Chuyên đề ôn thi đại học môn Toán học

www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
Chuyeân Ñeà OÂn Thi Ñaïi Hoïc 2013 Toaùn Hoïc 
ếp 
Version 2 – Thaùng 2/2013 - 1 - 
I/ PHẦN CHUNG (7 điểm) 
Câu 1 (2 điểm): 
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số. 
b) Các bài toán liên quan đến ứng dụng của đạo hàm và đồ thị của hàm số: chiều biến thiên của hàm số; cực trị; giá trị lớn 
nhất và nhỏ nhất của hàm số; tiếp tuyến, tiệm cận (đứng và ngang) của đồ thị hàm số; tìm trên đồ thị những điểm có tính 
chất cho trước, tương giao giữa hai đồ thị (một trong hai đồ thị là đường thẳng)... 
Câu 2 (1 điểm): 
Công thức lượng giác, phương trình lượng giác. 
Câu 3 (1 điểm): 
Phương trình, bất phương trình; hệ phương trình đại số. 
Câu 4 (1 điểm): 
- Tìm giới hạn. 
- Tìm nguyên hàm, tính tích phân. 
- Ứng dụng của tích phân: tính diện tích hình phẳng, thể tích khối tròn xoay. 
Câu 5 (1 điểm): 
Hình học không gian (tổng hợp): quan hệ song song, quan hệ vuông góc của đường thẳng, mặt phẳng; diện tích xung quanh 
của hình nón tròn xoay, hình trụ tròn xoay; thể tích khối lăng trụ, khối chóp, khối nón tròn xoay, khối trụ tròn xoay; tính diện 
tích mặt cầu và thể tích khối cầu. 
Câu 6 (1 điểm): 
Bài toán tổng hợp. 
II. PHẦN RIÊNG (3 điểm) 
Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần 1 hoặc phần 2). 
Theo chương trình chuẩn: 
Câu 7a (1 điểm): 
Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng: 
- Xác định tọa độ của điểm, vectơ. 
- Đường tròn, elip. 
- Viết phương trình đường thẳng. 
- Tính góc; tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng. 
Câu 8a (1 điểm) 
Phương pháp tọa độ trong không gian: 
- Xác định tọa độ của điểm, vectơ. 
- Đường tròn, Mặt cầu. 
- Tính góc; tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng, mặt phẳng; khoảng cách giữa hai đường thẳng; vị trí tương đối của 
đường thẳng, mặt phẳng và mặt cầu. 
Câu 9a (1 điểm): 
- Số phức. 
- Tổ hợp, xác suất, thống kê. 
- Bất đẳng thức; cực trị của biểu thức đại số. 
Theo chương trình nâng cao: 
Câu 7b (1 điểm): 
Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng: 
- Xác định tọa độ của điểm, vectơ. 
- Đường tròn, ba đường conic. 
- Viết phương trình đường thẳng. 
- Tính góc; tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng. 
Câu 8b (1 điểm): 
Phương pháp tọa độ trong không gian: 
- Xác định tọa độ của điểm, vectơ. 
- Đường tròn, mặt cầu. 
- Viết phương trình mặt phẳng, đường thẳng. 
- Tính góc; tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng, mặt phẳng; khoảng cách giữa hai đường thẳng; vị trí tương đối của 
đường thẳng, mặt phẳng và mặt cầu. 
Câu 9b (1 điểm): 
- Số phức. 
- Đồ thị hàm phân thức hữu tỉ dạng y = (ax2 + bx + c) / (px + q) và một số yếu tố liên quan. 
- Sự tiếp xúc của hai đường cong. 
- Hệ phương trình mũ và lôgarit. 
- Tổ hợp, xác suất, thống kê. 
- Bất đẳng thức. Cực trị của biểu thức đại số. 
Theo Toán Học Việt Nam 
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
Chuyeân Ñeà OÂn Thi Ñaïi Hoïc 2013 Toaùn Hoïc 
ếp 
Version 2 – Thaùng 2/2013 - 2 - 
1. Khảo sát sự biến thiên của hàm số và vẽ đồ thị: 
- Cần ghi nhớ cấu trúc lời giải của 3 dạng hàm số sau: 
- Lƣu ý khi vẽ đồ thị: 
+ Không đƣợc vẽ đồ thị ra ngoài mặt phẳng tọa độ. 
+ Nét vẽ đồ thị phải trơn, không có chỗ gấp khúc. Thể hiện sự “uốn” của đồ thị tại các điểm uốn. 
+ Đánh dấu tọa độ của các giao điểm của đồ thị với 2 trục tọa độ; các điểm cực đại, cực tiểu; điểm uốn 
(nếu có). 
2. Phƣơng trình lƣợng giác: 
- Ghi nhớ các công thức lƣợng giác, quan hệ giữa các góc lƣợng giác, giá trị lƣợng giác của các góc đặc 
biệt và cách giải các dạng phƣơng trình lƣợng giác đƣợc nêu trong SGK. 
- Thông thƣờng ta nên hạ bậc các biểu thức lƣợng giác bậc cao về các biểu thức lƣợng giác bậc thấp 
hơn có trong phƣơng trình để dễ dàng đƣa về phƣơng trình tích. 
- Nếu trong phƣơng trình chủ yếu là các hàm lƣợng giác sin và cos thì ta nên biến đổi các hàm tan và 
cot về các hàm sin và cos. 
3. Phƣơng trình (vô tỉ), bất phƣơng trình (vô tỉ), hệ phƣơng trình, phƣơng trình logarit: 
- Thuộc các công thức logarit. 
- Nắm rõ cách giải các pt, bpt cơ bản. 
- Ứng dụng thành thạo 2 phƣơng pháp giải hệ phƣơng trình cơ bản là PP thế và PP cộng đại số, trong 
đó PP thế là PP đƣợc ứng dụng nhiều nhất. 
- Nắm rõ cách giải các dạng hpt thông dụng: đối xứng loại 1, loại 2; hệ đẳng cấp. 
- Nhiều phƣơng trình, bất phƣơng trình và hệ phƣơng trình có thể giải dễ dàng bằng cách đặt ẩn phụ 
(thông thƣờng ta phải biến đổi một chút để có thể nhìn ra ẩn phụ cần phải đặt). 
4. Nguyên hàm, tích phân: 
- Nắm rõ nguyên hàm của các hàm thông dụng. 
- Nắm rõ 2 phƣơng pháp thông dụng để tính tích phân: phƣơng pháp đổi biến và phƣơng pháp tích phân 
từng phần: 
+ Phƣơng pháp đổi biến thƣờng áp dụng cho các hàm đa thức, phân thức và có chứa căn thức. 
+ Phƣơng pháp tích phân từng phần thƣờng áp dụng cho những hàm có dạng tích của 2 biểu thức khác 
nhau về bản chất: đa thức – lƣợng giác, đa thức-hàm mũ, đa thức – hàm logarit, lƣợng giác- hàm mũ. 
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
Chuyeân Ñeà OÂn Thi Ñaïi Hoïc 2013 Toaùn Hoïc 
ếp 
Version 2 – Thaùng 2/2013 - 3 - 
- Lƣu ý về tích phân của hàm số lẻ, hàm số chẵn. 
- Trong một số trƣờng hợp, ta có thể đổi biến bằng cách đặt. 
5. Hình học không gian: 
- Nắm vững công thức tính thể tích của các khối thông dụng. 
- Ứng dụng các định lí về quan hệ vuông góc, quan hệ song song trong không gian để tạo đƣợc mối liên 
hệ giữa độ dài các cạnh và các góc, qua đó tính đƣợc độ dài các cạnh và số đo của các góc chƣa biết. 
6. Bất đẳng thức, cực trị: 
- Nắm vững các bất đẳng thức thông dụng, đặc biệt là BĐT Cô-si và BĐT Bu-nhi-a-cốp-xki. 
- Với một số bài toán tìm cực trị của hàm nhiều biến, ta nên quy về cực trị của hàm 1 biến rồi dùng ứng 
dụng của đạo hàm trong việc tìm min, max của hàm số. 
7. Phƣơng pháp tọa độ trong mặt phẳng và trong không gian: Nên ghi định hƣớng làm bài (sơ đồ 
giải) trƣớc khi giải. 
8. Số phức: Một số bài toán có thể ứng dụng công thức Moa-vrơ nếu có thể đƣa các số phức về dạng 
lƣợng giác của các góc đặc biệt. 
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
Chuyeân Ñeà OÂn Thi Ñaïi Hoïc 2013 Toaùn Hoïc 
ếp 
Version 2 – Thaùng 2/2013 - 4 - 
Vaán ñeà 1: Tìm cöïc trò cuûa haøm soá ......................................................................................................... 16 
1. Qui tắc 1: Dùng định lí 1. .................................................................................................... 16 
2. Qui tắc 2: Dùng định lí 2. .................................................................................................... 16 
Vaán ñeà 2: Tìm điều kiện để hàm số có cực trị ................................................................................. 16 
Vaán ñeà 3: Đƣờng thẳng đi qua hai điểm cực trị............................................................................... 16 
Vaán ñeà 4: ĐƢỜNG TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ .............................................................................. 17 
1. Định nghĩa: .......................................................................................................................... 17 
2. Chú ý: .................................................................................................................................. 17 
Vaán ñeà 5: KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ ....................................... 17 
1. Các bƣớc khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (quan trọng) .............................. 17 
Vaán ñeà 6: BIỆN LUẬN SỐ NGHIỆM CỦA PHƢƠNG TRÌNH BẰNG ĐỒ THỊ (Quan Trọng) .. 18 
1. Dạng 1:F(x, m) = 0  f(x) = m (1) ................................................................................... 18 
2. Dạng 2: F(x, m) = 0  f(x) = g(m) (2) ............................................................................... 18 
3. Dạng 3: F(x, m) = 0  f(x) = kx + m (3) ........................................................................... 18 
4. Dạng 4: F(x, m) = 0  f(x) = m(x – x0) + y0 (4) ................................................................ 18 
Vaán ñeà 7: Biện luận số nghiệm của phƣơng trình bằng đồ thị ........................................................ 18 
Vaán ñeà 8: Biện luận số nghiệm của phƣơng trình bậc ba bằng đồ thị ............................................. 18 
1. Dạng 1: Biện luận số nghiệm của phƣơng trình bậc 3 ........................................................ 19 
 Trƣờng hợp 1: ............................................................................................................ 19 1.1.
 Trƣờng hợp 2: ............................................................................................................ 19 1.2.
 Trƣờng hợp 3: ............................................................................................................ 19 1.3.
2. Dạng 2: Phƣơng trình bậc ba có 3 nghiệm cùng dấu .......................................................... 19 
 Trƣờng hợp 1: (1) có 3 nghiệm dƣơng phân biệt ....................................................... 19 2.1.
 rƣờng hợp 2: (1) có 3 nghiệm có âm phân biệt .......................................................... 19 2.2.
Vaán ñeà 9: SỰ TIẾP XÖC CỦA HAI ĐƢỜNG. TIẾP TUYẾN CỦA ĐƢỜNG CONG. ................ 19 
Vaán ñeà 10: Lập phƣơng trình tiếp tuyến của đƣờng cong (C): y = f(x) (Quan trọng) ....................... 19 
1. Bài toán 1: Viết phƣơng trình tiếp tuyến  của (C): y =f(x) tại điểm  
0 0 0
;M x y : ................ 20 
2. Bài toán 2: Viết phƣơng trình tiếp tuyến  của (C): y =f(x), biết  có hệ số góc k cho 
trƣớc. ................................................................................................................................... 20 
3. Bài toán 3: Viết phƣơng trình tiếp tuyến  của (C): y = f(x), biết  đi qua điểm ( ; )
A A
A x y .
 ............................................................................................................................................. 20 
Vaán ñeà 11: Tìm điều kiện để hai đƣờng tiếp xúc .............................................................................. 20 
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
Chuyeân Ñeà OÂn Thi Ñaïi Hoïc 2013 Toaùn Hoïc 
ếp 
Version 2 – Thaùng 2/2013 - 5 - 
Vaán ñeà 12: Lập phƣơng trình tiếp tuyến chung của hai đồ thị(C1): y = f(x) và C2): y = g(x) ........... 21 
Vaán ñeà 13: Tìm những điểm trên đồ thị (C): y = f(x) sao cho tại đó tiếp tuyến của (C) song song 
hoặc vuông góc với một đƣờng thẳng d cho trƣớc ......................................................... 21 
Vaán ñeà 14: Tìm những điểm trên đƣờng thẳng d mà từ đó có thể vẽ đƣợc 1, 2, 3,  tiếp tuyến với 
đồ thị (C): y = f(x) ........................................................................................................... 21 
Vaán ñeà 15: Tìm những điểm mà từ đó có thể vẽ đƣợc 2 tiếp tuyến với đồ thị (C): y = f(x) và 2 tiếp 
tuyến đó vuông góc với nhau .......................................................................................... 21 
Vaán ñeà 16: HỌ ĐỒ THỊ .................................................................................................................... 22 
Vaán ñeà 17: Tìm điểm cố định của họ đồ thị (Cm): y = f(x, m) ........................ ... ïc 2013 Toaùn Hoïc 
ếp 
Version 2 – Thaùng 2/2013 - 119 - 
2 2
cos
sin
r a b
a
r
b
r

  

  

  

   laø moät acgumen cuûa z, ( , )Ox OM  
  1 cos sin ( )z z i R       
11. Nhaân, chia soá phöùc döôùi daïng löôïng giaùc 
 Cho (cos sin ) , ' '(cos ' sin ')z r i z r i       : 
   . ' '. cos( ') sin( ')z z rr i      cos( ') sin( ')
' '
z r
i
z r
    
12. Coâng thöùc Moa–vrô: 
   (cos sin ) (cos sin )
n
n
r i r n i n     , ( *n N ) 
   cos sin cos sin
n
i n i n     
13. Caên baäc hai cuûa soá phöùc döôùi daïng löôïng giaùc: 
  Soá phöùc (cos  sin )z r i   (r > 0) coù hai caên baäc hai laø: 
cos sin
2 2
cos sin cos sin
2 2 2 2
r i
vaø r i r i
  
 
 
         
             
      
  Môû roäng: Soá phöùc (cos  sin )z r i   (r > 0) coù n caên baäc n laø: 
2 2
cos sin , 0,1,..., 1
n k k
r i k n
n n
  
   
 
   
14. Các dạng bài tập: 
 Dạng 1 : Tìm mô đun ,căn bậc hai của số phức, giải phƣơng trình ,hệ phƣơng trình trên tập số 14.1.
phức 
Phƣơng Pháp : Cho số phức : z = a + bi với a,b là các số thực 
 + Mô đun của số phức z là : 
2 2z a b  
 +Gọi w = x + yi với x,y R là một căn bậc hai của số phức z 
 Ta có 
2w a bi   
2
x yi a bi    
2 2
2
x y a
xy b
  


 giải hệ phƣơng trình trên tìm đƣợc 
các căn bậc hai của số phức z 
 +Việc giải phƣơng trình ,hệ phƣơng trình đƣợc giải tƣơng tự nhƣ giải trên trƣờng số thực nhƣng chú ý 
đến việc tìm căn bậc hai của số âm hoặc căn bậc hai của số phức. 
Bài tập minh họa 
Bài 1: 
Tìm môđun của số phức  
3
1 4 1z i i    
Lời giải: Vì  
3 3 2 31 1 3 3 1 3 3 2 2i i i i i i i            
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
Chuyeân Ñeà OÂn Thi Ñaïi Hoïc 2013 Toaùn Hoïc 
ếp 
Version 2 – Thaùng 2/2013 - 120 - 
Suy ra:  
2 21 2 1 2 5z i z        
Bài 2: 
Cho hai số phức: 1 3 5z i  ; 2 3z i  . Tính 
1
2
z
z
 và 1
2
z
z
Lời giải: 
  
  
1
2
3 5 33 5 8 4 3
2 3
43 3 3
i iz i i
i
z i i i
  
    
  
 
2
21
2
2 3 7
z
z
    
Bài 3: 
Gọi z1 và z2 là hai nghiệm phức của phƣơng trình: 
2 2 10 0z z   . 
Tính giá trị của biểu thức A = 
2 2
1 2z z 
Lời giải: Ta có:  = 12 - 10 = -9 = 9i2 
Phƣơng trình có các nghiệm: z1 = - 1 - 3i; z2 = - 1 + 3i 
Ta có:      
2 2 22 2 2
1 2 1 3 1 3 20z z         
Bài 4: 
Tìm số phức z thỏa mãn:  2 10z i   và . 25z z  
Lời giải: Đặt z = a + bi với a, b  , ta có: 
 
. 25
2 10
z z
z i
 

  
  
   
2 2 25
2 1 10
a b
a b i
  

   
  
   
2 2
2 2
25
2 1 10
a b
a b
  

   

2 2 25
2 10
a b
a b
  

 
  
3
4
5
0
a
b
a
b
 


 


Vậy có hai số phức cần tìm : z = 3 + 4i , z = 5 + 0i 
Bài 5: 
Cho số phức z = 4 - 3i. Tìm 
2z z
z

Lời giải:    
22 4 3 4 3 11 27z z i i i       
  2
2 2
11 27 4 311 27 37 141
4 3 4 3 25
i iz z i i
iz
    
   
 
Bài 6: 
Giải phƣơng trình sau (ẩn z):  
2
2 1 5z z i   
Lời giải: Giả sử z a bi  ;  
2
2 1 5z z i   
  2(*) 2 1 10 25a bi a bi i i        
3 24 8
3 24 10 8 10
10 10
a a
a bi i z i
b b
    
           
    
Bài 7: 
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
Chuyeân Ñeà OÂn Thi Ñaïi Hoïc 2013 Toaùn Hoïc 
ếp 
Version 2 – Thaùng 2/2013 - 121 - 
Tìm căn bậc hai của số phức sau: 
3 2 3 3
2 2
z i   
Lời giải: Ta có: 
3 2 3 3 2 2 3 3
3 3 os isin
2 2 2 2 4 4
z i i c
    
             
Suy ra z có hai căn bậc hai là: 
 w = 
3 2 3 2
3 os isin
8 2 8 2
k k
c
       
      
    
  0;1k  
+ Khi 0k  w = 
3 3
3 os isin
8 8
c
  
 
 
+ khi 1k   w = 
3 3
3 os isin
8 8
c
 
 
    
      
    
 = 
11 11
3 os isin
8 8
c
  
 
 
Bài 8: 
Tìm các căn bậc hai của số phức: 21 20z i  
Lời giải: 
Gọi x yi  ,x y  là một căn bậc hai của z. 
Ta có: 
2 2 21
2 20
x y
xy
  

 
(1)
(2)
(2) 
10
y
x
   
Thay 
10
y
x
  vào (1) ta đƣợc: 2
2
100
21x
x
  
4 221 100 0x x    
2 25 5x x     
5 2; 5 2x y x y        
Vậy số phức đã cho có hai căn bậc hai là: 5 2i và 5 2i  
* Cách khác:    
2 2
25 2.5.2 2 5 2z i i i     
Vậy số phức đã cho có hai căn bậc hai là: 5 2i và 5 2i  
Bài 9: 
Giải phƣơng trình:    2 2 2 7 4 0z i z i     
Lời giải: Ta có: 
' 35 12i    . Ta tìm các căn bậc hai x yi của ' : 
 
2 2
2 35
35 12
2 12
x y
x yi i
xy
   
     
 
Do đó ta giải đƣợc 2 căn bậc hai là:  1 6 ;1 6i i   
 nên phƣơng trình có hai nghiệm: 1 3 4z i  và 2 2 2z i  
Bài 10: 
Giải phƣơng trình sau trên (ẩn z): 
4 3 22 2 1 0z z z z     
Lời giải: 
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
Chuyeân Ñeà OÂn Thi Ñaïi Hoïc 2013 Toaùn Hoïc 
ếp 
Version 2 – Thaùng 2/2013 - 122 - 
4 3 2 2
2
1 1
2 2 1 0 2 1 0z z z z z z
z z
 
           
 
 (do z  0) 
Đặt w = 2 2
2
1 1
z+ w 2
z
z
z
    , ta đƣợc: 
2 2
w=1
w 2 2 1 0 w 2 3 0
w=-3
w w

         

Do đó: 
1
1z
z
  (1) hay 
1
3z
z
   (2) 
+ Giải (1) 2 1 0z z    
Ta có:  
2
1 4 3 3i      
Vậy phƣơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt: 
1 2
1 3 1 3
;
2 2
i i
z z
 
  
+ Giải (2) 2 3 1 0z z    . Ta có: 9 4 5    
Vậy phƣơng trình (2) có hai nghiệm phân biệt: 
3 4
3 5 3 5
;
2 2
z z
   
  
Tóm lại phƣơng trình đã cho có bốn nghiệm: 
1 2
1 3 1 3
;
2 2
i i
z z
 
  ; 3 4
3 5 3 5
;
2 2
z z
   
  
Bài 11: 
Giải phƣơng trình sau trên (ẩn z): 4 3 22 2 2 2 0z z z z     
Lời giải: 4 3 2 2
2
1 1
2 2 2 2 0 2 2 1 0z z z z z z
z z
   
             
   
Đặt w = 
2 2
2
1 1
w 2z z
z z
     , ta đƣợc: 
 2 22 w 2 2 1 0 2 2 5 0w w w        
+ Giải: 
22 2 5 0w w   (*) 
Ta có:  
2' 1 10 9 3i      
Vậy phƣơng trình (*) có hai nghiệm phân biệt: 
1 2
1 3 1 3
w ;w
2 2
i i 
  
Do đó: 
1 1 3
2
i
z
z

  (1) hay 
1 1 3
2
i
z
z

  (2) 
+ Giải (1)  2 2
1 3
1 0 2 1 3 2 0
2
i
z z z i z
 
         
 
Ta có:  
2
1 3 16 8 6i i      
Số phức z x yi  ( , )x y là căn bậc hai của 8 6i   khi và chỉ khi 
 
2 2
22 2 2 88 6 8 6 2 8 6
2 6
x y
z i x yi i x y xyi i
xy
  
            

 (**) 
Giải (**) 
2 4 2 2
2
9
8 8 9 0 9
3 3
3
x x x x
x
y y
y x x
x

        
    
     
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
Chuyeân Ñeà OÂn Thi Ñaïi Hoïc 2013 Toaùn Hoïc 
ếp 
Version 2 – Thaùng 2/2013 - 123 - 
3
3 3
3
1 1
x
x x
hay
y yy
x
 
   
   
    

Suy ra có hai căn bậc hai của  là 3 i và 3 i 
Vậy phƣơng trình (1) có hai nghiệm: 
1 2
1 3 3 1 3 3 1 1
1 ;
4 4 2 2
i i i i
z i z i
     
       
+ Giải (2)  2 2
1 3
1 0 2 1 3 2 0
2
i
z z z i z
 
         
 
Ta có:  
2
1 3 16 8 6i i      
Số phức z x yi   ,x y  là căn bậc hai của 8 6i   khi và chỉ khi 
 
2 2
22 2 2 88 6 8 6 2 8 6
2 6
x y
z i x yi i x y xyi i
xy
  
            
 
(***) 
Giải (***) 
2 4 2
2
9
8 8 9 0
3
3
x x x
x
y
y x
x

     
  
    
2
3
39 1
33
3
1
x
xx y
y xy
xx
y
 
                   

Suy ra có hai căn bậc hai của  là 3 i  và 3 i 
Vậy phƣơng trình (2) có hai nghiệm: 
3 4
1 3 3 1 3 3 1 1
1 ;
4 4 2 2
i i i i
z i z i
     
       
Tóm lại phƣơng trình đã cho có bốn nghiệm: 
1 2
1 1
1 ;
2 2
z i z i     ; 3 4
1 1
1 ;
2 2
z i z i     
Bài 12: 
Giải hệ phƣơng trình sau trên tập số phức: 
1 2
2 2
1 2
2 3
5 4
Z Z i
Z Z i
  

  
Lời giải: hpt  
1 2
1 2
2 3
. 5 8
Z Z i
Z Z i
  

  
Z1 và Z2 là 2 nghiệm phƣơng trình: Z
2
 - (2 + 3i)Z - 5 + 8i = 0 
Có  =  
2
15 20 5 2i i   
 
 
 
1
2
3 5
1 5
2
3 5
1 5
2
Z i
Z i
 
  

 
  

 Dạng 2: Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức 14.2.
Phƣơng pháp : + Gọi số phức có dạng : z = x + yi với x,y là các số thực 
 + Dựa vào giả thiết bài toán tìm xem với điểm M( x; y) thỏa mãn phƣơng trình nào . 
 + Kết luận tập hợp điểm biểu diễn số phức z đã cho. 
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
Chuyeân Ñeà OÂn Thi Ñaïi Hoïc 2013 Toaùn Hoïc 
ếp 
Version 2 – Thaùng 2/2013 - 124 - 
Bài 13: 
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện 
 3 4 2z i   
Lời giải: Đặt z = x + yi; x, y  , ta có: 
 3 4 2z i       3 4 2x y i        
2 2
3 4 2x y    
    
2 2
3 4 2x y    
Vậy tập hợp các điểm trên mặt phẳng phức biểu diễn các số phức z = x + yi thỏa mãn điều kiện đã cho là đƣờng 
tròn tâm I(3; -4); bán kính R = 2 
Bài 14: 
Tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện: 2 2z i z z i    
Lời giải: Gọi z = x + yi (x, y  ) 
Ta có: 2 2z i z z i    
    2 1 2 2x y i y i    
    
2 222 1 2 2x y y    
 2
1
4
y x 
Bài 15: 
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện 
 5 2 2z i   
Lời giải: Đặt z = x + yi (x, y  ) 
Ta có: z - 5i + 2 = (x + 2) + (y - 5)i 
Suy ra:          
2 2 2 2
5 2 2 2 5 2 2 5 4z i x y x y             
Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đƣờng tròn tâm I(-2; 5), bán kính R = 2. 
 Dạng 3: Biểu diễn số phức dƣới dạng đại số , dạng lƣợng giác 14.3.
Phƣơng pháp : + Nắm vững Acgumen của số phức z  0 
 + Dạng đại số : z = a + bi với a,bR 
 + Dạng lƣợng giác :  os +i.sinz r c   với r là mô đun của số phức z và  là một 
Acgumen của số phức z 
 + Nhân và chia hai số phức dƣới dạng lƣợng giác 
 + Công thức Moivre :  os + i.sin ( osn + i.sinn )
n nr c r c       
Bài 16: 
Viết số phức sau dƣới dạng đại số: 
 
 
9
5
3
1
i
z
i



Lời giải: + Xét  1
3 1
3 2 2 os isin
2 2 6 6
z i i c
       
                    
9 9 9
1
9 9
2 os isin 2 os isin
6 6 2 2
z c c
         
            
      
+ Xét  2
1 1
1 2 2 os isin
4 42 2
z i i c
    
        
  
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
Chuyeân Ñeà OÂn Thi Ñaïi Hoïc 2013 Toaùn Hoïc 
ếp 
Version 2 – Thaùng 2/2013 - 125 - 
 
5
5
2
5 5 5 5
2 os isin 4 2 os isin
4 4 4 4
z c c
      
       
   
9
1
5
2
3 3 1 1
64 2 os isin 64 2 64 64
4 4 2 2
z
z c i i
z
       
                 
      
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com