D) (25 7)12
192
2 2
ABC
AB C CH
S cm
 
   
Vậy, 3
. D
1
.8.192 512
3
S ABC
V cm  
Bài 5. Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với đáy. Mặt bên 
25
1520
A B
D C
H
Ba Huy 
 4 
SBC là tam giác đều cạnh a. Cho ̂ = 1200. Tính thể tích khối 
chóp. 
Bài giải 
Thể tích khối chóp: 
.
1
.
3
S ABC ABC
V SA S
+) Tính 
ABC
S 
Gọi M là trung điểm của BC. Do tam 
giác SBC đều nên SM BC . 
Ta có: 
( )
BC SM
BC SAM
BC SA
 
 

BC AM  . 
Tam giác ABC có AM vừa là đường cao vừa là trung tuyến nên nó 
cân tại A. Do góc BAC bằng 1200 nên góc MAB bằng 600. 
Ta có: 
2 3tan
MB a
AM
MAB
  
2
1 1 a
. . .
2 2 2 3 4 3
ABC
a
S AM BC a   
+) Tính SA 
3
2
a
SM  
2 2 2
2 2 2
3a a 2a 2
S
4 12 3 3
a
A SM AM SA       
Vậy, 
2 3
.
1 2 a 2
.
3 363 4 3
S ABC
a a
V   
Bài 6. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 
a. Hai mặt phẳng (SAB) và (SAD) cùng vuông góc với đáy, SC = 
a
M
A C
B
S
a
2
600
A
M B
Ba Huy 
 5 
a√ . Tính thể tích khối chóp S.ABCD 
Bài giải 
Do hai mặt phẳng (SAB) và (SAD) 
cùng vuông góc với mặt đáy (ABCD) 
nên giao tuyến của chúng cũng vuông 
góc với (ABCD). 
Ta có 
( ) ( D) ( D)SA SAB SA SA ABC    
. D D
1
.
3
S ABC ABC
V SA S
+) 
+) 
Vậy, 
3
2
. D
1
.a
3 3
S ABC
a
V a 
Bài 7. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 
a. SA vuông góc với đáy và SC = 2a. Tính VS.ABCD. 
Bài 8. Cho khối chóp S.ABC có đường cao SA bằng a, đáy là tam 
giác vuông cân có AB = BC = a. Gọi B’ là trung điểm của SB, C’ là 
chân đường cao hạ từ A của tam giác SAC. 
a. Tính thể tích khối chóp S.ABC. 
b. Chứng minh SC vuông góc với (AB’C’). 
c. Tính thể tích khối chóp S.AB’C’. 
Bài 9. Cho hình chóp tam giác O.ABC có ba cạnh OA, OB, OC 
đôi một vuông góc với nhau và OA = a, OB = 2a, OC = 3a. 
a. Tính VO.ABC và đường cao OH. 
b. Tính diện tích tam giác ABC. 
Bài 10. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang cân 
(AB//CD), AB = 4a, DC = 8a và ̂ = 600. Cho (SD) (ABCD). 
Tính VS.ABCD. 
Dạng 2. CẠNH BÊN KHÔNG VUÔNG GÓC VỚI ĐÁY 
C
A
B
D
S
Ba Huy 
 6 

 

K
)
hoái choùp ñeàu
)
Ñaùy laø ñagiaùcñeàu
Chaânñöôøngcaotruøngvôùi taâmcuûañaùy
 Diện tích tam giác đều cạnh a: 
2
a 3
S
4
 Diện tích hình vuông cạnh a:  2S a 
Bài 11. Cho hình chóp đều tam giác S.ABC với tam giác ABC có 
tâm là O và cạnh bằng a, SO = 2a. Tính thể tích khối chóp S.ABC. 
Bài giải 
Do S.ABC đều nên SO là đường cao. 
.
1
.
3
S ABC ABC
V SO S 
Ta có: 

2
a 3
4
ABC
S 
Thể tích khối chóp: 
  
2 3
1 1 a 3 a 3
. .2a.
3 3 4 6
ABC
V SO S 
Bài 12. Cho khối chóp đều tứ giác S.ABCD có cạnh đáy bằng a và 
cạnh bên bằng 3a . Tính thể tích khối chóp đó. 
Bài giải 
Ta có: SABCD = a
2 
Gọi O là tâm của đáy ABCD thì 
SO ( D)ABC . Do đó 

. D D
1
.
3
S ABC ABC
V SO S
Ta có: SABCD = a
2 
Ba Huy 
 7 
+) Tính SO 
Ta có: AC = √ 
 √ 
 √ 
√ 
Vậy,  
3
2
. D
1 5 a 5
.a
3 2 3 2
S ABC
a
V 
Bài 13. Tính thể tích của khối tứ diện đều SABC cạnh a. 
Bài giải 
Gọi O là tâm của mặt phẳng (ABC) 
thì SO là đường cao của hình chóp. 
.
1
.
3
S ABC ABC
V SO S 
 
2
a 3
4
ABC
S  
 2 2 2SO SM OM  
2 2
3 1 3
.
2 3 2
a a   
    
   
   
2 2
8 3a 2a 2
.
9 4 3 3
a
SO    
Vậy thể tích khối chóp cần tìm là: 
2 3
.
1 2 a 3 2
. .
3 4 123
S ABC
a a
V  
Bài 14. Cho hình chóp đều tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác 
đều cạnh a. Cạnh bên hợp với đáy góc 600. Tính VS.ABC . 
O
M
A C
B
S
Ba Huy 
 8 
Bài giải 
Gọi O là tâm của đáy. Khi đó 
SO (ABC) . Suy ra: 
.
1
.
3
S ABC ABC
V SO S
 
0
,( ) ( , )
60
SA ABC SA AO SAO
SAO
 
 
 
2
a 3
4
ABC
S  
 0
2 3
.tan60 . . 3
3 2
a
SO AO a   
Vậy 
2 3
.
1 a 3 3
.
3 4 12
S ABC
a
V a  
Bài 15. Cho hình chóp đều tứ giác S.ABCD có cạnh đáy bằng a. 
Cạnh bên hợp với đáy một góc 450 . Tính Tính VS.ABCD . 
Bài 16. Tính thể tích khối chóp đều tứ giác S.ABCD có cạnh đáy 
bằng a và góc ̂ 600. 
Bài giải 
Gọi O là tâm của đáy thì 
S ( )O ABC . 
.
1
.
3
S ABC ABC
V SO S 
+) 
2
a 3
4
ABC
S  
+) Tính SO 
Do tam giác SAB cân và có góc 
bằng 600 nên là tam giác đều. 
 SA = AB = a 
600
O
M
A C
B
S
O
A C
B
S
Ba Huy 
 9 
2
2
2 2 2 2
2 3 2a 2
a
3 2 3 3
a a
SO SA AO SO
 
       
 
 
Vậy, 
2 3
.
1 2 a 3 2
. .
3 4 123
S ABC
a a
V  
Bài 17. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật tâm 
O, AB = 6a, BC = 8a. Các cạnh bên bằng nhau và bằng 13a . Tính 
VS.ABCD . 
Bài giải 
Gọi O là chân đường cao hạ từ S 
lên mặt đáy (ABCD). Khi đó 
OA, OB, OC, OD lần lượt là các 
hình chiếu của các cạnh bên SA, 
SB, SC, SD lên mặt đáy. 
Do các cạnh bên bằng nhau nên: 
OA = OB = OC = OD 
 O là tâm của đường tròn 
ngoại tiếp mặt đáy. 
Vì mặt đáy là hình chữ nhật nên O là giao của 2 đường chéo AC và 
BD. 
. D D
1
.
3
S ABC ABC
V SO S
 2
D
S . 6a.8a 48a
ABC
AB BC   
 AC2 = AB2 + BC2 = 36a2 + 48a2 = 84a2 AC = 2a√ 
 AO = a√ 
SO2 = SA2 – AO2 = 169a2 – 21a2 = 148a2 SO = 2a√ 
 Vậy 2 3
. D
1
.2a 37.48a 32a 37
3
S ABC
V   
Bài 18. Cho hình chóp đều tứ giác S.ABCD, đáy là hình vuông cạnh 
a, các cạnh bên tạo với đáy một góc 600. Tính thể tích khối chóp 
O
C
D
B
A
S
Ba Huy 
 10 
S.ABCD 
Bài giải 
Gọi O là chân đường cao hạ từ đỉnh 
S lên (ABCD). Khi đó các góc 
OAS, , ,OBS OCS ODS lần lượt là 
các góc hợp bởi giữa các cạnh bên 
SA, SB, SC, SD với đáy. Theo giả 
thiết suy ra: 
0
OAS 60OBS OCS ODS    
Ta có: O ,..., D
tan tan DS
SO SO
A O
OAS O
  OA =  = OD 
 O là tâm của hình vuông ABCD. 
. D D
1
.
3
S ABC ABC
V SO S 
 2
D
a
ABC
S  
 0
2 6
.tanOAS .tan60
2 2
a a
SO OA   
Vậy, 
3
2
. D
1 6 6
. .a
3 2 6
S ABC
a a
V  
Bài 19. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh AB bằng a. Các 
cạnh bên SA, SB, SC tạo với đáy một góc 600. Tính thể tích của 
khối chóp S.ABC. 
Bài 20. Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với đáy. ABC là 
tam giác vuông tại B, AB = √ , AC = 2a. Góc giữa hai mp (SBC) 
và (ABC) bằng 600. Gọi M là trung điểm của AC. Tính VS.BCM và 
khoảng cách từ M đến (SBC). 
Bài 21. Cho hình chóp tam giác S.ABC có AB = 5a, BC = 6a , CA 
= 7a. Các mặt bên (SAB), (SBC) và (SCA) tạo với đáy một góc 600. 
Tính thể tích khối chóp đó. 
O
C
D
B
A
S
Ba Huy 
 11 
Dạng 3. TỈ SỐ THỂ TÍCH 
Bài 22. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. 
Gọi M là trung điểm SC. Mặt phẳng (ADM) cắt SB tại N. Tính tỷ 
số thể tích của hai khối chóp S.ADMN và S.ABCD. 
Bài 23. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. 
Gọi G là trọng tâm của tam giác SBC. Mặt phẳng (ADG) cắt SB tại 
N và cắt SC tại M. Tính tỷ số thể tích của hai khối chóp S.ADMN 
và S.ABCD. 
Bài 24. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành 
tâm O. M là trung điểm của cạnh SC. Mặt phẳng (P) qua AM và 
song song với BD cắt SB tại B’ và cắt SD tại D’ . Tính tỷ số của 
hai khối chóp S.AB’MD’ và S.ABCD. 
Bài 25. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành 
tâm O. I là trung điểm của SO. Mặt phẳng (Q) qua AI và song song 
với BD cắt SB tại B’, cắt SC tại C’ và cắt SD tại D’ . Tính tỷ số 
của hai khối chóp S.AB’C’D’ và S.ABCD. 
Bài 26. Cho điểm M trên cạnh SA, điểm N trên cạnh SB của khối 
chóp tam giác S.ABC sao 
 . Mặt phẳng (P) qua MN 
và song song với SC chia khối chóp thành hai phần. Tìm tỷ số thể 
tích của hai phần đó. 
CÁC BÀI TOÁN THI TỪ NĂM 2006 ĐẾN NAY 
(ĐH – Khối B – 2006) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình 
chữ nhật với AB = a, AD = 2a , SA = a và SA vuông góc với mặt 
phẳ ọi M và N lần lượt là trung điểm của AD và SC; I 
là giao điểm của BM và AC. Chứng minh rằng mặt phẳng (SAC) 
vuông góc với mặt phẳng (SMB). Tính thể tích của khối tứ diện 
ANIB. 
(ĐH – Khối D – 2006) Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC 
là tam giác đều cạnh a, SA = 2a và SA vuông góc với mặt phẳng 
Ba Huy 
 12 
(ABC). Gọi M và N lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên các 
đường thẳng SB và SC. Tính thể tích của khối chóp A.BCNM. 
(ĐH – Khối A – 2007) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông 
cạnh a, mặt bên SAD là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông 
góc với đáy. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh SB, BC, 
CD. Chứng minh AM vuông góc với BP và tính thể tích của khối tứ 
diện CMNP. 
(ĐH – Khối B – 2007) Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy là 
hình vuông cạnh a. Gọi E là điểm đối xứng của D qua trung điểm của 
SA, M là trung điểm của AE, N là trung điểm của BC. Chứng minh 
MN vuông góc với BD và tính (theo a) khoảng cách giữa hai đường 
thẳng MN và AC. 
(ĐH – Khối D – 2007) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang, 
BA = BC = a, ̂ ̂ , AD = 2a. Cạnh bên SA vuông góc 
với đáy và SA = 2a. Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên SB. 
Chứng minh tam giác SCD vuông và tính (theo a) khoảng cách từ H 
đến mặt phẳ 
(ĐH – Khối A - 2008) Cho lăng trụ ABC.A'B'C' có độ dài cạnh bên 
bằng 2a, đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB = a, AC = 3a và hình 
chiếu vuông góc của đỉnh A' trên mặt phẳng (ABC) là trung điểm của 
cạnh BC. Tính theo a thể tích khối chóp A'.ABC và tính cosin của góc 
giữa hai đường thẳng AA', B'C'. 
(ĐH – Khối B – 2008) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình 
vuông cạnh 2a, SA = a, SB = 3a và mặt phẳng (SAB) vuông góc với 
mặt phẳng đáy. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC. 
Tính theo a thể tích của khối chóp S.BMDN và tính cosin của góc 
giữa hai đường thẳng SM, DN. 
(ĐH – Khối D – 2008) Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là 
tam giác vuông, AB = BC = a, cạnh bên AA' = 2a. Gọi M là trung 
điểm của cạnh BC. Tính theo a thể tích của khối lăng trụ ABC.A'B'C' 
và khoảng cách giữa hai đường thẳng AM, B'C. 
Ba Huy 
 13 
(CĐ – Khối A, B, D – 2008) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD 
là hình thang, ̂ ̂ , AB = BC = a, AD = 2a, SA vuông 
góc với đáy và SA = 2a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA, SD. 
Chứng minh rằng BCNM là hình chữ nhật và tính thể tích của khối 
chóp S.BCNM theo a. 
(TNTHPT - 2009) Cho hình chóp S.ABC có mặt bên SBC là tam giác 
đều cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Biết góc ̂ 
= 1200, tính thể tích của khối chóp S.ABC theo a. 
 (TNBT - 2009) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác 
vuông tại B, AB = a và AC = a√ ; cạnh bên vuông góc với mặt phẳng 
(ABC) và SA = a√ . Tính thể tích của khối chóp S.ABC theo a. 
(ĐH – Khối A - 2009) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình 
thang vuông tại A và D, AB = AD = 2a, CD = a; góc giữa hai mặt 
phẳng (SBC) và (ABCD) bằng 600. Gọi I là trung điểm của cạnh 
AD. Biết hai mặt phẳng (SBI) và (SCI) cùng vuông góc với mặt 
phẳng (ABCD). Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a. 
(ĐH – Khối B - 2009) Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có BB’ = a. Góc 
giữa đường thẳng BB’ và mp(ABC) bằng 600. Tam giác ABC vuông 
tại C và ̂ = 600 . Hình chiếu vuông góc của B’ lên mp(ABC) trùng 
với trọng tâm của tam giác ABC. Tính thể tích khối tứ diện A’.ABC . 
(ĐH – Khối D - 2009) Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC 
là tam giác vuông tại B, AB = a, AA' = 2a, A’C = 3a. M là trung điểm 
của A’C’, I là giao điểm của AM và A’C . Tính thể tích khối tứ diện 
IABC theo a và khoảng cách từ A đến mp(IBC). 
(CĐ – Khối A, B, D - 2009) Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD, AB 
= a, SA = a√ . Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của SA, SB và 
CD. Chứng minh rằng MN vuông góc với SP. Tính thể tích khối tứ 
diện AMNB theo a. 
(TNTHPT 2010) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình 
vuông cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy, góc giữa 
mặt phẳng (SBD) và mặt phẳng đáy bằng 600. Tính thể tích khối chóp 
Ba Huy 
 14 
S.ABCD theo a. 
(ĐH – Khối A 2010) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình 
vuông cạnh a. Gọi M và N lần lượt là 
trung điểm của các cạnh AB và AD; H là giao điểm của CN với DM. 
Biết SH vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SH = a√ . Tính thể 
tích khối chóp S.CDNM và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng 
DM và SC theo a. 
(ĐH – Khối B 2010) Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ 
có AB = a, góc giữa hai mặt phẳng (A’BC) và (ABC) bằng 600. Gọi 
G là trọng tâm tam giác A’BC. Tính thể tích khối lăng trụ đã cho và 
tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện GABC theo a. 
(ĐH – Khối D 2010) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình 
vuông cạnh a, cạnh bên SA = a; hình 
chiếu vuông góc của đỉnh S trên mặt phẳng (ABCD) là điểm H thuộc 
đoạn AC, AH = 
. Gọi CM là đường cao của tam giác SAC. Chứng 
minh M là trung điểm của SA và tính thể tích khối tứ diện SMBC theo 
a. 
(CĐ – Khối A, B, D 2010) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là 
hình vuông cạnh a, mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt phẳng đáy, 
SA = SB, góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng đáy bằng 450. Tính 
theo a thể tích của khối chóp S.ABCD.