Chuyên đề Phương trình, bất phương trình vô tỷ

 PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ 
Mục lục 
Loại 1. Phương pháp lũy thừa ............................................................................. 1 
A. Nội dung phương pháp ............................................................................ 1 
B. Một số ví dụ .............................................................................................. 3 
C. Bài tập ...................................................................................................... 8 
D. Đáp số ....................................................................................................... 9 
Loại 2. Phương pháp ẩn phụ ..............................................................................11 
A. Nội dung phương pháp ...........................................................................11 
B. Một số ví dụ .............................................................................................12 
C. Bài tập .....................................................................................................18 
D. Đáp số ......................................................................................................20 
Loại 3. Phương trình và bất phương trình tích .................................................21 
A. Nội dung phương pháp ...........................................................................21 
B. Một số ví dụ .............................................................................................22 
C. Bài tập .....................................................................................................24 
D. Đáp số ......................................................................................................25 
Loại 4. Một số phương pháp đặc biệt ................................................................27 
A. Một số ví dụ .............................................................................................27 
B. Bài tập .....................................................................................................30 
C. Đáp số ......................................................................................................31 
Bản quyền thuộc về ThS. Phạm Hồng Phong – Trường Đại học Xây dựng 
Tài liệu có thể được download miễn phí tại violet.vn/phphong84 
Từ khóa : pham hong phong, Phuong trinh vo ty 
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 
1 
Loại 1. Phương pháp lũy thừa 
A. Nội dung phương pháp 
Phần này đề cập đến phương pháp cơ bản nhất khi giải phương trình và bất phương trình vô tỷ - 
phương pháp lũy thừa. Sau đây là các quy tắc cấn nhớ khi sử dụng phương pháp này. 
* Một số phép biến đổi tương đương phương trình vô tỷ 
+)    f x g x  
   
 
f x g x
f x 0
 


. 
+)    f x g x     
 
2f x g x
g x 0
 


. 
* Một số phép biến đổi tương đương bất phương trình vô tỷ 
    f x g x      
f x g x
g x 0
 


. 
    f x g x      
f x g x
g x 0
 


. 
    f x g x  
 
 
 
   2
g x 0
f x 0
g x 0
f x g x
 



 
 
. 
    f x g x  
 
 
 
   2
g x 0
f x 0
g x 0
f x g x
 



 
 
. 
    f x g x  
 
 
   2
g x 0
f x 0
f x g x
 




. 
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 
2 
    f x g x  
 
 
   2
g x 0
f x 0
f x g x
 




. 
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 
3 
B. Một số ví dụ 
Ví dụ 1. GPT 3x 2x 5 2x 1    .  1 
Giải 
Ta có  1   
23x 2x 5 2x 1
2x 1 0
    

 
  
3 2
1
2
x 4x 2x 4 0
x
    


. 
 
 
2
3
 2     2x 2 x 2x 2    
  
  
  
thoûa maõn 3
khoâng thoûa maõn 3
thoûa maõn 3
x 2
x 1 3
x 1 3
 

  

  
. 
Vậy tập nghiệm của  1 là  1;1 3 . 
Ví dụ 2. [ĐHD06] GPT 22x 1 x 3x 1 0     .  1 
Giải 
Ta có  1  22x 1 x 3x 1      
 2
2
2x 1 x 3x 1
x 3x 1 0
     

   
. 
 
 
2
3
 3  2x 3x 1 0    3 5 3 52 2x
   .  4 
 2  4 3 2x 6x 11x 8x 2 0     
    2 2x 1 x 4x 2 0    
 
  
  
  
thoûa maõn 
thoûa maõn 
khoâng thoûa maõn 
x 1 4
x 2 2 4
x 2 2 4
 

  

  
. 
Tập nghiệm của  1 là  1;2 2 . 
Ví dụ 3. [ĐHA05] GBPT 5x 1 x 1 2x 4     .  1 
Giải 
ĐK: 
5x 1 0
x 1 0
2x 4 0
 

 
  
  x 2 . 
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 
4 
Ta có: 
 1  5x 1 2x 4 x 1     
 25x 1 3x 5 2 2x 6x 4      
 22x 6x 4 x 2    (do x 2  x 2 0  ) 
 2 22x 6x 4 x 4x 4     
 2x 10x 0  
 0 x 10  
Kết hợp điều kiện  tập nghiệm của  1 là  2;10 . 
Ví dụ 4. [ĐHA04] GBPT 
 22 x 16 7 xx 3
x 3 x 3
 
  
 
.  1 
Giải 
ĐK: 
2x 16 0
x 3 0
  

 
  x 4 . 
Ta có:  1   22 x 16 x 3 7 x     
  22 x 16 10 2x   
 
 2 2
10 2x 0
10 2x 0
2 x 16 100 40x 4x
 

 
    
 
2
x 5
x 5
x 20x 66 0

 
   
 
x 5
x 5
10 34 x 10 34

 
    
 x 10 34  (TMĐK). 
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là  10 34;  . 
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 
5 
Ví dụ 5. GPT  2x 3 x 6 x 5 2 x 4       .  1 
Giải 
ĐK: x 6 . Ta có 
 1   2 23x 3 2 2x 9x 18 3x 3 2 2 x x 20         
  2 22x 9x 18 2 x x 20     
 x 2 (không TMĐK). 
Vậy  1 vô nghiệm. 
Ví dụ 6. GPT x 7 4x 1 5x 6 2 2x 3       .  1 
Giải 
ĐK: 32x  . 
Ta có  1   x 7 2 2x 3 5x 6 4x 1       
 2 29x 5 4 2x 11x 21 9x 5 2 20x 19x 6         
 2 22 2x 11x 21 20x 19x 6     
    2 24 2x 11x 21 20x 19x 6     
 212x 63x 78 0   
 24x 21x 26 0   
 13
4
x 2
x



. 
Thử lại ta thấy chỉ 134x  là nghiệm của  1 . Vậy  1 có nghiệm duy nhất 
13
4x  . 
Nhận xét: 
+) Hai phương trình:    f x g x và    2 2f x g x nói chung là không tương đương. 
Vì lý do này mà trong ví dụ nói trên, sau khi thu được kết quả cuối cùng, ta phải thử lại. 
+) Việc quyết định khi nào bình phương hai về của phương trình là quan trọng. Trong ví 
dụ nói trên, động tác bình phương được thực hiện sau khi chuyển vế. Nhờ thế mà sau khi 
bình phương, ta giản ước được 9x 5 ở hai vế. 
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 
6 
Ví dụ 7. Biện luận số nghiệm của PT 3x x m 1 x     .  1 
Giải 
Ta có  1  
3 2x x m x 2x 1
1 x 0
     

 
  
3 2x x x m 1
x 1
     


.  2 
Do đó số nghiệm của  1 bằng số nghiệm thỏa mãn x 1 của  2 nên bằng số điểm chung của 
đường thẳng y m 1   với đồ thị hàm số   3 2f x x x x   ( x 1 ). 
Ta có   2f ' x 3x 2x 1   .  f ' x 0  1
3
x 1
x
 


. 
Kết luận: 
* m 1 1    m 2  :  1 vô nghiệm. 
* 257m 1     
18
7m  :  1 có 1 nghiệm. 
*
25
7m 1
m 1 1
   

  
  
18
7m
m 2
 

  
:  1 có 2 nghiệm. 
* 257 m 1 1      
18
72 m   :  1 có 3 nghiệm. 
Ví dụ 8. [ĐHB06] Tìm m để PT sau đây có hai nghiệm phân biệt 
 2x mx 2 2x 1 1    . 
Giải 
Ta có  1   
22x mx 2 2x 1
2x 1 0
    

 
  
   2
1
2
3x 4 m x 1 0 2
x
    

 
. 
 2 là phương trình bậc hai có  24 m 12 0 m        2 luôn có hai nghiệm phân biệt 
1x , 2x . Theo định lý Vi-ét thì  
m 4
1 2 3
1
1 2 3
x x
3
x x
  

 
. 
 1 có hai nghiệm phân biệt   2 có hai nghiệm phân biệt lớn hơn hoặc bằng 12 
 
1
1 2
1
2 2
x
x
  

 
  
1
1 2
1
2 2
x 0
x 0
  

 
1
-
25
7
1
-∞
++ - 00
f x( )
f ' x( )
x -∞ 1
1
3-1
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 
7 
 
   
   
1 1
1 22 2
1 1
1 22 2
x x 0
x x 0
    

   

  
 
 
 
1 2
1 1
1 2 1 12 4
x x 1 0
4
x x x x 0
   

   
. 
Thay  3 vào  4 ta thu được 
m 4
3
1 1 m 4 1
3 2 3 4
1 0
. 0


  

   
  
m 1 0
2m 9 0
 

 
  9
2
m 1
m



  92m  . 
Vậy  1 có hai nghiệm phân biệt  92m  . 
Chú ý: Ví dụ trên có thể được làm bằng cách khác như sau: 
Biến đổi  1 về dạng: 
23x 4x 1
x
1
2
m
x
  

  
. 
 1 có hai nghiệm phân biệt  y m có hai điểm chung với ĐTHS 
23x 4x 1
xy
  , 12x   . 
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 
8 
C. Bài tập 
Bài 1. Giải các phương trình sau 
1) 2x x x 2 3    . 2) 2x 2 x 3x 1 0     . 
3) 33x x x 1 2     . 4) 3 2x x 6x 28 x 5     . 
5) 4 3x 4x 14x 11 1 x     . 6)  4 3 2x 5x 12x 17x 7 6 x 1      . 
Bài 2. Giải các phương trình sau 
1) x 3 3x 1 2 x 2x 2      . 2) 2 2x 2x x 2 x x 2x 2       . 
3) 1 1x x
x x   . 
Bài 3. Giải các phương trình sau 
1) 3 3 3x 1 x 1 x 2    . 2) 3 33x 1 x 3 2    . 
3) 3 33 32x 1 1 x x    . 
Bài 4. Giải các bất phương trình sau 
1) x 9 2x 4 5    . 2)  2x 1 2 x 1   . 
3) 22x 5 x 4x 3     . 4) 2 2 2x 3x 2 x 4x 3 2 x 5x 4       
. 
5)    x 1 2x 1 3 x 1    . 6) 2x 2x 2
2x 1 1
 
 
. 
Bài 5. Giải và biện luận theo m các phương trình 
1) 2x 1 x m   . 2) x m x m m    . 
Bài 6. [ĐHB07] Chứng minh với mọi m 0 , phương trình  2x 2x 8 m x 2    có hai 
nghiệm phân biệt. 
Bài 7. Giải và biện luận theo m các bất phương trình sau 
1) m 2 x x m    . 2) x m x 2   . 
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 
9 
D. Đáp số 
Bài 1 1) 1 . 2) 3 3) 1 . 
4) 1 , 1 132
  . 5) 2 , 1 . 6) 2 3  . 
Bài 2 1) 1 . 2) vô nghiệm. 3) 1 . 
Bài 3 1) 0 , 1 . 2) 1 , 3 . 3) 0 , 1 , 13 2
. 
Bài 4 1) x 0 . 2) x 1  hoặc 1 x 3  . 3) 1451 x  . 
4) x 1 hoặc x 4 . 5) 1 x 2  . 6) 12 x 0   . 
Bài 5 1) m 1  hoặc 0 m 1  : vô nghiệm, 
1 m 0   hoặc m 1 : 
2m 1
2mx
  . 
2) m 0 hoặc 0 m 2  : vô nghiệm, 
m 0 : x 0 , 
m 2 : 
2m 4
4x
 . 
Bài 7 1) m 1  : x m 1   , 
m 1  : x m hoặc m 2 x m 1      . 
2) 942 m  : x m , 
9
4m  : 
9 5
4 2x  , 
m 2 : x 2 . 
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 
10 
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 
11 
Loại 2. Phương pháp ẩn phụ 
A. Nội dung phương pháp 
Dùng ẩn phụ là một phương pháp thông dụng để giải phương trình nói chung và phương trình vô 
tỷ nói riêng. Đối với phương trình vô tỷ, phương pháp này có thể được phân loại như sau: 
+) Đặt một ẩn phụ để thu được một phương trình chỉ chứa ẩn phụ. 
+) Đặt một ẩn phụ để thu được một phương trình chứa cả ẩn mới và ẩn cũ. 
+) Đặt một ẩn phụ để thu được một hệ hai phương trình chứa cả ẩn mới và ẩn cũ. 
+) Đặt hai ẩn phụ để thu được một hệ hai phương trình chứa hai ẩn phụ. 
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜN ...  x 1 2   . 
Thay  t 2 1 x  vào  2 ta có 
  2x 2x 1 2 1 x     
 
2 2
2 1 x 0
x 2x 1 4x 8x 4
  

    
  2
x 1
3x 10x 5


 
 5 10
3
x 1
x 



 5 103x
 . 
Vậy tập nghiệm của phương trình là  5 1031 2;   . 
Ví dụ 6. Giải phương trình  3 33 3x 35 x x 35 x 30 1     
 
. 
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 
16 
Giải 
Đặt 3 3t 35 x   3 3t 35 x    3 3x t 35 2  . 
Thay 3 3t 35 x  vào  1 , ta có    xt x t 30 3  . 
Ta có hệ gồm hai phương trình  2 và  3 : 
 
3 3x t 35
xt x t 30
  

 
 
   
 
3x t 3xt x t 35
xt x t 30
    

 
  
 
 
3x t 125
xt x t 30
  

 
 (thay phương trình dưới vào phương trình trên) 
  
 
x t 5
xt x t 30
 

 
  
x t 5
xt 6
 


 (thay phương trình trên vào phương trình dưới) 
Ta có 2T 5T 6 0    
T 2
T 3



. Do đó, hệ nói trên tương đương với 
x 2
t 3
x 3
t 2
 
 
 


. 
Vậy tập nghiệm của  1 là  2;3 . 
Chú ý: Định lý Vi-ét đảo 
Xét hệ 
x y S
(1)
xy P
 


 và phương trình 2t St P 0 (2)   . 
Khi đó: 
 (1) có nghiệm  (2) có nghiệm. 
 Trong trường hợp (2) có nghiệm 1t và 2t thì: 
1
2
2
1
x t
y t
(1)
x t
y t
 

   
. 
Ví dụ 7. [ĐHA09] Giải phương trình  32 3x 2 3 6 5x 8 0 1     . 
Giải 
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 
17 
Đk: 6 5x 0   65x  . 
Đặt 
 
 
 
3u 3x 2 2a
2
v 6 5x 2b
  

 
  v 0 . 
Ta có  2  
3
2
u 3x 2
v 6 5x
  

 
  
3
2
5u 15x 10
3v 18 15x
  

 
  3 25u 3v 8   
 3 25u 3v 8 0 3   . 
Thay  2 vào  1 , ta được 2u 3v 8 0       23v u 4 4   . 
Thay  4 vào  3 , ta có: 
   
23 2
35u 3 u 4 8 0 3
         3 2435u u 8u 16 8 0     
  3 215u 4u 32u 40 0    
     2u 2 15u 26u 20 0    
  
 2
u 2 0
15u 26u 20 0 ' 131 0
 

      
  u 2  . 
Thay u 2  vào  2a , ta được 3 3x 2 2    3x 2 8    x 2  . 
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x 2  . 
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 
18 
C. Bài tập 
Bài 1. Giải các phương trình, bất phương trình sau: 
1) 21 x 1 x 2 1 x 4      . 2) 23x 2 x 1 4x 9 2 3x 5x 2        . 
3)  33 2x 3x 2 x 2 6x 0     . 4)    3 x 6 x 3 3 x 6 x       . 
5) 2 22x x 5x 6 10x 15     . 6) 27x 7 7x 6 2 49x 7x 42 181 14x       
. 
7) 
5 15 x 2x 4
2x2 x
    . 8) 
2x1 x 1 x 2
4
     . 
Bài 2. Cho phương trình    3 x 6 x 3 x 6 x m       . 
1) Giải phương trình với m 3 . 
2) Tìm m để phương trình có nghiệm. 
Bài 3. Tìm m để BPT  2m x 2x 2 1 x 2 x 0       
 
 có nghiệm x 0;1 3    . 
Bài 4. Tìm m để BPT     22 x 4 x x 2x m     nghiệm đúng với mọi  x 2;4  . 
Bài 5. Giải các PT sau: 
1) 2 21 1 x 2x   . 2)    33 2 2x 1 x x 2 1 x   
. 
3) 2 31 x 4x 3x   . 
Bài 6. Giải các PT sau: 
1)  3 25 x 1 2 x 2   . 2) 2 25x 14x 9 x x 20 5 x 1       . 
3)  2 32x 5x 2 4 2 x 21x 20     . 4)  2 32 x 3x 2 3 x 8    . 
Bài 7. [ĐHA07] Tìm m để phương trình sau có nghiệm: 4 23 x 1 m x 1 2 x 1     . 
Bài 8. Giải các phương trình: 
1) 3 24 x 12 x 6    . 2) 3x 3 x 3   . 
3) 4 4x 17 x 3   . 4)        2 23 3 32 x 7 x 2 x 7 x 3      
. 
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 
19 
5) 3 3 3x x 16 x 8    . 6) 4 4 4x x 1 2x 1    . 
Bài 9. Với giá trị nào của a thì phương trình: 3 31 x 1 x a    có nghiệm. 
Bài 10. Giải các phương trình sau 
1) 3 3x 1 2 2x 1   . 2) 2 x 32x 4x
2

  . 3) 3 3 x 12x 1
2

  . 
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 
20 
D. Đáp số 
Bài 1 1) 0 . 2) 2 . 
3) 2 , 2 2 3 . 4) 0 , 3 . 
5) 5 3 5 5 3 52 2; ;
         
   
. 6) 67 ;6
 
  . 
7)    3 32 20; 2 2;    . 8)  1;1 . 
Bài 2 1) 3 , 6 . 2) 
6 2 9 m 3
2

  .Bài 3 2m
3
 . 
Bài 4 m 4 .Bài 5 1) 3
2
 . 2) 
2
2
, 
1 2 2 2
2
  
. 
3) 
1
2
 , 
2 2
4

 . 
Bài 6 1) 
5 37
2

. 2) 
5 61
2

, 8 . 
3) 
9 193
4

, 
17 3 73
4

. 4) x 3 13  Bài 7 11 m
3
   . 
Bài 8 1) 24 , 88 , 3 . 2) 1 . 
3) 1 , 16 . 4) 1 , 6 . 
5) 8 , 
56 3010
7

. 6) 0 . 
Bài 9 0 a 2  . 
Bài 10 1) 1 , 1 5
2
 
. 2) 
3 17
4
 
, 
5 13
4
 
. 
3) 1
2
 . 
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 
21 
Loại 3. Phương trình và bất phương trình tích 
A. Nội dung phương pháp 
Phần này đề cấp đến việc giải phương trình, bất phương trình vô tỷ bằng cách đưa phương trình, 
bất phương trình cần giải về phương trình, bất phương trình tích. 
Nhân tử chung có thể thấy ngay hoặc nhận được sau một số phép biến đổi đơn giản. Việc sử 
dụng biểu thức liên hợp đôi khi cho ta lời giải bất ngờ. 
Về biểu thức liên hợp, ta cũng cần biết: 
 Biểu thức liên hợp của a b là a b : 
   a b a b a b    . 
 Biểu thức liên hợp của 3 3a b là    2 23 3 3a ab b  : 
     2 23 3 3 3 3a b a ab b a b      
 
. 
 . 
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 
22 
B. Một số ví dụ 
Ví dụ 1. Giải phương trình  2x 3 2x x 1 2x x 4x 3 1       . 
Giải 
 1    x 3 2x x 1 2x x 3 x 1       (ĐK: x 1  ) 
     x 3 1 x 1 2x x 1 1 0       
     x 1 1 2x x 3 0     
 
x 1 1 0
2x x 3 0
   

  
 
x 1 1
x 3 2x
  

 
 
2
x 1 1
2x 0
x 3 4x
 
 
  
 
x 0
x 1

 
. 
Ta thấy cả 2 giá trị 0 và 1 đều thỏa mãn điều kiện để phương trình có nghĩa. Vậy tập nghiệm 
của phương trình là  0;1 . 
Ví dụ 2. [ĐHD02] Giải bất phương trình    2 2x 3x 2x 3x 2 0 1    . 
Giải 
Đk: 22x 3x 2 0    
1
2x
x 2
  

 
. 
 1  
2
2
x 3x 0
2x 3x 2 0
  

   
 hoặc 
2
2
x 3x 0
2x 3x 2 0
  

   
  
1
2
x 0
x 3
x 2
x

 
 

 
 hoặc 1
2
x 0
x 3
x
x 2
 
 
   
  
1
2
x 0
x 3
x 2
x

 
 

 
 hoặc 
1
2x
x 3
  

 
. 
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 
23 
Kết hợp với điều kiện để  1 có nghĩa, ta có tập nghiệm của  1 là:     12; 2 3;     . 
Ví dụ 3. Giải phương trình  3x x 2 0 1   . 
Giải 
Đk: x 0 . 
Ta có  1     3x 1 x 1 0    
     2 x 1x 1 x x 1 0x 1

    

    2 1x 1 x x 1 0
x 1
 
      
  x 1 0  (do 2
1x x 1
x 1
  

 =  212
1 3x 0
4x 1
   

 x 0  ) 
  x 1 (thỏa mãn điều kiện để  1 có nghĩa). 
Vậy  1 có nghiệm duy nhất x 1 . 
Ví dụ 4. [ĐHB10] Giải phương trình  23x 1 6 x 3x 14x 8 0 1       . 
Giải 
Đk: 
3x 1 0
6 x 0
 

 
   13 x 6 2   . 
Ta có  1      23x 1 4 1 6 x 3x 14x 5 0         
  
     
3 x 5 x 5 x 5 3x 1 0
3x 1 4 1 6 x
 
    
   
     3 1x 5 3x 1 0
3x 1 4 1 6 x
 
         
  x 5 0  (do  3 1 3x 1 0
3x 1 4 1 6 x
   
   
 13x : x 6    ) 
  x 5 (thỏa mãn  2 ). 
Vậy  1 có nghiệm duy nhất x 5 . 
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 
24 
C. Bài tập 
Bài 1. Giải các phương trình 
1) 3 23 3x 1 x 2 1 x 3x 2       . 
2) 3 32 23 3x 1 x x x x     . 
3) 4 3 24 x 1 x 1 x x     . 
4) 3 2 2 2x x 3x 3 2x x 3 2x 2x        . 
Bài 2. Giải các phương trình, bất phương trình sau: 
1) 4 1 5x x 2x
x x x
     . 
2) 2 2 42x x 6 x x 2 x
x
       . 
3) 2 22x x 9 2x x 1 x 4       . 
4) 2 2x 2x 3 x 6x 11 3 x x 1         . 
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 
25 
D. Đáp số 
Bài 1 1) 0 , 1 . 2) 1 . 3) 0 , 1 . 4) 0 . 
Bài 2 1) 2 . 2) 1 . 3) 0 . 4) 2 x 3  . 
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 
26 
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 
27 
Loại 4. Một số phương pháp đặc biệt 
A. Một số ví dụ 
Ví dụ 1. [ĐHD05] Giải phương trình  2 x 2 2 x 1 x 1 4 1      . 
Giải 
Đk: x 1 0    x 1 2  . 
Ta có  2x 2 2 x 1 x 1 1 x 1 1 x 1 1            
Do đo  1   2 x 1 1 x 1 4      x 1 2   x 1 4   x 3 (thõa mãn 
 2 ). 
Vậy  1 có nghiệm duy nhất x 3 . 
Ví dụ 2. Giải phương trình  4xx 3 4 x 1
x 3
  

. 
Giải 
Đk:  x 0 2 . 
 1   x 3 4x 4 x. x 3 0       2x 3 2 x 0    x 3 2 x 0   
 x 3 2 x   x 3 4x   x 1 (thỏa mãn  2 ). 
Vậy  1 có nghiệm duy nhất x 1 . 
Ví dụ 3. Giải phương trình 24x 1 4x 1 1    . 
Giải 
ĐK: 2
4x 1 0
4x 1 0
 

 
  
1
4
1
2
1
2
x
x
x
 

  

 
  1x
2
 . 
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 
28 
Đặt   2f x 4x 1 4x 1    .Ta có  
2
2 4x 1f ' x 0 x
24x 1 4x 1
    
 
  f đồng biến 
trên 12 ;  . Do đó nếu  1 có nghiệm thì đó là nghiệm duy nhất. Ta thấy 
1x
2
 là nghiệm của 
 1 nên  1 có nghiệm duy nhất 1x
2
 . 
Ví dụ 4. [ĐHA10] Giải bất phương trình 
 
 
2
x x 1 1
1 2 x x 1


  
. 
Giải 
Ta thấy  22 3 312 4 4x x 1 x x       . Do đó  2 341 2 x x 1 1 2. 0 x       . 
Điều kiện để  1 có nghĩa:  x 0 2 . 
 1   2x x 1 2 x x 1       22 x x 1 x x 1      
  
   22
x x 1 0
2 x x 1 x x 1
   


     
  
     
1 5
2
2 2
x
2x 2 x 1 x x 1 2 x 1 x
 

       
  
 
     
1 5
2
2
x 3
x x 1 2 x 1 x 0 4
 

     
. 
Ta có  4   2x x 1 0     2x x 1 0    x x 1 0    x 1 x   
 2
1 x 0
x 1 x
 

 
  2
x 1
x 3x 1 0


  
  3 5
2
x 1
x 



  3 52x
 (thõa mãn  2 ,  3 ). 
Vậy  1 có nghiệm duy nhất 3 52x
 . 
Ví dụ 5. Giải phương trình  2 x x 1 x 1
3 1 x

  
 
. 
Giải 
Đk: 0 x 1  . 
Ta thấy:    2VP 1 1 2 x 1 x 1         VP 1 1 . 
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 
29 
Lại có:   3 3VT 1 1
33 1 x
  
 
. 
Do đó  1     VT 1 VP 1 1   x 1 . 
Vậy  1 có nghiệm duy nhất x 1 . 
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 
30 
B. Bài tập 
Bài 1. Giải các phương trình 
1) 34 x 3 1 4x
x
    . 2) 
22 x 3 9x x 4    . 
3) 12 x 2 x 1 3x 9    . 4) 24x 3x 3 4x x 3 2 2x 1      . 
5) 4 x 3 x 1 x 7     . 6) 2 22x x x 1 4 3x 1 2x 2x 6       . 
Bài 2. Giải các phương trình sau 
1) x 4 x 1 x 3     . 2) 2 2 2
1x 2 x x
x
    . 
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 
31 
C. Đáp số 
Bài 1 1) 1 . 2) 1 , 5 97
18
 
. 
3) 1 , 77 3328
9

. 4) 1 . 
5)1 . 6) 1 . 
Bài 2 1) 0 . 2) 1 .