Chuyên đề Phương trình đường thẳng

1 
 Phương trình đường thẳng 
Loại 1. Các dạng phương trình đường thẳng 
A. Tóm tắt lý thuyết 
1. Phương trình tổng quát 
* Định nghĩa: Phương trình: : ax by c 0    , với 2 2a b 0  là PTTQ của đường thẳng  
nhận  n a;b

 làm vectơ pháp tuyến. 
* Các dạng đặc biệt của phương trình đường thẳng: 
+) : ax c 0   , (a 0 )   song song hoặc trùng với Oy . 
+) :by c 0   , (b 0 )   song song hoặc trùng với Ox . 
+) : ax by 0   , ( 2 2a b 0  )   đi qua gốc tọa độ. 
+) PTĐT dạng đoạn chắn: 
x y: 1
a b
     qua  A a;0 và  B 0;b ( ab 0 ) . 
+) PTĐT dạng hệ số góc: : y kx m   , (k được gọi là hệ số góc của  ). 
* Chú ý: 
+) Ý nghĩa hình học của hệ số góc: Nếu 
k 0 đặt M Ox  , gọi Mt là nửa 
đường thẳng  ở phía trên Ox . Khi đó 
k tan xMt (Hình 1). 
+) Điều kiện để PTĐT có thể quy được về 
dạng hệ số góc: PTĐT ax by c 0   có 
thể đưa được về dạng hệ số góc nếu 
b 0 . Như vậy, đường thẳng có phương 
thẳng đứng ( b 0 ) không có dạng hệ số 
góc. 
M
y
xO
t
 Hình 1 
2. Phương trình tham số và phương trình chính tắc 
* Phương trình tham số: Hệ 0
0
x x at
y y bt
 

 
, ( 2 2a b 0  ) là PTTS của đường thẳng  qua 
 0 0x ;y và nhận  u a;b

 làm véc-tơ chỉ phương, với t là tham số. 
2 
* Chú ý: 
+) Ý nghĩa của PTTS: - Thay mỗi t vào PTTS, ta được một điểm  M x;y  . 
 - Điểm  M x;y  thì có một số t sao cho x , y thỏa mãn hệ. 
+) Một đường thẳng luôn có vô số PTTS. 
* Phương trình chính tắc: 0 0
x x y y
a b
 
 ( ab 0 ) là PTCT của đường thẳng qua 
 0 0 0M x ;y và nhận  u a;b

 là một vectơ chỉ phương. 
* Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm: Xét  A AA x ;y ,  B BB x ;y . 
+) A B
A B
x x
y y



  đường thẳng AB có PTCT là A A
B A B A
x x y yAB :
x x y y
 

 
. 
+) A Bx x  AAB : x x . 
+) A By y  AAB : y y . 
3. Một số bài toán cơ bản 
Bài toán 1. Viết PTĐT biết vectơ pháp tuyến và một điểm thuộc đường thẳng 
 
 
0 0qua M x ;y
n a;b



     0 0: a x x b y y 0     . 
Bài toán 2. Viết PTĐT biết vectơ chỉ phương và một điểm thuộc đường thẳng 
 
 
0 0qua M x ;y
/ u a;b/



  
 
 
0 0qua M x ;y
n b; a


  
     0 0: b x x a y y 0     . 
Bài toán 3. Viết PTĐT đi qua một điểm và song song với một đường thẳng 
 0 0qua M x ;y
/ / ' : ax by c 0


    
  
 
 
0 0qua M x ;y
n a;b



     0 0: a x x b y y 0     , ( M ). 
Bài toán 4. Viết PTĐT đi qua một điểm và vuông góc với một đường thẳng 
 0 0qua M x ;y
' : ax by c 0


    
  
 
 
0 0qua M x ;y
n b; a


  
     0 0: b x x a y y 0     . 
Bài toán 5. Viết PTĐT đi qua một điểm và có hệ số góc cho trước 
 0 0qua M x ;y
g k


 coù heä soá oùc
   0 0: y k x x y    . 
Bài toán 6. Viết PTĐT đi qua hai điểm 
3 
Đường thẳng đi qua hai điểm A và B chính là đường thẳng đi qua A và nhận vectơ AB

 làm 
vectơ chỉ phương (Bài toán 2). 
Bài toán 7. Viết phương trình đường trung trực của một đoạn thẳng 
Quy về Bài toán 1: trung trực của đoạn thẳng AB chính là đường thẳng đi qua trung điểm I của 
đoạn thẳng này và nhận AB

 làm vectơ pháp tuyến. 
Bài toán 8. Viết PTĐT đi qua một điểm và tạo với Ox góc cho trước 
 đi qua  0 0M x ;y và tạo với Ox góc  ( o o0 90   )
 0 0: y k x x y
k tan
   
 
  
. 
Bài toán 9. Tìm hình chiếu vuông góc của một điểm lên một đường thẳng 
Giả sử cần tìm hình chiếu H của điểm M lên đường thẳng  , ta làm như sau 
* Lập phương trình đường thẳng ' qua M , vuông góc với  (Bài toán 4). 
* H là hình chiếu vuông góc của M lên  H '   . 
Bài toán 10. Tìm điểm đối xứng với một điểm qua một đường thẳng 
Giả sử cần tìm điểm M' đối xứng với điểm M qua đường thẳng  , ta làm như sau 
* Tìm hình chiếu H của điểm M lên đường thẳng  (Bài toán 9) 
* M' đối xứng với M qua '  M' đối xứng với M qua H . 
B. Một số ví dụ 
Ví dụ 1. Đưa các PTĐT sau đây về dạng tổng quát 
1) : x 2  . 2) yx2 3: 1   . 
3) 12: y x 7   . 
4) y 2x 17 5:
  . 5) 
x 1 2t
:
y 2 5t
 
 
  
. 6) 
x 1 2t
:
y 2
 
 
 
. 
Giải 
1) : x 2   : x 2 0   . 
2) yx2 3: 1    : 3x 2y 6 0    . 
3) 12: y x 7    : x 2y 14 0    . 
4) y 2x 17 5:
   : 5x 7y 19 0    . 
5) 
x 1 2t
:
y 2 5t
 
 
  
  y 2x 12 5:
   : 5x 2y 9 0    . 
6) 
x 1 2t
:
y 2
 
 
 
  : y 2    : y 2 0   . 
4 
Ví dụ 2. Lập PTĐT  trong các trường hợp sau 
1)  qua  M 2; 1 và nhận  n 3; 1

 làm vectơ pháp tuyến. 
2)  qua  12M ;3 và nhận  u 2;0

 làm vectơ chỉ phương. 
3)  qua  M 1;4 và song song với đường thẳng ' : x 2y 12 0    . 
4)  qua  34M 1; và vuông góc với đường thẳng ' : x 3y 12 0     . 
5)  qua  M 1;4 và có hệ số góc bằng 5 . 
6)  đi qua hai điểm  A 2;4 và  B 2; 1 . 
7)  đi qua hai điểm  A 3;0 và  B 0; 1 . 
8)  là trung trực của đoạn thẳng với hai đầu mút  A 1;7 và  B 2; 4 . 
9)  qua  23M 3; và tạo với Ox góc o30 . 
Giải 
1) 
 
 
qua M 2; 1
n 3; 1
 

  
     : 3 x 2 1 y 1 0      : 3x y 7 0    . 
2) 
 
 
1
2qua M ;3
/ /u 2;0
 


  
 
 
1
2qua M ;3
n 0;1
 

 
 
    12: 0 x 1 y 3 0     
 : y 3 0   . 
3) 
 qua M 1;4
/ / ' : x 2y 12 0


    
  
 
 n
qua M 1;4
1; 2

  



 
    :1 x 1 2 y 4 0     
 : x 2y 7 0    . 
4)  
3
4qua M 1;
' : x 3y 12 0
 

      
  
 
 
3
4qua 1;
n 3;1
M 

 
 
     34: 3 x 1 1 y 0     
 154: 3x y 0    . 
5 
5) 
 
coù heä soá oùc
qua M 1;4
g 5



   : y 5 x 1 4     : y 5x 1   . 
6) Ta thấy A Bx x 2   : x 2  . 
7)  đi qua hai điểm  A 3;0 và  B 0; 1  
 
 AB
qua A 3;0
/ / 3; 1

 


 
 
 
 AB
qua A 3;0
1; 3


  
 
    :1 x 3 3 y 0 0     
 : x 3y 3 0    . 
8) I là trung điểm AB  
x xA B 1
I 2 2
y y 3A B
I 2 2
x
y


  

  
   312 2I ; . 
 là trung trực của đoạn thẳng AB  
 
 
31
2 2qua I ;
AB 3; 11


  
 
    312 2: 3 x 11 y 0     
 : 3x 11y 15 0    . 
9)  đi qua  23M 3; và tạo với Ox góc 30  
  23
1
3
: y k x 3
k tan 30
   


   

 
 
 
 
1 2
33
1 2
33
: y x 3
: y x 3
   


    
 
1 2
33
1 2
33
: y x 3
: y x 3
   


    
. 
Ví dụ 3. Lập phương trình các cạnh của ABC biết  M 2; 3 ,  12N ;0 ,  P 7;4 lần lượt 
là trung điểm của các cạnh AB , BC , CA của tam giác. 
Giải 
6 
 
   132
AB qua M 2; 3
AB / /NP ;4 / / 13; 8
 

 
  
 
 
AB qua M 2; 3
AB 8;13
 


    AB : 8 x 2 13 y 3 0    
 AB : 8x 13y 10 0   . 
 
 
1
2BC qua N ;0
BC / /PM 9; 7
 

 
  
 
 
1
2BC qua N ;0
BC / /PM 7;9
 


 
    12BC : 7 x 9 y 0 0    
 72BC : 7x 9y 0   . 
 
   52
CA qua P 7;4
CA / /MN ;3 / / 5; 6
 

 
  
 
 
CA qua P 7;4
CA 6;5
 


    CA : 6 x 7 5 x 4 0    
 CA : 6x 5y 22 0   . 
Ví dụ 4. Cho 
x 1 2t
:
y 1 t
 
 
  
. 
1) Tìm điểm M sao cho MA 5 với  A 1; 5  . 
2) Điểm  N 2;7 có thuộc  không? 
Giải 
1) M  tọa độ M có dạng  M 1 2t; 1 t   . 
Ta có  MA 2t 2;t 4  

     2 22 2MA 2t 2 t 4 5t 20       . 
Do đó 
MA 5  2MA 25  25t 20 25   2t 1 0   t 1   
 
 
M 3; 2
M 1;0
 


. 
2) Ta có 
2 1 2t
7 1 t
  

  
  
3
2t
t 8
  

 
  t . Vậy N . 
Ví dụ 5. Cho  A 1;2 và  B 3;7 . Tìm điểm C thuộc đường thẳng d : y x 4  sao cho 
1) ABC vuông tại C . 2) ABC cân tại C . 
Giải 
7 
1) C d  tọa độ C có dạng  C c;c 4 . 
Ta có 
 
 
CA c 1; c 2
CB c 3; c 3
    

   

 
             2CACB c 1 c 3 c 2 c 3 2c 3 c 3 2c 3c 9           

. 
Do đó ABC vuông tại C  CACB 0

  22c 3c 9 0    3
2
c 3
c


 
  
 
 3 52 2
C 3;7
C ;


 

. 
2) Ta có    2 22 2CA c 1 c 2 2c 6c 5       ,  22 2CB 2 c 3 2c 12c 18     . 
Do đó ABC cân tại C  CA CB  2 2CA CB  2 22c 6c 5 2c 12c 18     
 1318c    13 8518 18C ; . 
Ví dụ 6. Cho hai đường thẳng yx 21 3 1:


  và 2
x 2 2t
:
y t
 
 

. Hãy tìm điểm 1A và 
1B sao cho đoạn thẳng AB nhận  132I ;1 làm trung điểm. 
Giải 
1 có PTTS là: 
x 2 3s
y s
 

 
 (s là tham số). 
1A , 1B tọa độ của A , B có dạng  A 2 3s; s  ,  B 2 2t;t . 
AB nhận I là trung điểm  
x xA B
I2
y yA B
I2
x
y


 

 
  
   2 3s 2 2t 13
2 2
s t
2 1
  
 



 
 
3s 2t 9
s t 2
 

  
  
s 1
t 3



  
 
 
A 5; 1
B 8;3
 


. 
Chú ý: Trong một bài toán, nếu đồng thời sử dụng PTTS của nhiều hơn một đường thẳng thì ký 
hiệu tham số của các đường thẳng khác nhau bắt buộc phải khác nhau. Trong Ví dụ 6, hai tham 
số của hai đường thẳng 1 và 2 lần lượt là s và t . 
Ví dụ 7. Cho hai đường thẳng 21 : mx y m 1 0     và  2 : 2 m x my 2 0     . Biện 
luận theo m vị trí tương đối giữa hai đường thẳng nói trên. 
Giải 
8 
Xét hệ gồm hai phương trình 1 và 1 :  
2mx y m 1 0
2 m x my 2 0
    

   
  1 . 
Ta có  1  
 
2mx y m 1
2 m x my 2
   

  
. 
2m 1D m m 2
2 m m
   

, 
2
3
x
m 1 1D m m 2
2 m

    , 
2
3 2
y
m m 1D m 2m 3m 2
2 m 2

    

. 
Do đó 
* D 0  
m 1
m 2

  
: Hệ có nghiệm duy nhất  hai đường thẳng cắt nhau. 
* m 1  x yD D D 0   : Hệ có vô số nghiệm  hai đường thẳng trùng nhau. 
* m 2  
x
D 0
D 0



: Hệ có vô nghiệm  hai đường thẳng song song. 
9 
C. Bài tập 
Bài 1. Viết phương trình tổng quát của 
1) Đường thẳng Ox . 
2) Đường thẳng Oy . 
3) Đường thẳng đi qua  0 0M x ;y và song song với Ox . 
4) Đường thẳng đi qua  0 0M x ;y và song song với Oy . 
5) Đường thẳng OM với  0 0M x ;y khác O . 
Bài 2. Lập phương trình tổng quát của đường thẳng  trong các trường hợp sau 
1)  qua  M 1;2 và nhận  n 1;3

 làm vectơ pháp tuyến. 
2)  qua  13M 3; và nhận  u 0; 1

 làm vectơ chỉ phương. 
3)  qua  M 4;1 và song song với đường thẳng ' : 2x y 12 0    . 
4)  qua  34M ;2 và vuông góc với đường thẳng ' : x 2y 12 0    . 
5)  qua  M 1;4 và có hệ số góc bằng 5 . 
6)  đi qua hai điểm  A 2;4 và  B 2; 1 . 
7)  đi qua hai điểm  A 3;0 và  B 0; 1 . 
8)  là trung trực của đoạn thẳng với hai đầu mút  A 1;7 và  B 2; 4 ... 1BC :

 
  BC : x 5y 17 0   . 
Vậy AB : 3x y 5 0   , AC : 5x 3y 1 0   , BC : x 5y 17 0   . 
Ví dụ 3. Cho ABC có AB : 4x 3y 7 0   , trung tuyến qua A là d : x 4y 5 0   . Tìm tọa 
độ các đỉnh của tam giác, biết AC cắt Ox tại điểm I có hoành độ bằng 32 và I là trung điểm 
của AC . 
Giải 
1A AB d   
4x 3y 7 0
A :
x 4y 5 0
  

  
   A 1;1 . 
Dễ thấy  32I ;0 . AC qua  A 1;1 và  32I ;0  y 1x 15 1
2
AC : 

 
 AC : 2x 5y 3 0   . 
I là trung điểm AC  C I A
C I A
x 2x x 4
y 2y y 1
   

   
   C 4; 1  . 
B AB  tọa độ B có dạng  4b 73B b;   . 
J là trung điểm BC  
y yB C
J 2
x xB C
J 2
x
y


 

 
   b 4 2b 22 3J ;   . 
J d  b 4 2b 22 34. 5 0
      b 2    B 2;5 . 
Vậy  A 1;1 ,  B 2;5 ,  C 4; 1  . 
Ví dụ 4. Cho ABC có  A 3;4 , đường cao qua B , trung tuyến qua C và trung trực của BC 
lần lượt là 1d : 2x 5y 13 0   , 2d : x 1 và 13 2d : y x 1  . Tìm tọa độ các đỉnh B , C của 
tam giác. 
Giải 
* 
 
1
AC qua A 3;4
: 2x 5y 1AC d 3 0


  
     AC : 5 x 3 2 y 4 0     AC : 5x 2y 7 0   . 
C AC  tọa độ C có dạng  5c 72C c;  . 
13 
* Gọi M là trung điểm của AB  tọa độ M có dạng  M 1;m (vì 2M d ). 
M là trung điểm AB  B M A
B M A
x 2x x 2 3 1
y 2y y 2m 4
     

   
   B 1;2m 4  . 
* Gọi N là trung điểm BC   c 1 5c 4m 152 4N ;   . 
3N d  
5c 4m 15 c 1
4 4 1
     92c m   1 . 
* Ta có  5c 4m 12BC c 1;  

,  3d : x 2y 2 0 n 1; 2    

. 
Vì BC / /n
 
 nên   5c 4m 122 c 1
     9c 4m 5    2 . 
* Giải hệ  1 ,  2 ta được 7
2
c 1
m



  
 
 
B 1;3
C 1; 1
 


. 
Vậy  B 1;3 ,  C 1; 1 . 
Ví dụ 5. [ĐHA02] Cho tam giác ABC vuông tại A , BC : 3x y 3 0   , A và B thuộc 
trục hoành , bán kính đường tròn nội tiếp bằng 2 . Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC . 
Giải 
x
C
B
O
A 
B BC Ox   3x y 3 0B :
y 0
   


   B 1;0 . 
C BC  tọa độ C có dạng   C c; 3 c 1 . 
Ta thấy A là hình chiếu của C lên Ox   A c;0 . 
 AB c 1;0 

  AB c 1  . 
  AC 0; 3 c 1

  AC 3 c 1  . 
ABC vuông tại A  2 2BC AB AC 2 c 1    . 
Do đó: nửa chu vi tam giác là 3 3AB CB CA2 2p c 1
    , diện tích tam giác 
 23AB.AC2 2S c 1    bán kính đường tròn nội tiếp 
c 1S
p 3 1
r 

  . 
Giả thiết p 2  c 1
3 1
2

   c 1 2 3 1    
 
 
c 1 2 3 1
c 1 2 3 1
   

    
14 
 
c 2 3 3
c 2 3 1
  

  
 
 
 
 
 
A 2 3 3;0
C 2 3 3;6 2 3
A 2 3 1;0
C 2 3 1; 6 2 3
 

 

  
    
  
7 4 3 6 2 3
3 3
1 4 3 6 2 3
3 3
G ;
G ;
 
   
 
 
 
 





 
 
. 
Vậy 7 4 3 6 2 33 3G ;
  
 
 
 hoặc 1 4 3 6 2 33 3G ;
    
 
 
. 
15 
C. Bài tập 
Bài 1. Cho tam giác ABC với  A 1;2 ,  B 1; 2  ,  C 3; 3 . Hãy lập phương trình tổng quát 
các cạnh và các đường cao của tam giác. 
ĐS: AB : 2x y 0  , BC : x 4y 9 0   , CA : 5x 2y 9 0   . Gọi Ad , Bd , Cd lần lượt là các 
đường cao qua A , B , C , ta có Ad : 4x y 2 0   , Bd : 2x 5y 8 0   , Cd : x 2y 3 0   . 
Bài 2. Viết phương trình tổng quát của các đường trung trực của ABC biết trung điểm các 
cạnh là  M 1; 1  ,  N 1;9 ,  P 9;1 . 
Bài 3. Cho ABC có AB : 5x 3y 2 0   và các đường cao đi qua A , B có phương trình lần 
lượt là 1d : 4x 3y 1 0   và 2d : 7x 2y 22 0   . Lập phương trình của hai cạnh còn lại và 
đường cao còn lại của tam giác. 
ĐS: AC : 2x 7y 5 0   , BC : 3x 4y 22 0   , đường cao còn lại: 14973x 5y 0   . 
Bài 4. [ĐHB04] Cho hai điểm  A 0;2 và  B 3, 1  . Tìm tọa độ trực tâm và tọa độ tâm 
đường tròn ngoại tiếp của tam giác OAB . 
Bài 5. ĐS: Trực tâm  H 3; 1 , tâm đường tròn ngoại tiếp  I 3;1 . 
Bài 6. Viết phương trình các cạnh của ABC biết  B 4; 5  và phương trình hai đường cao: 
1d : 5x 3y 4 0   và 2d : 3x 8y 13 0   . 
Bài 7. [ĐHB03] Cho tam giác ABC có AB AC , BAC 90  . Biết  M 1; 1 là trung điểm 
cạnh BC và  23G ;0 là trọng tâm tam giác ABC . Tìm tọa độ các đỉnh A , B , C . 
ĐS:  A 0;2 ,  B 4;0 ,  C 2; 2  . 
Bài 8. [CĐ09Chuẩn] Cho tam giác ABC có  C 1;2 , đường trung tuyến kẻ từ A và đường cao 
kẻ từ B lần lượt có phương trình l5x y 9 0   và x 3y 5 0   . Tìm toạ độ các đỉnh A và 
B . 
Bài 9. Viết phương trình các cạnh của ABC biết  C 4; 1 , đường cao và trung tuyến kẻ từ 
cùng một đỉnh có phương trình lần lượt là 1d : 2x 3y 12 0   và 2d : 2x 3y 0  . 
ĐS: Giả sử 1 2d d A  . AB : 9x 11y 5 0   , BC : 3x 2y 10 0   , CA : 3x 7y 5 0   . 
Bài 10. Viết phương trình các cạnh của ABC biết  A 1;3 và hai trung tuyến có phương trình 
là 1d : x 2y 1 0   và 2d : y 1 0  . 
16 
ĐS: Giả sử 1d là trung tuyến qua B , 2d là trung tuyến qua C . AB : x y 2 0   , 
BC : x 4y 1 0   , CA : x 2y 7 0   . 
Bài 11. Cho ABC có  M 1;1 là trung điểm BC , AB : x y 2 0   , AC : 2x 6y 3 0   . 
Hãy xác định tọa độ các đỉnh của tam giác. 
ĐS:  15 74 4A ; ,  1 74 4B ; ,  9 14 4C ; . 
Bài 12. Cho ABC có phương trình hai cạnh là 5x 2y 6 0   và 4x 7y 21 0   . Viết 
phương trình cạnh còn lại của tam giác biết gốc tọa độ chính là trực tâm của tam giác. 
ĐS: Giả sử AB : 5x 2y 6 0   , BC : 4x 7y 21 0   . CA : y 7 0  . 
Bài 13. Cho ABC với  A 2; 1 và hai phân giác trong của các góc B và C lần lượt là 
Bd : x 2y 1 0   và Cd : x y 3 0   . Lập phương trình các cạnh của tam giác. 
ĐS: BC : 4x y 3 0   , AB : 8x 19y 3 0   , AC : x 4y 6 0   . 
Bài 14. [ĐHD09] Cho ABC có  M 2;0 là trung điểm cạnh AB . Đường trung tuyến và 
đường cao đi qua A có phương trình lần lượt là 7x 2y 3 0   và 6x y 4 0   . Viết phương 
trình đường thẳng AC . 
ĐS: 3x 4y 5 0   . 
Bài 15. [ĐHB07] Cho  A 2;2 và 1d : x y – 2 0  , 2d : x y – 8 0  . Tìm toạ độ các điểm B 
và C lần lượt thuộc 1d và 2d sao cho tam giác ABC vuông cân tại A . 
ĐS:  B 1;3 ,  C 3;5 hoặc  B 3; 1 ,  C 5;3 . 
Bài 16. [ĐHB08] Hãy xác định tọa độ đỉnh C của tam giác ABC biết rằng hình chiếu vuông 
góc của C trên đường thằng AB là  H 1; 1  , đường phân giác trong của góc A có phương 
trình x – y 2 0  và đường cao kẻ từ B có phương trình 4x 3y – 1 0  . 
ĐS:  10 33 4C ; . 
Bài 17. [ĐHA10NC] Cho tam giác ABC cân tại A có đỉnh  A 6;6 , đường thẳng đi qua trung 
điểm của các cạnh AB và AC có phương trình x y 4 0   . Tìm tọa độ các đỉnh B và C , 
 E 1; 3 nằm trên đường cao đi qua đỉnh C của tam giác đã cho. 
ĐS:  B 0; 4 ,  C 4;0 hoặc  B 6;2 ,  C 2; 6 . 
17 
Bài 18. [ĐHD10Chuẩn] Cho tam giác ABC có đỉnh  A 3; 7 , trực tâm là  H 3; 1 , tâm 
đường tṛòn ngoại tiếp là  I 2;0 . Xác định toạ độ đỉnh C , biết C có hoành độ dương. 
ĐS:  C 2 65;3  . 
Bài 19. [ĐH11B11NC] Cho tam giác ABC có đỉnh  12B ;1 . Đường tròn nội tiếp tam giác 
ABC tiếp xúc với các cạnh BC , CA , AB lần lượt tại các điểm D , E , F . Cho  D 3;1 và 
đường thẳng EF có phương trình y 3 0  . Tìm tọa độ đỉnh A , biết A có tung độ dương. 
Bài 20. [ĐHD11Chuẩn] Cho tam giác ABC có  B 4;1 , trọng tâm  G 1;1 và đường thẳng 
chứa đường phân giác trong của góc A có phương trình x y 1 0   . Tìm tọa độ các đỉnh A và 
C . 
ĐS:  A 4;3 ,  C 3; 1 . 
18 
Loại 3. Sử dụng tính chất đối xứng vào giải toán 
A. Tóm tắt lý thuyết 
* Tính chất đối xứng của tam giác 
* Tính chất đối xứng của hình thang 
* Tính chất đối xứng của hình bình hành 
* Tính chất đối xứng của hình thoi 
B. Một số ví dụ 
C. Bài tập 
Bài 1. Cho hình thang ABCD ( AB / /CD ). Biết đường thẳng AB cắt trục tung tại điểm có tung 
độ bằng 53 , AD : x 2  , C nằm trên trục hoành, B có tung độ bằng hai lần hoành độ và đường 
trung bình của hình thang có phương trình d : x 3y 1 0   . Hãy tìm tọa độ các đỉnh của hình 
thang. 
Bài 2. Cho hình thang ABCD ( AB / /CD ). Biết  A 1;1 , BC : x 4y 9 0   , đường trung 
bình của hình thang có phương trình 12d : y x và DC 2AB . Hãy lập phương trình các cạnh 
và xác định tọa độ các đỉnh còn lại của hình thang. 
Bài 3. Cho hình thang cân ABCD ( AB / /CD ). Biết  12M 3; là trung điểm của AB , 
AD : y 3x 12  và đường trung bình của hình thang có phương trình d : 2x 4y 3 0   . Hãy 
lập phương trình các cạnh còn lại và xác định tọa độ các đỉnh của hình thang. 
Bài 4. Tìm tọa độ các đỉnh của hình bình hành ABCD biết rằng hai đường chéo của hình hành 
này cắt nhau tại gốc tọa độ và các đỉnh A , B , C , D lần lượt thuộc các đường thẳng 
1d : y 3x 5  , 2d : x y 1 0   , 3d : 2x 3y 7 0   , 4d : x 2y 1 0   . 
Bài 5. Tìm tọa độ các đỉnh và lập phương trình các cạnh của hình chữ nhật ABCD biết rằng hai 
đường chéo của hình chữ nhật cắt nhau tại  3 32 2I ; , các đường thẳng chứa các cạnh AB , BC , 
CD lần lượt đi đi qua các điểm  M 2;3 ,  43N ;3 ,  P 2;1 . 
Bài 6. [ĐHA09Chuẩn] Cho hình chữ nhật ABCD có tâm  I 6;2 là giao điểm của hai đường 
chéo AC và BD . Điểm  M 1;5 thuộc đường thẳng AB và trung điểm E của CD thuộc 
đường thẳng : x y 5 0    . Viết phương trình đường thẳng AB . 
19 
Bài 7. Cho hình vuông ABCD có  I 1; 2 là giao điểm của hai đường chéo. A và C lần lượt 
nằm trên các đường thẳng 1d : x y 3 0   và 2d : x 2y 5 0   . Biết thêm rằng B có hoành 
độ dương. Hãy xác định tọa độ các đỉnh và viết phương trình các cạnh của hình vuông. 
Bài 8. Cho hình vuông ABCD có  1 12 2I ;  là giao điểm của hai đường chéo. Điểm  54M 1; 
thuộc đường thẳng AB ,  52N 1;  là trung điểm của CD . Biết thêm rằng A có hoành độ âm, 
hãy xác định tọa độ các đỉnh của hình vuông. 
Bài 9. Cho hình vuông ABCD có  A 4;1 và đường chéo BD có phương trình y 5x 8  . 
Hãy xác định tọa độ các đỉnh của hình vuông. 
Bài 10. [ĐHA05] Cho 2 đường thẳng 1d : x – y 0 và 2d : 2x y – 1 0  . Tìm toạ độ các đỉnh 
hình vuông ABCD biết rằng đỉnh A thuộc 1d , C thuộc 2d và các đỉnh B , D thuộc trục 
hoành. 
D. Đáp số 
Bài 1  A 2;1 ,  B 1;2 ,  C 7;0 ,  D 2; 3  . 
Bài 2  B 1;2 ,  C 5;1 ,  D 1; 2  . AB : x 2y 3 0   ,CD : x 2y 3 0   , 
DA : x 1 0  . 
Bài 3  A 4;0 ,  B 2;1 ,  C 1;0 ,  D 5; 3  . 
Bài 4  A 2;1 ,  B 1;0 ,  C 2; 1  ,  D 1;0 . 
Bài 5  A 5;2 ,  B 1;4 ,  C 2;1 ,  D 4; 1  , AB : x 3y 11 0   , 
BC : 3x y 7 0   , CD : x 3y 1 0   , DA : 3x y 13 0   . 
Bài 6 AB : y 5 0  hoặc AB : x 4y 19 0   . 
Bài 7  A 7; 4 ,  B 3;4 ,  C 5;0 ,  D 1; 8  , AB : 2x y 10 0   , 
BC : x 2y 5 0   , CD : 2x y 10 0   , DA : x 2y 15 0   . 
Bài 8  A 2;2 ,  B 2;1 ,  C 1; 4 ,  D 3; 2  . 
Bài 9  A 4;1 ,  B 1;3 ,  C 1;0 ,  D 2; 2  hoặc  A 4;1 ,  B 2; 2 ,  C 1;0 , 
 D 1;3 . 
Bài 10 ĐS:  A 1;1 ,  B 0;0 ,  C 1; 1 ,  D 2;0 hoặc  A 1;1 ,  B 2;0 ,  C 1; 1 , 
 D 0;0 .