Chuyên đề Số phức - Dùng cho ôn thi TN – CĐ – ĐH

Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: Loinguyen1310@gmail.com 
DĐ: 01694 013 498 
 1 
(DÙNG CHO ÔN THI TN – CĐ – ĐH 2011) 
Gửi tặng: www.Mathvn.com 
Bỉm sơn. 10.04.2011 
www.MATHVN.com
www.mathvn.com
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: Loinguyen1310@gmail.com 
DĐ: 01694 013 498 
 2 
CHUYÊN ĐỀ: SỐ PHỨC 
I. DẠNG ĐẠI SỐ CỦA SỐ PHỨC . 
1. Một số phức là một biểu thức có dạng a bi , trong đó a, b là các số thực và số i thoả mãn 2 1i   . 
Ký hiệu số phức đó là z và viết z a bi  (dạng đại số) 
 i được gọi là đơn vị ảo 
a được gọi là phần thực. Ký hiệu  Re z a 
b được gọi là phần ảo của số phức z a bi  , ký hiệu  Im z b 
 Tập hợp các số phức ký hiệu là C. 
Chú ý: 
 - Mỗi số thực a dương đều được xem như là số phức với phần ảo b = 0. 
 - Số phức z a bi  có a = 0 được gọi là số thuần ảo hay là số ảo. 
 - Số 0 vừa là số thực vừa là số ảo. 
2. Hai số phức bằng nhau. 
 Cho z a bi  và ’ ’ ’z a b i  . 
'
’
'
a a
z z
b b

  

3. Biểu diễn hình học của số phức. 
 Mỗi số phức được biểu diễn bởi một điểm M(a;b) trên mặt phẳng toạ độ Oxy. 
 Ngược lại, mỗi điểm M(a;b) biểu diễn một số phức là z a bi  . 
4. Phép cộng và phép trừ các số phức. 
 Cho hai số phức z a bi  và ’ ’ ’z a b i  . Ta định nghĩa: 
' ( ') ( ')
' ( ') ( ')
z z a a b b i
z z a a b b i
    

    
5. Phép nhân số phức. 
 Cho hai số phức z a bi  và ’ ’ ’z a b i  . Ta định nghĩa: 
 ' ' ' ( ' ' )zz aa bb ab a b i    
6. Số phức liên hợp. 
 Cho số phức z a bi  . Số phức – z a bi gọi là số phức liên hợp với số phức trên. 
 Vậy z a bi a bi    
Chú ý: 
1) z z  z và z gọi là hai số phức liên hợp với nhau. 
2) z. z = a2 + b2 
- Tính chất của số phức liên hợp: 
 (1): z z 
(2): ' 'z z z z   
(3): . ' . 'z z z z 
(4): z. z = 2 2a b ( z a bi  ) 
7. Môđun của số phức. 
www.MATHVN.com
www.mathvn.com
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: Loinguyen1310@gmail.com 
DĐ: 01694 013 498 
 3 
 Cho số phức z a bi  . Ta ký hiệu z là môđun của số phư z, đó là số thực không âm được xác định 
như sau: 
 - Nếu M(a;b) biểu diễn số phức z a bi  , thì 2 2z OM a b  

 - Nếu z a bi  , thì 2 2.z z z a b   
8. Phép chia số phức khác 0. 
 Cho số phức 0z a bi   (tức là 2 2 0a b  ) 
Ta định nghĩa số nghịch đảo 1z của số phức z ≠ 0 là số 
 1 2 2 2
1 1z z z
a b z
  

Thương 
'z
z
của phép chia số phức z’ cho số phức z ≠ 0 được xác định như sau: 
1
2
' '..z z zz z
z z
  
 Với các phép tính cộng, trừ, nhân chia số phức nói trên nó cũng có đầy đủ tính chất giao hoán, phân 
phối, kết hợp như các phép cộng, trừ, nhân, chia số thực thông thường. 
II. DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC. 
1. Cho số phức z  0. Gọi M là một điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn số phức z. Số đo (radian) của mỗi 
góc lượng giác tia đầu là Ox, tia cuối OM được gọi là một acgumen của z. 
Như vậy nếu  là một acgumen của z, thì mọi acgumen đều có dạng:  + 2k, k  Z. 
2. Dạng lượng giác của số phức. 
Xét số phức   , , 0z a bi a b R z    
Gọi r là môđun của z và  là một acgumen của z. 
Ta có: a = rcos , b = rsin 
  cos sinz r i   trong đó 0r  , được gọi là dạng lượng giác của số phức z  0. 
 z = a + bi (a, b  R) gọi là dạng đại số của z. 
 2 2r a b  là môđun của z. 
  là một acgumen của z thỏa 
cos
sin
a
r
b
r


 

 

3. Nhân và chia số phức dưới dạng lượng giác. 
Nếu  cos sinz r i   ,  ' ' cos ' sin 'z r i    0, ’ 0r r  
thì:    . ' . ' cos ' sin 'z z r r i         và    cos ' sin '' '
z r i
z r
         
4. Công thức Moivre. 
 Với *n N thì    cos sin cos sinn nr i r n i n        
5. Căn bậc hai của số phức dưới dạng lượng giác. 
www.MATHVN.com
www.mathvn.com
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: Loinguyen1310@gmail.com 
DĐ: 01694 013 498 
 4 
Căn bậc hai của số phức  cos sinz r i   (r > 0) là cos sin
2 2
r i   
 
 và 
cos sin os isin
2 2 2 2
r i r c                     
      
A. BÀI TẬP VỀ SỐ PHỨC VÀ CÁC THUỘC TÍNH 
Dạng 1: Các phép tính về Số phức 
Phương pháp: 
- Sử dụng các công thức cộng , trừ, nhân, chia và luỹ thừa số phức. 
Chú ý: 
Trong khi tính toán về số phức ta cũng có thể sử dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ như trong số thực. Chẳng 
hạn bình phương của tổng hoặc hiệu, lập phương của tổng hoặc hiệu 2 số phức 
Bài 1: Cho số phức 3 1
2 2
z i  . Tính các số phức sau: z ; 2z ;  3z ; 21 z z  
Giải: 
a. Vì 3 1 3 1
2 2 2 2
z i z i     
b. Ta có 
2
2 23 1 3 1 3 1 3
2 2 4 4 2 2 2
z i i i i
 
        
 
 
2
2 23 1 3 1 3 1 3
2 2 4 4 2 2 2
z i i i i
 
         
 
   3 2 1 3 3 1 3 1 3 32 2 2 2 4 2 4 4z z z i i i i i
  
            
  
Ta có: 2 3 1 1 3 3 3 1 31 1
2 2 2 2 2 2
z z i i i          
Nhận xét: 
Trong bài toán này, để tính  3z ta có thể sử dụng hằng đẳng thức như trong số thực. 
Tương tự: Cho số phức 1 3z
2 2
i   . Hãy tính : 21 z z  
Ta có 2 1 3 3
4 4 2
z i   . Do đó: 2 1 3 1 31 1 0
2 2 2 2
z z i i
   
               
   
Bài 2: 
a. Tính tổng sau: 2 3 20091 i i i i    
b. Cho hai số phức 1 2,z z thoả mãn 1 2 1 21; 3z z z z    . Tính 1 2z z . 
Giải: 
www.MATHVN.com
www.mathvn.com
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: Loinguyen1310@gmail.com 
DĐ: 01694 013 498 
 5 
Ta có   2010 2 3 20091 – 1 – 1i i i i i i     
Mà 20101 2i  . Nên 2 3 2009
2
1 ...
1
1i i i i
i
i    

   
b. Đặt 1 1 1 2 2 2; z a b i z a b i    . 
Từ giả thiết ta có 
2 2 2 2
1 1 2 2
2 2
1 2 1 2
1
( ) ( ) 3
a b a b
a a b b
    

   
Suy ra 2 21 1 2 2 1 2 1 2 1 22( ) 1 ( ) ( ) 1 1a b a b a a b b z z          
Bài 3: Tính giá trị của biểu thức: 
a. 
5 7 9 2009
2
4 6 7 2010
... ( 1)
...
i i i iP i
i i i i
   
  
  
b. 2 4 101 (1 ) (1 ) ... (1 )M i i i        
c.  1001N i  
Giải: 
a. Ta có    
10032
5 7 9 2009 5 2 4 2004
2
1
... 1 ... .
1
i
i i i i i i i i i i
i

          

   4 5 6 2010 2 3 4 5 6 2010 2 3
2011
... 1 ... 1
1 1 1(1 1 ) 1
1 1 2 2
i i i i i i i i i i i i
i ii i P i
i i
             

         
 
b. M là tổng của 10 số hạng đầu tiên của một cấp số nhân có số hạng đầu tiên 1 1u  , công bội 
2(1 ) 2q i i   
 Ta có : 
10 10 10
1
1 1 (2 ) 1 2 1025(1 2 ). 1. 205 410
1 1 2 1 2 5
q i iM u i
q i i
   
     
  
c.    
50100 2 50 50 50 501 ( 2 ) ( 2) ( ) 21 i i iN i             
Bài 4: 
a. Cho số phức 1
1
iz
i



 . Tính giá trị của 2010z . 
b. Chứng minh      2010 2008 20063 1 4 1 4 1i i i i     
Giải: 
a. Ta có : 
21 (1 )
1 2
i iz i
i
 
  

nên 2010 2010 4 502 2 4 502 2. 1.( 1) 1z i i i i         
b. Tacó:            2010 2008 2006 4 2 43 1 4 1 4 1 3 1 4 1 4 1 4i i i i i i i i              
24 4i    (đpcm). 
Bài 5: Tính số phức sau: 
a. 
16 81 1
1 1
i iz
i i
            
 b.  151z i  
www.MATHVN.com
www.mathvn.com
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: Loinguyen1310@gmail.com 
DĐ: 01694 013 498 
 6 
Giải: 
a. Ta có: 1 (1 )(1 ) 2 1
1 2 2 1
i i i i ii i
i i
   
     
 
Vậy  
16 8
8161 1 2
1 1
i i i i
i i
               
b. Ta có: 
     2 14 7 71 1 2 –1 2 1 2 128. 128.i i i i i i i         
         15 141 1 1 128 1 128 1 128 –128 .z i i i i i i i             
Bài 6: Tính: 105 23 20 34 –i i i i  
Giải: 
Để tính toán bài này, ta chú ý đến định nghĩa đơn vị ảo để từ đó suy ra luỹ thừa của đơn vị ảo như sau: 
Ta có: 2 3 4 3 5 61; ; . 1; ; 1i i i i i i i i i          
Bằng quy nạp dễ dàng chứng minh được: 4 4 1 4 2 4 3 *1; ; 1; ; n n n ni i i i i i n N          
Vậy  1;1; ; , .ni i i n N     
Nếu n nguyên âm,    1 1
n
n nni i i
i

       
 
. 
Như vậy theo kết quả trên, ta dễ dàng tính được: 
105 23 20 34 4.26 1 4.5 3 4.5 4.8 2 – – – 1 1 2i i i i i i i i i i           
Bài 7: 
a. Tính : 1
1 3
2 2
i
b. (TN – 2008) Tìm giá trị của biểu thức: 2 2(1 3 ) (1 3 )P i i    
Giải: 
a. Ta có: 
1 3 1 3
1 32 2 2 2
1 2 21 3 1 3
2 2 2 2
1
1 3
2 2
i i
i
i ii
 
  
 

  
   
  
b. 4P   
Dạng 2: Số phức và thuộc tính của nó 
Loại 1: Tìm phần thực và phần ảo 
Phương pháp: 
Biến đổi số phức về dạng z a bi  , suy ra phần thực là a, phần ảo là b 
Bài 1: Tìm phần thực, phần ảo của các số phức sau 
www.MATHVN.com
www.mathvn.com
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: Loinguyen1310@gmail.com 
DĐ: 01694 013 498 
 7 
a.    2 4 3 2z i i i     b. 3 3( 1 ) (2 )z i i    c. 
2010(1 )
1
iz
i



Giải: 
a.    0 2 3 1 4 2 1 .z i i         
Vậy số phức đã cho có phần thực là − 1, phần ảo là − 1. 
b. Kết quả: 2 + 10i 
c. 
2010 1005
1004 1004 1004(1 ) (2 ) (1 ) 2 (1 ) 2 2
1 2
i i iz i i i
i
 
      

Bài 2: 
a. Tìm phần thực, phần ảo của số phức    2 – 4 – 3 – 2i i i 
b. (TN – 2010) Cho hai số phức: 1 21 2 , 2 3z i z i    . Xác định phần thực và phần ảo của số phức 1 22z z . 
c. (TN – 2010) Cho hai số phức: 1 22 5 , 3 4z i z i    . Xác định phần thực và phần ảo của số phức 1 2.z z . 
d. Cho số phức z thỏa mãn 
1
2
z
iz
z
 


 

. Tìm số phức liên hợp của z 
Giải: 
a. Ta có:              2 – 4 – 3 – 2 0 2 1 4 3 2 2 – 3 3 2 1 –i i i i i i i              
Vậy số phức đã cho có phần thực là – 1, phần ảo là – 1. 
b. Phần thực – 3 ; Phần ảo 8 
c. Phần thực 26 ; Phần ảo 7 
d. Theo giả thiết 
   
2 2
2 22 2
2 2
11
2
2 1 41 1
a b ab
a b ab a b
    
 
      
... 
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2
z i z i
z i z i
 
    
  
 
      
 
Bài 3: Tìm phần thực, phần ảo của số phức 
a.    3 31 2i i   
b.        2 3 201 1 1 1 1z i i i i         
c.  20091 i 
Giải: 
a. Ta có: 
       
 
3 3 2 2 3
3 3 3
1 1 3 1 3 1 2 2
2 2 8
i i i i i
i i i
          
   
www.MATHVN.com
www.mathvn.com
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: Loinguyen1310@gmail.com 
DĐ: 01694 013 498 
 8 
   3 31 2 2 10i i i      
Vậy số phức đã cho có phần thực là 2, phần ảo là 10. 
b. Ta có
21
20 (1 ) 11 (1 ) ... (1 ) iP i i
i
 
       
1021 2 10 10(1 ) (1 ) .(1 ) (2 ) (1 ) 2 (1 )i i i i i i           
 
10
10 102 (1 ) 1 2 2 1iP i
i
  
     
Vậy: phần thực 102 , phần ảo: 102 1 
c. Ta có     10042009 2 1004 1004 1004 10041 1 (1 ) ( 2 ) (1 ) 2 (1 ) 2 2i i i i i i i           
Vậy phần thực của số phức trên là 10042 và ảo là 10042 
Bài 4: (ĐH – A 2010) Tìm phần ảo của số phức z, b ...            
    
Bài 8: Tính tổng sau: 2008 2008(1 ) (1 )S i i    
Giải: 
2008 1004
2008 1004
1 2(cos sin ) (1 ) 2 (cos502 sin 502 )
4 4
1 2(cos sin ) 2(cos( ) sin( ))
4 4 4 4
(1 ) 2 (cos( 502 ) sin( 502 )).
i i i i
i i i
i i
 
 
   
 
      
      
     
Do đó 1005 10052 cos(502 ) 2S   . 
Bài 9: Chứng minh rằng các điểm biểu diễn các căn bậc ba của 1 lập thành một tam giác đều. 
Giải: 
Xét phương trình 3 1z  trên  , có nghiệm (cos sin ) z r i   Khi đó 
3 3 11 (cos3 sin 3 ) 1
3 2 , .
r
z r i
k k
 
 

     
  
Do đó phương trình có đúng ba nghiệm ứng với ba giá trị của k là 
- Với k = 0 ta có 0 cos 0 sin 0 1z i   ; 
www.MATHVN.com
www.mathvn.com
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: Loinguyen1310@gmail.com 
DĐ: 01694 013 498 
 64 
- Với k = 1 ta có 1
2 2 1 3
z cos sin ;
3 3 2 2
i i      
- Với k = 2 ta có 2
4 4 1 3cos sin
3 3 2 2
z i i      . 
Nên 1 có ba căn bậc ba đó là các số phức được xác định như trên. Trong mặt phẳng phức, gọi A, B, C lần lượt 
là điểm biểu diễn các số phức 0 1 2z , z , z . Khi đó  
2 21; ;
3 3
OA OB OC AOB BOC     
  
Từ đó suy ra tam giác ABC là tam giác đều. 
Nếu kết hợp thêm khai triển nhị thức Newtơn ta được nhiều kết quả hay và bất ngờ về tổ hợp. 
Một số ứng dụng khác 
Bài 1: Tính giá trị của 0 2 4 2006 20082009 2009 2009 2009 2009...S C C C C C      
Giải: 
Xét khai triển: 
   
2009
2009 0 2 4 2008 1 3 5 2009
2009 2009 2009 2009 2009 2009 2009 2009 2009
0
(1 ) . ... ...k k
k
i C i C C C C C C C C i

            
Mặt khác 2009 2009 1004 10042009 2009(1 ) ( 2) . sin 2 2 .
4 4
i cos i i       
 
So sánh phần thực và phần ảo ta đợc 10042S  . 
Nhận xét. 
Bằng việc xét khai triển (1 )ni ta có kết quả tổng quát sau: 
0 2 4
*
1 3 5
... ( 2) .
4 ( )
... ( 2) .sin
4
n
n n n
n
n n n
nC C C cos
n
nC C C


    

    

 
Bài 2: Tính tổng S = 0 2 4 20102010 2010 2010 2010...C C C C    
Giải: 
Ta có S = 0 2 2 4 4 2010 20102010 2010 2010 2010...C i C i C i C    . 
Do đó có thể giải như sau: 
Cách 1: S = 
2010 2010(1 ) (1 )
2
i i   
Cách 2: S là phần thực của số phức  20101 i (do  20101 i và  20101 i là hai số phức liên hợp) 
Bài tập tự giải: 
Viết dạng lượng giác của số phức 
Bài 1: 
a. Viết dạng lượng giác của số phức z2, biết 1 .z i  
www.MATHVN.com
www.mathvn.com
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: Loinguyen1310@gmail.com 
DĐ: 01694 013 498 
 65 
b. Viết dưới dạng lượng giác của số phức 2 ( 3 ).z i i  
Bài 2: Viết số phức z dưới dạng đại số: 8( 2 2 2 2 ) .z i    
Bài 3: Viết dưới dạng lượng giác các số phức sau: 
a. 31 i b. 1 + i c. )1)(31( ii  d. 
i
i


1
31 
e. )3.(.2 ii  f. 
i22
1

 g. sin .cosz i   
Đs: 
a. 2 cos .sin
3 3
i               
 b. 




 
4
sin.
4
cos.2  i c. 2 2 cos( ) .sin( )
12 12
i      
d. 7 72 cos( ) .sin( )
12 12
i      
 e. )
3
sin.
3
(cos4  i f. 2 cos( ) sin( )
4 4 4
i      
g. 




 




  



2
sin
2
cos i 
Bài 4: Cho số phức 1 3z i  . Hãy viết dạng lượng giác của số phức 5z . 
Bài 5: Viết dạng lượng giác số 1 3
2 2
z i  .Suy ra căn bậc hai số phức z 
Bài 6: Viết các số sau dưới dạng lượng giác: 
a. z1 = 6 + 6i 3 b. 2
1 3
4 4
z i   
c. 3
1 3
2 2
z i   d. 3 9 – 9 3z i e. 5 4z i  
Đs: 
1 12 os isin3 3
z c     
 
; 2
1 2 2os i sin
2 3 3
z c     
 
; 3
4 4os isin
3 3
z c    
4
5 518 os isin
3 3
z c     
 
; 5
3 34 os isin
2 2
z c     
 
; 
Bài 12: Viết các số phức sau dưới dạng lượng giác: 
a. 2 cos sin
6 6
i    
 
 b. cos sin
17 17
i   
 
c. sin cos
17 17
i   
 
 d. 1 – cos sin , [0;2 )a i a a   
Đs: 
a. 2(cos 7
6
 +isin 7
6
 ) b. cos
17
  
 
+ isin
17
  
 
c. cos15
34
 + isin 15
34
 
d. 
www.MATHVN.com
www.mathvn.com
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: Loinguyen1310@gmail.com 
DĐ: 01694 013 498 
 66 
- Nếu a  (0;2 )  sin
2
a > 0  z2 = 2sin
2
a (cos(
2
 - 
2
a ) + i sin (
2
 -
2
a )) 
- Nếu a = 0  không tồn tại số phức dưới dạng lượng giác. 
Bài : Tìm một acgumen của các số phức sau: 
a. i.322  b. 4 4i c. 1 - i.3 d. 
4
sin.
4
cos  i 
e. 
8
cos.
8
sin  i f. )1)(3.1( ii  
Đs: 
a. 
3
2 b. 
4
3 c. 
3

 d.
4

 e.
8
5
 f. 
12

 
Dạng toán về tính toán: 
Bài 1: Tìm phần thực và phần ảo của mỗi số phức sau: 
a.   ;31
3
sin
3
cos
75 iii 




 
 b.  
 9
10
3
1
i
i

 ; c. 2000
2000 1
z
z  biết rằng .11 
z
z 
Bài 2: Chứng minh rằng: 
12
3
1
i
i
  
   
là số thực 
Đs: Sử dụng công thức Moavrơ : 
12
3 64
1
i
i
  
    
Bài 3: Tìm phần thực, phần ảo của các số phức sau 
a. 
 
10
9
(1 i)
3 i


. b.  75cos sin 1 33 3i i i
    
 
. 
HD: Sử dụng công thức Moivre. 
Đáp số: a. Phần thực 1
16
 , phần ảo bằng 0 
 b. Phần thực 0, phần ảo bằng 128 
Bài 5: Áp dụng công thức Moivre để tính 
a. 5(cos15 sin15 )o oi b.  72 cos30 sin 30o oi c. 16(1 )i d. 
12
1 3
2 2
i
 
 
 
Bài 6: Hãy tính tổng 2 3 11 ... nS z z z z      biết rằng 2 2cos sinz i
n n
 
  
Bài 7: Thực hiện các phép tính 
a.  3 cos120 sin120o oi (cos 45 sin 45 )o oi b.  2 cos18 sin18o oi (cos72 sin 72 )o oi 
c. 5(cos sin )3(cos sin )
6 6 4 4
i i     d. cos85 sin85
cos40 sin 40
i
i


 
  
www.MATHVN.com
www.mathvn.com
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: Loinguyen1310@gmail.com 
DĐ: 01694 013 498 
 67 
e. 
2 22(cos sin )
3 3
2(cos sin )
2 2
i
i
 
 


 f. 2(cos 45 sin 45 )
3(cos15 sin15 )
i
i


 
  
g. 5 7(cos sin ) .(1 3 )
3 3
i i i   h. 2008 2008
1z
z
 biết 1 1z
z
  
i. )
4
sin.
4
(cos3).
6
sin.
6
(cos  ii  
Đs: 
a. 
2
23.
2
23 i b. 5 53(cos .sin )
12 12
i  c. 
d. 
4
2.
4
6 i e. 
4
2.
4
6 i f. 
6
6.
2
2 i 
Bài 8: Tìm môđun của z và argument: 
a. 
 
 
 
 
8
6
8
2 3 2 1
1 6 2 3 2
i i
z
i i
 
 
 
b. 
 
   
4
10 4
1 1
3 2 3 2
i
z
i i
 
 
 
c.    1 3 1 3n nz i i    
Đs: 
a. |z| = 13 13
12
2
z   ; 5arg
6
z  
b. 9
1
2
z  ; arg z =  
c. 1 52 os
3
n nz c  ; arg {0; }z    
Bài 9: Thực hiện phép tính: 
a.   3 cos 20 sin 20 cos 25 sin 25o o o oi i  b. 
)15sin.15(cos3
)45sin.45(cos2
00
00
i
i

 
c. 
)
2
sin.
2
(cos2
)
3
2sin.
3
2(cos2


i
i


 d. 5 )
4
sin.
4
(cos3).
6
sin.
6
(cos  ii  
Đs: 
a. 
2
23.
2
23 i b. 
6
6.
2
2 i c. 
4
2.
4
6 i d. 15(cos )
12
5sin.
12
5  i 
Bài 10: Tính: 
a. (cos12o + isin12o)5 b. 
70 02(cos30 sin 30 )i   c. 
6)3( i 
www.MATHVN.com
www.mathvn.com
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: Loinguyen1310@gmail.com 
DĐ: 01694 013 498 
 68 
d. (1 + i)16 e. 
12
2
3
2
1








 i f. 
20081





 
i
i g. 
21
321
335










i
i 
Đs 
a. 
2
3
2
1 i b. 24.64 i c. 62 d. 82 e. 1 f. 10042
1 h. 221 
Bài 11: Tìm một acgumen của mỗi số phức sau: 
a. i.322  ĐS: 
3
2 b. 4 – 4i ĐS: 
4
3 
c. 1 - i.3 ĐS: 
3

 d. 
4
sin.
4
cos  i ĐS: 
4

 
e. 
8
cos.
8
sin  i ĐS: 
8
5
 f. )1)(3.1( ii  ĐS: 
12

 
Bài 12: Cho hai số phức 1 2 2z i  và 2 1 3z i  
a. Tính môđun và argument của hai số phức nói trên. 
b. Tính môđun và argument của z13 và z22 và 
3
1
2
2
z
z
c. Từ đó suy ra giá trị chính xác của cos
12
 và sin
12
 
Đs: 
a. Ta có |z1| = 2; 1 = 
4
 ; |z2| = 2; 2 = 
3
 
b. |z13| = 8; 3 = 
3
4
 ; |z2| = 4; 4 = 
2
3
 ; 
3
1
2
2
z
z
= 2; 5 = 
12
 
c.cos
12
 = 2 6
4
 và sin
12
 = 6 2
4
 
Bài 13: Tìm các căn bậc hai của số phức sau: 
a. 1z i  b. 1
2 2
i
 c.  2 1 3i  d. 7 24i 
Đs: 
a. 4
2 2
4 42 cos sin
2 2k
k k
z i
 
    
  
  
 
, k  {0;1} 
b. 
2 2
2 2cos sin
2 2k
k k
z i
 
  
  , k  {0;1} 
c. 
2 2
4 4os isin
2 2k
k k
z c
 
  
  , k  {0;1} 
www.MATHVN.com
www.mathvn.com
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: Loinguyen1310@gmail.com 
DĐ: 01694 013 498 
 69 
d. 
4 42 2
3 32 os isin
2 2k
k k
z c
 
    
  
  
 
, k  {0;1} 
Bài 14: Sử dụng dạng lượng giác để tính số phức sau: 
a.   1 3 3 3 2 3 22 2i i i
 
     
 
 b.   1 2 2i i i   
c.  2 ( 4 4 3 ) 3 3i i i    d.   3 1 5 5i i   
Đs: 
a. 12 2 (cos 7
4
 + isin 7
4
 ) b. 4(cos0 + isin0) 
c. 48 2 (cos 5
12
 + isin 5
12
 ) d. 30(cos
2
 + isin
2
 ) 
Bài 15: Tìm số phức z thỏa mãn 3 1z i
z i



 và 1z  có một acgumen là 
6

 
Đs: 2 3 1 2z i   
Bài 16: Viết dưới dạng lượng giác của một số phức z sao cho 1
3
z  và một acgumen của 
1
z
i
 là 3
4

 
Đs: 
1 cos sin
3 2 2
z i    
 
Bài tập tự giải phần ứng dụng: 
Bài 1: Cho n nguyên dương. 
a. Chứng minh rằng: 0 2 4 6 2 22 2 2 2 2
23 9 27 3 2
3
n n n
n n n n n
nC C C C C cos       ... ( ) . 
b. Tính S = 0 2 2 4 10 2020 20 20 203 3 ... 3C C C C    
Bài 2: Cho số nguyên dương n. 
a. Biểu diễn số phức sau theo dạng đại số: (1 + i)4n 
b. Chứng minh rằng 
   2 22 4 6 4 1 3 5 7 4 14 4 4 4 4 4 4 4 41 ... ... 16n n nn n n n n n n n nC C C C C C C C C             
Bài 3: 
a. Cho  sincos iz  ( R ). Chứng minh rằng với mọi số nguyên 1n , ta có 
n
z
z n
n cos21  ; ni
z
z n
n sin21  . 
b. Từ câu a. chứng minh rằng 
 
 .sin103sin55sin
16
1sin
,32cos44cos
8
1cos
5
4




www.MATHVN.com
www.mathvn.com
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: Loinguyen1310@gmail.com 
DĐ: 01694 013 498 
 70 
Bài 4: Cho các số thực a,b, c và số phức 1 3.
2 2
z i   . 
Chứng minh rằng:   2 2 0a bz cz a bz cz     .Dấu bằng của bất đẳng thức xảy ra khi nào? 
LỜI KẾT: 
 Trong những năm gần đây, số phức xuất hiện rất nhiều trong các kì thi TN, CĐ, ĐH và trở thành 
một phần không thể thiếu trong các đề thi, tuy nhiên còn có mặt hạn chế là kiến thức mới được đưa vào 
chương trình PT chính vì thể mà các em còn cảm thấy lo lắng và sợ khi gặp các bài toán về số phức 
 Vì vậy tôi viết chuyên đề này hi vọng các em sẽ học tốt hơn, cũng như các bạn đồng nghiệp có 
thêm tài liệu giảng dạyxin chân thành cảm ơn 
Góp ý theo địa chỉ Email: Loinguyen1310@gmail.com hoặc địa chỉ: Nguyễn Thành Long 
Số nhà 15 – Khu phố 6 – Phường ngọc trạo – Thị xã bỉm sơn – Thành phố thanh hóa 
“Vì một ngày mai tươi sáng, các em hãy cố lên, chúc các em học tốt và đạt kết quả cao chào thân ái” 
www.MATHVN.com
www.mathvn.com