Chuyên đề Phương trình, bất phương trình mũ 12

Chuyên đề 1. PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ 
Vấn đề 1. Phương trình mũ 
I. KIẾN THỨC CĂN BẢN. 
1 . Công thức thường sử dụng: 
• Cho a>0, b>0 và ,m n   . Khi đó 
.m n m na a a  ; .( )m n m na a ; ( ) .n n nab a b 
m
m n
n
a
a
a
 ; 
m m
m
a a
b b
      
1 n
n
a
a
 ; 1n
n
a
a
 ; 
n n
a b
b a
              
• 
m
n m na a với 0a  , *,m R n N  
• ( ) ( ) ( ) ( ) ( 0, 1)f x g xa a f x g x a a     
• Nếu 1a  thì ( ) ( ) ( ) ( )f x g xa a f x g x   
• Nếu 0 1a  thì ( ) ( ) ( ) ( )f x g xa a f x g x   
2 . Phương pháp giải toán 
+ Phương pháp 1: ( ) ( )f x g xa a 
+ Phương pháp 2: 
 ( )
2 ( ) ( )
2 ( ) ( ) 2 ( )
( ) ( )
( ) ( )
. . 0
. .( ) 0
. . 0
. . 0 1
f x f x
f x f x f x
f x f x
f x f x
a a
a ab b
a a
a b ab
  
 
  
  

             
II. LUYỆN TẬP 
2 3 2 12
4
x x   
2 23 2 3 2 212 2 2
4
x x x x       
2 2
0
3 2 2 3 0
3
x
x x x x
x
            
Vậy phương trình có nghiệm: 0, 3x x   
2 3 1
1
3
3
x x        
2
2
3 1
( 3 1) 11 3 3 3
3
x x
x x
 
          
2 2
1
( 3 1) 1 3 2 0
2
x
x x x x
x
            
Vậy phương trình có nghiệm: 1, 2x x  
1/ 9 4.3 45 0 x x   Biến đổi pt 9 4.3 45 0x x   
2 2(3 ) 4.3 45 0 (3 ) 4.3 45 0x x x x        (1) . 
 Đặt t=3x , đk t>0 . 
 Pt (1) 2
5
4 45 0
9
t
t t
t
        
 (loaïi )
 . 
 Với t=9 23 9 3 3 2x x x      
Đáp số : Nghiệm pt là x=2 . 
12/ 2 2 3 0x x   Biến đổi pt 12 2 3 0x x    
1
2
2
2 3 0 2 .2 2 3.2 0
2
(2 ) 3.2 2 0
x x x x
x
x x
      
   
 (1) . 
 Đặt t=2x , đk t>0 . 
 Pt (1) 2
1
3 2 0
2
t
t t
t
       
 . 
 Với t=1 02 1 2 2 0x x x      . 
 Với t=2 12 2 2 2 1x x x      
 Đáp số : Nghiệm pt là x=0 , x=1 . 
3/ 3.4 2.6 9x x x  Chia hai vế pt cho 9x . 
                            
                                                    
xx x xx x x 2
x x x 2
x 2
2 x x
4 6 9 4 6 2 2PtÛ3. - 2. = Û 3. - 2. = 1 Û 3. - 2. = 1
9 9 39 9 9 3
2 2 2 2Û3. - 2. = 1 Û 3. - 2.
3 3 3 3

x
= 1 (1) 
Đặt t=
     
x
2
3
 , đk t>0 . 
PT (1) 

2 2
t = 1
Û 3.t - 2.t = 1 Û 3.t - 2.t - 1 = 0 1t = - (loaïi vì t > 0)
3
Với t=1 
0
1 0x
                               
x x
2 2 2
3 3 3
BÀI TẬP CỦNG CỐ 
Bài 1 Giải các phương trình sau 
2 3x)5 625xa   2
1
2 3 1)7
7
x
x xb

        
 1) 2 .5 200x xc   4 2 1) 2 2 5 3.5 .x x x xd      
Bài 2 Giải các phương trình sau 
1) 9 10.3 9 0x x   2) 25 3.5 10 0x x   33) 2 2 2 0x x   4) 6.9 13.6 6.4 0x x x   
5) (2 3) (2 3) 4x x    (TN_11) 7 (D_10)
3 32 1 2 2 2 2 4 46) 7 8.7 1 0 ) 4 2 4 2x x x x x x x x            
Vấn đề 2. Bất phương trình mũ 
Nhận xét: Cách phương pháp và cách sử lý làm giống như phương trình. Chỉ lưu ý khi hạ số mũ cần đánh 
giá cơ số: 
( )
( ) ( )
1 : ( ) log
1.
0 1 : ( ) log
1 : ( ) ( )
2 .
0 1 : ( ) ( )
f x a
a
f x g x
a f x b
a b
a f x b
a f x g x
a a
a f x g x
       
       
BÀI TẬP RÈN LUYỆN 
Ví dụ 1: Giải bất phương trình:  2 23 9
x
x 
HD:  2 23 9
x
x 2 44 163 3 2 4 8 16
4 7
x
x x x x x x          
Vậy bất phương trình có nghiệm: 16;
7
S
      
Ví dụ 2: Giải bất phương trình:     21 35 2 5 2x x     (1) 
HD: Ta có:      115 2 5 2 1 5 2 5 2
5 2

       

 Phương trình (1)     21 3 25 2 5 2 1 3x x x x         
 2 2 0 1 2x x x        
 Vậy bất phương trình có nghiệm: 1;2S      
Ví dụ 1: Giải bất phương trình: 25 5 26 x x  
 HD:  22 255 5 26 5 26 0 5 26.5 25 0
5
x x x x x
x
          (1) 
 Đặt 5 0xt   
Ta có: (1) 2 26 25 0t t    1 25t   
 0 21 5 25 5 5 5 0 2x x x         
Vậy bất phương trình có nghiệm:  0;2S  
Ví dụ 2: Giải bất phương trình: 2x+13 10.3 3 0x   
 HD: 2x+13 10.3 3 0 x    23. 3 10.3 3 0x x    (1) 
 Đặt 3 0xt   . 
Ta có: (1) 2 13 10 3 0 3
3
t t t       1 11 3 3 3 3 3 1 1
3
x x x          
Vậy bất phương trình có nghiệm: 1;1S      
Ví dụ 3: Giải bất phương trình: 5.4 2.25 7.10 0 (*)x x x   
 HD: Chia (*) hai vế cho 4 0x  ta được: 
2
5 5
5 2. 7. 0
2 2
x x                     
 (**) 
 Đặt 5 0
2
x
t
      
. 
Ta có: (**) 2
5
0 10 1 02
2 7 5 0 5 15 5
2
2 2
x
x
t x
t t
xt
                                
Vậy bất phương trình có nghiệm:   ;0 1;S    
BÀI TẬP CỦNG CỐ 
Bài 4: Giải các bất phương trình sau: 
26 3 7) 7 49x xa    
2 7 2
3 9
)
5 25
x x
b
        
 ) 4 3.2 2 0x xc    
e) 5.4 2.25 7.10x x x  g) 23 3 8 0x x    
Bài giải 
2 26 3 7 6 3 7 2 2 2) 7 49 7 7 6 3 7 2 6 3 9 0x x x xa x x x x              
 3 1
2
x   
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S = [ 3
2
 ; 1]. 
2 27 2 7 2 2
2
2
3 9 3 3
) 7 2 2
5 25 5 5
0
7 0
7
x x x x
b x x
x
x x
x
                                      
       
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S =    ; 0 7;   
2) 4 3.2 2 0 2 3.2 2 0x x x xc        (1) 
 Đặt 2 , 0xt t  
Bất phương trình trở thành: 2 3 2 0 1 2t t t      
Kết hợp điều kiện ta được 
 1 2 1 2 2 0 1xt x        
 Vậy bất phương trình có tập nghiệm S = (0; 1). 
e) 5.4 2.25 7.10x x x  4 105. 2 7.
25 25
x x               
2
2 2
5. 7 2 0
5 5
x x                
 . Đặt t = 2
5
x     
, t > 0 ta có bpt 
5t2 - 7t + 2  0 2
5
 t  1 
Kết hợp điều kiện ta được 2
5
 t  1 
 2 2 1 1 0 0 1
5 5
x
x x
             
Vậy bất phương trình có tập nghiệm S = [0; 1] 
g) 2 93 3 8 0 3 8 0
3
x x x
x
        Đặt 3 , 0xt t  
ta có bpt: t - 9
t
 + 8 > 0 t2 +8t - 9 > 0 
9
1
t
t
   
 Kết hợp điều kiện ta được t > 1 3x > 1 x > 0 
Vậy bất phương trình có tập nghiệm S = (0; )