Chuyên đề Phương trình lượng giác - Luyện thi Đại học

I/ CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC
A/ Đường tròn lượng giác, giá trị lượng giác:
0
p
sina
cosa
 a
0
Bảng giá trị của các góc đặc biệt:
 Góc
GTLG
00
(0)
300
()
450 ()
600
()
900
()
Sin
0
1
Cos
1
0
B/ Các hệ thức Lượng Giác Cơ Bản:
Hệ quả: 
 · sin2x = 1-cos2x ; cos2x = 1- sin2x
 · tanx= ; 
Sin4x + cos4x = 1 - 2sin2x.cos2x
Sin6x + cos6x = 1 - 3sin2x.cos2x
C/ Giá Trị Các Cung Góc Liên Quan Đặc Biệt:
“ Cos đối, Sin bù, Phụ chéo, tan cot lệch p”
D/. Công thức lượng giác
 1. Công thức cộng:
cos (a – b) = cosa.cosb + sina.sinb 
cos (a + b) = cosa.cosb – sina.sinb 
sin (a – b) = sina.cosb – cosa.sinb 
sin (a + b) = sina.cosb + cosa.sinb
tan(a – b) = 
tan(a + b) = 
2. Công thức nhân đôi:
 sin2a = 2sina.cosa Þ 
 cos2a = cos2a – sin2a = 2cos2a – 1 = 1 – 2 sin2a
 tan2a = 
 3. Công thức nhân ba:
sin3a = 3sina – 4sin3a
cos3a = 4cos3a – 3cosa
4.Công thức hạ bậc:
cos2a = 
sin2a = 
tg2a =
5. Công thức tính sinx, cosx,tanx theo t=tan: 
 v sinx = v cosx = 
tanx = v cotx =
6. Công thức biến đổi tổng thành tích 
7. Công thức biến đổi tích thành tổng

 II/PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC :
1/ Phương trình lượng giác cơ bản:
Chú ý: a/ Nếu cung α thoả thì α gọi là arcsina cung có sin bằng a. Khi đó phương trình sinx = a Û 
 b/ Nếu cung α thoả thì α gọi là arccosa cung có cos bằng a. Khi đó phương trình cos x = a Û 
 c/ Nếu cung α thoả thì α gọi là arctana cung có tan bằng a. Khi đó phương trình tanx = a Û 
 d/ Nếu cung α thoả thì α gọi là arccota cung có cot bằng a. Khi đó phương trình cotx = a Û 
 Một số phương trình đặc biệt:
2/ Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx:
	Phương pháp giải: 	
Đặt đưa phương trình về dạng: rồi tiếp tục giải. 
Điều kiện có nghiệm 
3/Phương trình bậc 2 theo 1 hàm số lượng giác.
 Dạng: a. t2 + b.t + c = 0 trong đó t có thể là một trong các hàm sinx, cosx, tanx, cotx. 
 Cách giải: Đặt t bằng hàm số lượng giác đã cho đưa về phương trình bậc 2 rồi giải tiếp.
 Chú ý: với t = sinx hoặc t = cosx thì có điều kiện .
4/.Phương trình đẳng cấp bậc 2 theo sinx và cosx:
* Dạng:(1)
* Cách giải: 
 TH1: Xét xem cosx = 0 Û có là nghiệm của (1) hay không ? 
 TH2: cosx ≠ 0 , chia cả 2 vế phương trình cho, sau đó thay đặt rồi đưa về phương trình bậc 2 theo biến t.
5/Phương trình bậc 2 đối xứng dạng:
	Cách giải: Đặt . Đưa phương trình về phương trình đại số theo t:
BÀI TẬP:
I – Phương trình lựơng giác cơ bản :
Bài 1 : Giải các phương trình sau 
1. 
2. 
3. 
4 . 
5. 
6. sin 2x = 2cos x 
7. 
8. 
9. ( 2cos x -1 )( sin x + cos x) =1 
10. 
Bài 2 : Tìm tất cả các nghiệm của phương trình 
II - Phương trình bậc hai, bậc 3 đối với một hàm số lương giác 
Bài 1 : Giải các phương trình sau 
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
Bài 2 : Giải các phương trình với m = 0 ; m = 1/ 2 ; m = 1
 1. cos 2x – ( 4m + 4) cos x +12 m -5 = 0 ( m là tham số )
 2. sin 2x – ( 2m -1) sin x + m 2-1 = 0 ( m là tham số )
 Bài 3 : Giải các phương trình 
2+cos2x = -5sinx
sin3x+2cos2x-2 = 0 (ĐH Đà Nẵng 97)
2+cosx = 2tg (Học viện ngân hàng98)
cosx = cos2() (ĐH hàng hải97)
tg2x + sin2x = cotgx (ĐH Thương mại 99)
2 + 3tgx – sin2x = 0 (ĐH Thủy lợi 99)
=1 (ĐH Mỏ địa chất 97)
3cos4x – 2cos2(3x) = 1 (ĐH Đà nẵng 98)
2sin3x + cos2x = sinx (ĐH Huế 98)
10)4(sin3x – cos2x) = 5(sinx – 1) (ĐH Luật99)
11)3(tgx + cotgx) = 2(2+sin2x) (ĐH Cần Thơ 99-D)
12)cho phương trình :sin4x + cos4x - sin2(2x) + m = 0 
a.Giải phương trình khi m= 2 
b.tìm m để phương trình có nghiệm 
 (Trường Hàng không VN 97 
 13) 3cos6(2x) + sin4(2x) + cos4x = 0 (ĐH CT 99)
 14) cos4x + 6sinx.cosx –1 = 0 ( ĐH QG TP.HCM 98)
 15) 1 + 3tgx = 2sin2x (ĐH QGHN 2000-D)
 16) 4cos3x + 3 sin2x = 8cosx (ĐH SPHN 2000 B+D)
 17) sinsinx - cossin2x + 1 = 2cos2() 
	 (ĐHSP TP.HCM 2000)
 18)
 (ĐH luật HN 2000)
 19) sin4x = tgx (ĐH Y khoa HN 2000) 
 20) sin3x + sin2x = 5sinx (ĐH Y Hải phòng 2000) 
 22) 2cos2x – 8cosx + 7 = (ĐH NNgữ HN 2000)
 23) (ĐH Thủy lợi 2000)
 24) Tìm nghiệm thuộc khoảng (0,2) của phương trình
 5(sinx + = cos2x + 3 (KA-2002)
 25) cotgx – tgx + 4sin2x = (KB-2003)
 26)sin4x + cos4x + cos( ).sin(3x - ) - = 0 
III – Phương trình bậc nhất với sin x và cos x
Bài 1 : Giải các phương trình sau
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
7. 
Bài 2 : Cho 
1. Giải phương trình khi y = 0 ; y = 1 ; y = 4 
2. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của y
Bài 3 : Giải phương trình 
1)sin2x + cos2x = ( ĐH Huế 99)
 2) 2cos2x + sin2x = 2 
 3) 3cos3x + 4sinx + = 6
 4) sin2x – 3cos2x = 3(4sinx – 1)
 5) cosx + sinx = 2cos2x
 6) Tìm thoả phương trình 
 cos7x - sin7x= – 
 7) cos7x.cos5x – sin2x = 1 – sin7x.sin5x
 8) 2cosx(sinx – 1) = cos2x 	
 9) 3sinx – cos3x = 4sin3x – 1 
 10) sin(x – ) + sin (x + ) = 2sin2006x 
 11) 9sinx + 6cosx – 3sin2x + cos2x = 8
 12) sin2x + 2cos2x = 1+ sinx – 4cosx
 13) 2sin2x – cos2x = 7sinx + 2cosx – 4
 14) 
 15) 2cos3 x + cos 2x + sinx = 0
 16) 
 17) 1+ sin32x + cos32x = sin4x
 18) tgx –3cotgx = 4(sin x+cosx)
 19) 
 20)
IV – Phương trình thuần nhất bậc hai ( Đẳng cấp bậc hai ) đối với sin x và cos x 
Bài 1 : Giải các phương trình 
 1) 
 2) 
 3) 
 4) 
 5) 
 6) 
 7) 
 8) 
 9) 
Bài 2 : 
 Giải phương trình :
1)sinx+cosx = (ĐH An ninh 98)
2) sin2x – 3cos2x + 2sin2x = 2
3)sin3x + cos3x = sinx – cosx 
4) 2cos3x = sin3x (HV KT Quân sự 97)
5) sin2x(tgx + 1) = 3sinx(cosx – sinx) + 3 
sinx – 4sin3x + cosx = 0 
(ĐH Y Khoa HN 99)
sinxsin2x + sin3x = 6cos3x 
cos3x – 4sin3x – 3cosx.sin2x + sinx = 0 (ĐH NT 96)
10) cotg x – 1= 
11)sin3x + cos3x + 2cosx = 0
12)
13)
V – Phương trình đối xứng với sin x và cos x 
Bài 1 : Giải các phương trình 
1 . 
 2 . 
 3 . 
 4 . 
 5 . 
 6 . 
 7 . 
 8 . 
 9 . 
10 . 
11 . 
12 . 
Bài 2 : Cho phương trình m( sin x+ cos x) + sin x cos x +1 = 0
Giải phương trình với m = - 
Tìm m để phương trình có nghiệm 
Bài 3 : Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất hàm số 
y = 2( sin x – cos x) + 3sin 2x -1
Bài tập 4:
 1) (1 + cosx)(1 + sinx) =2 (ĐH An ninh 98-D)
 2) cotgx – tgx = sinx –cosx (ĐH Ngoại ngữ HN 97) 
 3) = 1 (ĐH An ninh 98-A)
3tg3x – tgx + = 0 
 (Kiến trúc HN 98)
sinx+ sin2x+sin3x+sin4x = cosx+cos2x+cos3x+cos4x
sin3x+ cos3x = 1
 sin3x+ cos3x + sin2x(sinx + cosx) = 1
1 + sin3x+ cos3x = sin2x (ĐH GT VT 99)
cos2x +5 = 2(2-cosx)(sinx-cosx) (ĐH Công đoàn 97)
 Cho phương trình :sinx + cosx = m+sin2x
a.Giải khi m= -1
b.Ttìm m để phương trình có nghiệm
10) sin3x+ cos3x = sin2x + sinx + cosx 
	 ( ĐH Cảnh sát ND 2000-A)
11) sinx.cosx + 2sinx + 2cosx = 2 (ĐH Huế 2000-D)
12) 2sinx+cotgx = 2sin2x + 1 (ĐH QGHN 200-A)
13) 1 + sin3x- cos3x = sin2x
VI – Phương trình lượng giác khác
A- phương trình giải bằng cách dặt ẩn phụ 
Bài 1 : Giải các phương trình 
1. 	2. 
B- Sử dụng công thức hạ bậc 
Bài 2 : Giải các phương trình 
1. 3. 
2. . 
C – Phương trình biến đổi về tích 
Bài 3 : Giải phương trình 
1 . 
2. 
3. 
4 . 
5 . 
6 . 
7. 
8 . 
9 . 
10. sin x( 1+ cos x) = 1 + cos x + cos 2 x
D- Phương trình lượng giác có điều kiện
Bài 1 : Giải các phương trình sau 
 1. 
 2. 
 3. 
 4. 
 5. 
Bài 2: Giải các phương trình
 1. 
 2. 
 3. 
 4. 
 5. 
 6. 
Bài 3 : Giải các phương trình
1. 
 2. 
 3. 
 4. 
  5. 
 6. 
 7. 
 8. 
Bài 4: 
a) Tìm các nghiệm của phương trình 
b) Tìm các nghiệm của phương trình 
c) Tìm các nghiệm thoã mãn điều kiện của ph tr: 
d) Tìm các nghiệm thoã mãn của ph tr: 
Phương trình lượng giác có chứa tham số 
Khi đặt ẩn phụ t = f ( x) ta cần chú ý các yêu cầu sau :
* Tìm điều kiện của ẩn phụ t : Thường dùng các cách sau :
Cách 1 : Coi t là tham số tìm t để phương trình f(x) = t có nghiệm với ẩn x 
Cách 2 : Tìm miền giá trị của hàm số f (x) 
Cách 3 : áp dụng bất đẳng thức 
* Với x thì t phải thoã mãn điều kiện gì ? Giả sử t 
* Với mỗi t thì phương trình f(x) = t có mấy nghiệm ẩn x 
Bài toán 1: Cho phương trình lượng giác f ( x , m) = 0 . Tìm m để phương trình có nghiệm x 
 Xác định m để các phương trình sau :
Cos 2x – 3 cos x +m = 0 có nghiệm 
m cos 2x + sin 2x = 2 có nghiệm 
m( sin x+ cos x -1 ) = 1 + 2sin x cos x có nghiệm 
( m-1 ) ( sin x – cos x ) –( m+ 2) sin 2x = 0
m cos 2 2x – 4 sin x cos x + m -2 =0 có nghiệm 
cos 4x - = 2 m có nghiệm 
 m( sin x+ cos x -1 ) = 1 + 2sin x cos x có nghiệm 
Cos 2x = m cos 2x có nghiệm 
9. tan2x + cot2x + m( tan x+ cot x) +m = 0 có nghiệm 
 10. 2 sin x cos 2x sin 3x – 2m + 3 cos 2x = 0 có nghiệm 
Bài toán 2 : 
Cho phương trình lượng giác f ( x , m) = 0. Tìm m để phương trình có n nghiệm xÎD
Tìm m để các phương trình sau thoã mãn :
m cos 2x- 4( m-2) cos x +2m -1 = 0 có dúng hai nghiệm phân biệt 
m sin2 x – 3 sin x cos x – m -1 = 0 có đúng ba nghiệm phân biệt x 
m( sin x – cos x ) + 2 sin x cosx = m có đúng hai nghiệm 
( 1- m) tan 2 x - có nhiều hơn một nghiệm 
(2sin x-1)( cos 2x + m sin x+m+1) = 3- 4cos 2x có đúng hai nghiệm 
cos 3x – cos 2x + m cos x – 1 = 0 có đúng bảy nghiệm 
sin 3x – m cos 2x – ( m+1) sin x + m = 0 có đúng tám nghiệm 
 4 sin 2x + m cos x = cos 3x có đúng ba nghiệm 
VII Phương trình lượng giác đặc biệt
 1.Phương pháp tổng bình phương
 Sử dụng 
	1) 
	2) 
	3) cos2x– cos6x +4(3sinx -4sin3x + 1) = 0
 	4) 
2. Phương pháp đánh giá
 Cách giải: Cho phương trình f(x) = g(x)
 	Nếu có số thực a sao cho thì 
	1) 2) cosx + 
	3) ln(sin2x) – 1+ sin3x = 0 ( ĐH Huế 99-A)
	4) sin3x(cosx –2sin3x) + cos3x(1+sinx –2cos3x) = 0
	 ( ĐH kiến trúc HN97)
PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC.
(Tổng hợp luyện thi đại học)
1/ cos23x.cos2x – cos2x = 0	 2/ 1 + sinx + cosx + sin2x + cos2x = 0 
3/ cos4x + sin4x + cossin - = 0 4/ 5sinx – 2 = 3(1 – sinx)tan2x
5/ (2cosx – 1)(2sinx + cosx) = sin2x – sinx.	6/ cotx – 1 = sin2x.
7/ cotx – tanx + 4sin2x = 	8/ 
9/ với 0 < x < 2 10/ sin23x – cos24x = sin25x – cos26x
11/ cos3x – 4cos2x + 3cosx – 4 = 0 với 0 14 
12/ cosx + cos2x + cos3x = sinx + sin2x + sin3x 13/ .
14/ cos3x + sin7x = 2. 15/ sin3x + sinx.cosx = 1 – cos3x
16/ 2 + cos2x = 2tanx 17/ sinx.cosx + cos2x = 
18/ 19/ sin3x + cos2x =2 ( sin2x.cosx – 1)
20/ 4cosx – 2cos2x – cos2x – cos4x = 0 21/ 
22/ cosx + sin2x = 0 23/ 2(cos4x – sin4x) + cos4x – cos2x = 0
24/ (5sinx – 2)cos2x = 3(1 – sinx)sin2x 25/ (2sinx – 1)(2cosx + sinx) = sin2x – cosx
26/ cos3x + 2cos2x = 1 – 2sinxsin2x 27/ 
28/ sin3x + cos3x = sinx – cosx 29/ 
30/ 4cos2x – 2cos22x = 1 + cos4x 31/ cos3x.sìnx – cos4x.sinx = .
32/ (2sinx – 1)(2cos2x + 2sinx + 3) = 4sin2x – 1 33/ cosx.cos7x = cos3x.cos5x
34/ 35/ sinx + sin2x + sin3x = 0
36/ 37/ cos2x.sin4x + cos 2x = 2cosx(sinx + cosx) – 1
38/ 3 – tanx(tanx + 2sinx) + 6cosx = 0 39/ cos2x + cosx(2tan2x – 1) = 2
40/ 3cos4x – 8cos6x + 2cos2x + 3 = 0 41/ = 1
42/ 43/ cotx = tanx + 
44/ 45/ 
46/ tanx + cosx – cos2x = sinx(1 + tanx.tan 47/ sin(
48/ cos3x – sìnx = (cos2x - sin3x) 49/ 2cos2x - sin2x + sinx – cosx = 0
50/ sin3x + cos2x = 1 + sinx.cos2x 51/ 1 + sinx + cosx + sin2x + cos2x = 0
52/ cos2x + 5sinx + 2 = 0 53/ cos2x.sin2x + cos2x = 2(sinx + cosx)cosx – 1
54/ 8.sin2x + cosx = .sinx + cosx 55/ 3cos2x + 4cos3x – cos3x = 0
56/ 1 + cosx – cos2x = sinx + sin2x 57/ sin4x.sin2x + sin9x.sin3x = cos2x
58/ 59/ 
60/ 61/ 
62/ 2sin22x + sin7x – 1 = sinx 63/ 
64/ cotx + sinx 65/ cos3x + cos2x – cosx – 1 = 0
Đề thi đại học và cao đẳng từ năm 2002 đến nay:
Giải phương trình .	
	1/ (Dự bị 1 khối D 2006) :.
	2/ (Dự bị 2 khối B 2006) :.
	3/ (Dự bị 2 khối B 2007) :.
	4/ (Dự bị 2 khối D 2006) :.
	5/ (Dự bị 1 khối B 2006) :.
	6/ (Dự bị 2 khối A 2006) :.
	7/ (Dự bị 1 khối A 2006) :.
	8/ (Dự bị 1 khối A 2005) :Tìm nghiệm trên khoảng của phương trình :
	9/ (Dự bị 2 khối A 2005) :
	10/ (Dự bị 1 khối B 2005) :.
	11/ (Dự bị 2 khối B 2005) :.
	12/ (Dự bị 1 khối D 2005) :.
	13/ (Dự bị 2 khối D 2005) :.
	14/ (Dự bị 1 khối B 2007) :	.
	15/ (Dự bị 2 khối A 2007) :.
	16/ (Dự bị 1 khối A 2007) :.
	17/(CĐ Khối A+B+D: 2008) :.
	18/(ĐH K-D-2008): .
	19/(ĐH K-B-2008):.
	20/(ĐH K-A-2008):.
	21/ (ĐH KB-2007) .
	22/( ĐH KD-2007) .
	23/(ĐH KA-2007) .
	24/(ĐH KA-2003) 
	25/( ĐH KB-2003) 
	26/( ĐH KD-2003) 
	27/(ĐH KA-2002). ; với x.
	28/(ĐH KB-2002) 
	29/(ĐH KD-2002) cos3x - 4cos2x + 3cosx – 4 = 0 ; x
	30/(ĐH KA-2005) .
	31/( ĐH KA-2004 ) Cho tam giác ABC không tù thoả điều kiện :
 	 . Tính ba góc của tam giác ABC .
	32/( ĐH KB-2004) 
	33/( ĐH KD-2004) 
	34/(ĐH KB-2005) 
	35/(ĐH KD-2005) 
	36/( ĐH KB-2006) 
	37/( ĐH KD-2006) 
	38/(ĐH KA-2006) .
39/(ĐH KA-2009) 
40/(ĐH KB-2009) 
 41/(ĐH KD-2009) 
42/(ĐH KA-2010) 
43/(ĐH KB-2010) (sin2x + cos2x)cosx + 2 cos2x – sinx = 0
44/(ĐH KD-2010) sin2x - cos2x + 3 sinx – cosx -1 = 0
45/(CĐ KA,B,D-2010) 
46/(ĐH KA-2011) .
47/(ĐH KB-2011) sin2xcosx + sinxcosx = cos2x + sinx + cosx. 
48/(ĐH KD-2011)