Chuyên đề Phương trình, bất phương trình có chứa căn

 Lời nói đầu
 Trong chương trình ôn tập toán phổ thông ,có rất nhiều chuyên đề cần dạy cho học sinh
 Theo sự phân công chúng tôi biên soạn phần phương trình ,bất phương trình có chứa căn, 
 phươngTrình và bất phương trình có chứa giá trị tuyệt đối, trên cơ sở tham khảo các sách 
 tham khảo của nhiều tác giả có uy tín, sách giáo khoa, các đề thi đại học , tuy nhiên phần trình 
 bày của chúng tôi chắc chắn còn nhiều thiếu sót , kính mong các đọc giả bổ sung và góp ý 
 kiến ,chúng tôi xin chân thành cám ơn .
 Tổ toán THPT Hàn Thuyên
 CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH CÓ CHỨA CĂN 
 PHẦN I : Phương trình có chứa căn 
 I)Phương pháp biến đổi tương đương 
 1) Kiến thức cơ bản : 
 Chú ý các trường hợp khác phải tìm tập xác định trước khi biến đổi 
Bài tập áp dụng
Bài1: gpt :
Bài2: gpt: Txđ: 
 II) Phương pháp đặt ẩn phụ 
Dạng1: * Nếu có căn f(x) và f(x) đặt t= 
Nếu có 
Nếu có 
Nếu có 
Nếu có 
Bài tập áp dụng 
 Bài1: gpt 2(x2- 2x) + đặt t= 
 Bài2; gpt đ/k x ≥ 1
 đặt t= đ/k t ≥ 1dẫn tới pt t2-5t+6=0
 Bài3:gpt: đ/k -1 ≤ x ≤ 1 đặt x = cost khi đó pt 
 Bài4: gpt: 
 giải ra có t = 1, t = 1/ 2 suy ra nghiệm phương trình 
 Bài5: gpt : đ/k x > 1 đặt x = 1/cost 
2) Dạng2: đặt ẩn phụ còn x tham ra như một tham số hoặc t là tham số
 Bài tập áp dụng : 
 Bài1: gpt 
 Khi đó pt: x2 -2tx-1 = 0 ê`= t2+1 = (x-1)2 →x = t±(x-1) khi và chỉ khi
 Bài2: gpt (4x-1)8x2+2x+1 đặt t =≥ 1 pt : 2t2-(4x-1)t+2x-1=0
 Có ngh t=2x-1, t= 1/2(loại) với t =2x-1 vô ngh
3) Dạng3: đặt 2 ẩn phụ 
 Bài tập áp dụng:
 Bài1: gpt: 
 Bài2:gpt: 
Dạng4: một ẩn phụ chuyển phương trình thành một hệ : 
Thí dụ: gpt 
 III) Phương pháp đánh giá 
 1) Kiến thức cơ bản: 
f2(x) + g2(x) + t2(x) = 0 
f(x) + g(x) = a ( a là hằng số)
 mà f(x) ≤ b , g(x) ≤ c (b + c =a ) 
3) f(x) = g(x) , f(x) ≤ a, g(x) ≥ a 
 2) Bài tập áp dụng :
 Bài1: gpt x4 + 2x2 -6x +20 = x4 - + x2 -2x +16+ 
 x2-4x+4 = 0 ( x2- )2 + ( x-2)2 = 0 
 x = 2 thỏa mãn hệ , vậy phương trình có 1 nghiệm x = 2
 Bài2: gpt: 4x2 + 3x +3 = 4x đ/k x ≥ 1/2 phương trình tương đương
 Bài: gpt: = 4 – 2x – x2
 Ta có vé trái 
 Vế phải 4 – 2x—x2 = 5 – (x+1)2 ≤ 5 vậy phương trình chỉ thỏa mãn khi cả 2 vế 
 đồng thời bằng 5 khi và chỉ khi x = - 1 là nghiệm của phương trình 
 IV) Phương pháp sử dụng tính đơn điệu hàm số : 1) Cơ sở lý thuyết
 dùng tính đơn điệu hàm số từ đó khẳng định số nghiệm phương trình
 2) Bài tập áp dụng 
 Bài1 xét hàm số y= 
 Có đạo hàm hàm số luôn đồng biến trên txđ vậy pt không có 
 quá một nghiệm nhẩm nghiệm ta thấy x=1/2 là nghiệm duy nhất 
 Bài2: gpt xét hàm số y= txđ x≤1/3
 h/s đồng biến trên txđ vậy phương trình không có quá 
 một nghiệmTa thấy x= -1 là nghiệm duy nhất của bài toán 
 Bài3:gpt; đặt t = x2- x đ/k -3≤t≤2
 h/s f(t) = txđ f`(t)= hàm số tăng , 
 g(t) = 1+ hàm số nghịch biến vậy chúng chỉ có thể giao nhau tại một 
 điểm duy nhất , thấy t =1 là nghiệm do đó t=1 suy ra pt x2- x =1 có nghiệm 
 V) Phương pháp sử dụng tính liên tục hàm số để chứng minh số nghiệm phương trình 
 Bài tập áp dụng : CMR phương trình sau có 3 nghiệm phân biệt thuộc (-7,9): 
 đặt t= có pt 2t3 – 6t + 1 =0 hàm số này liên tục trên R ,có f(-2)f(0)<0 có 1ngh t thuộc 
 (-2,0) suy ra có 1 ngh x thuộc (1,9) , f(0)f(1)<0 có 1ngh t thuộc (0,1) suy ra có 1ngh x thuộc(0,1) , 
 f(1)f(2)< 0 có 1ngh t thuộc(1,2) suy ra có 1 ngh x thuộc (-7,0) vậy phương trình đã cho có đúng 3 
 nghiệm phân biệt thuộc ( -7,9)
 VI) Phương pháp sử dụng đạo hàm bậc 2
 * Tìm tập xác định của phương trình
 * Xét hàm số f trên miền D ,tồn tại đạo hàm bậc 2 suy ra hàm số lồi hoặc lõm trên miền D
 Suy ra phương trình không có quá 2 nghiệm
 nhẩm 2 nghiệm thuộc miền D
 Bài tập áp dụng : 
 Bài1: gpt : đ/k x≥ - 1 PT tương đương 
 xét hàm số f(x) = trên tập x/đ x ≥ -1
 vậy hàm số đó có đồ thị lồi trên txđ
Do đó phương trình nếu có nghiệm thì không quá 2 nghiệm ta dễ thấy x = 0, x = 3 là nghiệm
Bài2;gpt: điều kiện x ≥ 0 phưong trình tương đương với
 xét hàm số f(x) = tập xác định x ≥ 0 
 đồ thị hàm số lồi trên tạp xác định vì vậy phương trình không có quá 2 nghiệm ,dễ thấy x = 0 ,x = 1 là nghiệm 
 VII) Một số phương trình không mẫu mực
 Bài1: gpt: đ/k x < 2 đặt 
Pt thành t+khi đócó PT: t4-8t3+12t2-48t+96=0 suy ra 
 (t-2)(t3-6t2-48)=0 Có nghiệm t=2 suy ra x=1/2 cònphương trình: t3-6t2-48=t2(t-6) -48 < 0 với o<t≤ 4 vô nghiệm, vậy pt đã cho có 1 nghiệm x=1/2
Bài2: gpt: tưong đương với
 tương đương với 
*) với mọi x > 2 không thể là nghiệm vì vế trái 0 
*) với mọi x < 0 cũng không thể là nghiệm
*) với x = 2 là nghiệm vậy phương trình chỉ có nghiệm x = 2
Bài3: gpt : điều kiện - 1/2<x< ½
 Xét vế phải theo bất đẳng thức cô si ta có dấu bằng xâỷ ra khi
 Xét vế trái ta có suy ra vế trái ≤ 2 dấu bằng xẩy ra khi x = 0 vậy x = 0 là nghiệm của phương trình 
Bài4:gpt: tương đương với 
Áp dụng bất đẳng thức Bu nhi a cốp ski ta có 
 Cộng 
 ---------------------------------------------------------------------------
 Ta có dấu bằng xẩy ra khi x=1 là nghiệm của phương trình
 PHẦN 2 :Bất phương trình có chứa căn
I)Phương pháp biến đổi tương đương :
 1) Kiến thức cơ bản : 1) 
 2) 
 2) Bài tập áp dụng:
 Bài1: 
 Vậy tập nghiệm của bất phương trình là 
 Bài2: gbpt tương đương với tương đương với
 Bài3: gbpt: điều kiện 
Với - bpt tương đương -
Với 0<x bpt tương đương 0<x
 Vậy nghiệm của bpt là 
II)Phương pháp đặt ẩn phụ
Dạng1: đặt ản phụ hợp lý dẫn tới bất phương trình đại số quen thuộc 
Bài1 ; gbpt: đặt t = dẫn tới bpt
t2+2t-15 ≤ 0 suy ra 0 ≤ t ≤ 3 suy ra suy ra x2 -3x+11 ≤ 9 suy ra nghiệm
của bpt 1 ≤ x ≤ 2
Bài2 gbpt đặt t = có bất phương trình t2-3t+2 > 0 suy ra t > 2 hoặc t < 1
1) xét bpt >2 
2) xét bpt <1
 nghiệm của bpt là 
Bài2: gbpt: điều kiện x > 0 đặt t = ≥ 
dẫn tới bất phương trình bậc hai: 2t2 – 5t + 2 > 0 có nghiệm t > 2 khi và chỉ khi 
 >2 
Bài3: gbpt dẫn tới t2 -2t -3 >0 có nghiệm t≥ 3
Cho ta tập nghiệm của bpt là 
 Dạng2 : đặt ẩn phụ t dẫn bpt xem t là ẩn ,x là tham số,hoặc bpt xem x là ẩn, t là tham số
Bai1:gbpt: x2-1 đặt t = dẫn tới bpt: x2-2tx-1≤ 0 có 
 dẫn tới ( khi và chỉ khi 
 Dạng3: đặt 2 ẩn phụ dẫn tới một hệ
Bài1: gbpt điều kiện x ≥ 0 biến đổi đặt 
 Trường hợp u = v 
 Vậy để u
 Bài2:gbpt đặt bất phương trình có dạng
III)Phương pháp sử dụng tính đơn điệu hàm số 
 Cơ sở lý thuyết: dựa vào bảng biến thiên của hàm số phát hiẹn miền nghiệm cuả bất phương trình
 Bài tập áp dụng
Bài1: gbpt: xét hàm số f(x) = trên tập x ≥ -2 
 Có đạo hàm luôn dương với mọi x thuộc tập xác định suy ra hàm số luôn đồng biến lại có f(0) = 5
 vậy nghiệm của bpt là x > 0 
Bài2: gbpt: 
 Tương đương 
 Xét hàm số f(t) = có f, (t) >0 hàm số đồng biến trên tập xác định vậy ta có 
 f(x-1)>f(3-x) khi và chỉ khi x-1>3-x cho ta x>2 vậy nghiệm của bất phương trình là 2 < x ≤ 3
 Bài3: gbpt: 2x+ xét hàm số trên tập xác định x≥ 0
 F(x) = 
 Hàm số đồng b iến trên tập xác định vì vậy f(x) < 35 = fvậy nghiệm bpt 0< x <
 IV) Phương pháp sử dụng giá trị lớn nhất nhỏ nhất hàm số 
 Kiến thức cơ bản Lập bảng biến thiên từ đó có kết quả của bài toán 
 Bài tập áp dụng
 Bài1 Tìm m để bpt sau có nghiệm: mx - đặt t = t ≥ 0 ta có 
 m( t2+2) ≤ t+1 tương đương với xét hàm số f(t) = trên tập t≥ 0 có 
 f,(t) = 0 khi t = 1
 Ta có bảng biến thiên t
ft
F(t)
0
-
+
0
-1
Nhìn vào bảng biến thiên để bất phương trình có nghiệm thì m ≤ 
V) Phương pháp đồ thị : 
 Kiến thức cơ bản : dùng đẻ giải các bài toán tìm tham số để bất phương trình có nghiệm thực hiện các 
 bước sau :
*) sử dụng các phép biến đổi tương đương đưa bất phương tình đã cho về một hệ
*) xét trên hệ trục tọa độ Oxm 
 +) Biểu diễn các điểm M(x,m) thỏa mãn các bất phương trình trong hệ ,giả sử các tập đó là X1,X2,..
 +) Xác định X= X1 ∩ X2 ∩
 +) Chiếu vuông góc tập X lên trục m ,giả sử là Im 
*) Khi đó:
 +) Để hệ vô nghiệm khi m ≠ Im 
 +) Để hệ có nghiệm khi m € Im 
 +) Để hệ có nghiệm duy nhất khi đường thẳng m = giao với tập X đúng một điểm duy nhất
Bài tập áp dụng:
 Bài1: Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm đặt y = khi đó bất phương trình tương đương với một hệ 
Các điẻm thỏa mãn (2) ký hiệu là X1 là tập hợp các điểm mằn nửa trên của đường tròn tam O bán kính R=1 các điểm thỏa mãn (3) ký hiệu là X2 là tập hợp các điểm nằm phía trên của đưòng thẳng x + y = m lấy với y ≥ 0 Vậy để bất phương trình có nghiệm khi và chỉ khi 0khi m 
Bài2: Tìm m để bất phương trình sau đúng mọi x thuộc – 4 ≤ x ≤ 6 
 x2 - 2x +m đặt y = ≥ 0 suy ra y2 = 24 + 2x – x2
y
 Tương đương với ( x -1 )2 +y2 = 25 như vậy vế trái của bất phương trình là nửa trên của đường tròn tâm I(1,0) bán kính R = 5 , còn vế phải của bất phương trình y = x2 – 2x + m là một pảabol có đỉnh nằm trên đường thẳng x = 1 để bài toán nghiệm đúng
 với mọi x thuộc – 4 ≤ x ≤ 6 thì pảa bol luôn nằm
 phía trên nửa đường tròn và đỉnh của pảabol tiếp xúc
M(1,5)
 với đường tròn tại điểm M(1,5) tức là 5 = m0 – 1 suy ra m0 = 6
 vậy giá trị m cần tìm là m ≥ 6
 x
1
VI) Phương pháp điều kiện cần và đủ
 Cơ sở lý thuyết : dựa vào đặc điểm của bất phương trình ta có thể
 Suy ra đặc điểm của nghiệm của bất phương trình từ đó suy ra
 Giá trị tham số m , điều kiện đủ với m tìm được thay vào bẩt phương trình ,giá trị m thỏa mãn điều kiện của bài toán là giá trị cần tìm
 Bài tập áp dụng
 Bài toán1: Tìm m để bất phương trình có nghiệm duy nhất (1)
 Điều kiện cần : giả sử (1) có nghiệm là x0 thì – x0 cũng là nghiệm , do đó muốn có nghiệm duy nhất thì phải có x0 = - x0 suy ra x0= 0 thay vào (1) ta có m = 0 
 Điều kiện đủ : với m = 0 thay vào bất phương trình ta có ngay nghiệm duy nhất x = 0 ,vậy m = 0 là giá trị cần tìm
 Bài toán2: Tìm m để bất phương trình (1) nghiệm đúng với mọi 
 Điều kiện cần: để bất phương trình đúng mọi thì x = 1 cũng là nghiệm thay vào (1) ta có m≥ 4 
 Điều kiện đủ : với m ≥ 4 khi đó áp dụng bất đẳng thức Cô si vế trái ta có Vế trái = vế phải x2 – 2x + m = (x-1)2+ m – 1 ≥ 3 suy ra vế phải ≤ vế trái , vậy với m ≥ 4 là giá trị cần tìm 
VII) Phương pháp đánh giá: Đó là các bài toán giải thông thường gặp khó khăn .nếu để ý đặc điểm của bài toán và kết hợp với mọt số bất đẳng thức cơ bản ta có thể suy ngay ra nghiệm của bài toán
 Bài toán áp dụng : giải bất phương trình sau 
 Ta có điều kiện 
 Khi đó vậy bát phương trình có nghiệm khi và chỉ khi Vế trái = 2 khi và chỉ khi 
 vậy x = 1 là nghiệm của bất phương trình 
Chủ đề phương trình có chứa giá trị tuyệt đối
Phương pháp biến đổi tương đương 
Cơ sở lý thuyết :
 Dạng1: 
 Dạng2: , hoặc 
 Chú ý: người ta thường dùng cách thứ 2 khi bình phương hai vế xuâts hiện phương 
 trình bậc cao
Bài tập áp dụng
Bài1: gpt 
Bài2:gpt | x2 +5x+4 | = x+4 tương đương 
Bài 3: Giải và biện luận phương trình: | x2 -2mx-2m | = | x2 + 2x| (1)
 Tương đương với 
Giải 2 
với m + 1 = 0 thì m = -1 khi đó (2) vô nghiệm
với m + 1 ≠ 0 thì m ≠ - 1 khi đó (2) tương đương với 
Giải3 Ta có ê = (m+1)2
* Với ê = 0 m = - 1 (3) có nghiệm x = -1
* Với ê > 0 m ≠ - 1 khi đó (3) có nghiệm 
Kết luận 
Với m = -1 phương trình có một nghiệm x = - 1
Với m ≠ - 1 phương trình có3 nghiệm x = - 1 , x = m ,
Bài4 Giải và biện luận phương trình | x2 + x +m | = - x2 + x +2
 Phưong trình tương với 
Giải và biện luận (2) 
 * với khi đó (2) không có nghiệm thỏa mãn (*) 
 * Với 1 < thì (2) có nghiệm x = thỏa mãn (*)
 * Với 0 ≤ thì (2) có nghiệm x = thỏa mãn (*)
b) Giải và biện luận (3) ,nghiệm của (3) thỏa mãn (*) khi 
Kết luận : 
) vơi m>2 hoặc m <- 6 phương trình vô nghiệm 
) Với phương trình có 2 nghiệm x = 
) thì (2) có nghiệm x = và x= 
Phương pháp chia khoảng 
Cơ sở lý thuyết: Khi giải phương trình có chứa nhiều tuyệt đối
Đặt điều kiện để phương trình có nghĩa 
Lập bảng xét dấu tất cả các biểu thức nằm trong tuyệt đối 
Giải phương trình trên từng khoảng đã chia 
Kết luận 
Bài tập áp dụng 
Bài 1 gpt | x2 – x | + | 2x – 4 | = 3 
 x
X2-x
2x-4
0
1
2
|
|
0
|
|
0
+
+
-
-
-
+
-
+
Nếu x ≤ 0 hoặc 1 ≤ x ≤ 2 pt tương dưong với x2 – x – (2x-4) = 3 khi x2-3x+1=0
Cho ta 2 nghiệm loại 
 * Nếu 0<x<1 pt tương đương với x2 +x -1 = 0 có nghiệm thỏa mãn
 * Nếu x ≥ 2 pt tương đương với x2 +x – 7 = 0 có nghiệm thỏa mãn
 Bài2: gpt điều kiện x khác 3 và 5
x
X2-x
2x-4
0
1
2
|
|
0
|
|
0
+
+
-
-
-
+
-
+
 x
x+33
x-4
-3
0
|
0
|
4
-
+
-
-
-
+
 * Nếu x ≤ -3 pt tương đương với x2 = 12 có nghiệm x = thỏa mãn
 * Nếu -3 <x < 4 pt tương đương với x2 = 6 có nghiệm x = thỏa mãn
 * Nếu x ≥ 4 pt tương đương với x2 -2x – 18 = 0 có nghiệm x = 1+ thỏa mãn
 Chú ý : néu có nhiều giá trị tuyệt đối cách giải vẫn tương tự nhự vậy
Phương pháp sử dụng các tính chất giá trị tuyệt đối :
Cơ sở lý thuyết: 
 * Tính chất 1: | a+b| = |a| + |b| khi và chỉ khi a,b ≥ 0
 * Tính chất 2: |a| + |b| = a + b khi và chỉ khi a,b ≥ 0
 * Tính chất3 : |a| + |b| = a - b Khi và chỉ khi a ≥ 0 , b ≤ 0 
 * Tính chất 4 : | a – b | = |a| - |b| Khi và chỉ khi b( a-b) ≥ 0 
Cách giải
Đặt điều kiện phương trình có nghĩa 
Biến đổi phương trình về 1 trong 4 dạng trên
Giải và kết luận 
Bài tập áp dụng 
 Bài1: Giải phương trình | x2 – 4x + 3| + | x2 – 4x| = 3 
 Cách 1 có thể giải bằng phương pháp chia khoảng
 Cách 2 phương trình có thể biến đổi thành | x2 – 4x + 3| + | x2 – 4x| = 
 ( x2 – 4x + 3)- ( x2 – 4x ) 
 Bài2 Giải phương trình 
 Biến đổi phương trình về dạng 
 Tương đương với 
Bài3 Giải phương trình điều kiện x ≥ 2
 Tương đương với 
 Tương đương với = 
 Tương đương với 
Phương pháp đặt ẩn phụ: 
Cơ sở lý thuyết : Đặt ẩn phụ thích hợp đưa bài toán đã cho vè bài toán 1 ản không có tuyệt đối
Bài tập áp dụng 
Bài1: gpt (x – 1 )2 +4 | x-1| +3 = 0 
 Đặt t = | x-1| t không âm ta có phương trình t2 +4t +3 = 0 
Bài2: Giải phương trình 
 Dặt t = | x2 -5x +2| >0 ta có phương trình t + 1/t +1=0 có nghiệm t= -3 , t=2
 với t = 2 thỏa mãn khi đó | x2 -5x +2| = 2 ta có x2 -5x +2 = 2 ,
 x2 -5x +2 = - 2 cho ta nghiệm x=0 , x= 1, x= 4 , x=5
Bài3 : Giải và biện luận pt 
 Đặt t = | mx-2| +1 ≥ 1 có phương trình t – 1 + 2/t =2 
Kết luận : * với m =0 phương trình vô nghiệm 
với m khác 0 phương trình có 3 nghiệm phân biệt x = 1/m , x = 2/m ,
 x = 3/m 
 V) Phương pháp hàm số 
 1) Cơ sở lý thuyết Nếu hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên tập xác định của nó thì ta luôn 
 có f(u) = f(v) khi và chỉ khi u = v 
 2)Bài tập áp dụng 
Bài 1 gpt 
Tập xác định x khác 5/2 , 1
 Xét hàm só f(t) = et – 1 / t có đạo hàm et + 1/t2 > 0 với mọi t hàm số luôn đồng biến 
Vậy ta có f(| 2x-5|) = f( |x-1|) khi và chỉ khi | 2x-5| = | x-1| giải ra có nghiệm x = 2,x=4
 Bài2 gpt x2 –x|x| + 3x – 10 = 0 
 Xét hàm số f(x) = x2 –x|x| + 3x – 10 có đạo hàm f ) = 
 Đạo hàm luôn dương với mọi x hàm số luôn luôn đồng biến vậy nếu có nghiệm thì đó là 
 nghiệm duy nhất dễ thấy x = 2 là nghiệm duy nhất của bài toán 
 Phương pháp điều kiện cần và đủ 
Cơ sở lý thuyết : Tìm điều kiện tham số có thẻ xẩy ra các dạng sau 
Dạng1 : phương trình có nghiệm duy nhất 
Dạng2 phương triònh có nghiệm với mọi giá trị tham số 
Dạng 3 phương trình nghiệm đúng với mọi x thuộc miền D
Phương trình tương đương với một phương trình hoặc một bất phương trình khác 
 Thực hiện các bước giải sau
Đặt điều kiện phương trình có nghĩa 
Dựa vào đặc điểm của phương trình tìm điều kiện cần suy ra giá trị của tham só 
Giá trị tham số thỏa mãn điều kiện của bài toán là giá trị cần tìm
Bài tập áp dụng 
Bài toán : Tìm m để phương trình sau | x-m | = x + 4 đúng với mọi x ≥ -2 
Điều kiện cần : vì đúng với mọi x ≥ -2 nên đúng với x = -2 suy ra | 2-m| = 2+m
 Suy ra m = 0 , m=4 
Điều kiẹn đủ 
 Với m = o ta có phương trình |x| = x+ 4 ta thấy x =0 không thỏa mãn loại
 Với m = 4 ta có | x-4 | = x + 4 luôn đúng với mọi x ≥ -2 
 Vậy giá trị m = 4 là giá trị cần tìm
Phương pháp đánh giá 
 1) Cơ sở lý thuyết dựa vào tính chát một số bất đẳng thức cơ bản ,và phương pháp đối lập
 Ta có thể suy ra nghiệm của phương trình 
Bài tập áp dụng Bài toán 1: gpt sau 
Áp dụng bất đẳng thức cô si cho vế trái phương trình ta có 
 bằng vế phải dấu bằng xẩy ra khi 
 khi x = 2 , x = 4 vậy phương trình có 2 nghiệm x=2,x=4
 Bài toán2: gpt 6-4x –x2 = 
 nhận xét Vt ≤ 10, Vp ≥ 10 dấu bằng xẩy ra khi cả 2 vế bằng 10
Chủ đề bất phương trình có chứa giá trị tuyệt đối 
Phương pháp biến đổi tương đương 
 a) Cơ sở lý thuyết 
 1) | f(x) | > | g(x) ) tương đương với f2(x) > g2(x)
 2) 
 3) 
Khi giải cần thực các bước sau
Kiểm tra đièu kiện 
sử dụng các phép biến đổi tương đưa bất phương trình đã cho về hệ phương trình đại số từ đó tìm được nghiệm
Kiểm tra đièu kiện
Kết luận nghiệm 
Bài tập áp dụng 
Bài1 gbpt | 4x3 – 3x | ≤ 1 tương đương với ( 4x3 – 3x )2 ≤ 1 tương đương 
( 4x3 -3x +1 ) ( ( 4x3 -3x -1 ) ≤ 0 tương đương vói (x2 – 1)(2x+1)2(2x-1)2 ≤ 0
Tương đưong 
 Bài2 gbpt 
 Tương đương với ( x2 -5x +4 ) 2 ≤ (x2 – 4 )2 tương đương ( 2x2 -5x) ( 8-5x) ≤ 0
 Tương đương với 
 Bài3 gbpt | 1-4x | > 2x +1 tương đương với 
Phương pháp chia khoảng :
Cơ sở lý thuyết : khi gặp bài toán có từ hai trị số tuyệt đối trở lên ta làm như sau
Đặt điều kiện có nghĩa của bpt
Lập bảng xét dấu tất cả cac biểu thức trong dấu tuyệt đối , chia khoảng 
Giải bất phương trình trên từng khoảng 
Kết luận 
Bài tập áp dụng : 
Bài1 gbp bpt có nghĩa với mọi x
Ta có bảng xét dấu 
 x
 0 4 5
 X2 – 4x 
 + 0 - 0 + | + 
 x- 5 
 - | - | - 0 + 
 Kết luận 
 Trưòng hợp 1 
 Trưòng hợp 2 0<x<4 tương đương 
 Trưòng hợp 3 x>5 tương đương với loại
 Vậy nghiệm của bpt là 
 Bài2 gbpt ta có bảng xét dấu 
 x
 2 5
 x-5
 - | - 0 +
 x-2
 - 0 + 0 + 
 * Nếu x < 2 tương đương với 
 * Nếu 2 ≤ x< 5 tương đương với 
 * Nếu x>5 tương đương với 
 Kết luận nghiệm bpt 
Phương pháp sử dụng tính chất giá trị tuyệt đối 
Cơ sở lý thuyết 
 * Tính chất1 | a + b | ≤ |a| + |b| với mọi a,b
 * Tinh chất 2 | a - b | ≥ |a| - |b| với mọi a,b
 * Tính chất1 | a + b | < |a| + |b| tương đương với ab <0
 * Tinh chất 2 | a - b | > |a| - |b| tương đương với b(a-b)<0
Thực hiện các bước sau 
Đặt điều kiện néu có 
Biến dổi phương trình về một trong 4 dạng trên
Giải
Kết luận
Bài tập áp dụng 
Bài1 gbpt | 2x2-3x+11| - | 2x2 -5x | < 2x + 1 tương đương với
 | 2x2-3x+11| - | 2x2 -5x | < | ( 2x2 -3x+11) – (2x2 – 5x ) | tương đương với
 ( 2x2 – 5x )( 2x+1) < 0 cho ta nghiệm x < - 1/2 , 0 < x < 5/2
 Bài 2 gbpt 
Tương đương với 
Phương pháp dặt ẩn phụ 
Cơ sở lý thuyết căn cứ vào đặc điểm bài toán có thẻ dặt ẩn phụ thích hợp đưa bát phương tình về dạng không còn chứa tuyệt đối
Bài tập áp dụng 
 Bài 1 gbpt ( 2x-1)2 -3 |2x-1| +2 ≤ 0 đặt t = | 2x-1| t không âm ta có bpt sau
 T2 – 3t +2 ≤ 0 cho ta 1 ≤ t ≤ 2 
Bài2 gbpt đặt t = | x2 -3x +1| ≥ 0 ta có bpt
Phương pháp hàm số 
 1) Cơ sở lý thuyêt dựa vào tính chất đơn điệu hàm số suy ra f(u) > f( v) khi và chỉ khi u>v
 nếu hàm số đó luôn đồng biến và ngược lại
 2)Bài tập áp dụng : 
Bài1 gbpt 4| 2x-1| (x2 –x +1) > x3 -6x2 +15x -14 ta biến đổi 
 | 2x-1| ( (2x-1)2 +3) > (x-2)2 +3x-6 tương đương | 2x-1| 3 +3 | 2x-1| > (x-2)3 +3(x-2)
 Xét hàm số f(t) = t3 +3t có đạo f ) = 3t2 +3 >0 với mọi t hàm số đồng biến nên
 f(| 2x-1| ) > f(x-2) khi và chỉ khi | 2x-1| > x-2 thỏa mãn với mọi x , vậy bất phương trình 
 nghiệm đúng vói mọi x 
 Bài2 gbpt x3 - | x2 -3x +2 | +6x +7 > 0 
 Xét hàm số f(x) = x3 - | x2 -3x +2 | +6x +7 có tập xác định R 
 Đạo hàm f ) = đạo hàm luôn dương với mọi x
 Hàm số luôn đồng biến mặt khác ta lại có f(1) =0 vậy dẻ f(x) > 0 khi x >1 là nghiệm của 
 bài toán
Phương pháp đánh giá 
Cơ sở lý thuyết 
Dựa vào tam thức bậc hai
Dựa nvào các bất đẳng thức cơ bản Cô si, Bu nhi a 
Tính chất giá trị tuyệt đối
Bài tập áp dụng 
 Bài1: gbpt 
Tập xác dịnh với mọi x ≥ |2|
Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho vế trái ta có VT 
bằng vế phải vạy bất phương trình nghiệm đúng với mọi x ≥ |2|
Bài2 gbpt điều kiện 0 ≤ x ≤ 1
 Sử dụng bát dẳng thức Bu nhi a cho vé trái ta có 
Vậy bpt nghiệm đúng với mọi x 
====================&&&&&=====================