Chuyên đề ôn thi Đại học - Tích Phân

Biên soạn: ThS. §Æng §øc Dòng
CHUYÊN ĐỀ
TÍCH PHÂN
I. ĐỔI BIẾN SỐ 
TÓM TẮT GIÁO KHOA VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN
1. Đổi biến số dạng 1
1.1. Phương pháp thường dùng
Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a; b], để tính ta thực hiện các bước sau:
Bước 1. Đặt x = u(t) và tính .
Bước 2. Đổi cận: .
Bước 3. .
Ví dụ 1. Tính tích phân .
Giải
Đặt 
.
Vậy .
Ví dụ 2. Tính tích phân .
Giải
Đặt 
.
Vậy .
Ví dụ 3. Tính tích phân .
Giải
Đặt 
.
Vậy .
Ví dụ 4. Tính tích phân .
Giải
.
Đặt 
.
Vậy .
1.2. Phương pháp đặc biệt (dùng cho trắc nghiệm)
Hàm lượng giác ngược
+ với .
+ với .
Chẳng hạn: .
Công thức
.
Ví dụ 5. Tính tích phân .
Giải
.
Vậy .
Ví dụ 6. Tính tích phân .
Giải
.
Vậy .
2. Đổi biến số dạng 2
Để tính tích phân ta thực hiện các bước sau:
Bước 1. Đặt t = u(x) và tính .
Bước 2. Đổi cận: .
Bước 3. .
Ví dụ 7. Tính tích phân .
Giải
Đặt 
.
Vậy .
 Ví dụ 8. Tính tích phân .
Giải
.
Đặt 
.
Vậy .
Ví dụ 9. Tính tích phân .
Giải
Đặt 
.
Vậy .
Ví dụ 10. Tính tích phân .
Giải
Đặt 
.
Đặt 
.
Vậy .
Chú ý: 
Phân tích , rồi đặt sẽ tính nhanh hơn.
3. Các dạng đặc biệt
3.1. Dạng lượng giác
Ví dụ 11 (bậc sin lẻ). Tính tích phân .
Giải
Đặt 
.
Vậy .
Ví dụ 12 (bậc cosin lẻ). Tính tích phân .
Giải
Đặt 
.
Vậy .
Ví dụ 13 (bậc sin và cosin chẵn). Tính tích phân .
Giải
.
Vậy .
Ví dụ 14. Tính tích phân .
Giải
Đặt 
.
Vậy .
3.2. Dạng liên kết
Ví dụ 15. Tính tích phân .
Giải
Đặt 
.
Vậy .
Tổng quát: 
.
Ví dụ 16. Tính tích phân .
Giải
Đặt 
 (1).
Mặt khác (2). Từ (1) và (2) suy ra .
Tổng quát:
.
Ví dụ 17. Tính tích phân và .
Giải
+ 
 (1).
+ 
Đặt 
 (2).
Từ (1) và (2) .
Vậy .
Ví dụ 18. Tính tích phân .
Giải
Đặt 
.
Đặt 
.
Vậy .
Ví dụ 19. Tính tích phân .
Giải
Đặt 
.
Tổng quát: 
Với , , hàm số chẵn và liên tục trên đoạn thì
.
Ví dụ 20. Cho hàm số f(x) liên tục trên và thỏa .
Tính tích phân .
Giải
Đặt , 
.
Vậy .
3.3. Các kết quả cần nhớ
i/ Với , hàm số lẻ và liên tục trên đoạn [–a; a] thì .
ii/ Với , hàm số chẵn và liên tục trên đoạn [–a; a] thì .
iii/ Công thức Walliss (dùng cho trắc nghiệm)
.
Trong đó
n!! đọc là n walliss và được định nghĩa dựa vào n lẻ hay chẵn. Chẳng hạn:
.
Ví dụ 21. .
Ví dụ 22. .
(Độc giả có thể thử lại các ví dụ 11 – 13!).
II. TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN
1. Công thức
Cho hai hàm số liên tục và có đạo hàm trên đoạn [a; b]. Ta có
.
Công thức:
 (1).
Công thức (1) còn được viết dưới dạng:
 (2).
2. Phương pháp giải toán
2.1. Sử dụng công thức
Giả sử cần tính tích phân ta thực hiện
Cách 1.
Bước 1. Đặt (hoặc ngược lại) sao cho dễ tìm nguyên hàm và vi phân không quá phức tạp. Hơn nữa, tích phân phải tính được.
Bước 2. Thay vào công thức (1) để tính kết quả.
Đặc biệt:
i/ Nếu gặp với P(x) là đa thức thì đặt .
ii/ Nếu gặp thì đặt .
Cách 2.
Viết lại tích phân và sử dụng trực tiếp công thức (2).
Ví dụ 1. Tính tích phân .
Giải
Cách 1. 
Đặt (chọn )
.
Cách 2.
.
Vậy .
Ví dụ 2. Tính tích phân .
Giải
Cách 1. 
Đặt 
.
Cách 2.
.
Vậy .
Ví dụ 3. Tính tích phân .
Giải
Cách 1. 
Đặt 
.
Đặt 
.
Cách 2.
.
Vậy .
2.2. Sử dụng sơ đồ (dùng cho trắc nghiệm)
Ví dụ 4. Tính tích phân .
Giải
.
Chú thích: 
+ Mũi tên đi xuống chỉ tích của 2 nhân tử ra khỏi tích phân (cùng với dấu trên mũi tên).
+ Mũi tên ngang là tích 2 nhân tử còn trong tích phân (cùng với dấu trên mũi tên).
Ví dụ 5. Tính tích phân .
Giải
.
Ví dụ 6. Tính tích phân .
Giải
.
Vậy .
Chú ý:
Đôi khi ta phải đổi biến số trước khi lấy tích phân từng phần.
Ví dụ 7. Tính tích phân .
Giải
Đặt 
.
Vậy .
Ví dụ 8. Tính tích phân .
Giải
Đặt 
.
Vậy .
III. TÍCH PHÂN CHỨA GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI
Phương pháp giải toán
1. Dạng 1
Giả sử cần tính tích phân , ta thực hiện các bước sau
Bước 1. Lập bảng xét dấu (BXD) của hàm số f(x) trên đoạn [a; b], giả sử f(x) có BXD:
Bước 2. Tính .
Ví dụ 9. Tính tích phân .
Giải
Bảng xét dấu
.
Vậy .
Ví dụ 10. Tính tích phân .
Giải
.
Bảng xét dấu
.
Vậy .
2. Dạng 2
Giả sử cần tính tích phân , ta thực hiện
Cách 1.
Tách rồi sử dụng dạng 1 ở trên.
Cách 2.
Bước 1. Lập bảng xét dấu chung của hàm số f(x) và g(x) trên đoạn [a; b].
Bước 2. Dựa vào bảng xét dấu ta bỏ giá trị tuyệt đối của f(x) và g(x).
Ví dụ 11. Tính tích phân .
Giải
Cách 1.
.
Cách 2.
Bảng xét dấu
x
 –1 0 1 2
x
 – 0 + +
x – 1
 – – 0 +
.
Vậy .
3. Dạng 3
Để tính các tích phân và , ta thực hiện các bước sau:
Bước 1. Lập bảng xét dấu hàm số trên đoạn [a; b].
Bước 2. 
+ Nếu thì và .
+ Nếu thì và .
Ví dụ 12. Tính tích phân .
Giải
Đặt .
Bảng xét dấu
x
0 1 3 4
h(x)
 + 0 – 0 +
.
Vậy .
Ví dụ 13. Tính tích phân .
Giải
Đặt .
Bảng xét dấu
x
0 1 2
h(x)
 – 0 +
.
Vậy .
IV. BẤT ĐẲNG THỨC TÍCH PHÂN 
Phương pháp giải toán
1. Dạng 1
Để chứng minh (hoặc ) ta chứng minh (hoặc ) với .
Ví dụ 14. Chứng minh .
Giải
Với .
2. Dạng 2
Để chứng minh ta chứng minh với .
Ví dụ 15. Chứng minh .
Giải
Với 
.
Vậy .
3. Dạng 3
Để chứng minh ta thực hiện các bước sau
Bước 1. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của f(x) trên đoạn [a; b] ta được .
Bước 2. Lấy tích phân .
Ví dụ 16. Chứng minh .
Giải
Với .
Vậy .
Ví dụ 17. Chứng minh .
Giải
Với 
.
Vậy .
Ví dụ 18. Chứng minh .
Giải
Xét hàm số ta có
.
Vậy .
4. Dạng 4 (tham khảo)
Để chứng minh (mà dạng 3 không làm được) ta thực hiện
Bước 1. Tìm hàm số g(x) sao cho .
Bước 2. Tìm hàm số h(x) sao cho .
Ví dụ 19. Chứng minh .
Giải
Với 
.
Đặt 
.
Vậy .
Ví dụ 20. Chứng minh .
Giải
Với 
.
Vậy .
V. ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN
A. TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG
1. Diện tích hình thang cong
Cho hàm số liên tục trên đoạn [a; b]. Diện tích hình thang cong giới hạn bởi các đường và trục hoành là .
Phương pháp giải toán
Bước 1. Lập bảng xét dấu hàm số f(x) trên đoạn [a; b].
Bước 2. Dựa vào bảng xét dấu tính tích phân .
Ví dụ 1. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi và Ox.
Giải
Do nên
.
Vậy (đvdt).
Ví dụ 2. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi và Ox.
Giải
Bảng xét dấu
x
0 1 3
y
 – 0 + 0
.
Vậy (đvdt).
2. Diện tích hình phẳng
2.1. Trường hợp 1.
Cho hai hàm số f(x) và g(x) liên tục trên đoạn [a; b]. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường là .
Phương pháp giải toán
Bước 1. Lập bảng xét dấu hàm số trên đoạn [a; b].
Bước 2. Dựa vào bảng xét dấu tính tích phân .
2.2. Trường hợp 2.
Cho hai hàm số f(x) và g(x) liên tục trên đoạn [a; b]. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường là . Trong đó là nghiệm nhỏ nhất và lớn nhất của phương trình .
Phương pháp giải toán
Bước 1. Giải phương trình .
Bước 2. Lập bảng xét dấu hàm số trên đoạn .
Bước 3. Dựa vào bảng xét dấu tính tích phân .
Ví dụ 3. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường , .
Giải
Đặt 
 (loại).
Bảng xét dấu
x
0 1 2
h(x)
 – 0 + 0
.
Vậy (đvdt).
Ví dụ 4. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường .
Giải
Đặt 
.
Bảng xét dấu
x
1 2 3
h(x)
0 + 0 – 0
.
Vậy (đvdt).
Chú ý:
Nếu trong đoạn phương trình không còn nghiệm nào nữa thì ta có thể dùng công thức .
Ví dụ 5. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi .
Giải
Ta có 
.
Vậy (đvdt).
Ví dụ 6. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi và trục hoành.
Giải
Ta có 
.
Vậy (đvdt).
Ví dụ 7. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi và .
Giải
Phương trình hoành độ giao điểm
.
Bảng xét dấu
x
0 1 3 5
 + 0 – 0 +
.
Vậy (đvdt).
Ví dụ 8. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi .
Giải
Phương trình hoành độ giao điểm
Bảng xét dấu
x
0 1 3
 – 0 +
.
Vậy (đvdt).
Chú ý:
Nếu hình phẳng được giới hạn từ 3 đường trở lên thì vẽ hình (tuy nhiên thi ĐH thì không có).
B. TÍNH THỂ TÍCH KHỐI TRÒN XOAY
1. Trường hợp 1.
Thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường , , và quay quanh trục Ox là .
Ví dụ 9. Tính thể tích hình cầu do hình tròn quay quanh Ox.
Giải
Hoành độ giao điểm của (C) và Ox là .
Phương trình 
.
Vậy (đvtt).
2. Trường hợp 2.
Thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường , , và quay quanh trục Oy là .
Ví dụ 10. Tính thể tích hình khối do ellipse quay quanh Oy.
Giải
Tung độ giao điểm của (E) và Oy là .
Phương trình 
.
Vậy (đvtt).
3. Trường hợp 3.
Thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường , và quay quanh trục Ox là .
Ví dụ 11. Tính thể tích hình khối do hình phẳng giới hạn bởi các đường , quay quanh Ox.
Giải
Hoành độ giao điểm .
.
Vậy (đvtt).
4. Trường hợp 4.
Thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường , và quay quanh trục Oy là .
Ví dụ 12. Tính thể tích hình khối do hình phẳng giới hạn bởi các đường , quay quanh Oy.
Giải
Tung độ giao điểm .
.
Vậy (đvtt).